第五章 不可压缩流动问题的求解方法
不可压缩粘性流体的流动
§7-2 不可压粘性流体运动的
基本方程简介
将微元体所受的惯性力、质量力和 表面力代入牛顿第二定理 ΣF = ma 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ax = fx − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂x ∂x ∂y ∂z
ay
∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = fy − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂y ∂x ∂y ∂z
引入特征量:将N-S方程中的各物理量无 量纲化。
x y u v p x ′ = ,y ′ = ,u ′ = ,v ′ = , p ′ = L δ U V P 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级
N-S方程的无量纲化
∂u ′ VL ∂u ′ P ∂p ′ ν ∂ 2u ′ L 2 ∂ 2u ′ u′ +( ) ′ v = −( 2 ) + [ 2 +( ) ] 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ∂y ′ Uδ ρU ∂x ′ UL ∂x ′ 1 2 ×1 1 1 1 ε 1×1 ε ×1 ε
理想流体没有切向力，只有法向力 pii 实际流体既有法向力，也有切向力，如图， 由于应力的对称性，应力中只有6个分量 是独立的。它们是： 主应力： 切应力：
p xx
p yy
p zz
p xz = p zx
p xy = p yx p zy = p yz
对不可压流体，主应力可表示为： ∂u p xx = − p + 2µ ∂x ∂v p yy = − p + 2µ ∂y ∂w p zz = − p + 2µ ∂z 一般情况下，三个法向应力不相等， 其关系是： 1 − p = ( p xx + p yy + p zz ) 3
流体力学第5章管内不可压缩流体运动PPT课件
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别： （1）临界流速
11
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别： （1）临界流速
缺点：临界流速的值随着管径以及工作 液粘度的变化而变化，并不是一个常数， 作为判别标准并不实用。
12
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别：
（2）临界雷诺数 对于圆管而言，雷诺数：Re
43
5.2.3 湍流流动中的粘性底层
【粘性底层 】
粘性底层的厚度为：
14.14 d Re
粘性底层的厚度与雷诺数成反比，即：流速 越高，Re数越大——粘性底层的厚度越薄； 流速越低，Re数越小——粘性底层的厚度越 厚。
虽然，粘性底层的厚度仅有几个mm的量级， 但却可能严重影响水流的流动阻力。
d2
0 .1 2
（3）管路中的最大速度： u m a2 x v 2 6 1m 2 /s
（4）壁面处的最大切应力：
m a x 2 p lr 0 22 7 5 3 0 .0 0 6 5 10 .8 3 N 0 /m 6 2
32
33
5.2 湍流流动及沿程摩擦阻力计算
【内容提要】 本节简要介绍紊流理论及湍流沿程阻力 系数的计算
umaxp14lp2
r02
pd2
16l
v q A V(p 1 p d 2 2 )d /4 4/1
2 l (8 p 1 p 2 )d 2 p2 d u ma 3l2 3l22
x
26
5.1.4 圆管道内层流流动及粘性摩擦损失
hf
p
v pd 2
32 l
水平等径管
p 32lv d 2
结论：层流状态，水 头损失与速度呈线性 关系。
第五章 不可压缩流体的一维层流流动PPT课件
26
(iii) : β=0表示流体在垂直狭缝中间 向下流动；β=π/2表示流体在水平狭 缝中间流动； β=π表示流体在垂直狭 缝中间向上流动。
27
5.2.3 水平狭缝压差流动的流动阻力
对于水平狭缝，由于β=π/2，故有әp*/әx= әp/әx=const .则可用-△p/L代替，其中△p是流
y x
(pgxcos) p*
（5-3a）
x
x
其中p*=p-ρgcosβ。这里引用一个结论：对
于x方向充分发展的一维流动，ә p */ әx=const，
于是积分上述方程，得到切应力分布方程：
19
yx
p* x
y c1
