高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 2.1.3 Word版含解析
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 2.2.1 Word版含解析
直接证明明目标、知重点.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知，>，求证：(＋)＋(＋)≥.证明因为＋≥，>，所以(＋)≥.又因为＋≥，>，所以(＋)≥.因此(＋)＋(＋)≥.小结从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．思考综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件→结论(条件)→结论(条件)→结论(条件)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，求证：△为等边三角形．证明由于，，成等差数列，有＝＋，①由于，，为△的三个内角，所以＋＋＝π.②由①②，得＝，③由，，成等比数列，有＝，④由余弦定理及③，可得＝＋－＝＋－，再由④，得＋－＝，即(－)＝，从而＝，所以＝.⑤由②③⑤，得＝＝＝，所以△为等边三角形．。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 Word版含解析
合情推理的妙用
合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．
一、归纳推理的考查
．数字规律周期性归纳
例观察下列各式：＝＝＝，…，则的末四位数字为．
解析∵＝＝＝，
末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为，…，
由上可得末四位数字周期为，呈规律性交替出现，
∴＝×＋末四位数字为.
答案
点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．
．代数式形式归纳
例设函数()＝(>)，观察：
()＝()＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当∈*且≥时，()＝(－())＝.
解析依题意，先求函数结果的分母中项系数所组成数列的通项公式，由，…，可推知该数列的通项公式为＝－.又函数结果的分母中常数项依次为，…，故其通项公式为＝.
所以当≥时，()＝(－())＝.
答案
点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．
．图表信息归纳
例古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
图()
图()
他们研究过图()中的，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图()中的，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是．
①②③④
分析将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.1.1(二) Word版含解析
2.1.1合情推理(二)明目标、知重点 1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．1．类比推理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．[情境导学]春秋时代鲁班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，他的思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的，因此，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．这就是类比推理．探究点一类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的思考：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．对比圆和球，有类似特征：(1)完美对称；(2)都是到定点距离等于定长的点的集合； (3)形状相近．根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心到其切面的距离等于半径”．思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答 两个实例均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．思考2 猜想正确吗？ 答 不一定正确．思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征小结 在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形中的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形中的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形中的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形中的“体积”． 探究点二 平面图形与立体图形间的类比例1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________．答案 设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD解析 类比条件：两边AB 、AC 互相垂直――――――――――→平面→空间、边垂直→面垂直侧面ABC 、ACD 、ADB 互相垂直．结论：AB 2＋AC 2＝BC 2――――→边长→面积S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .反思与感悟 类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．跟踪训练 1 (1)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． (2)已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由． 解 (1)如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. (2)类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连结BE ，并延长交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 探究点三 定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．答案 b 1 b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *) 解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n . 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n . 相应地，类比此性质在等比数列{b n }中， 可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，(n ≤17，n ∈N *)．反思与感悟 (1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12 成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 81．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． 答案 ②解析 推广到空间以后，对于①③④均有可能异面．2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn 时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝________时，数列{b n }也是等比数列． 答案na 1a 2…a n4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________． 答案 中心 [呈重点、现规律]1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、基础过关1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________. 答案 12lr2．下列推理正确的是________．(填序号)①把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ； ②把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y ； ③把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a y ；④把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 答案 ④3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. 答案 ①②④解析 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理． 4．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 答案a 2＋b 2＋c 22解析 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 5．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析 设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S —ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是________． ①b 4＋b 8>b 5＋b 7； ②b 5＋b 7>b 4＋b 8； ③b 4＋b 7>b 5＋b 8； ④b 4＋b 5>b 7＋b 8. 答案 ①7．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB .∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13(12P A ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·P A cos γ)·h ， ∴(cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB)h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.二、能力提升8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 答案 ①②③解析 因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．9．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 4410．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有__________________________． 答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．解 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC证明：如图：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC ，故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′13S △P AB ·h ＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .12.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(g l )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.三、探究与拓展13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． (1)证明 设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )．依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a )，令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a .同理得y N ＝－ay 0x 0－a .所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)．所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝{a ，y N }，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)解 定值为－(a 2＋b 2)．。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 2.3 Word版含解析
