10年高考题之直线与圆的方程锦集
高考数学直线与圆的方程复习题及答案
高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
十年高考理科数学真题 专题九 解析几何 二十五 直线与圆及答案(优质)
专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆2019年1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）652.（2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.2010-2018年2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8] C． D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ． 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 C．3 D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．1123⎛⎤-⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或(1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞-∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 31．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3)B ．(3-，0)U (0，3)C ．[D ．(-∞，-U ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x - D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NAMANB MB =； ②2NBMANA MB -=； ③22NBMANA MB +=．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为3C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__．48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ．三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. ylO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)6直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆答案部分2019年1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=． 则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析 解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于0004(,)x x x +， 由20411x-=-，解得000)x x =>． 所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x = 所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4.3.解析 解法一：（1）过A作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径r ==． 解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-u u u r ，(0,1)AB =-u u u r ，(2,0)AD =u u u r，由AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x y -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 2OMN '∠=<，则45OMN '∠<o ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a, b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,3A B ,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。
高考数学阶段复习：直线和圆的方程
高考数学阶段复习：直线和圆的方程1. 已知12,l l 是曲线C ：1y x =的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 42. 双曲线221916x y -=的顶点到渐近线的距离为（ ） A. 95B. 125C. 165D. 1853. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情况都有可能4. 若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数a 的取值X 围是（ ）A. (,2)-∞-B. 2(,0)3-C. (2,0)-D. 2(2,)3--5. 已知圆面222:()1C x a y a -+≤-的面积为S ，平面区域:24D x y +≤与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值X 围是（ ） A. (,2)-∞ B. (,0)(0,)-∞⋃+∞C. (1,1)- D. (,1)(1,2)-∞-⋃6. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为________． 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=，若PQ PM PN =+，则||PQ 的最小值为__________．8. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，点A 、B 、C 在抛物线上，并且满足0AF BF CF ++=，又||AF 、||BF 、||CF 依次成等差数列，若B 位于抛物线的对称轴的下方，则直线AC 的方程为_______．9. 已知椭圆2214x y +=，过点(,0)M m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆于A ，B 两点．若M 为圆外一动点，则AB 的最大值为_________．10. 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，过点1(2,)2M -作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线FA ，FM ，FB 的斜率分别为123,,k k k ，若123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则直线l 的方程是_________． 试卷答案1. 答案：C 分析：设第一象限的切点坐标为1(,)t t，根据曲线的对称性， 曲线在第三象限的切点坐标为1(,)t t--， 此时两条切线方程分别为212y x t t =-+，212y x t t=--，两直线之间的距离4d ==≤=， 当且仅当1t =时等号成立．2. 答案：B 分析：利用点到直线的距离公式求解．双曲线221916x y -=的一个顶点(3,0)到一条渐近线43y x =，即430x y -=的距离为125，故选B ．3. 答案：A 分析：由已知得 12c e a ==，则 2a c =． 又 12b x x a +=-， 12c x x a =-， 所以 222222221212122222222()22b c b ca b a a x x x x x x a a a a a +++=+-=+==<=， 因此点12(,)P x x 必在圆222x y += 内．4. 答案：D分析：由题意知， 22244(21)0a a a a +-+->，化简得 23440a a +-<，解得 223a -<<． 5. 答案：A6. 分析：因为双曲线的渐近线方程为 b y x a =±，不妨设b k a = ，则 0k >， 因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+= 相切，1= ，解得k =，即 b a =，所以3c e a ====7. 答案：分析：设M ，N 及B 的坐标为11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)B x y ， 由0PM PN ⋅=，得12121212()2()50x x y y x x y y +-+-++=，又221116x y +=，222216x y +=，122x x x +=，122y y y +=， 代入得221122x y x y +--=，即22127()(1)221x y -+-=，∴B 的轨迹为一周，故min ||PB =，∴||||2||PQ MN PB ==的最小值=．