“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题(含答案)
一道教材习题的求解及拓展应用
二
算 ：已知 ｌ ＋２ ４３ ＋ ２ ５ ４６ ＋… ４／ ＝ １ｎ ｎ＋１ （ｎ＋１ Ｚ ２ ４４ ２ 。 － － － －２ （ ２ ）２ ）
，
么 ２ ＋４ ４６ ４ … ＋５ － － ０＝
４＋５＋ … ＋ ｎ：
．
— —
探究 问题能力 的考查 ，这就要求 教师在平 时 的授课 过程 中应注
重学 生这方 面能力 的培养 ，让学 生在探 究 问题 的过程 中设 法去 找 到一种规律 ，进而 理解一类 问题 ，从 而掌握 一种探求 知识 的
方法 ，深入 体会 一个变量 随着另一 个变量的变化而变化 的规律 ，
数 学知 识 的连 贯性 ，这 正 是 《 Ｅ制 义 务教 育 数学 课 程标 准 受到 了学生 的合作 探究能 力是无 限的 ，只要给他们 机会 ，学生 全 ｌ
（ 实验稿） 以下简称 》（
碓 ） 的实施要求 ，如果能让学生深入 就会给教师带来惊喜．
探究这类 问题 ，将会 大大提高学生探究 问题 、分析问题的能 力，
３＋… ＋（ ｎ一１ ＋／ ） ２ ７ ， ，把 １ ，３ ，２ ，… ，（ 一１ ，ｎ倒过来写 ，即 ｎ ）
Ｔ ２＋（ ＝／ 凡一１ ＋… ＋３＋２ ． ） ＋１
一 一
＝
一
（ － １４２＋ ３＋４＋５＋６＋ … ＋９ ９＋ １ ０ ０）
１０ １ ０ ） ０ （ ＋１０
２
－
Ｔ＝１十 ２
生 ：我们小组 是利用 图形 的性 质来解 决这一 求值 问题 的． 也会为高 中数列知识 的学习打下坚实的基础． 笔者 在教 学过程中 可 以采 用 如 下 方 案 ： 启发 、引导学生 对 “ ｎ个正整数 的和”这一问题进行 了探究 ， 求 如图 ２ ，在斜 线 左 边 并进行了适当拓展 ，收到 了很好的效果．现将探究过程写下来 与 的三角 形 图案是 由上 各位同行交流． 到下每 层依 次分别 为 鲁教版 《 义务教 育课 程标准实验教科 书 ・ 数学》 九年级 上册
江苏省历年初中数学竞赛试题及解答(23份)
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 (1)第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试 (3)江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题 (6)江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级 第二试 (8)江苏省第十五届初中数学竞赛初三年级 (14)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛A 卷 (19)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B 卷 (24)第十六届江苏省初中数学竞赛试题(C 卷)初三年级 (29)江苏省第十七届初中数学竞赛 初一年级 第l 试 (33)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初一年级(第2试) (35)江苏省第十七届初中数学竞赛 初二年级 第l 试 (38)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初二年级(第2试) (40)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初三年级 (43)江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试 (45)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中一年级 第2试 (48)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中二年级 第2试 (52)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中三年级 (57)江苏省第十九届初中数学竞赛初一年级 第1试 (60)江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试 (62)江苏省第十九届初中数学竞赛试卷初二年级第2试 (65)江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级(第1试) (71)江苏省第十九届初中数学竞赛(保留)初三年级第l 试 (73)江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案初三年级(第2试) (80)第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )．(A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( )(A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )．(A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )．(A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离(C)A 、B 两点到原点的距离之和(D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )．(A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋ba (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn二、填空题(每小题?分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)= 10．计算：0．7×194+243×(－15)+0．7×95+41×(-15)= ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x =17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月．18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是 元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有 元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中a 1＝6×2+l ；a 2＝6×3+2；a 3＝6×4+3；a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝ ；当a n ＝2001时，n ＝ .20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D二、9.一6a +1 06． 10．一43．6． 11．男生比女生多的人数．1 2．90． 1 3．1 6． 1 4．0．1 2 5． 1 5．-151 1 6．1． 1 7．1988；1．18．1022．5；101 8．1 9．7n+6；2 8 5．2 O ．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组） （15:30~17:00）满分150分，考试时间90分钟一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的。
每题7分，共同42分） 1．从-3，-2，-1，4，5中任取2个数相乘，所得积中的最大值为a ，最小值为b ，则ab 的值为 （ ） A ．-43 B ．-12 C ．13 D ．2032．在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点为O (0，0)， A (1，1)，B (3,0)，则顶点C 的坐标是 （ ） A ．（-3，1） B ．（4，1） C ．（-2，1） D ．（2，-1）3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，已知AC =5，AD =4，则AB 的取值范围是 （ ）A ．91<<AB B ．133<<ABC ．135<<ABD ．139<<AB4．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展形图，点O 、A 、B 分别是格点，已知小正方形方格的边长为1cm ，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A ．2 2 cmB ． 2 cmC ．22 cm D ．12cm5．设整数x ，y 满足不等式x 2 + y 2 ≥ 2x + 2y ，则x + y 的不同值的个数为 （ ）A ．9B ．7C ．5D ．46．在如图所示的4×4方格中，每一横行、纵行和对角线上都应是1，2，3，4四个数，则a 与b 乘积的值为 （ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2二、填空题7．若将9个数按照从小到大的顺序排成一列，中间的数恰是这9个数的平均数，前5个数的平均数是40，后5个数的平均数是60，则这9个数的和为 。
