2020春沪科版数学七年级下册习题课件-专项9 因式分解的六种类型

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沪科版七下数学公式法——完全平方公式习题课件

原式＝(m2－4m)2＋2×(m2－4m)×4＋42
＝(m2－4m＋4)2＝[(m－2)2]2＝(m－2)4.
17．若 ab＝38，a＋b＝54，求多项式 a3b＋2a2b2＋ab3 的值．
解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 因为 ab＝38，a＋b＝54，所以原式＝38×542＝17258.
D．4(1－a)＋a2
4．[2019·云南]分解因式：x2－2x＋1＝_(_x_－__1_)2__.
5．若 x2＋2(m－3)x＋16 是完全平方式，则 m 的值等于( D )
A．3
B．－5
C．－7 或 1
D．7 或－1
6．若多项式 x2＋mx＋4 可以用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值是__±__4____．
(2)如图③，最大的正方形由 6 个小长方形和 3 个小正方形组成，根据面积恒等关系因式分解下列多项式：a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2bc＋2ac；解：a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2.
(3)根据(2)中的结论，解决下面的问题：已知 a＋b＋c＝11，ab ＋bc＋ac＝38，求 a2＋b2＋c2 的值；
解：将 a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38 代入 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac＝(a＋b＋c)2，得 a2＋b2＋c2＋76＝121，解得 a2＋b2＋c2＝45.
(4)设计一个长方形，面积为 2a2＋5ab＋2b2，且该长方形由 5 个小长方形和 4 个小正方形组成，小长方形的长和宽分别为 a 和 b，小正方形的边长为 a 或 b，并根据所设计的图形因式分解多项式 2a2＋5ab＋2b2. 解：图略.2a2＋5ab＋2b2＝(a＋2b)·(2a＋b)．

2020春沪科版数学七年级下册习题课件-8.4 8.4.2 第2课时用完全平方公式因式分解

请用配方法解下列问题： (1)请用上述方法把 x2－6x－7 因式分解； (2)已知 x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，求 y 的值．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－9－7＝(x－3)2－16＝(x－3－4)(x－3＋4)＝(x－7)(x ＋1)． (2)因为 x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，所以 x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝0，即(x＋2)2＋(y－ 3)2＝0，所以 x＋2＝0，y－3＝0，解得 x＝－2，y＝3，即 y 的值为 3.
易错点对完全平方式的可能性考虑不全而出错 9．已知 x2＋kx＋16 可以用完全平方公式进行因式分解，则 k 的值为( D )
A．－8
B．±4
C．8
D．±8
10．若 4x2＋(k－1)x＋9 能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为( C )
A．±6
B．±12
C．13 或－11
D．－13 或 11
13．分解因式：x2－120x＋3 456. 分析：由于常数项数值较大，则采用 x2－120x 变差的完全平方形式进行分解：x2 －120x＋3 456 ＝x2－2×60x＋3 600－3 600＋3 456 ＝(x－60)2－144 ＝(x－60＋12)(x－60－12) ＝(x－48)(x－72)．请按照上面的方法分解因式：x2＋86x－651. 解：x2＋86x－651＝(x＋43)2－2 500 ＝(x＋43＋50)(x＋43－50)＝(x＋93)(x－7)．
11．多项式 x2＋1 加上一个单项式后，可以因式分解，那么加上的单项式可以是 _±__2_x(_答_案__不_唯__一_)______．
12．已知|xy－4|＋(x－2y－2)2＝0，求 x2＋4xy＋4y2 的值．解：因为|xy－4|＋(x－2y－2)2＝0，所以 xy＝4，x－2y＝2，所以 x2＋4xy＋4y2＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝(x－2y)2＋8xy＝4＋4×8＝36.

整式乘法与因式分解-整式运算的应用综合拓展课件+2022--2023学年沪科版七年级下册数学

整式运算的应用
求阴影部分面积
在整式运算中求阴影面积的常见方法
公式法
阴影部分是规则图形时，可直接利用规则图形的面积公式计算.
规则图形：三角形，平行四边形，长方形，正方形等．
D
例
A
E
C
FB
S△ABE
＝1 2
底×高＝12
AB·EF
在整式运算中求阴影面积的常见方法
加减法
把所求阴影部分的面积看成是由几个规则图形面积相加（减）而成，分别求出这几个规则图形面积，再相加（减）即可．
b2
3ab
=
1 2
42 3 4
=2
B
a
CbG
图2
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
图形拼接
整式运算中的图形拼接问题
四个小长方形 n
b
a
m
a
b
n m
bn
ma
ab
mn
四个小长方形的面积之和：mn＋bn＋ma＋ab
拼接成一个大长方形
大长方形的面积＝（m＋b）（n＋a）
分析
aA a
bB b
用含a、b的式子表示A、B、C三类卡片的面积和
bC a
求出三类卡片的数量
解答（1）∵拼成的长方形长为（2a＋b），宽为（a＋b） ∴拼成的长方形面积为:(2a＋b)(a＋b) ∵拼合后的图形与原来小正方形面积和相等
C CB a＋b
A AC
2a＋b
∴原来三类小正方形的面积和为:(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
A
D
形ABD的面积﹣三角形BGF的面积，
S 解答法1：∵ 阴影＝S正方形ABCD＋S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF

2021-2022学年七年级数学下册同步精品课件之因式分解——提公因式法(沪科版)

8.4.1 因式分解
—— 提公因式法
知识回顾 ① 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减) 这两个数乘积的 2 倍.
② 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. 拓展提高 ② 利用平方差公式计算的关键是：确定公式中的 a 和 b 怎样确定 a 与 b：符号相同的项看作 a，符号相反的项看作 b. 确定 a 和 b 后套用公式即可.
变式练习：
ab= 3 ，a+b= 5 ，求多项式 a3b+2a2b2+ab3 的值.
8
4
巩固练习
4、已知 x2+3x-2=0，求代数式 2x3+6x2-4x 的值.
巩固练习
5、试说明 817-279-913 能被 45 整除.
一、因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c)-3y(b+c)
解：原式= (b+c) ( 2x-3y )
确定公因式的方法： ① 定系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数； ② 定字母：公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母； ③ 定指数：取相同字母的最低次数. ④ 看整体：如果多项式中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开.
② 因式分解的结果是将多项式化为几个整式的积的形式. 积中几个相同的因式的积要写成幂的形式.
③ 因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不能分解为止.
对应练习
2、判断整下式列乘各法式哪些是整式乘法？因哪式些分是解因式分解？

沪科版七年级数学下册课件8.完全平方公式

课堂小测
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A.a2-4a+4
B.a2-2a+4
C.a2-4
D.a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是 ( D )
A.(a－b)2
B.(－a－b)2
C.－(a＋b)2
D.－(a－b)2
课堂小测
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_; (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y_+_9_y_2 _; (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____; (4) (-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
例1 运用完全平方公式计算. (1)(4m+n)2;
解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 =16m2 +8mn +n2.
新知探究
新知探究
知识要点
添括号法则
添括号时, 如果括号前面是正号, 括到括号里的各项都不变号; 如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变符号（简记为 “负变正不变”）.
新知探究
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;

沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合

沪科版初一下数学因式分解的六种方法与四个技巧的结合因式分解的六种方法与四个技巧的结合六种方法（一）提公因数法题型1：公因式是单项式的因式分解若多项式－12x²y³+16x³y²+4x²y²的一个因式是－4x²y²，则另一个因式是（ B ）A.3y+4x-1B.3y-4x-1C.3y-4x+1D.3y-4x分解因式：-4m4n+16m³n-28m²n原式=-4m²n（m²-4m＋7）题型2：公因式是多项式的因式分解3.把下列各式因式分解：（1）a（b-c）+c-b （2）15b（2a-b）²+25（b-2a）²原式=a（b-c）-（b-c）原式=5（2a-b）²（3b+ 5）=（b-c）（a-1）（二）公式法题型1：直接用公式法4.把下列各式因式分解：（1）（x²+y²）²-4x²y²（2）（x²+6x）²+18（x²+6x）+81原式=[（x²+y²）-2xy][（x²+y²）+2xy] 原式=[（x²+6x）+ 9]²=（x-y）²（x+y）²=[（x+3）²]²=（x+3）4题型2：先提再套法把下列各式因式分解：（x-1）+b²（1-x）（2）-3x7+24x5-48x³原式=（x-1）-b²（x-1）原式=-3x³（x4-8x2+1 6）=（x-1）（1-b²）=-3x³（x²-4）²=（x-1）（1-b）（1+b）=-3x（x-2）²（x+2）²题型3：先局部再整体法6.分解因式：（x+3）（x+4）+（x²-9）原式=（x+3）（x+4）+（x+3）（x-3）=（x+3）（x+4+x-3）=（x+3）（2x+1）题型4：先展开再分解法7.把下列各式因式分解：（1）x（x+4）+4 （2）4x（y-x）-y²原式=x²+4x+4 原式=4xy-4x²-y²=（x+2）²=-（4x²-4xy+y²）=-（2x-y）²（三）分组分解法8.把下列各式分解因式：（1）m²-mn＋mx-nx （2）4-x²+2xy-y ²原式=（m²-mn）+（mx-nx）原式=4-（x²-2x y+y²）=m（m-n）+x（m-n）=4-（x-y）²=（m-n）（m+x）=（2+x-y）（2-x+y）（四）拆、添项法9.分解因式：x4+14原式=x4+14+x ²-x ²=（x ²+12）²-x ²=（x ²+12-x ）（x ²+12+x ）（五）整体法题型1：“提”整体分解因式：a （x+y -z ）-b （z -x -y ）-c （x -z+y ）原式=a （x+y -z ）+b （x+y -z ）-c （x+y -z ） =（x+y -z ）（a+b -c ）题型2：“当”整体分解因式：（x+y ）²-4（x+y -1）原式=（x+y ）²-4（x+y ）+4 =（x -y+2）² 题型3：“拆”整体分解因式：ab （c ²+d ²）+cd （a ²+b ²）原式=abc ²+abd ²+cda ²+cdb ² =（abc ²+cda ²）+（abd ²+cdb ²） =ac （bc+ad ）+bd （ad+bc ） =（bc+ad ）（ac+bd ）题型4：“凑”整体分解因式：x ²-y ²-4x+6y -5 原式=x ²-4x+4-y ²+6y -9 =（x -2）²-（y -3）² （x -2+y -3）（x -2-y+3） =（x+y -5）（x -y+1）换元法 14.分解因式:（1）（a ²+2a -2）（a ²+2a+4）+9 （2）（b ²-b+1）（b ²-b+3）+1设:a²+2a=m 设：b²-b=n原式=（m-2）（m+4）+9 原式=（n+1）（n+3）+1=m²+2m-8+9 =n²+4n+3+1=（m+1）²=（n+2）²=（a²+2a＋1）²=（b²-b＋2）²=（a+1）4二、四个技巧技巧1：巧用乘法公式15.已知实数m，n满足（m+n）²=169，（m-n）²=9，求m²+n²-m n的值。