8. 答案：210x y --=分析：因为0AF BF CF ++=，所以3A B C x x x ++=，且F 为ABC ∆的重心， 又||,||,||AF BF CF 成等差数列，结合抛物线的定义，有2(1)11B A C x x x +=+++，所以2B A C x x x =+，所以1B x =，所以(1,2)B -，所以AC 中点的坐标为(1,1)．因为2244A A C Cy x y x ⎧=⎨=⎩， 所以42A C A C A Cy y x x y y -==-+， 所以直线AC 的方程为210x y --=．9. 答案：2分析：由题意知， ||1m >．设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，22222(14)8440k x k mx k m +-+-= ， 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 则2122814k m x x k +=+ ， 221224414k m x x k -=+， 又l 与圆 221x y +=相切，1= ， 即 2221m k k =+．所以||2||||AB m m ===≤+ ， 当且仅当m =||AB 的最大值为2．10. 答案：210x y +-=或3440x y +-=分析：抛物线2:4C x y = 的焦点为 (0,1)F ．设直线l 的方程为 1(2)2y k x +=-，1122(,),(,)A x y B x y ， 由21(2)24y k x x y⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ ， 得 24820x kx k -++=， 故1212482x x k x x k +=⎧⎨=+⎩ ， 2164(82)0k k ∆=-+>，所以k <或k > ． 又123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则 1322k k k +=． 而 1221122113121211y y x y x y x x k k x x x x --+--+=+= 222112211244x x x x x x x x +--= 121212(1)()4x x x x x x -+= 282(1)4448241k k k k k k +-⋅-==++． 21132204k --==--， 所以 243412k k k -=-+，281030k k ++= ， 解得12k =-或34k =-． 所以直线l 的方程为11(2)22y x +=--或13(2)24y x +=--， 即 210x y +-=或3440x y +-=．。
高考真题第十一篇直线和圆的方程
高考真题第十一篇直线和圆的方程2019年1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）（B ） （C ） （D ） 2.（2019江苏10）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______.2010-2018年x =1+3ty =2+4tìíî15254565xOy 4(0)y x x x=+>C (0,)m r 230x y -+=C (2,1)A --m r2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y --=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．22⎡-⎢⎣⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π，15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A． B． C． D．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．B ．C ．D ．19．（2013重庆）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A ． BC ．D20．（2013安徽）直线被圆截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点；；，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是()2211x y -+=230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=,M N12,C C P x PM PN +416-250x y +-+=22240x y x y +--=()1,0A -()1,0B ()0,1C y ax b =+(0)a >ABCbA ．B ．C ．D ． 22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则A ．B ．1C ．2D ．24．（2013广东）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是A ．B ．C ．D ．25．（2013新课标2）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为A ．或1y x =-+B ．或C ．或D ．或 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞-∞ C．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞(0,1)1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭221:O x y +=225(1)x y +=-10ax y -+=a =12-121y x =+221x y +=0x y +=10x y ++=10xy +-=0x y +=2:4C y x =F l F C A B ||3||AF BF =l 1yx =-(1)3y x =-(1)3yx =--1)yx =-1)yx =-(1)2yx =-(1)2y x =--28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于A ．B ．C D ．30．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．(3-3) B ．(3-，0)(0，3)C ．[D ．(-∞， +∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y x C ．22+y =0x x - D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=xOy 3450x y +-=224x y +=,A B AB 1上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅰ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x 02=-+y ax C ()()4122=-+-a y x B A ，ABC ∆=a43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ） ； （Ⅱ） .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆：，直线：()．设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？(2,0)A -M b =λ=O 225x y +=l cos sin 1x y θθ+=π02θ<<O l k k =OA 34tan =∠BCO53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C 的半径为1，圆心在上.（I）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（II）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．54．(2013新课标2)在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I）求圆心的轨迹方程；（II）若点到直线的距离为，求圆的方程．55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy中，曲线261y x x=-+与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线0x y a-+=交于A，B两点，且,OA OB⊥求a的值．56．（2010北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，，xOy()03A,24l y x=-：lC1y x=-A CC M2MA MO=C axOy P x y PP y x=2P椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P．