8．设b 为实数，点P (m ，n )(m >0)在函数y=- x 2 + bx +2 的图象上，点P 关于原点的对称点Q 也在此函数的图象上，则m 的值为 。
9．口袋中装有5个小球，其中1个红球，2个黄球，2个白球，它们的大小、形状完全一样。
2008年时代杯数学竞赛(答案)
“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）（答案）1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（ B ）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ D ）．A．B．D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（ C ）．2+6 3+5 4+4 5+3 6+21+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+11+5 2+4 3+3 4+2 5+11+4 2+3 3+2 4+11+3 2+2 3+11+2 2+11+126/36=13/18 1-13/18=5/18A．12B．13C．518D．411 4．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（ D ）．A．45 B．46 C．48 D．4923+26=49 密封线姓名学校考号表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】以直角三角形的最短直角边为分类依据，最短边依次可以是：2．所以有3个．6．将BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）．A． 37 B．8 C．65D．215A B A B【解析】方法一：如图连接CD，作高CE，易证CA=CD，由三线合一可以知道1422AE DE==⨯=，则257BE=+=，在Rt ABC∆中，由射影定理可得：22714CE=⨯=，再在Rt BCE∆中使用勾股定理：BC=方法二：如图，由翻折联想到对称，取点,A D关于BC的对称点,A D''，可以知道'5,'4BD BD AD AD====，在'Rt ABD∆中使用勾股定理：'AD=．又在''Rt AA D∆中使用勾股定理：AA'=．所以：AC=最后在Rt ABC∆中使用勾股定理：BC===二、填空题（每题6分，共24分）7．若不等式组⎩⎨⎧x－a＞2，b－2x＞0的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2009的值是．【解析】1-8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A、B、C，甲车从A出发匀速开往C，乙车从B 出发匀速开往A．若两车同时出发，当甲车到达B时，乙车离A还有40km；当乙车到达A时，甲车正好到达C.已知BC＝50km，则A、B两镇相距km.．．D EF（【解析】由题意得：4050v x x vv x xv ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩甲乙甲乙 可以得到：200x =9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．【解析】337．设方程的两个根为1212,()x x x x <．由韦达定理可知：1220097417x x q q ==⨯⨯． ∵12,x x 为质数，∴127,41x x ==． ∴()4177336,1p q =+⨯==．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______．【解析】3． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？【解析】不相交． ……………… 3分 由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分 则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分 从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?【解析】由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3）， 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm.．……………12分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分C AD B E答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．【解析】证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. ……………3分 因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ．……………6分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c 2.……………6分 因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分 所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数. ……………18分14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关． 【解析】（1）t =2n +1． ……………6分（2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．【解析】证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ． 连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ． 所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2 C A D B E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M。
2008年“时代杯”答案
2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C ． 二、填空题（每小题5分，共40分）11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2． …………… 3分所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++， ……………… 3分所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++，从而有11,1 1.k k -=-⎧⎨--=-⎩解得k ＝0． ………………………………7分（2）322221(1)(1)121(1)x x x x x x x x x --+--==+-+-． 因为x 是整数，所以x ＋1是整数．故322121x x x x x --+-+是整数． ……………… 14分21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为824=（米/小时）． 当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为13（米/小时）； 当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为52（米/小时）．因为13＜2，2＜52，所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为631+-=t h ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.631,82t h t h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.528,56h t 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ． 由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完． 当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为22525+-=t h ． 当t ＝4时，25=h ，即h ＝2.5．所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG ∥BC ，且DG ＝12BC ．分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝12AM ．