第二章第6讲 对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数2.指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)(log29)·(log 34)＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D.原式＝ln 9ln 2·ln 4ln 3＝4.(教材习题改编)函数y ＝log2x 2的大致图象是( )解析：选D.法一：f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )． 所以y ＝log 2x 2的图象关于y 轴对称，故选D.法二：y ＝log 2x 2＝2log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2log 2x ，x >0，2log 2(－x )，x <0.作出图象可知选D.(教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)(教材习题改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)函数y ＝log0.5(4x －3)的定义域为________． 解析：要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0log 0.5(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>04x －3≤1. 解之得34<x ≤1.答案：(34，1]对数式的化简与求值[典例引领](1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．(2)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．(3)(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________．【解析】 (1)2a＋2－a＝2log 43＋2－log 43＝2log 23＋2log 213＝3＋13＝433. (2)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.(3)原式＝(log 62)2＋log 62·(2－log 62)2log 62＝2log 622log 62＝1.【答案】 (1)433(2)10 (3)1对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．[通关练习]1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 4 83＝y 得x ＝log 23，y ＝log 4 83＝12log 2 83，所以x ＋2y ＝log 23＋log 2 83＝log 28＝3.答案：32．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用[典例引领](1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)【解析】 (1)由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1. (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．【答案】 (1)D (2)B对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[通关练习]1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()解析：选C．函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C．2．若不等式(x－1)2<log a x在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝log a x图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，所以1<a≤2，即实数a的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)解对数不等式；(3)与对数函数有关的复合函数问题．[典例引领]角度一比较对数值的大小(1)(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C(2)A 角度二 解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.故选C ． 【答案】C角度三 与对数函数有关的复合函数问题已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1， 所以a ∈(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤[通关练习]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.对数函数图象的画法画对数函数y ＝log a x 的图象应抓住三个关键点：(a ，1)，(1，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1.对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．解决与对数函数有关问题时应关注两点 (1)务必先研究函数的定义域；(2)务必要注意对数底数的取值范围，即注意底数a 与1的大小关系．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选C ．要使函数有意义，(log 2x )2－1>0， 即log 2x >1或log 2x <－1， 所以x >2或0<x <12，即函数f (x )的定义域为(0，12)∪(2，＋∞)．2．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A ．由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．3．设a ＝log 510，b ＝log 612，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D.因为a ＝log 510＝1＋log 52，b ＝log 612＝1＋log 62，c ＝log 714＝1＋log 72，又0<log 25<log 26<log 27，所以log 52>log 62>log 72>0，所以a >b >c ，故选D.4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A ．由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.5．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A ．24B ．22C ．14D ．12解析：选A ．因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24.故选A ． 6．lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1327．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤48．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0成立的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1，1)．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1，1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1， 解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0，1)．1．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋2，则f (1e )＋f (－1e )的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选B ．因为函数g (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x是奇函数，所以g (1e )＋g (－1e )＝0，则f (1e )＋f (－1e )＝g (1e )＋2＋g (－1e)＋2＝4.故选B ． 2．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C ．当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C ．3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，13D ．(3，＋∞)解析：选D.由于a >0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，所以a －3>0，即a >3.4．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________． 解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝(1－a )(a －1)a＜0， 故1－a ＜1a－1， 所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23. 答案：235．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12(－x )，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|＜4， 解得－5＜x ＜5，即不等式的解集为(－5，5)．6．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0.当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)．(2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.。