直线y t（I）求椭圆C的方程；（II）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；Q x y是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．（Ⅲ）设(,)答案部分 2019年1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为． 则点（1，0）到直线l 的距离是．故选D ．2. 解析 解法一：由，得， 设斜率为的直线与曲线切于，由，解得． 所以曲线上，点到直线的距离最小，． 解法二：由题意可设点的坐标为，则点到直线的距离 ，当且仅当所以点到直线的距离的最小值为4. 3.解析 解法一：（1）过A 作，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，.' 因为PB ⊥AB ，所以. 4320x y -+=65d ==4(0)y x x x =+>241y x'=-1-4(0)y x x x=+>0004(,)x x x +20411x -=-000)x x =>4(0)y x x x=+>P 0x y +=4=P 4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >P 0x y +=222224x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=x =P 0x y +=AE BD ⊥6, 8DE BE AC AE CD =====84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知，从而，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15， 此时； 当∠OBP >90°时，在中，. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O12154cos 5BD PB PBD ===∠10AD ==2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅1P 1PB AB ⊥1P 11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=1PPB △115PB PB >=CQ ===的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为， 直线PB 的方程为.所以P （−13，9），. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：. 在线段AD 上取点M （3，），因为，3443-42533y x =--15PB ==36(44)4y x x =-+-1545OM =<=所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，此时（−13，9）； 当∠OBP >90°时，在中，. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由，得a =，所以Q （，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得． 所以圆心为（0，-2），则半径．1P 1PB AB ⊥1P 1P 1PPB △115PB PB >=15(4)AQ a ==>4+4+4+4(13)17PQ =+-=+17+1122m +=-2m =-22(20)(12)5r =--+-+=解法二：由，得，所以2010-2018年1．A【解析】圆心(2,0)到直线的距离d==所以点P到直线的距离1d∈．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(2,0)A-，(0,2)B-，所以||AB=所以ABP∆的面积111||2S AB d==．因为1d∈，所以[2,6]S∈，即ABP∆面积的取值范围是[2,6]．故选A．2．12【解析】直线的普通方程为20x y+-=，圆的标准方程为22(1)1x y-+=，圆心为(1,0)C，半径为1，点C到直线20x y+-=的距离2d==以||AB==11222ABCS∆==．3．C【解析】由题意可得d====（其中cosϕ=，sinϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d≤1=+∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，r==2m=-r==所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．x7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c ，=所以c =故所求直线的方程为250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =，过点M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．C 22(2)(1)4x y -+-=(2,1)C 2r =2110a +⨯-=1a =-(4,1)A --6AB ===14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．20．C 【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.21．B 【解析】（1）当过与的中点时，符合要求，此， (1,2)d=r=4=y ax b =+()1,0A -BC D 13b =（2）当位于②位置时,， 令得,∵,∴ (3) 当位于③位置时,， 令,即，化简得,∵, ∴，解得综上：，选B 22．B 【解析】点M(a , b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C 【解析】设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心．因为直线与直线垂直，所以， 即，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于y ax b =+1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭1112A BD S ∆=212b a b=-0a >12b <y ax b =+21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭2212A CD S ∆=()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭22241a b b -=-+0a >22410b b -+<1122b -<<+1122b -<<k 2(2)y k x -=-220kx y k -+-=(1,0)==12k =-10ax y -+=112k a =-=-2a =1r =()0y x k k =-+>，求得25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =，当1x =3时，， 所以此时，若，则, 此时此时直线方程为。
高考数学方法技巧专题06 直线与圆问题(解析版)
方法技巧专题6直线与圆问题二、直线与圆的方程问题3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线21,l l 的斜率21,k k 存在，则1,//21212121-=⇔⊥=⇔k k l l k k l l ;若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.1.例题【例1】设R ∈λ，则“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当3-=λ时，两条直线的方程分别为0223,0146=-+=++y x y x ，此时两条直线平行；若两条直线平行，则)1(6)1(2λλλ--=-⨯，所以3-=λ或1=λ，经检验，两者均符合；综上：“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【例2】过点（1，2）的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，直线l 的方程为（）A.042=-+y x B.05-2y x =+ C.03=-+y x D.0832=-+y x 【解析】设l 的方程为)0,0(1>>=+b a b y a x ，则有121=+b a ，因为0,0>>b a ，所以ab b a 2221≥+，即ab 221≥，所以8≥ab ，当且仅当2121==b a ，即4,2==b a 时，取“=”.即当4,2==b a 时，OAB ∆的面积最小.此时l 的方程为142=+yx ，即042=-+y x .故选A.