（5-3b）
下面推导速度方程，对于牛顿流体，将一 维流动条件的牛顿剪切定理τyx=μdu/dy代入上式， 可得狭缝流动的速度微分方程：
另一种是由于两壁面的相对运动产生的 流动，称为剪切流。
这两种因素也可能同时存在。
④ 对于非水平平壁的狭缝流动，还将受 到重力的影响。
14
5.2.1狭缝流动的微分方程
如图所示为两平壁间的流动，在平壁间， 密度为ρ的不可压缩流体沿x轴方向作一维层流 流动，流动方向与重力加速度g之间夹角为β。 所取微元体如图所示，垂直于x-y平面的方向 取单位厚度。
于是水平狭缝压差流的压力降为：
p 24 L um2
Re b 2
29
例：如图为两层不相容流体在固定平壁间的平 行流动，其中I为重相，II为轻相。壁面x方向 长度为L，进口压力p0，出口压力pL,设流动为 充分发展的层流流动。试确定其切应力和速度 分布。
y II
x
I
30
第五章 不可压缩流动问题的求解方法
2） 压力及速度修正
p p * p' u u* u' v v * v'
uin1/ 2, j ui*1/ 2, j A( p'i 1, j p'i, j ) 1
vin,11/ 2 vi*, j1/ 2 B( p'i , j 1 p'i , j ) j
§7―2交错网格
一、交错网格
1. 主控制容积网格。
nn
W
y
n
uw
x
N P S
un ue us
NE
ne
S
E
uee
功用： a 存放除速度 以外的其它参数，T , , c p , k 和p。 b 作为除动量方程外其他方程的控制容积，以稳态能量 方程为例：
u ,
a pTp awTw aN TN aETE aSTS b
V 0
p V 0 t
流动压缩时 （ V 0 ），压力升高 流动膨胀时 （ V 0 ），压力降低
适当增大 可令压力收敛加快
V 0
V 0
2 人工压缩性因子 相当于 c
p 2 c V 0 t
C-可压缩性流动声速
对于定常问题，需要迭代到收敛
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
V Step 1 : 得到n 时间步的值
n
Step 2: 进行如下迭代直至收敛
p k 1 p k V k 0 t V k 1 V k 1 2 n V n V n p k V t Re
求解后，得到压力修正值：p 'i , j
第五章 管中流动
一、时均流动与脉动
根据图所示的一点上的速度变化曲线，用一 定时间间隔T内的统计平均值，称为时均流 速 v 来代替瞬时速度，即
1 v T
T
0
vt dt
瞬时速度v与时均速度 v 之间的差值称为脉动 速度，用v’表示，即
v v v
想一想：湍流的瞬时流速、 时均流速、脉动流速、断面 平均流速有何联系和区别？
流体粘性切应力与附加切应力的产生有着本质的区别，前者是流体分子无 规则运动碰撞造成的，而后者是流体质点脉动的结果。
2. 混合长度理论
湍流附加切应力 t v vy 中，脉动流速 v , vy 均为随机量，不能直接计 x x 算，无法求解切应力。所以1925年德国力学家普兰特比拟气体分子自由程的概念， 提出了混合长理论。
p P h f gqV gqV pqV Fv g
2 128lqV P pqV d 4
七、层流起始段
流体以均匀的速度流入管道后，由于粘性，近壁处产生边界层，边界 层沿着流动方向逐渐向管轴扩展，因此沿流动方向的各断面上速度分布不 断改变，流经一段距离L后，过流断面上的速度分布曲线才能达到层流或 湍流的典型速度分布曲线，这段距离L称为进口起始段。
二、混合长度理论
1. 湍流流动中的附加切应力
t v vy 0 x
——雷诺切应力 雷诺切应力的时均值
t v vy x
在湍流运动中除了平均运动的粘性切应力 而外，还多了一项由于脉动所引起的附加 切应力，总的切应力为
dv v v x y dy
速度分布按对数规律，特 点是速度梯度小。
一、临界速度与临界雷诺数
上临界流速vc：层流→湍流时的流速。 下临界流速vc：湍流→层流时的流速。 vc < vc Re＝ vd/ 上临界雷诺数Rec ：层流→湍流时的临界雷诺数，它易受外界干扰， 数值不稳定。 下临界雷诺数Rec ：湍流→层流时的临界雷诺数，是流态的判别标准。 判别依据：
不可压缩流体流动的变化方程
不可压缩流体流动的变化方程不可压缩流体流动的变化方程是描述流体在时间和空间上的变化规律的方程。
它由连续性方程和动量方程组成。
一、连续性方程：不可压缩流体的连续性方程描述了流体质点的质量守恒关系。
在稳态条件下，连续性方程可以表示为：∇·v = 0其中，∇表示空间的梯度算子，v表示流体的速度矢量。
该方程表示了流体通过任意闭合曲面的净质量变化为0，即质量进出的总和为0。