因式分解(第2课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)

几个非负数的和为 0，则这几个非负数都为0.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
ห้องสมุดไป่ตู้ 当堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2
D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ D ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=_____4_a_b__________; (3) -a4+16=__(_4_+_a_2_)(_2_+_a_)_(_2_-a_)__.
沪科版七年级下册配套课件
第8章整式乘法与因式分解
第4节因式分解第2课时公式法与分组分解法
学习目标
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
导入新课
情境引入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小
完全平方式: a 2 2ab b2

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3．把下列各式因式分解： (1)x2－6x＋9； (2)9＋6(a＋b)＋(a＋b)2； (3)－m2－m－14. 解：(1)原式＝(x－3)2. (2)原式＝(a＋b＋3)2. (3)原式＝－m2＋m＋14＝－m＋122.
类型 3 先提后套型 4．因式分解 (1)4m－m3； (2)3x2y－18xy2＋27y3； (3)x2(x－2)＋(2－x)．解：(1)原式＝m(4－m2)＝m(2＋m)(2－m)． (2)原式＝3y(x2－6xy＋9y2)＝3y(x－3y)2. (3)原式＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)．
类型 4 先破后立型 5．因式分解：(1)2m(2m－3)＋6m－1； (2)(x＋2)(x－6)＋16. 解：(1)原式＝4m2－6m＋6m－1＝4m2－1＝(2m＋1)(2m－1)． (2)原式＝x2－4x－12＋16＝x2－4x＋4＝(x－2)2.
类型 5 分组分解型 6．先阅读以下材料，然后解答问题．因式分解 mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x ＋y)；也可以 mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋ n)(x＋y)．以上因式分解的方法称为分组分解法．请用分组分解法因式分解：a3－b3＋a2b－ ab2. 解：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b)－(b3＋ab2)＝a2(a＋b)－b2(b＋a)＝(a＋b)(a2－b2) ＝(a＋b)2(a－b)．
示例：例如因式分解：12x2－5x－2. 解：由图 2 可知：12x2－5x－2＝(3x－2)(4x＋1)．请根据示例，对下列多项式因式分解： (1)2x2＋7x＋6； (2)6x2－7x－3. 解：(1)2x2＋7x＋6＝(x＋2)(2x＋3)． (2)6x2－7x－3＝(2x－3)(3x＋1)．
类型 2 只套不提型 2．把下列各式因式分解： (1)4x2－9y2； (2)(2x＋y)2－(x＋2y)2； (3)16a4－1. 解：(1)原式＝(2x＋3y)(2x－3y)． (2)原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝3(x＋y)(x－y)． (3)原式＝(4a2＋1)(4a2－ห้องสมุดไป่ตู้)＝(4a2＋1)(2a＋1)(2a－1)．
类型 6 “十字相乘法”型 7．计算(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋adx＋bcx＋bd＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd，倒过来写可得：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)．我们就得到一个关于 x 的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图 1 所示．
初中同步训练
数学
七年级下册 (HK版)
专项9 因式分解的六种类型
类型 1 只提不套型 1．把下列各式因式分解： (1)2x2－12xy2＋8xy3； (2)3x(a－b)－6y(b－a) 解：(1)原式＝2x(x－6y2＋4y3)． (2)原式＝3x(a－b)＋6y(a－b)＝3(a－b)(x＋2y)．