故T ＝12S ． ………………………6分（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ． 因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ． 同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ． 同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．T ＝S －S △ADG －S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－14] S＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤12S ．…………………12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′， 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′ ． 由（2）知，S □DEF ′G ′ ≤12S ．所以T ≤12S ．② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两图3-1ABDEF GG ′F A 图3-2BCDEFGH F ’G ’种情形，则T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF≤12 S △ABH + 12S △AHC =S ．第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上．①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ，作平行四边形MNKL ． 问题转化为（2）．则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤12S ．②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交G M 于点N ．易 得四边形DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤12S ．第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于 点N ．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时，如图3-6，延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于点N ．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S ．综上，对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 成立．…………………18分图3-3ABDEF GKL图3-4AB D EF GKM N图3-5 ADEF GK MN ABCDE FG 图3-6K MN。
2008年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）（C ） （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以 444y x +=22233y x++- 2226y x =-+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条（第3题）【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2a （B ）1 （C）2 （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒- 120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．（第4题）又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-． 解：由1()4x a x **=-，得 21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠， 所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ． 【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DE h BC -=， 所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h abc -=⋅=-=-++ ()a b c a b c+=++， （第8题） （第8题答案） （第8题答案图）（第9题答案）故 879168793DE ⨯+==++（）． 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<． 所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（1） 用b 表示k ；（2） 求△OAB 面积的最小值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b x k k=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b A B b k-（，，，，于是，△OAB 的面积为 )(21kb b S -⋅=． 由题意，有3)(21++-=-⋅b kb k b b ， 解得 )3(222+-=b b b k ，2b >． ……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立． 所以，△OAB 面积的最小值为1027+．……………… 15分12．已知a b ，为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y ，，且满足11222008x y x y -=．求b 的最小值．解：关于x 的方程220x ax b -+=的根为a ，关于y 的方程220y ay b ++=的根为a -．t =，则当1212x a t x a t y a t y a t =+=-=-+=--，；，时，有11220x y x y -=，不满足条件；当1212x a t x a t y a t y a t =-=+=--=-+，；，时，有11220x y x y -=，不满足条件；当1212x a t x a t y a t y a t =-=+=-+=--，；，时，得11224x y x y at -=；当1212x a t x a t y a t y a t =+=-=--=-+，；，时，得11224x y x y at -=-．由于0t =>，于是有502at =．……………… 10分又由于a 为正整数，得知t 是有理数，从而t 是整数．由502at =，得2512a t ==，，即b 取最小值为22b a t =-=22251262997-=．所以，b 的最小值为62997．……………… 15分13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．……………… 5分 如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形． 又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BD CD CD AD =， 即 cb a a b +=， 所以 ()c b b a +=2．而264(45)=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．……………… 15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（第13（A ）题答案）（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1-=n b （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=--，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ； （ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1-=n b （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1-=n c （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()()1212-=+n n n ，即 0132=--n n ，此方程无整数解． 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．……………… 5分当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125a a a ，，，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．若125a a a ，，，中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若125a a a ，，，中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5． ……………… 15分情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