二、动量方程：不可压缩流体的动量方程描述了流体质点的运动定律。
在稳态条件下，动量方程可以表示为：ρ(v·∇)v = -∇P + ρg + μ∇²v其中，ρ表示流体的密度，P表示流体的压强，g表示重力加速度，μ表示流体的动力粘度，∇²表示速度矢量的拉普拉斯算子。
该方程中的第一项ρ(v·∇)v表示流体的非定常惯性项；第二项-∇P表示压力梯度对流体运动的影响；第三项ρg表示重力对流体运动的影响；第四项μ∇²v表示粘性对流体运动的影响。
这些项分别描述了流体质点的加速度、压力力、重力力和粘性力对流体动量变化的影响。
不可压缩流体的动量方程中的非定常惯性项通常可忽略，从而简化为：-∇P + ρg + μ∇²v = 0这个方程可以解释流体在压强梯度、重力和粘性力的作用下的运动。
上述的连续性方程和动量方程是描述不可压缩流体流动的基本方程。
在进行实际计算时，通常还要考虑边界条件、流体的特性以及相应的求解算法等因素。
此外，流体的温度、浓度等其他因素也可以加入到动量方程中，形成相应的耦合方程，用于解决特定问题。
总之，不可压缩流体流动的变化方程是描述流体在时间和空间上变化规律的方程，它由连续性方程和动量方程组成，能够更全面地揭示不可压缩流体的运动定律。
不可压缩流体方程及其解法
不可压缩流体方程及其解法在物理学和工程学中，流体力学是一个重要的研究领域。
流体力学主要研究液体和气体的运动规律，涉及到许多基本概念和数学工具。
其中，不可压缩流体方程是流体运动的基本方程之一。
本文将从不可压缩流体的物理特性出发，介绍不可压缩流体方程的含义与求解方法。
一、不可压缩流体的特性不可压缩流体是指其密度在运动时保持不变的流体。
简单来说，如果将一个不可压缩流体密封在一个可变形的容器中，并对容器进行变形，流体的密度不会发生任何变化。
这是与可压缩流体的最大区别。
研究不可压缩流体的运动时，需要考虑以下几个基本物理量：1. 流量（Volume flow rate）：在单位时间内，流体通过某一横截面的体积（如L/s）。
2. 速度（Velocity）：流体在单位时间内通过某一截面的体积与该截面的面积之比，即流量与面积的商（如m/s）。
3. 压力（Pressure）：在流体上施加的力所产生的单位面积的效应（如Pa）。
对于不可压缩流体，密度始终保持不变，即$\rho(t)$=常数，所以可将密度从运动方程中省去，即运动方程变为：$\rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho u\cdot \nabla u = -\nabla P +\mu \nabla^2 u$其中，$\rho$为密度常数，$u$为速度向量，$P$为压力，$\mu$为流体的黏度系数。
二、不可压缩流体方程的求解不可压缩流体方程是一组偏微分方程，求解不太容易。
常见的求解方法有以下几种：1.数值模拟法这种方法非常直观、有效，可以通过计算机模拟流体在一定条件下的运动规律。
数值模拟法一般基于有限体积法、有限元法、谱方法等。
它们的基本思想都是把流体空间分成网格，建立离散模型，并通过数值迭代求解流体动力学方程。
不过，数值模拟法的精度受到很多因素的影响，如网格大小、初始条件、粘度等。
此外，一些边界问题也很难在数值模拟中得到很好的处理。
第五章 流体力学不可压缩粘流的精确解
第五章 不可压缩粘流的精确解自从建立了流体运动基本方程组，人们就开始致力于寻求在各种情况下流体运动的精确解。
流体运动的精确解一方面对认识和分析流体运动的规律具有重要的意义，另一方面又可为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要依据。
不可压缩粘流的控制方程是于N S -方程，由于它的的非线性，使得求流动精确解问题常常成为一件非常困难的工作。
在一些特殊边界条件下形成的流动，比如平行剪切流问题，N S -方程的非线性项为零。
求这一类问题的精确解，数学上处理起来比较容易。
对定常流而言，常归结为解二阶常微分方程；在非定常流的情况下，常归结为扩散型方程等常见的数学物理方程，从而可以使用分离变量法、积分变换法或其它数学方法求解。
本章将给出不同类型流动精确解的一些例子。
5.1 平行平板间的定常平面流考虑粘性流体在相距2h 的两块无限大平行平板间的流动，建立如图 5.1 所示的直角坐标系。
流体运动源于沿x 方向的已知压力梯度的板壁运动。
这里下板固定，上板以U 运动。
当dx /dp 和U 不随时间变化时，流动是定常的。
考虑到速度只有沿x 方向的一个分量，并且只是坐标y 的函数，由于流线相互平行，称为平行剪切流。
