线性代数 第二章总结

第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。

本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。

本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。

§ 1 矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义 由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个m ×n 矩阵，其中ij a 表示位于数表中第i 行第j 列的数（m i ,,2,1 =；n j ,2,1=）。

ij a 又称为矩阵的元素。

规定，1×1矩阵 a a =)(。

矩阵也可表示为)(ij a 或n m ij a ⨯)( 。

如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A ，B ，...，或n m A ⨯，n m B ⨯，...。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。

若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。

矩阵A =()n m ij a ⨯，B =()n m ij b ⨯是同型矩阵。

若它们的对应元素相等，即ij ij b a = ()n j m i 2,1;2,1== 那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记作：A = B 。

2．特殊矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。

如一个n m ⨯的零矩阵为nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000记为0n m ⨯。

在不会引起混淆的情形下，也可记为0。

行矩阵 仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量)，如 A =()n a a a 11211 也记为 A =()n a a a 11211 , , ,列矩阵 仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量)，如A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12111n a a a方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n ⨯n 方阵，常称为n 阶方阵或n 阶矩阵，简记为A =()nija 。

在n 阶方阵中，过11a ，22a ，, nn a 元素的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元素称为主对角元。

对角矩阵 主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。

如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21。

矩阵Λ中未写出来的元素为0。

单位矩阵 主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

简记为E 或I 。

有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处，如nn E ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111表示n 阶单位矩阵。

数量矩阵 主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。

如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c。

三角矩阵 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 22211211为n 阶上三角矩阵；⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111为n 阶下三角矩阵。

二、例题分析矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中，都有广泛的应用。

下面举几个例子，说明矩阵概念的实际背景。

例1 在国民经济的数学问题中，常常用到矩阵。

例如，假设要将某种物资从m 个产地C 1，C 2，...，C m 运往n 个销地B 1，B 2，...，B n 。

如果用ij p 表示由产地C i （m i ,,2,1 =）运到销地B j （n j ,,2,1 =）的数量，那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n P p p P p p P p p212222111211 。

例2 在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。

例如，平面直角坐标系的旋转变换为⎩⎨⎧+=-=θθθθcos 'sin 'sin 'cos 'y x y y x x其中θ为x 轴与x ′轴的交角。

显然，新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos完全确定，它称为上述坐标变换的矩阵。

例3 n 个变量n x x x ,,,21 与m 个变量m y y y ,,,21 之间的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmn m m m nn n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111表示一个从变量n x x x ,,,21 到变量m y y y ,,,21 的线性变换，其中ij a 为常数。

线性变换（2.2）的系数ij a 构成矩阵 A =n m ij a ⨯)(三、小结矩阵的实质：矩阵n m ij a ⨯)(是由 m 行n 列元素组成的一个数表。

矩阵与行列式在形式上有些类似，但在意义上完全不同。

一个n 阶行列式是由n 行n 列元素表示的一个算式，计算结果是一个数；而n m ⨯矩阵是由m 行n 列元素表示的一个数表，这里可以有n m ≠的情况。

§ 2 矩阵的运算一、内容提要1．矩阵的加法设A =n m ij a ⨯)(与B =n m ij b ⨯)(是两个同型矩阵，那么矩阵A 与B 的和记作A +B ，规定为nm b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A mn mn m m m m n n n n ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+221122222221211112121111 矩阵的加法满足下面的运算规律：（1） 交换律：A B B A +=+ ；（2） 结合律：C B A C B A ++=++)()(。

A 的负矩阵为 –A ，即 )(ij a A -=- 2．矩阵的减法)(B A B A -+=-。

3．数乘矩阵法 数λ与矩阵()nm ija A ⨯=的乘积记作A λ或A λ,规定为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==mn m m n n a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλ212222111211。

数乘运算有下面的运算规律： （1）)()(A A μλλμ=； （2）A A A μλμλ+=+)( ; （3）λ(A +B ) =λA +μB 。

4．矩阵与矩阵的乘法设A =()s m ij a ⨯，B =()n s ij b ⨯，那么规定A 与B 的乘积是一个n m ⨯矩阵C =()nm ijc ⨯。

其中 ∑==+++=sk kjik sj is j i j i ij b ab a b a b ac 12211 ， ; ,,2,1(m i =),,2,1n j =。

并把此乘积记作C =AB 。

矩阵乘法满足下列运算规律（假设下列运算都是可行的）： （1） 结合律：)()(BC A C AB =; （2） 左分配律：AC AB C B A +=+)(； 右分配律：CA BA A C B +=+)(； （3）)()()(B A B A AB λλλ==；（R ∈λ） （4） 设A 是s m ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，则 A A E m = , A AE s = , AB B AE s = 。

n 阶方阵的幂：设A 是n 阶方阵，规定kl l k l k l k k k A ) (A A A A A A A A AA E A =====++, ,, ,, 120 。

其中，k ，l 为正整数。

5．矩阵的转置把矩阵A 的行换成同序数的列得到新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA 。

矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）： （1）A A T T =)(； （2）T T TB A B A +=+)(； （3）T T A A λλ=)(； （4）T T T A B AB =)(。

推广到s 个矩阵乘积为：T T s T s T s A A A A A A 1121)( -=。

6．方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做A 的行列式，记作A 。

由方阵A 确定的行列式A 满足下列运算规律（设A 、B 为n 阶方阵，λ为数）：（1）A A T = ；（2）A A n λλ= ； （3）B A AB ⋅= 。

7．共轭矩阵当A =)(ij a 为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记 )(ij a A =。

A 称为A 的共轭矩阵。

共轭矩阵满足下列运算规律（设A ，B 为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）B A B A +=+ ； （2）A A λλ= ； （3）B A AB = 。

8．常用结论（1）n 阶方阵A 满足，A A T =，则称A 为对称矩阵； （2）n 阶方阵A 满足，A A T -=，则称A 为反对称矩阵。

n 阶矩阵A 为对称矩阵的充分必要条件是ji ij a a =。

n 阶矩阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是ji ij a a -=。

当i=j 时，0=ii a ， （3）若AB = BA ，则称A 与B 可交换。

（4）设对角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λλλ21 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn n n n λλλλλλλλλ212121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn λλλ 21。

二、例题分析矩阵的加法、减法和数乘法（即矩阵的线性运算）与数的线性运算没有质的改变，只有量的不同。

例4 设 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1203 ，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2212 ，且2A –3X = B ，求矩阵X 。

解 在2A –3X = B 两端同加上（–2A ）得， B A X +-=-23。

两端同时除以)3(-得，)2(31B A X +--=B A 3132-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221231120332⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023138矩阵与矩阵的乘法与数的乘法却有着质的不同。

例5 设某地区有甲、乙两个工厂，每个工厂都生产“Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ”3 种产品。

已知每个工厂的年产量（单位：个）如表 1 所示，每种产品的单价（元/个）和单位利润（元/个）如表 2 所示。

求各工厂的总收入与总利润。

表1 表2工厂 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 产品 单价 单位利润 甲 11a 12a 13a Ⅰ 11b 12b 乙 21a 22a 23a Ⅱ 21b 22b Ⅲ 31b 32b 解 表1、表2可以分别用下列矩阵表示：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211b bb b b b B 容易理解各工厂的总收入与总利润构成的矩阵就是AB C =。