明目标、知重点.了解数学归纳法的原理.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．．数学归纳法()如果当取第一个值(例如＝等)时结论正确；()假设当＝(∈*，且≥)时结论正确，证明当＝＋时结论也正确．那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．．应用数学归纳法时应注意几点()用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的数学命题．()在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．() 步骤②的证明必须以“假设当＝(≥，∈*)时结论成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答()第一张牌被推倒；()任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件()给出了一个递推关系，条件()给出了骨牌倒下的基础．思考对于数列{}，已知＝，＋＝，试写出，，，，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答＝，＝，＝，＝，猜想＝(∈*)．以下为证明过程：()当＝时，＝＝，所以结论成立．()假设当＝(∈*)时，结论成立，即＝，则当＝＋时＋＝(已知)＝(代入假设)＝(变形)＝(目标)，即当＝＋时，结论也成立．由()()可得，对任意的正整数都有＝成立．思考你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数有关的命题()，可按下列步骤进行：()(归纳奠基)证明当取第一个值(∈*)时命题成立；()(归纳递推)假设当＝(≥，∈*)时命题成立，证明当＝＋时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.1.3 Word版含解析
2.1.3 推理案例赏析明目标、知重点 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．1．数学活动与探索数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．[情境导学]合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．探究点一 运用归纳推理探求结论思考1 在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？答 (1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．思考2 归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．例1 已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．32710917解 把已知4项改写为，，，，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝；a 2＝32557109172×1＋112＋1；a 3＝，2×2＋122＋12×3＋132＋1a 4＝，….2×4＋142＋1据此猜测a n ＝.2n ＋1n 2＋1反思与感悟 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪训练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案 n 2解析 前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2.探究点二 运用类比推理探求结论思考1 在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？答 (1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．思考2 类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．例2 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA .(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P —ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解 如图在三棱锥P —ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB 、OC 猜想下列结论：S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD .∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S ＝2＝BC 2·PD22△PBC (12BC ·PD )14S △OBC ·S △ABC ＝BC ·OD ·BC ·AD 1212＝BC 2·OD ·AD .14∵PD 2＝OD ·AD ，∴S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 反思与感悟 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪训练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：B 1C 1(1)S ＝ah ；12(2)S ＝bc sin ∠BAC .12运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________．答案 (1)S ＝lR 真命题12(2)S ＝R 2sin A 1 假命题12探究点三 运用演绎推理证明结论的正确性思考1 合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．思考2 应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？答 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提．例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)求证数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.∴＝4 (n ∈N *)．an ＋1－(n ＋1)an －n∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1)＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝＋·4n －.n (n ＋1)21313(3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝＋·4n ＋1－－(n ＋1)(n ＋2)213134[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝－2n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)2＝－≤0，(n －1)(3n ＋4)2∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．反思与感悟 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪训练3 已知函数f (x )对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．求证：f (x )是奇函数．证明 ∵对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．∴当x ＝y ＝0时，f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，则f (－x )＋f (x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．1．一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是1521________．答案 3解析 ∵a 2＝＝，a 3＝＝，96×2－3156×3－3a 4＝＝，∴猜想a 1＝＝.216×4－36×1－332．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.答案 球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2；x 1＋x 2＋x 3≥3，…类比上x 1x 23x 1x 2x 3述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论______________________．答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…xn4．已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则＋＋…＋＝________.f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)答案 4 024解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)，∴＝f (1)＝2.f (a ＋1)f (a )∴＋＋…＋＝2＋2＋…＋2f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)＝2×2 012＝4 024.[呈重点、现规律]1．数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.一、基础过关1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋...＋>，1＋＋＋...＋>2,1＋＋＋...＋>， (1)21213121317321213115121313152由此猜测第n 个等式为______________________(n ∈N *)．答案 1＋＋＋…＋>121312n －1n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝_______.答案 2 3 5 7 Error!4．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，相关结论：________________________.答案 对角面AA 1C 1C ⊥BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎1x 推理错误的原因是______________．答案 大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P —ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —AC —B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝____________________________________.答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：(tan 5°＋1)(tan 40°＋1)＝2；(tan 15°＋1)(tan 30°＋1)＝2；(tan 25°＋1)(tan 20°＋1)＝2；据此可猜想出一个一般性命题：______________________________.答案 (tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2二、能力提升8．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝，n (n ＋3)2易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.9．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x －1.下列判断正确的是________．①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M .答案 ②③解析 对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x －1：2s －1＋2t －1－(2s ＋t －1)＝－(2s －1)(2t －1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆＋＝1 (m >n >0，p ＝)上，椭圆的离心率是e ，则＝.x 2m 2y 2n 2m 2－n 2sin A ＋sin Csin B1e 将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________.答案 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线－＝1 (m ，n >0，p ＝)上，双曲线的离心率为e ，则＝x 2m 2y 2n 2m 2＋n 2|sin A －sin C |sin B1e11．