高中数学选修2精品课件2.3.2双曲线的性质(三)
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2.3.2 双曲线的简单几何性质
思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写
出各个结果.
解双曲线的方程化为标准形式是������2
9
−
���4���2=1,
∴a2=9,b2=4,
∴a=3,b=2,c= 13.
又双曲线的焦点在 x 轴上,
∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(- 13,0),( 13,0),
������2+������2 ������2
=
1+
������ ������
2,所以������������ =
������2-1,所以离心率
的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离
心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程
������2
������
−
������2
������
=1(λ≠0),由题意得
49
a=3.
当 λ>0 时,4������=9,λ=36,双曲线方程为���9���2 − ���4���2=1;
当 λ<0 时,-9������=9,λ=-81,双曲线方程为���9���2 − 48���1���2=1.
为 y=±x,离心率等于 2.
课前篇自主预习
【做一做1】 若点M(x0,y0)是双曲线
������2 4
−
������2 25
=1上支上的任意一点,
则x0的取值范围是
,y0的取值范围是
.
解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
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人教A版数学·选修2-1
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直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
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人教A版数学·选修2-1
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2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
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人教A版数学·选修2-1
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求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例2 对于方程 x2 y2 1 和 x2 y2 （ 0 且 1),
4
4
所表示的双曲线有如下结论：
（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点
（3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线
其中正确的是 A. （1）（4）
B. （2）（4）
y2 52 a2
1,然后由 5 a
5 4
求得a 4,b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是
x2 m2
c2
y2 m2
1
(4). 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
4.双曲线的渐近线 ▲规定：直线 y
b a
x叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么y？
a
x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
高中数学人教B版选修2-1 第二章2.3.2 双曲线的几何性质 课件(共18张PPT)
离8 心率为 2
c 2 a
c 4 2 b2c2a216
该双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1 16 16
等轴双曲线典例分析AFra bibliotek典例分析
y2 x2 1 34
解：双曲线 E 的1 渐近线方程为 y
3x 2
双曲线 E 的2 渐近线方程为 y
3x 2
与双曲线
x2
y
2
共渐1 近线的双曲线方程：
A1
A2
o a
x
B1
双曲线的渐近线
y bx a
yb x a
新知探究
6.离心率：双曲线的焦距与实轴的比 e
叫做双曲线的离心率
c a
注：1.双曲线的离心率
e c a
c2
a2
a2 b2
b2
a2
1 a2
显然 e(1,)
y B2
F1 A1 O
A2 F2
B1
2.双曲线的离心率可以刻画双曲 线的“开口”
43
x2 y2 ( 0)
43
典例分析
解：设所求双曲线的方程为 x2 y2 ( 0)
43
将 M(2 6， 代2入6)到方程，即
(2 6)2 (2 6)2
4
3
整理得 2 即所求双曲线的方程为
y2
x2
1
68
与双曲线
x2 a2
y b
2
共2 渐1 近线的双曲线方程：
x2 a2
y2 b2
( 0)
典例分析
x 离心率越大，开口越大； 离心率越小，开口越小.
知识梳理
典例分析
解：原方程可化为 y 2 x 2 1 9 16
2.3.2双曲线简单几何性质(公开课)
栏目导引
2 2 , 0和2 2 , 0 4.双曲线 x y 4 的焦点坐标是_____________________
2 2
5.双曲线 6.双曲线
24
2
7 x y 5 1 的离心率是__________
2 2
25
2
64
3 x y y x 1 的渐近线方程是__________ 4
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
线段A1A2 (2a)叫做实轴（长）
顶点 A1 (a,0), A2 (a,0)
对称性
顶点
关于x轴、y轴、原点对称
B1 (0,b), B2 (0, b)
A1（- a，0），A2（a，0） 线段 B1B2 (2b)叫做虚轴（长）
当a=b时，等轴双曲线
离心率
工具
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
对称性
顶点 离心率 渐近线
工具
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c e a
B1(0,-b),B2(0, b)
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称 y o (-x,-y)
对称性 顶点
(-x,y)
(x,y) x (x,-y)
栏目导引
离心率
工具
c e (0 e 1) a
y B2
图形
F1 F2
A1
0
A2
x
. .
B2
【公开课课件】选修2-1 2.3.2双曲线的几何性质(三)
k 0 a2 4,b2 k,
e
c a
e2
c2 a2
a2 b2 a2
1
k (1,4), 4
k (0,12).
2. 已知双曲线 C： x2 y2 1 （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A， a2 b2
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率为 .
则该双曲线的离心率的取值范围为
．
yA
b a
(
a2 c
)
ab c
,
y b x a
y
r ab ,
A
c
点F1在圆H内, F1H r,
(c,0)F1 H o
x
F1Hc Nhomakorabeaa2
c
c2
c
a2
b2 c
,
b2 ab , b a, b2 a2, cc
B
x a2 c
2x 2
．
c12 a2 b2 , c22 a2 b2 ,
e1e2
3
2
c1c2 a2
3 2
4c12c22
3a4
4(a4 b4 ) 3a4 a4 4b4 a 2b,
b 2, a2
例 3. 双曲线xa22－yb22＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，
ybx
y
a
C
ab
oc
B
x
A
例 2. 已知 a＞b＞0，椭圆 C1 的方程为ax22＋yb22＝1，双曲线 C2 的方程为xa22－yb22＝1，
高中数学人教版选修2-1：2.3.2-2 双曲线的简单几何性质 课件(共11张PPT)
ya
b
二、新知探究
点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到
定直线l: x= 1 6 的距离的比是常数 5 ，求
5
4
点M的轨迹.
