云南省昭通市水富县云天化中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．设集合P={x|0≤x≤3}，N={x∈Z|﹣3＜x＜3}，则P∩N=（）A．{x|0≤x＜3}B．{x|﹣3＜x＜3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．设复数Z满足Z（1﹣i）=3﹣i，i为虚数单位，则Z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．104．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．22 B．46 C．94 D．1905．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π6．已知函数f（x）=sin（ωx+）+2（ω＞0）的图形向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．7．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内只有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（0，）9．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4010．设a，b，c大于0，则3个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于211．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．2812．已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1 B．0 C．2 D．0或2二、填空题：13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为．14．椭圆+=1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为．15．若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f′（1），则=．16．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b 的最大值是．三、解答题：17．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．18．设a＞0，f（x）=．（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论．19．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n ﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n=，前n项和为T n，求证：对于任意的n∈N*总有T n＜1．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=﹣，求k的值．22．已知e是自然对数的底数，F（x）=2e x﹣1+x+lnx，f（x）=a（x﹣1）+3（1）设T（x）=F（x）﹣f（x），当a=1+2e﹣1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．2017-2018学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1．设集合P={x|0≤x≤3}，N={x∈Z|﹣3＜x＜3}，则P∩N=（）A．{x|0≤x＜3}B．{x|﹣3＜x＜3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】例举出N中的元素，找出P与N的交集即可．【解答】解：∵P={x|0≤x≤3}，N={x∈Z|﹣3＜x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩N={0，1，2}，故选：C．2．设复数Z满足Z（1﹣i）=3﹣i，i为虚数单位，则Z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵Z（1﹣i）=3﹣i∴Z===，故选：D3．已知向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】由题意可得=0，由此解得x的值，可得+的坐标，从而根据向量的模的计算公式求得|+|的值．【解答】解：由题意可得=（x，1）•（1，﹣2）=x﹣2=0，解得x=2．再由+=（x+1，﹣1）=（3，﹣1），可得|+|=，故选B．4．如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．22 B．46 C．94 D．190【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 10 是第三圈 4 22 是第四圈 5 46 是第五圈 6 94 否故输入的S值为94故选C．5．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据公式求解即可【解答】解：由几何体的三视图知，几何体如图所示的三棱锥，∵几何体的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形，∴AB=BC=CD=1，且∠ABC=∠BCD=∠ABD=90°，可以看作是从长方体中截得的一部分，故外接球的直径是长方体的对角线，为2，故外接球的表面积为：4=12π，故选：B．6．已知函数f（x）=sin（ωx+）+2（ω＞0）的图形向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．【解答】解：∵函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=6n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是6．故选：A．7．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．8．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内只有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（0，）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，据函数的极值点是导函数的根；由已知函数只有一个极小值，画出导函数的图象，结合图象列出不等式组，求出b的范围．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6b，由题意，函数f′（x）图象如右．∴即得0＜b＜．故选：D9．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a 的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．10．设a，b，c大于0，则3个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式比较大小．【分析】假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，又利用基本不等式可得a++b++c+≥6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．从而得出正确选项．【解答】证明：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选D．11．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．