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝(n ∈N *)也是等na 1a 2…an 比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝也是等差数列．a 1＋a 2＋…＋ann证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝＝＝a 1＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋annna 1＋n (n －1)d2nd 2所以数列{b n }是以a 1为首项，为公差的等差数列．d212．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A —BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC 、ACD 、ABD 的距离分别为h 1、h 2、h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则：V P —ABC ＋V P —ACD ＋V P —ABD ＝V D —ABC .即：S △ABC ·h 1＋S △ACD ·h 2＋S △ABD ·h 3131313＝S △ABC ·h .13∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论．三、探究与拓展13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列：(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30.(2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)．下面给出证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0，∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋d －na 1－d(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2＝[(k －n )(1－2k )＋－]d ＝0.(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2∴S2k－n＝S n，猜想正确．。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析自我小测 苏教版选修2-2(2021年整理)
编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章推理与证明2.1.3 推理案例赏析自我小测苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第2章推理与证明2.1.3 推理案例赏析自我小测苏教版选修2-2的全部内容。
修2-21．下面几种推理过程是演绎推理的是__________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，一班有51人,二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列｛a n ｝中，a 1＝1，11112n n n a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（n ≥2)，由此归纳出{a n ｝的通项公式 2．“平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提），平面内动点M 到两定点F 1（－2,0)，F 2(2，0）的距离之和为4（小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论）．”此推理中错误的是____________．3．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图中扇环的面积公式S 扇环＝__________。
4．因为直线a ，b 为异面直线，所以直线a ，b 没有交点，这里运用的推理规则是________．5．定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列．下列数列不是等和数列的为__________（填正确结论的序号)．①a n ＝10 ②2,3,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数③2,3,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ④22sin ,cos ,n n a n αα⎧=⎨⎩为奇数为偶数6．在三段论“∵a ＝（1,0),b ＝（0，－1）,∴a·b ＝(1,0）·（0，－1）＝1×0＋0×（－1)＝0,∴a⊥b ”中，大前提：___________________________________________________________________， 小前提：___________________________________________________________________, 结论：_____________________________________________________________________。
苏教版选修2-2高中数学第2章《推理与证明》word章末测试
章末质量评估(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)．则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．解析 通常正数的算术平均数，类比其几何平均数． 答案n c 1c 2…c n2．用反证法证明方程F (x )＝0至少有两个实根，其反证假设为____________________．解析 方程F (x )＝0至少有两个实根，意指方程F (x )＝0有两个或两个以上实根，其反面是方程F (x )＝0至多只有一个实根． 答案 方程F (x )＝0至多只有一个实根 3．观察下列数表规律则从数2 007到2 008的箭头方向是________．解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)×4⇒n ∈N *，故2 007在上行，又因为上行奇数的箭头为→a n ↓.答案 ↓4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________． 答案 ③①②5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k ”到“k ＋1”左边需增乘的代数式是________． 解析 若n ＝k 时等式成立，此时有(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)若n ＝k ＋1时，左边变为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)． 与上式相比增的代数式应为(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案 2(k ＋1)6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析 只有①②对，其余错误． 答案 27．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)． ①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致； ④“两个整数”概念不一致．解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案 ①8．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳， ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28，∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝8×(57＋71)2＝512.答案 5129．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为______________，猜想S n ＝________.解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，因为S 1＝a 1＝1，所以2S n＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －1(n ∈N *)10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得．答案 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s12．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________．解析 f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9； f (5,1)＝2f (4,1)＝4f (3,1)＝8f (2,1)＝16f (1,1)＝16；f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝f (5,3)＋6＝f (5,2)＋8＝f (5,1)＋10＝26. 所以这3个结论都正确． 答案 313．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝332，即sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案33214．(2011·陕西高考)观察下列各式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析 由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.证明 ∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1.∴a ＋b ＋c ≤ 3.16．(本小题满分14分)设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．证明 假设方程有整数根x ＝x 0，∴ax 20＋bx 0＋c ＝0，∴c ＝－(ax 20＋bx 0)． 若x 0是偶数，则ax 20，bx 0是偶数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾； 若x 0是奇数，则ax 20，bx 0是奇数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根．17．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)∵n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2，∴S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)，S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝－1＋11＋2，猜想正确．②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想正确，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，这表明当n ＝k ＋1时猜想也正确．根据①，②可知对任意n ∈N *，S n ＝－n ＋1n ＋2.18．(本小题满分16分)由下列各个不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋14＋…＋17＞32，1＋12＋13＋14＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解 根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1＞12，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＞k2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1－1＞k 2＋12k 1＋12k 1＋…＋12k 1＝k 2＋2k 2k 1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．19．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1A C 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， 图①∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A -BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图②，连接BE 并延长交CD 于F ， 连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， 图② ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2) 因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n ＞S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2，那么，1b k＋1＝3k＋12＝3·3k2>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1，当n≥4时，1b n>S n＋1.。