一道平面几何题的演变轨迹
图形 运动 的观 点 ， 就会 发 现 只 要 将 ＡＡ Ｄ 顺 时针 旋 转 Ｃ
９。 ０ 即得 ＡＡ Ｂ， Ｅ 因此 Ｃ Ｄ＝Ｂ 而且 我们 还 附带得 到 了 Ｅ，
ＣＤ Ｌ ＢＥ．
１ 立足原题
提 炼 本 质
形成 的两对对顶角 中， 有一对 大小 为 Ｏ １ ．
Hale Waihona Puke 如果引入图形旋 转 ， 将静 态 问题 动态化 ， 么我 们 那
题 ５ 以ＡＡ Ｃ的两边 Ａ Ａ Ｂ Ｂ，Ｃ为边 向形 外 作 等腰 三角形 ａＢ Ｄ， Ａ ， Ａ ＡＣ Ｅ Ａ为顶点． 求证 ：Ｄ＝ Ｅ Ｃ Ｂ．
在题 ５中 ， 已知 ／Ｄ Ｂ＝／Ｅ Ｃ＝ ， ＡＡ Ｄ顺 若 Ａ Ａ 则 Ｃ 时针旋 转 可得 ＡＡ Ｂ， Ｅ 由此我们 还能得 到 Ｃ Ｂ Ｄ， Ｅ相交
与 ＡＡ Ｅ Ｐ， Ｒ 分 别 为 Ａ Ｃ ． ｑ， Ｄ，
由 ／ｏ ｑ＝１ 。 Ｂ Ｒ ａ ５： Ａ ， 得 ／Ｄ Ｍ ＝ Ｑ Ｒ， Ａ Ａ
４ ８
十‘擞・ （ １年 ６ 初 版 ７ ？ ２￣ 第 期・ 中 ） ｏ
・ 复习参考 ・
一
道 平 面几 何 题 的 演 变 轨 违
２ ５ ０ 江 苏省兴 化市 第 一 中学 张 ２７０ 俊
在本 文 中， 者将 从一 道 常见 的平 面几 何 问题 出 笔
ＡＡ Ｃ分别为 以Ａ Ａ Ｎ Ｂ，Ｃ为斜边的两个不全等的等腰 直角 三角形 ， 现固定ＡＡ Ｂ， Ｍ 而将ＡＡ Ｃ绕 Ａ点在平面上旋转． Ｎ 求证 ： 线段 Ｂ Ｃ上必存在点 Ｐ， ＡＭＰ 为等腰 直角 三角 使 Ｎ
确性是显 明的．
Ｂ Ｄ Ｃ
Ｂ作直线 ｃ ｃ Ｑ，Ｐ的垂线段 ， 垂
足为 Ｄ， 取 Ａ Ｅ， Ｂ中点 ， 连接
2008全国初中数学竞赛试题以及参考答案
“ 《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题,每小题6分,满分30分．每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，,则444y x+的值为（ A ）． （A ）7 （B ）113+ （C ）713+ （D ）5 解：因为20x >,2y ≥0,由已知条件得2124443113x ++⨯⨯+==, 21143113y -++⨯-+==, 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7． （2）把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为n m ,,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12解：基本事件总数有6×6＝36,即可以得到36个二次函数.由题意知∆＝24m n -＞0,即2m ＞4n .通过枚举知,满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. （3）有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条解：如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ,F中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线．所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为（ B ）．（A 5 （B ）1 （C 3（D ）a 解：如图,连接OE ,OA ,OB ． 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠． 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-, 所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==． （5）将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有（ D ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种解：设12345a a a a a ，，，，是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列．首先,对于1234a a a a ，，，,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件：2,1,3,4,5； 2,3,5,4,1； 2,5,1,4,3；4,3,1,2,5； 4,5,3,2,1．二、填空题（共5小题,每小题6分,满分30分）（6）对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >,或1a <-．解：由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得,0a >,或1a <-．（7）小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33． ② 由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．（8）如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 ．【答】9．解：如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB ．又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． （9）△ABC 中,AB ＝7,BC ＝8,CA ＝9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC相交于点D ,E ,则DE 的长为 ． 【答】163．解：如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此 a a h r DE h BC-=, 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故879168793DE ⨯+==++（）． （10）关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数．设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,b a ,都是偶数．设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数．设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是22(13)(13)s t -++＝2213⨯,其中s ,t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<． 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +＝289,从而13s -＝7．有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题,每题15分,满分60分）（11）在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（Ⅰ）用b 表示k ；（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．解：（Ⅰ）令0=x ,得0y b b =>，；令0=y ,得00b x k k=-><，． 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-（，，，, 于是,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=． 由题意,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >． …………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+,当且仅当1022b b -=-时, 有S =即当102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立．所以,△OAB 面积的最小值1027+． ……………… 15分（12）已知一次函数12y x =,二次函数221y x =+． 