28【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21•C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22•C71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C．12．已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．1 B．0 C．2 D．0或2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，f（x）+＞0，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵ [xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：B二、填空题：13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最小，由，得，即A（，），的最小值为=，故答案为：．14．椭圆+=1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意可知要使椭圆的焦点在y轴上，需满足n＞m，对n=1，2，3，4，5，6，7，看m能取的数的个数，最后向加即可求得答案．【解答】解：要使椭圆的焦点在y轴上，需n＞m，故n=2时，m可取1个数，n=3时，m可取2个数，n=4时，m可取3个数，n=5时，m可取4个数，n=6时，m可取5个数，n=7时，m可取5个数，故椭圆的个数1+2+3+4+5+5=20故答案为：20．15．若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f′（1），则=﹣4．【考点】定积分．【分析】先根据导数的运算法则求导，再求出f′（1）=﹣3，再根据定积分的计算法计算即可．【解答】解：∵f（x）=x3+x2f′（1），∴f′（x）=3x2+2xf′（1），∴f′（1）=3+2f′（1），∴f′（1）=﹣3，∴f（x）=x3﹣3x2，∴=（）|=4﹣8=﹣4，故答案为：﹣4．16．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．故答案为：．三、解答题：17．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2﹣ab=（a +b ）2﹣3ab=（a +b ）2﹣12，解得：a +b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．18．设a ＞0，f （x ）=．（1）写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的结论．【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．【分析】（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列{a n }的通项公式； （2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设． 【解答】（1）解：∵a 1=1，∴，猜想…（2）证明：①n=1时，猜想正确． …②假设n=k 时猜想正确，即，…则这说明，n=k +1时猜想正确． …由①②知，…19．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n =3a n ﹣3．（I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }的通项公式是b n =，前n 项和为T n ，求证：对于任意的n ∈N *总有T n ＜1．【考点】数列的应用；数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）由已知得，故2（S n ﹣S n ﹣1）=2a n =3a n ﹣3a n ﹣1．由此可求出a n =3n （n ∈N *）．（Ⅱ），所以T n =b 1+b 2+…+b n =1﹣．【解答】解：（I）由已知得故2（S n﹣S n﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1即a n=3a n﹣1，n≥2故数列a n为等比数列，且q=3又当n=1时，2a1=3a1﹣3，∴a1=3，∴a n=3n，n≥2．而a1=3亦适合上式∴a n=3n（n∈N*）．（Ⅱ）所以T n=b1+b2+…+b n==1﹣．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．（2）根据二面角平面角的定义先找出平面角，结合直线和平面所成角的定义作出线面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点M，连接MF，AM．又∵F为PC的中点，∴FM∥BC，FM=BC，（中位线定理），∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，AE=BC，∴FM∥AE，FM=AE，∴四边形AEFM为平行四边形∴EF∥AM，∵MA⊂平面PAB，EF⊄⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）∵BA=BD，PA=PD 且E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEB=60°，∵在Rt△ABD，BA=BD=，AD=2，∴BE=1，∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB=，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成角，∵在Rt△ABM中，AM=∴，∴在Rt△EBF中，sin∠EFB===，∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=﹣，求k的值．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意长轴长为4求得a的值，在有椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，）建立方程求解即可；（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据•=﹣建立k的方程求k．【解答】解：（I）由题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，∵点在椭圆上，∴解得：b2=3椭圆的方程为：；（II）由直线l与圆O相切，得：设A（x1，y1）B（x2，y2）由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2==∴=∵m2=1+k2∴，解得：，∴．22．已知e是自然对数的底数，F（x）=2e x﹣1+x+lnx，f（x）=a（x﹣1）+3（1）设T（x）=F（x）﹣f（x），当a=1+2e﹣1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，证明T′（x）＞0，即可证明结论；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），则2e x﹣1+x+lnx≥a（x﹣1）+3，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：当a=1+2e﹣1时，T（x）=F（x）﹣f（x）=2e x﹣1+x+lnx﹣（1+2e﹣1）（x ﹣1）﹣3T′（x）=2e x﹣1+1+﹣（1+2e﹣1））=2e x﹣1+﹣2e﹣1，∵x＞0，∴T′（x）＞0，∴T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：若∀x≥1，F（x）≥f（x），则2e x﹣1+x+lnx≥a（x﹣1）+3令y=2e x﹣1+x+lnx，则y′=2e x﹣1+1+，∵x≥1，∴y′=2e x﹣1+1+＞0，函数单调递增，∴y≥3，∴∀x≥1，3≥a（x﹣1）+3∴a（x﹣1）≤0∵x≥1，∴a≤0．2018年8月29日。