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】若两平行直线)0(02:1>=+-m m y x l 与062:2=-+ny x l 之间的距离是5，则=+n m （）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因为21,l l 平行，所以m n ⨯≠-⨯-⨯=⨯2)6(1),2(21，解得3,4-≠-=m n ，所以直线2l 的方程是032=--y x ，又21,l l 之间的距离是5，所以5413=++m ，解得m =2或m =-8（舍去），所以2-=+n m ，故选C.【答案】C【练习2】直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OB OA +最小时，l 的方程为.【解析】经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为)0<k k （，则直线l 的方程为)1(4-=-x k y ，令y=0得)0,41(kA -，令x=0得)4,0(k B -，则945)4(5)4(5)4(41(=+≥-+-+=+-=-+-=+k k k k k k OB OA ，当且仅当kk -=-4，即2-=k 时，OB OA +取得最小值.此时l 的方程为062=-+y x .【答案】062=-+y x1.例题【例1】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点)5,0(M 在圆C 上，且圆心到直线02=-y x 的距离为554，则圆C 的方程为.【解析】设圆心为)0)(0,(>a a ，则圆心到直线02=-y x 的距离5541402=+-=a d ，解得2=a ，半径3)50()0(22=-+-=a r ，所以圆C 的方程为9)2(22=+-y x .【答案】9)2(22=+-y x 【例2】圆心为点()4,7C ，并且截直线3410x y -+=所得的弦长为8的圆的方程（）A ．()224(7)5x y -+-=B ．()224(7)25x y -+-=C ．()227(4)5x y -+-=D ．()227(4)25x y -+-=【答案】B【解析】圆心到直线的距离d 3==，在直线3410x y -+=上截的的弦长为8∴圆的半径5r ==∴圆的方程为()()224725x y -+-=故选：B2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1，0）且被x 轴分成两段弧长比为1：2，则圆C 的方程为（）A.34)33(22=+±y x B.31)33(22=+±y x C.3433(22=±+y x D.31)33(22=±+y x【解析】由题意知圆心在y 轴上，且被x 所分的劣弧所对的圆心角为32π，设圆心为),0(a ，半径为r ，则a r r ==3cos ,13sinππ，解得332=r ，即33342==a r ，，则33±=a ，故圆C 的方程为34)33(22=±+y x .【答案】C【练习2】以(1,0)C -为圆心，并且与圆22430x y x +-+=外切的圆的方程是()A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)2x y -+=D ．22(1)4x y -+=【答案】B【解析】根据题意，设圆C 的半径为R ，圆22430x y x +-+=，即()2221x y -+=，其圆心为()2,0，半径1r =，设()2,0M ，若圆C 与圆M 外切，则有3R r MC +==，则2R =，则所求圆的方程为()2214x y ++=；故选：B ．1、直线与圆的位置关系的判断直线0:=++C By Ax l （A ，B 不全为0）与圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的位置关系的判断方法有：（1）几何法：圆心),(b a 到直线0:=++C By Ax l 的距离为d ，⇔<r d 直线与圆相交；⇔=r d 直线与圆相切；⇔>r d 直线与圆相离.（2）代数法：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0rb y a x C By Ax 消元，得到的一元二次方程的判别式为∆，则⇔>∆0直线与圆相交；⇔=∆0直线与圆相切；⇔<∆0直线与圆相离.1.例题【例1】已知圆m y x -=-++2)1()1(22截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数=m （）A.2- B.4- C.6- D.8-【解析】圆心)1,1(-到直线02=++y x 的距离为2=d ，由弦长公式得4)2()2(22=--m 解得4-=m ，故选B.【答案】B【例2】若直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，则点P （a ，b ）与圆x 2+y 2＝1的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【解析】根据题意，直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax +by ＝1的距离dr ＝1，变形可得a 2+b 2＞1，则点P （a ，b ）在圆x 2+y 2＝1的外部；故选：B ．【例3】若圆C ：x 2+y 2＝5﹣m 与圆E ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16有三条公切线，则m 的值为（）A ．2B ．C ．4D ．6【解析】若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆E （3，4），半径R ＝4，圆C （0，0），半径r ，则|EC |＝45，即1，得5﹣m ＝1，则m ＝4，故选：C ．【例4】已知圆02:221=+-+y kx y x C 与圆04:222=-++ky y x C 的公共弦所在直线恒过定点),(b a P ，且点P 在直线02=--ny mx 上，则mn 的取值范围是（）A.），（410 B.]410，（ C.），（41∞- D.]41，（∞-【解析】将0222=+-+y kx y x 与0422=-++ky y x 相减，得公共弦所在的直线方程为04)2(=--+y k kx ，即0)42()(=+-+y y x k ，由⎩⎨⎧=+=+0042y x y 得⎩⎨⎧-==22y x ，所以定点为），（22-P ，因此0222=-+n m ，所以414)(12=+≤=+n m mn n m ，，故选D.【答案】D【例5】已知点M （3，1）及圆4)2()1(22=-+-y x ，则过点M 的圆的切线方程为.【解析】由题意得圆心C （1，2），半径2=r ，当直线的斜率不存在时，方程为3=x ,由圆心C （1，2）到直线3=x 的距离r d ==-=213知，这条直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为)3(1-=-x k y ，即031=-+-k y kx ，因为相切，所以213122=+-+-k kk ，解得43=k ，故方程为)3(431-=-x y ，即0543=--y x ；综上所述：过点M 的圆的切线方程为3=x 或0543=--y x .【答案】3=x 或0543=--y x 【练习1】已知直线03=-+m y x 与圆2:22=+y x C 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，且=+，则实数m 的值为.2==，可知ABC ∆为等腰直角三角形，则点O 到AB 所在直线的距离为1.由1231==+-m m ，得2±=m .【答案】2±【练习2】已知两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，l 2与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝（）A．B．C．D．【解析】根据题意，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，则圆心C 到直线l 1的距离为2，又由两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，则圆心C 到直线l 2的距离d ＝2﹣1＝1，则|AB |＝22；故选：D ．【练习3】若直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，则a 的值为（）A ．﹣7或﹣1B ．7或1C ．7或﹣1D ．﹣7或1【解析】圆心为C （0，4），半径R ＝2，∵直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝R 2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故选：A．【练习4】已知圆x2+y2＝1的圆心为O，点P是直线l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的动点，若该圆上存在点Q 使得∠QPO＝30°，则实数m的最大值为【解析】直线l的方程可化为（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直线l过定点（﹣3，﹣2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以OP2，解得，故填：4【练习5】过直线l：y＝x﹣2上任意点P作圆C：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为．