最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.2 习题课 Word版含解析
习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.反思与感悟本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：(1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b 2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地b a ＋ab≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab>0， ∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 题型二 选择恰当的方法证明等式例 2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2.证明由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证ax ＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．题型三立体几何中位置关系的证明例3如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连结FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形．所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，所以BD ⊥平面ACEF .所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .1．已知p ：ab >0；q ：b a ＋ab ≥2，则p 是q 的________条件．答案 充要2．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的大小关系是________． 答案 x <y解析 y 2＝(a ＋b )2＝a ＋b ＝2(a ＋b )2>(a ＋b )22＝x 2.3．给出下列命题：①a <b <0⇒b a <1；②a <b <0⇒a －2<b －2；③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >b d ；④a ·b≠0⇒|a ＋b ||a |＋|b |<1；⑤a >b >0，c >d >0⇒a d>bc.其中，真命题的序号是________． 答案 ①②⑤4．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m >0，求证：a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m .证明 要证明a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m>0即可，∴a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m＝a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )，∵a >0，b >0，c >0，m >0，∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )>0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.∵△ABC 中任意两边之和大于第三边，∴a ＋b －c >0，∴(a ＋b －c )m 2>0，∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2>0，∴a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. [呈重点、现规律]1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则下列结论正确的是________． ①a ≤12 ②ab ≥12③a 2＋b 2≥2 ④a 2＋b 2≤3 答案 ③解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b≥2； ④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有________个．答案 3解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋a b≥2不成立． 3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是________(填序号)． ①12②2ab ③a 2＋b 2 ④a 答案 ③解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12， 由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a2＋b2最大．4．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a、b、c的大小顺序是________．答案a>b>c解析a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6.∴a>b>c.5.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA ⊥平面ABC可知，上式成立．答案EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC解析要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．6．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：ab＋ba>a＋b.证明 方法一 用综合法 a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab＝(a －b )(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab>0， ∴a b ＋b a >a ＋b . 方法二 用分析法要证a b ＋b a >a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ， 即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋b a >a ＋b 成立． 7．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋2 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 二、能力提升8．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的________条件．答案 充要解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________．答案 2解析 原不等式可化为a ≥x ＋yx ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y， 要使不等式恒成立，只需a 不小于 1＋2xy x ＋y的最大值即可． ∵ 1＋2xy x ＋y≤2， 当x ＝y 时取等号，∴a ≥2，∴a 的最小值为 2.10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．(写出一个你认为正确的就可以) 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.11．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c－1)≥8. 证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立， 只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立． 因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立， 即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8成立． 所以(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法)(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．12.{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74. (1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1， 所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)， 两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列， 所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74. 三、探究与拓展13.，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？) 证明 方法一 (用分析法)①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证 (ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二(用综合法)(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥|ac＋bd|≥ac＋bd.方法三(用比较法)∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(bc－ad)2≥0，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥|ac＋bd|≥ac＋bd.方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2. 故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推理案例赏析
明目标、知重点.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．
．数学活动与探索
数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．
．合情推理和演绎推理的联系
在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．
[情境导学]
合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．
探究点一运用归纳推理探求结论
思考在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？
答()实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．
()概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．
()猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．
思考归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？
答
归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．
例已知数列的前项为，，，，试写出这个数列的一个通项公式．
解把已知项改写为，，，，记此数列的第项为，则有＝；＝；＝，
＝，….
据此猜测＝.
反思与感悟运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．
跟踪训练下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第个图形中小等边三角形的个数为．
答案
解析前个图中小三角形个数分别为.
猜测：第个图形中小等边三角形的个数为.
探究点二运用类比推理探求结论
思考在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？
答()观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．
()联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．
()猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．
思考类比推理的结论是否一定正确？
答
从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．
例。