是否存在二次函数23y ax bx c =++,其图象经过点（－5,2）,且对于任意实数x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在,求出函数3y 的解析式；若不存在,请说明理由．解：存在满足条件的二次函数．因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0,所以,当自变量x 取任意实数时,1y ≤2y 均成立．由已知,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点（－5,2）,得2552a b c -+=． ①当1x =时,有122y y ==,3y a b c =++．由于对于自变量x 取任意实数时,1y ≤3y ≤2y 均成立,所以有2 ≤a b c ++≤2,故2a b c ++=． ②由①,②,得 4b a =,25c a =-,所以234(25)y ax ax a =++-．……… 5分当1y ≤3y 时,有 2x ≤24(25)ax ax a ++-,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩，． 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩，所以13a =．……………… 10分 当3y ≤2y 时, 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +, 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩，． 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩，所以 13a =． 综上,13a =,443b a ==, 1253c a =-=． 所以,存在二次函数23141333y x x =++,在实数范围内,对于x 的同一个值,都有1y ≤3y ≤2y 成立． ……………… 15分（13）是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根,则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数．因此,有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩， 消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ． ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q ＝5；对于第2,5种情形,2p =,从而q ＝4（不合题意,舍去）；对于第4种情形,q 是合数（不合题意,舍去）．又当2p =,q ＝5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==，,它们都是有理数．综上所述,存在满足题设的质数． ……………… 15分（14）如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，,a b c ，，都是整数,且a b ， 的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图,延长GI ,与边BC CA ，分别交于P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，,易知CP ＝CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△, 可得()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾． 不妨假设a b >,由于()2a b =，,设()1111221a a b b a b ===，，，,于是,有1111126a b ab a b a b =++为整数, 所以有11()12a b +,即()24a b +．于是只有1410a b ==，时,可得11c =,满足条件．因此有35a b c ++=．所以,△ABC 的周长为35． ……………… 15分。
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“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分） 1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（ ）．A ．5050B ．－5050C ．100D ．－1002． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）．A ．B ．D ．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（ ）．A ．12B ．13C ．518D ．4114．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x ＋y 的值为（ ）． A ．45 B ．46 C ．48 D ．49表一 表二 表三 5．如图，△DEF 的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC ，使得△ABC ∽△DEF ．如果相似比 ABDE=k ，那么k 的不同的值共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个密封线姓名 学校考号D EF（6．将 BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）．A ． 37B ．8C ．65D ．215二、填空题（每题6分，共24分）7．若不等式组 ⎩⎨⎧x －a ＞2，b －2x ＞0的解集是－1＜x ＜1，则 (a ＋b )2009的值是 ．8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A 、B 、C ，甲车从A 出发匀速开往C ，乙车从B出发匀速开往A ．若两车同时出发，当甲车到达B 时，乙车离A 还有40km ；当乙车到达A 时，甲车正好到达C .已知BC ＝50km ，则A 、B 两镇相距 km .9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？． A B C ． ．CADBC AD B E12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 是一个整数．14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关．15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．CAD B EFO PQ参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．C ．6．A ． 二、填空题（每题6分，共24分）7．－1．8．200．9．337．10．233．三、解答题（每题18分，共90分）11．解：不相交． ……………… 3分 由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分 则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分 从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分 12．解：由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3）， 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm.．……………12分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分 13．证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. ……………3分 因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ．……………6分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c 2.……………6分因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数. ……………18分14．解：（1）t =2n +1． ……………6分 （2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分 由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分 15．证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分图1图2 C A D E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M从而∠BON=∠BOM＋∠MON＝∠CON＋∠MON＝∠COM．所以△OMC≌△ONB，所以CM=BN，从而DQ＝DP．……………18分。