【解答】如图，要使切线长最小，则|OP |最小，过O 作直线y ＝x ﹣2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|，∴A ，B 为圆C ：x 2+y 2＝1与两坐标轴的交点，则PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90°，∴△PAB 的面积为．故答案为：．1．已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直线l 方程可整理为：10kx y k -++=由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l的距离：d ===若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则d ==又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号）2121k k∴+≤+则d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交方法二：因为直线:1(1)l y k x -=+过定点（-1,1），点（-1,1）在圆22:4C x y +=内，所以直线:1(1)l y k x -=+与圆22:4C x y +=相交。
2010年高考数学试题分类考点21 直线与圆
考点21 直线与圆1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题.【思路点拨】可设所求直线方程为20x y c -+=，代入点（1，0）得c 值，进而得直线方程.【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）(A)22(5)5x y -+= (B)22(5)5x y ++=(C)22(5)5x y -+= (D)22(5)5x y ++=【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D .设圆心为(,0)(0)a a <，则2220512a r +⨯==+，解得5a =-，所以所求圆的方程为：22(5)5x y ++=，故选D .3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)． 则圆C 的方程为 .【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键. 【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在线段AB 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，AB 的中垂线为3x =，联立半径2r CA ==22(3)2x y -+=.【答案】22(3)2x y -+=4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】设圆心坐标为(,0)a ，则022a +=，解得2a =±，又圆心位于y 轴左侧，所以2a =-.故圆O 的方程为22(2)2x y ++=. 【答案】22(2)2x y ++=5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切.则圆C 的方程为【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系. 【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故22r ==，所以圆的方程为2x+1y 2+=2（）. 【答案】2x+1y 2+=2（） 6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c 的取值范围.【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2， 圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1, 问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.1,13,1313.c c <<∴-<<【答案】1313c -<<7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=. 【答案】22(3)4x y -+=【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 . 【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1”；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.【规范解答】设PQ 的垂直平分线的斜率为k ，则k ·ab ba ----33=-1，∴k=-1，而且PQ 的中点坐标是(23b a -+ ,23b a +-)，∴l 的方程为：y-23b a +-=-1·(x-23b a -+ )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x 2+(y-1)2=1. 【答案】-1 x 2+(y-1)2=1【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c 的对称点是(b-c,a+c).10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】（1）设出点P 的坐标，利用AP 与BP 的斜率之积为13-，可得到点P 的轨迹方程.（2）方法一：设出00(,)P x y ，把PAB ∆和PMN ∆的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB 与△PMN 的面积相等转化为||||||||PA PN PM PB =，进而转化为0000|1||3||3||1|x x x x +-=--. 【规范解答】（1）因为点B 与点A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1,1)-.设点P 的坐标为(,)x y ， 由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得 2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±.（2）方法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=--， 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-，于是PMN ∆的面积为2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x S y y x x ∆+-=--=-， 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =， 于是PAB ∆的面积为001||||2PAB S AB d x y ∆==+， 当PABPMN S S ∆∆=时，有20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=-， 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得053x =. 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（方法二：若存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠， 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以0000|1||3||3||1|x x x x +-=--， 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（.。
高考数学复习讲义与习题：直线与圆的方程含详解
则直线 l 的斜率为__________.
变式 2 已知过 A(2,1), B(1, m2) 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数 m 的取值范围是
___________.
例 9.2 已知 O(0, 0), A(1,1), B(1, 1),C(1,1) ， P 点为一动点。
（1）当 P 点在线段 AB 上运动时，求直线 OP 倾斜角的范围 （2）当 P 点在线段 AC 上运动时，求直线 OP 的斜率的范围。
2)
4, ab
2(a
b)
1 1 ab 1 a b ab 2
解法二：由题设可知 AB / / AC ，
即 (a 2, 2) / /(2.b 2) ，即 (a 2)(b 2) 4 。
ab 2(a b) ， 1 1 a b 1 a b ab 2
解法三：由题设可知点
A(2, 2)
(a1, b1), (a2 , b2 )(a1 a2 ) 的直线方程是____________.