分析：由题可得∣MF∣=5，则 d4
x = 16
y
5
M(x,y) l
d
( x - 5 )2 + y 2 ∣1 6 - x∣
=
5 4
5
∴9x2-16y2=144， 即 1x
(第二课时)
一、知识回顾
性பைடு நூலகம்
双 曲
质 图象
线
范围
对 称 性
渐 顶点 近
线
离 心 率
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
xa
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e
c a
原点
(其中
ya
或
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
F
四、精典例题 例1
解：
四、精典例题 例2
解：
故 所 对 应 的 渐 进 线 方 程 为 y=±7x. 3
四、精典例题 例3 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
解:(1)
四、精典例题 (2)
四、精典例题 (3)
五、课堂小结
图形
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
x2 -y2 =1(a>b>0) a2 b2
xa或 xa ， y R
人教版高中数学选修2.3.2双曲线的简单几何性质 (3)ppt课件
x2 2 2 ≥ 1, 即x ≥ a 2 a x ≥ a, x ≤ a
x
x2 y2 另 外 , 2 2 0 可 知 并 夹 在 两 (-x,-y) a b 相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
其中 c a b 类似于椭圆几何性质的研究.
2 2 2
现在就用方程来 探究一下!
2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2 2 1 2 a b
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
3
一、研究双曲线 1、范围
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质 2 a b
y (-x,y) -a o a (x,-y) (x,y)
b
y
B2
o
A1 -a
-b
a A2
x
B1
5
x2 y2 b ⑴双曲线 2 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线为 y x a a b y
4、渐近线
如何记忆双曲线的渐近线方程？
2 2
注 :等轴双曲线 x y m(m 0) 的渐近线为 y x
b
B2
A 1
o
A2
解：把方程化为标准方程
y x 1 16 9
2
2
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
4 渐进线方程为y x 3
11
c 5 离心率 e a 4
例2
5 已知双曲线顶点间的距 离是 16 ，离心率 e ， 4 焦点在 x 轴上，中心在原点，写 出双曲线的方
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16 2.若双曲线的一条准线方程为y , 一条渐近线方程为4 x 3 y 0, 5 求其标准方程。
3.若双曲线的两准线把焦点所连线段三等分,则离心率是 ________
复习:
椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
5 或k＞ 5 ； 2 2 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； 且k 1 2 2 (3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 2
(1)没有公共点; (1)k＜
；
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
5 (5)与左支交于两点. k 1 2
判断直线与双曲线位置关系
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条0) 与直线 l : x y 1 例5、设双曲线C： 2 a 相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA PB, 求a的值。 12
双曲线的性质(三)
双曲线的第二定义，
平 面 内 与一 个 定 点 的 距 离 和它 到一 条
的点的轨迹。
c 定直线的距离 的 比 是 常 数e (e 1) a
定点称为双曲线的焦点 定直线称为双曲线的准线
a2 a2 左准线: x 、右准线: x c c
x2 y 2 1.已知双曲线 1上有一点P到左准线的距离为8， 16 9 则P到右焦点的距离是 ________
x2 y 2 例3、在 1上求一点，使它到直线l：x y 3 0 25 9 的距离最短，并求这个最短距离。
x y 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. （ 1， 1）
。
2
2
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1、已知双曲线x2 y 2 4, 直线l过点（ P 0，-1）, 求直线的斜率k的值,使直线与双曲线满足：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
②一点: A、直线与渐近线平行 B、相切△=0
③相离:
△＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
x2 y 2 例2、过点（ P 2，-2）的直线被双曲线 1截得的弦 8 4 MN的中点恰好为点P，求直线MN的方程。
（2）求弦MN的长
变式. 直线y=x-1被双曲线2x2 y 2 3所截得的中点坐标是 ___
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
一、直线与双曲线的位置关系:
①相交两点: 系数不为0， △＞0 同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称
5.设而不求(韦达定理、点差法)
3.若双曲线的两准线把焦点所连线段三等分,则离心率是 ________
复习:
椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
5 或k＞ 5 ； 2 2 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； 且k 1 2 2 (3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 2
(1)没有公共点; (1)k＜
；
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
5 (5)与左支交于两点. k 1 2
判断直线与双曲线位置关系
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条0) 与直线 l : x y 1 例5、设双曲线C： 2 a 相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA PB, 求a的值。 12
双曲线的性质(三)
双曲线的第二定义，
平 面 内 与一 个 定 点 的 距 离 和它 到一 条
的点的轨迹。
c 定直线的距离 的 比 是 常 数e (e 1) a
定点称为双曲线的焦点 定直线称为双曲线的准线
a2 a2 左准线: x 、右准线: x c c
x2 y 2 1.已知双曲线 1上有一点P到左准线的距离为8， 16 9 则P到右焦点的距离是 ________
x2 y 2 例3、在 1上求一点，使它到直线l：x y 3 0 25 9 的距离最短，并求这个最短距离。
x y 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. （ 1， 1）
。
2
2
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1、已知双曲线x2 y 2 4, 直线l过点（ P 0，-1）, 求直线的斜率k的值,使直线与双曲线满足：
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
②一点: A、直线与渐近线平行 B、相切△=0
③相离:
△＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
x2 y 2 例2、过点（ P 2，-2）的直线被双曲线 1截得的弦 8 4 MN的中点恰好为点P，求直线MN的方程。
（2）求弦MN的长
变式. 直线y=x-1被双曲线2x2 y 2 3所截得的中点坐标是 ___
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
一、直线与双曲线的位置关系:
①相交两点: 系数不为0， △＞0 同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称
5.设而不求(韦达定理、点差法)