在S N -方程()∂∂ρνV t V V p V f +⋅∇=-∇+∇+12(3.3.12)中，非线性项()0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∇⋅u x u V V是所有平行剪切流的特点，S N -方程在x 方向的投影简化为22dyud dx dp μ= (5.1.1)因压力梯度dpdx是一个常数，上式满足边界条件()0=-h u 和()U h u =的解为 ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=h y U h y dx dp h u 1212222μ (5.1.2)由速度分布求出单位宽度平板间的体积流量Uh dx dph udy Q hh+-==⎰-μ323(5.1.3)平均流速是y图5.1 平行平板间的流动U dx dp h Q h u 213212+-==μ(5.1.4)进一步求出切应力h Udx dp y y u yx 2μ∂∂μτ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (5.1.5)当dp dx /<0时，切应力的最大值和最小值分别在下板面和上板面处出现。
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2. u控制容积网格。 a 以 ue 的位置为中心，与以p为中心的主控制网格在x方 1 向上相差 x ，存在速度u。 2 b 作为u向动量方程的控制容积。 c 压力梯度从源项分离出来。
n E
s
n P ( )dxdy ( P |E )dy ( PP PE )y P P x s
Step 3: 收敛后的V即为 V n 1
max( u n 1 u n , v n 1 v n , 1 p n 1 p n )
§7―4 投影法（求解压力Pission法）
1） 压力的控制方程
V 0 V 1 2 V V p V t Re
(2)
u v y x
1 2 u v t x Re y
(4)
(3)
引入流函数
u ,v y x
2
(5)
（4） （5） 式即涡量-流函数的控制方程 计算结束后，如果需要计算压力，则求解如下方程
(2) (3) x y
L
边界是一条流线， 流线是流函数的等值线
涡量的边界条件： 由速度给出
y 0
u y
y 0
1 1 (ui , 2 ui ,1 )n (ui , 2 ) n x x
可用更高阶的格式
基本思想： 与（离散型）投影法类似， 但速度推进是隐式的；
§7―5 SIMPLE算法
V 0 V 1 2 (V V V) p 0 t Re
由Chorin首 先提出
对动量方程求散度
2 p (V V)
Poisson方程——压力的控制方程
2 p ( V V ) V 1 2 V V p V t Re
无法时间推进 需联立求解，通常采用 时间分裂法
13
2） 投影法——求解微分型压力Poisson方程 原理： 将时间推进分成三个子步， 中间步解出压力 Step 1: 预算步
U
以涡量-流函数法为例：
1 2 u v t x y Re
400
L
驱动方腔流动
2
1） 离散化
对流项： 迎风差分
扩散项：采 用中心差分
u (u x u x )i , j x i , j
得到n+1时刻的V
§7―4 涡量-流函数法
u v 0 (1) x y u u p 1 2 u u v u t x x Re y v v v p 1 2 u v u t x y y Re
(2) (3) y x
x 2
i , j 1 i , j 1 2 i , j
y 2
i , j
可采用Jocabi，Gauss-Seidel等方法迭代 提示： 时间推进过程中的中间步无需迭代至收敛， 最终（最后一个时 间步）收敛即可。
U
2） 边界条件 速度边界条件： 上壁面u=1,v=0; 其他壁面 u=v=0; 流函数的边界条件： 0
u
u u 2
迎风差分，建议采用高阶的 也可采用更高阶的，可借 助求差分系数的小程序
2 i 1, j i 1, j 2i , j x 2 x 2
时间推进： 可采用显格式
n 1 n t t
2
采用中心差分离散：
i 1, j i 1, j 2 i , j
V* V n 1 2 n ( V V V) 0 t Re
（忽略动量方程中的压力效应）
Step 2: 压力修正步
V n 1 V * p 0 t V n 1 0
2 p
1 V* t
求解，得到压力p
Step 3: 最终步
V n 1 V * p 0 t
( T ) ( u j T ) k T ( )S t x j x j c p x j
或
( T ) ( u j T ) k T ( )S t x j x j c p x j
求解中存在的问题 一、压力场检测问题 以一维问题为例：
2） 压力及速度修正