解析
解法一：由题设可知所求直线斜率为 k
b2 a2
b1 a1
，且
3a1
3a2
5b1 7 0 5b2 7 0
，
作差得
3(a1
a2 )
5(b1
b2 )
0
，则
3
5k
0
，
k
3 5
。
故所求直线为：
变式 2 直线 l`1 ： 3x y 1 0 ，直线 l`2 过点 (1, 0) ，且它的倾斜角是 l`1 的倾斜角的 2 倍，
则 l`2 的方程为__________.
例 9.5 已知两直线 l`1 : a1x b1 y 7 0 ， l`2 : a2 x b2 y 7 0 都经过点 (3, 5) ，则经过点
高考数学复习--第七章 直线与圆的方程
第七章 直线与圆的方程1、与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ）A 、2条B 、3条C 、4条D 、6条1、C【思路分析】 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为1x y a a+=，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C .【命题分析】 考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.2．己知（－1，0）B （1，－1）C （2，3）。
在△ABC 所在区域内（含边界），P = 5x －y 的最大值是2．解答：P （A ）=－5，P （B ）=6 ，P （C ）=7即填7评析：本题考察线性规划问题3、设全集}06208201243|),{(,},|),{(⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+=∈∈=y x y x y x y x P R y R x y x U ，},|),{(222+∈≤+=R r r y x y x Q ，若⊆Q C U P 恒成立，则实数r 最大值为 . 3、512 【思路分析】 作出集合P 表示的平面区域，易知为使⊆Q C U P 恒成立，必须且只需r ≤原点O 到直线3x+4y -12=0的距离.【命题分析】考查简单的线性规划知识，集合的有关概念，数形结合的思想方法，数学语言的灵活转换能力.4．设集合},),({R y R x y x u ∈∈=，n y x y x B m y x y x A -+=≥+-=),({},02),({ }0>，若点B C A P u I ∈)3,2(，则n m +的最小值为（ ）A ．6-B ．1C ．4D ．54．C 【思路分析】：A P ∈，即：034≥+-m ，∴1-≥m ；B C P u ∈，则032≤-+n ∴5≥n ，得4≥+n m ，故选C.【命题分析】：考查集合的运算，元素与集合的关系，不等式的性质，等价转换的思想方法，思维的灵活性.5、(理)已知函数32)(2-+=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M I 的面积是 A ．2π B ． π C ．π2D ． π4 5、(理) D 【思路分析】： 集合M 即为：8)1()1(22≤+++y x ，集合N 即为：0))(2(≥-++y x y x ，其面积等于半圆面积。
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总题数：22 题第1题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷))题目设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a 的取值范围是( )A．(1,3] B．[2,3]C．(1,2] D．[3，＋∞)答案A 平面区域D如图所示．要使指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，∴1＜a≤3.第2题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷))题目若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )A．－2 B．－1 C．1 D．2答案C 由x＋y有最大值可知m＞0，画出可行域如图．目标函数z＝x＋y，即y＝－x＋z.作出直线y＝－x，平移得A(，)为最优解，所以当x＝，y＝时，x＋y取最大值9，即＋＝9，解得m＝1.第3题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷))题目动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]答案D 由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝，又当t＝0时，A(，)，∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，t＋∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z得t∈[12k－5,12k＋1]，k∈Z，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．第4题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷))题目设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( ) A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3答案A 作出可行域如图．由解得M(3,5)，由解得N(5,3)，而z＝3x－4y的几何意义为直线在x轴上截距的3倍，作直线3x－4y＝0，平移可知：当直线过M点时，目标函数取得最小值，当直线过N点时，目标函数取得最大值．∴z min＝3³3－4³5＝－11，z max＝3³5－4³3＝3.第5题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷))题目直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( ) A．[－，0] B．(－∞，－]∪[0，＋∞)C．[－，] D．[－，0]答案A ∵圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝，∴|MN|＝2≥2，得4k2＋3k ≤0，解得－≤k≤0.第6题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))题目以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0答案D 抛物线的焦点坐标是(1,0)，该点到原点的距离是1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，化为一般方程为x2＋y2－2x＝0，故选D项．第7题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))题目设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )A. B．4 C. D．2答案B 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，观察图形可知，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故D关于直线3x－4y－9＝0对称的点D′(D′在Ω2内)的距离|DD′|最小，D到直线3x－4y－9＝0的距离为＝2，故|AB|min＝|DD′|＝4.第8题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x+3y的最小值为（）A.6B.7C.8D.23答案B解析:本题考查在线性规划可行域约束条件下求目标函数的最值问题.先画出可行域如图所示的三角形ABC,作出直线z＝2x+3y＝0,向可行域方向平移,先交到可行域点A处,点A就是目标函数z＝2x+3y获得最小值的点.求得点A(2,1),于是,z最小值＝2³2+3³1＝7.第9题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切,圆心在直线x+y＝0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y－1)2＝2B.