2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第四章三角函数解三角形4.1

π A.6 π B.3 C.3 D. 3
答案 解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2π 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝ ， 3 作OM⊥AB,垂足为M， π 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝ ， 3 3 ∴AM＝ 2 r，AB＝ 3r，∴l＝ 3r， 3r l 由弧长公式得 α＝r＝ r ＝ 3.
题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用
例3 (1)(2016· 广州模拟)若角 θ 的终边经过点 P(－ 3，m)(m≠0)且 sin θ 6 2 －4 ＝ 4 m，则 cos θ 的值为________. 答案 解析
由题意知 r＝ 3＋m2，
2 m ∴sin θ＝ 2＝ 4 m， 3＋m ∵m≠0，∴m＝± 5，∴r＝ 3＋m2＝2 2，
数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.
(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周
期性写出角的范围.
跟踪训练3 (1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α >0.则实数a的取值范围是
答案 解析
A.(－2,3]
B.(－2,3)
C.[－2,3)
答案 解析
6π θ 2π 2kπ ∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)，∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)，
2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ≤2π，k∈Z，∴－7≤k≤ 7 ，
2π 20π 34π θ ∴k＝0,1,2，即在[ 0,2π] 内与3角的终边相同的角为 7 ， 21 ， 21 共三个.
圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位 置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心 → 的坐标为________________. (2－sin 2,1－cos 2) 几何画板展示 位于C(2,1)时， OP π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 3 3 (2)(2017· 合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为___________________.
答案 解析
1 作直线x＝ －2 交单位圆于C、D两点，
连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影
部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为
2 4 {α|2kπ＋3π≤α≤2kπ＋3π，k∈Z}.
思想与方法系列6
数形结合思想在三角函数中的应用
典例
(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位
知识拓展
1.三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则
y x y 则 sin α＝r ，cos α＝r ，tan α＝x(x≠0).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) π )，则tan α>α>sin α.( (5)若α∈(0， √ ) 2 (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
R ___ π α|α≠kπ＋2，k∈Z} tan α { _________________
4.三角函数线
几何画板展示
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M， 过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角 函数 线 有向线段 MP为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向 线段 AT 为正切线.
π 5 (2kπ＋4，2kπ＋6π)(k∈Z) 用集合可表示为______________________.
答案 解析
π 5 在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为4，6π，
π 5 ∴所求角的集合为2kπ＋4，2kπ＋6π (k∈Z).
思维升华
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出
与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值
来求得所需的角.
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在
的象限时，只需把这个角写成 [0,2π)范围内的一个角 α与2π的整数倍的
和，然后判断角α的象限.
－ 3 6 ∴cos θ＝ ＝－ 4 . 2 2
(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 2π 弧长到达Q点，则Q点 3 的坐标为 答案 解析
1 A.－ ， 2
3 2 3 2
B. － D. －
3 1 ，－ 2 2 3 1 ， 2 2
1 1 2 1 5 10 S＝2lr＝2αr ＝2×9π×4＝ 9 π.
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的
弧度数. 解答 由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
1 1 S＝2l· r＝2(20－2r)· r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
l 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝r＝2(rad).
跟踪训练1
答案 解析
π {α|α＝3＋kπ，k∈Z} (1)终边在直线y＝ 3x上的角的集合是__________________.
π 在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角为3， π ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝3＋kπ，k∈Z}.
6π (2)(2017· 广州调研)若角 θ 的终边与 7 角的终边相同， 则在[ 0,2π] 内终边 θ 3 与3角的终边相同的角的个数为________.
答案
解析
1 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥2.
几何画板展示
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z).
题型分类
深度剖析
题型一 角及其表示 例1 (1)若α＝k· 180°＋45°(k∈Z)，则α在 答案 A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 B.第一或第二象限 D.第三或第四象限
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 一条射线 绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所成的 图形 ；②分类：角按旋转方向分为 正角 、
负角 和 零角 .
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是 360°＋α，k∈Z} . S＝ {β|β＝k· (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴 重合，
答案
解析
sin x>1， 2 2sin x－1>0， 要使原函数有意义，必须有 即 1 1－2cos x≥0， cos x≤2，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，
π 5π 由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋3，2kπ＋ 6 ) (k∈Z).
思维升华
(1) 利用三角函数的定义，已知角 α终边上一点 P的坐标可求 α的三角函
解析
当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n· 180°＋45°＝n· 360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)· 180°＋45°＝n· 360°＋225°，α为
第三象限角.
所以α为第一或第三象限角.故选A.
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终
边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
2.弧度制
(1)定义：把长度等于 半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
180 π π . 180 (2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π rad,1°＝ rad，1 rad＝ 1 1 2 | α |· r lr r ，扇形的面积公式：S＝ 2 ＝ 2 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|· .
题型二 弧度制
例2 (1)(2016· 成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其
解析
2 答案 圆心角的弧度数是________.
设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，
∴正方形边长为 2r，
2r ∴圆心角的弧度数是 r ＝ 2.
(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； 解答
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
思维升华
应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用 配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三 角形.
考点自测
Байду номын сангаас
1.角－870°的终边所在的象限是 答案
解析
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，
在第三象限.
2.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M(1，y)，则sin α等于 2 3 3 2 2 答案 解析 A. 2 B.± 2 C. 2 D.± 2