p p * p' u u* u' v v * v'
uin1/ 2, j ui*1/ 2, j A( p'i 1, j p'i, j ) 1
vin,11/ 2 vi*, j1/ 2 B( p'i , j 1 p'i , j ) j
1） 已知预估压力p* 采用隐式 离散
计算速度
V* V n 1 2 * (V V V) p* 0 t Re
已知
(1) (2)
* * * * * 联立 ui 1/ 2, j ( a1ui 1/ 2, j a2ui 3 / 2, j ......) ( pi 1, j pi , j ) 求解 v* (b v * b v* ......) ( p* p* ) i , j1/ 2 1 i , j1/ 2 2 i , j 3 / 2 i , j 1 i, j
V 0
p V 0 t
流动压缩时 （ V 0 ），压力升高 流动膨胀时 （ V 0 ），压力降低
适当增大 可令压力收敛加快
V 0
V 0
2 人工压缩性因子 相当于 c
p 2 c V 0 t
C-可压缩性流动声速
对于定常问题，需要迭代到收敛
求解后，得到压力修正值：p 'i , j
(5)
带入（4）时得到n+1时刻的速度
具体步骤： 1） 已知n时刻的速度压力 * p 2） 预估压力 （可取为n时刻的压力） * * 3） 带入（1）（2）式，解出 u ,v （隐格式，需迭代求解） 4） 求解压力的修正方程 （5）得到修正压力 5） 带入（4）式，得到n+1时刻的速度及压力 6） 推进求解直到给定时刻（或收敛）
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
V Step 1 : 得到n 时间步的值
n
Step 2: 进行如下迭代直至收敛
p k 1 p k V k 0 t V k 1 V k 1 2 n V n V n p k V t Re
§7―2交错网格
一、交错网格
1. 主控制容积网格。
nn
W
y
n
uw
x
N P S
un ue us
NE
ne
S
E
uee
功用： a 存放除速度 以外的其它参数，T , , c p , k 和p。 b 作为除动量方程外其他方程的控制容积，以稳态能量 方程为例：
u ,
a pTp awTw aN TN aETE aSTS b
pE和p p 是相邻点的值，这就是交错网格的好处。
3. v控制容积网格。 a 以 vn 的位置为中心，与以p为中心的主控制网格在y方 1 向上相差 y ，存在速度v。 2 b 作为v向动量方程的控制容积。 c 压力梯度从源项分离出来。
e N
w P
e P N ( )dxdy ( P |P )dy ( PP PN )x w x
PP和PN 是相邻点的值。
二、界面参数
1. 流量
ue 西界面流界 F
FP Fe
xw
P
，而速度在 ue 和
xe
u w上，故：
xw
xP
Fw
xP
( u ) e y
xP
( u ) w y
xe_
xP
2. 密度 由 于放在主网格上，故 ( u )e 中的 e 需插值。
n 1 n 1 n 1 n 1
p n 1 p* p' （4）
带入离散的连续性方程： (ui 1/ 2, j ui 1/ 2, j ) / x (vi , j 1/ 2 vi , j 1/ 2 ) / y 0 得到离散的压力Poisson方程：
ˆ p'i , j c1 p'i 1, j c2 p'i 1, j c3 p'i , j 1 c4 p'i , j 1 c
当流场均匀 ui ui 1 ui 1。压力场应为 pi pi 1 pi 1， 但一个锯齿或台阶压力场也满足上述差分格式，因为离散 方程中不包含 pi 点，造成检测压力场的能力不强。 因此，为了解决流场计算的压力场检测问题，以及保 证计算的准确度及对压力的物理特性模拟，可以采用交 叉网格（staggered grid）。
2 u 2 u v v 2 p 2 y x y x 2
例： 求解驱动方腔流动 问题描述： 如图示边长为L的方腔，上表面流体以常速度U 运动，求解里面的流场（假设流动定常）。
Re UL
第七章 不可压缩流动问题的 数值计算方法
上一章的通用方程适用于没有压力梯度项的能量、质量方 程，或压力分布已知，将其并入源项的动量方程。 本章介绍速度、压力为未知量时，动量方程即N－S方程的 求解。
§7－1 控制方程及求解的困难
为了形式简洁，且与上一章形式一致，采用求和符号规则， 写出控制方程
( u j ) 0 t xi ( ui ) p ui ( uiu j ) (u ) S g t xi xi x j x j
提示： 对于定常问题，内迭代无需收敛，最终时刻收敛即可
19
2
du dp d u u 2 用中心差分 dx dx dx
i–1 w