(x－1)2+(y+1)2＝2C.(x－1)2+(y－1)2＝2D.(x+1)2+(y+1)2＝2答案B解析:∵直线x－y＝0与x－y－4＝0平行,∴它们之间的距离即为圆的直径.∴.∴R＝.设圆心坐标为C(a,－a),则满足点C到两条切线的距离都等于半径,∴,,解得a＝1,故圆心为(1,－1),∴圆C的方程为(x－1)2+(y+1)2＝2. 第10题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A.2 000元B.2 200元C.2 400元D.2 800元答案B解析:设甲型货车x辆,乙型货车y辆,所需费用z元,则目标函数z=400x+300y,如图可知,过点A(4,2)时,z max=1 600+600=2 200(元),故选B.第11题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则k的值是（）A. B. C. D.答案A解析:如图所示:由题意知,直线过线段BC的中点M(,),又过(0,),∴.第12题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目设x,y满足约束条件若目标函数z＝ax+by(a＞0,b＞0)的最大值为12,则的最小值为( )A. B. C. D.4答案A解析:线性约束条件所表示的可行域如图所示.由得M(4,6).将z＝ax+by化为.由图知当直线过M(4,6)时,最大,即z最大,此时z max＝12＝4a+6b. ∴..当且仅当时取“＝”.第13题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( )A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元答案D解析:设在这个生产周期内生产甲产品x吨,乙产品y吨,可获得利润z万元,根据题目提供信息,可得其中z=5x+3y，画出可行域（如图）,可得在点(3,4)处得到最大值z max=27. 第14题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离答案B解析：圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为，圆的半径r=1,∴0＜d＜r.∴直线与圆相交但不过圆心.第15题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A. B.2 C. D.答案D解析:利用,易知选D.第16题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0］D.(-2,4)答案B解析:当a=0时,显然符合题意.当a＜0时,,则由图中线①知;当a＞0时,,则由图中线②知.故a∈(-4,2),即选B.第17题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）) 题目设x,y满足则z＝x+y( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值答案B解析:由图象可知z＝x+y在点A处取最小值z min＝2,无最大值.第18题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)题目设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．答案D 解析:y′=,∴曲线在(3,2)处的切线斜率为y′|x=3=-.∵-²(-a)=-1,∴a=-2.第19题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)题目若直线通过点，则（）A． B． C． D．答案D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上,所以直线+=1过点M,只需保证原点到直线的距离≤1,即+≥1. 第20题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)题目设变量满足约束条件：，则的最小值（）A． B． C． D．答案D 解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.第21题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)题目等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C． D．答案A 解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l1:x+y-2=0,k1=-1,l2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.第22题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是(A)0 (B)1 (C) (D)9答案B 解析:上述不等式组所表示的可行域如右图阴影部分所示.令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时, t取最小值,也即t有最小值为0,则z=3x+2y 有最小值为30=1.总题数：22 题第23题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目过直线y=x上的一点作圆（x-5）2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（A）30°（B）45° (C)60° (D)90°C解析:过圆心O′作O′A垂直于直线y=x,垂足为A(3,3).易知过点A向圆所引两条切线是关于直线y=x对称的.又|O′A|=2,|O′C|=,∠O′AC=30°,即两切线l1与l2间夹角为60°.第24题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目设变量x,y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为( )A.2B.3C.4D.5答案答案:D解析:如图,由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即z max=5³1+0=5.第25题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是…( )A.k∈(,)B.k∈(-∞,)∪(,+∞)C.k∈(,)D.k∈(-∞,)∪(,+∞) 答案答案：C解析：充要条件是圆心到直线距离d＞r,d=＞1,∴k2＜3.∴-＜k＜.第26题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目若实数x、y满足则的取值范围是A.(0,1)B.C.(1,+)D.答案C 解析：所表示的可行域如右图:而表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,过点O与直线AB平行的直线l的斜率为1,l绕点O逆时针转动必与AB相交,直线OB的倾角为90°,因此的范围为(1,+∞).第27题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条答案C 解析：∵(x+1)2+(y-2)2=169,∴A(11,2)在圆内.∴过A的最长弦长为直径l1,最短弦长为与l1垂直的弦l2.又|l1|=26,|l2|=10,∴弦长为整数的弦共有2(26-10+1)-2=32条.第28题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖南卷）)题目已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是A.2B.5C.6D.8 答案C解析：由题可知可行域如下:显然,B(3,3)有(x+y)最大值6.第29题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．答案C解析：数形结合的方法.如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直线l的倾斜角θ的取值范围为［0°,30°］∪［150°,180°).