工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核.
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材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算_4209846
静矩、形心及其相互关系 (设x轴方向单位面积上的力为1个单位)
y
z
y
zC
dA
y
C
z
yC
O
O A
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
S z ydA
A
（联想中值定理）
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
弯曲应力和强度计算工程力学
的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单
向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ]，即
max
M max Wz
≤[σ]
（3.10）
式(3.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是，
式(3.10)只适用于许用拉应力[σl]和许用压应力[σy]相等
的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
相应地，抗弯截面系数为
Wz
Iz ymax
=
bh 2 6
(3.7b)
2. 圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的
惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图3-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(3.8a) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图3-3)，微面积上的 微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对
中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0 和 A
M= ydA 将σ=Ky代入以上两式，得 A
FN= KydA 0 A
第三章 弯曲强度与刚度
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力 3.2 梁弯曲时正应力强度计算 3.3 弯曲切应力简介 3.4 梁的弯曲变形与刚度 3.5 提高梁的强度和刚度的措施 小 结
返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.1 纯弯曲变形
一般情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上 的某点而言，则既有正应力又有切应力。但是，梁的强度主 要决定于横截面上的正应力，切应力居次要地位。所以本节 将讨论梁在纯弯曲(截面上没有剪力)时横截面上的正应力。
第八章-弯曲剪应力和强度校核(材料力学课件)[1].
![第八章-弯曲剪应力和强度校核(材料力学课件)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/bcc2d6830b4e767f5bcfce20.png)
• (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面 的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面 弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实 体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带 来的影响可以忽略不计。
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
模量较大。
P
h
zb
b
z
h
CL8TU20
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
l
x
ql 2
M
M
8
q
x
l x 0.207 l 0.0214ql 2
CL8TU22
P
l
l
2
2
M Pl / 4
aPa
22
l
l
2
2
M
a l 2
Pl / 8
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
I S Z*
Z max
三、圆截面梁的剪应力
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4 3
Q A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[ ]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
模量较大。
P
h
zb
b
z
h
CL8TU20
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
l
x
ql 2
M
M
8
q
x
l x 0.207 l 0.0214ql 2
CL8TU22
P
l
l
2
2
M Pl / 4
aPa
22
l
l
2
2
M
a l 2
Pl / 8
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
I S Z*
Z max
三、圆截面梁的剪应力
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4 3
Q A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[ ]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
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M
dA
z
y
z σ dA
M=∫ A σdA· y源自y 正应力 公式：My s = Iz
E ∫ y2dA = ρ A E I z = ρ 1 M = 中性层曲率公式 E I ρ z
EIz —— 梁的抗弯刚度
7
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正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力： smax = 令 得 Iz Wz = ymax Mymax
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Ch10
弯曲应力
梁的横截面上一般同时存 在正应力和切应力。
a
A
C F FQ
+
F
F D
a
B
§10-1 弯曲正应力
纯弯曲： 梁弯曲时，横截面上只有 弯矩而没有剪力。CD段 剪切弯曲： AC、DB段
F
M
+
Fa
1
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一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
dq
a
1
b
y
a'
dx
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
1
b'
4
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变形前
dx= ab=O1O2
变形后 O' O' =ρdθ 1 2
=O1O2
1 O1 2 O2 2
dq
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变 1 O1' 2 O2' 2
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ
a
1
b
y
a'
dx
1
b'
dx
=
y
ρ
5
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二、物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
6
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三、静力学关系
E ∫A FN= σdA = ∫ A ydA =0 ρ
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
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s tBmax
D t max
M B ytBmax = = 21.4MPa Iz
D t max
s cBmax
M B ycBmax = 38.6MPa = Iz M B ycDmax = = 12.1MPa Iz
D MD y s c max s = = 21.7MPa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
10
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第十九次课结束处
F=20kN A C B
3m
3m
M max 1 2 4 3 = 91.8MPa s max = 2. 矩形截面 Wz = bh = 32.67 10 mm Wz 6 3. 圆形截面 由 1 d 2 = bh 得 d = 133.5mm 4 M max 1 3 4 3 s max = = 128.4MPa Wz = d = 23.36 10 mm Wz 32
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
8
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对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M( x ) y Iz Mmax Wz
M( x ) 1 = ρ( x ) E Iz
q=20kN/m
A
220 C 2m 60
D
4m 40 +
B
c yc=180
z
280
1.5m 22.5 M/kN· m 解： 1. 作弯矩图
x
60
y
MB=-40kN· m MD=22.5kN· m
B、D截面为危险截面
12
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
smax =
9
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例6-1 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 F=20kN A 3m 解： 1. 求最大弯矩Mmax C 3m B
M max
1 1 = Fl = 20kN 6m = 30kN m 4 4
B
c
yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 s tBmax = B t max = 21.4MPa Iz B yt max = 100mm B 6 4 M y I z = 186.6 10 m 13 s cBmax = B c max = 38.6MPa B yc max = 180mm Iz B、D截面为危险截面
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
3
s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
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例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
2
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假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
3
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横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 形规律： 取微段梁dx 1 O1 dx 2 O2 2 1 O1' 2 O2' 2
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面