∴直线l的斜率的取值范围为［,］第30题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷延考）)题目过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（A）（B）4 （C）（D）5答案答案：B解析：弦心距的最大值为，故的最小值为.第31题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（A）y=（B）y=(C)y=3x-3 (D)y=答案A解析：将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x,再右移1个单位,得到直线y=-x+. 第32题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )A.相离B.相交C.外切D.内切答案答案：B解析：圆O1:x2+y2-2x=0(x-1)2+y2=1,故圆心为(1,0),半径为1.圆O2:x2+y2-4y=0x2+(y-2)2=4,故圆心为(0,2),半径为2.则圆心距d==.而2-1＜＜1+2,即两圆相交.第33题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目已知圆的方程为2+2-6-8＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）10（B）20（C）30（D）40答案B 解析:圆方程为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心记作M(3,4),半径为5.记E(3,5),则过E(3,5)的最长弦AC为圆的直径,最短弦BD的中点为E.如图所示,S ABCD=AC²BD=³10³2³=20.第34题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]答案C 解析:平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).由图可知,欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间.当图象过B时,a1=9,∴a=9.当图象过C时,a3=8,∴a=2.故a的取值范围为［2,9］.故选C.第35题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目（6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（A）a≥（B）0＜a≤1（C）1≤a≤（D）0＜a≤1或a≥答案答案:D解析:约束条件的可行域是如图所示的阴影区域,观察得0＜a≤1或a≥.第36题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）Ａ.4 Ｂ.11 Ｃ.12 Ｄ.14答案B第37题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）) 题目8.已知变量满足约束条件则的取值范围是（）A. B.C. D.答案答案:A解析:画出可行域,如图.可看为区域内的点与(0,0)连线的斜率.()min=k A O=,()max=k B O=6.∴∈［,6］.第38题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目（3）直线关于直线对称的直线方程是（）A. B.C. D.答案答案:D解析:解法一:设P(x,y)为所求直线上任一点,则P关于x=1的对称点为P′(2－x,y), ∴2－x－2y+1=0,即x+2y－3=0.解法二:x－2y+1=0的斜率为,∴关于直线x=1对称的直线斜率为－.因此排除B、C.由解得代入A不满足,排除.代入D满足.第39题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A. B. C. D.答案答案:B解析:①易知3个水龙头不可能完全覆盖.②将边长为16的正方形分割成4个全等的正方形(如图),其对角线=8<12.∴每个正方形(小)都能被半径为6的圆覆盖,即4个水龙头可满足题意.第40题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目（6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BC D答案答案：A解析：由题意，得圆心坐标为(5，0)到y=x的距离为r，r=4,故选A.第41题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目10.已知直线（a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条B.66条C.72条D.78条答案答案：A解析：圆x2+y2=100上坐标为整数的点共有12个.满足条件的直线=1可分为两类：一类是切线，有8条；另一类是交线，有C=66条，但要减去与坐标轴平行的10条和过原点的4条.所以共有8+66－10－4=60条.第42题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目7.如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（A）（B）（C）（D）答案答案:A解析:依题作图,∴|PQ|min为圆到直线x－2y+1=0的距离减去半径的长,计算得－1=－1.第43题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（A）（B）（C）（D）答案答案:D解析:如图,设AB=a,则由已知AD=a.在△ABD中,由余弦定理,知cos A==. ①又S△ABC=BD²3,且S△ABC=a2,得BD=.代入①式,得a=.第44题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目(3)设变量x、y满足约束条件, 则目标函数Z=2x+y的最小值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)9答案B解析：画出可行域，知使z=2x+y取最小的点是解得（1，1）代入即可.总题数：22 题第45题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程))题目(4) 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A) (B) (C) (D)答案A解析：如图取（2，0）验证y=x下方y=-x上方0≤x≤3 故选A第46题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)) 题目（4）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（A）（B）4 （C）（D）2 答案B解析：由不等式组所确定的平面区域如图∴面积为4³2³=4第47题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))题目（12）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则②在中，若则③在中，其中真命题的个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3答案B正确命题只有①,由做图可得，本题可用排除法，举例代入即可把②③排除.第48题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程))题目10．若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.答案B解析：（x-2）2+（y-2）2=18是以（2，2）为圆心，3为半径的圆，ax+by=0是一过原点的直线当圆心到直线距离小于或等于时，能够满足题意，设y=kx为直线方程：∴=2∴k=2±故倾斜角结合图形，易得为.第49题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))题目（10）如果实数、满足条件那么2的最大值为（）（A）2 （B）1 （C）-2 （D）-3答案B解析：由约束条件可得：阴影区为可行域目标函数为z=2x-y. 即y=2x-z.平移y=2x可知当移动至B（0，-1）时z=2x-y有最大值1。