数学史复习整理
数学简史知识点总结归纳
数学简史知识点总结归纳1. 古代数学古代数学是从古埃及、古希腊、古印度和古中国等地区开始发展起来的。
在古埃及，人们利用几何学解决了土地测量的难题，同时古埃及人还发明了一些数学符号和计算方法。
古希腊的数学以几何学为主，数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，创立了毕达哥拉斯学派。
古印度数学的发展与宗教信仰和日常生活密不可分，古印度数学家为了解决宗教仪式和天文观测问题，开创了代数、几何等数学概念。
古中国数学的发展主要体现在算术和几何方面，古代数学家刘徽撰写《九章算术》，成为中国古代数学的经典著作。
2. 中世纪数学中世纪数学是指从公元5世纪到15世纪的欧洲数学发展历程。
在这一时期，数学主要受到宗教和神学的影响，在天文学、几何学和代数学等方面取得了一些进展。
文艺复兴时期，数学得到了较大的发展，文艺复兴学者对古代数学知识进行了整理和研究，同时大航海时代的到来也促进了数学的发展，航海家和地图制作者需要对航海和天文进行精确的数学计算。
伽利略、开普勒等科学家的研究成果为数学的发展注入了新的活力。
3. 近代数学近代数学的发展可以追溯到17世纪的科学革命，牛顿和莱布尼兹的微积分学的发明是近代数学的里程碑。
微积分学为物理学和天文学等自然科学领域的发展提供了重要的数学工具，同时也推动了数学的发展。
18世纪，欧拉、拉普拉斯、拉格朗日等数学家对微积分学、分析学、代数学等领域进行了深入研究，为数学建立了新的理论体系。
19世纪，高斯、黎曼、阿贝尔等数学家的工作推动了代数、几何和数论等领域的发展，同时复数、矩阵、群论等数学概念的提出也为数学提供了新的发展方向。
4. 现代数学现代数学的发展可以追溯到20世纪初，20世纪是数学发展的黄金时期，数学家们对几何学、拓扑学、数论、逻辑学、概率论、统计学等各个领域进行了深入研究。
在这一时期，勒贝格、卡尔曼、冯·诺伊曼等数学家提出了测度论、控制论、算法等数学理论，为现代数学的建立和发展做出了重要贡献。
数学史知识点及解答
数学史知识点及解答1. 欧几里得算法欧几里得算法是古希腊数学家欧几里得提出的一种求最大公约数的方法。
该算法的基本原理是通过连续除法的方式，将两个数的较大数除以较小数，然后用余数替换较大数，不断重复这个过程直到余数为零。
最后一次余数不为零的除数即为这两个数的最大公约数。
例如，对于数字36和48，用欧几里得算法可以得到他们的最大公约数为12。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一种数学序列，起始于0和1，后续的每个数都是前两个数的和。
这个数列在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的前几个数字依次为0、1、1、2、3、5、8、13、21...以此类推。
斐波那契数列的性质在组合数学、几何学和计算机科学等领域有重要的应用。
3. 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一道关于质数的未解之谜。
它由德国数学家哥德巴赫在18世纪提出，猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以分解为两个质数之和。
虽然这个猜想在很多特殊情况下得到了证明，但至今尚未找到一个通用的证明方法。
哥德巴赫猜想是数论领域一个备受关注的问题，至今仍然是一个未解之谜。
4. 无理数的发现无理数是一类不能用两个整数的比值来表示的实数。
最早的无理数发现可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯。
他们通过构造正方形的对角线，发现了无法被有理数表示的长度。
这个发现颠覆了当时数学界的观念，并为后续的数学理论奠定了坚实的基础。
著名的π（圆周率）和√2（根号2）都是无理数的例子。
5. 导数与微分导数和微分是微积分中的重要概念，由众多数学家在不同时期独立发现。
导数描述了函数曲线上某一点的斜率，可以用于求变化率、最优化问题等。
微分引入了一个新的数学对象——微分形式，使得数学分析中的计算和推理更加方便。
导数和微分在物理、经济学和工程学等领域有广泛应用。
总结：数学史上有许多重要的知识点和发现，它们不仅为数学学科本身带来了深远的影响，也推动了其他科学领域的发展。
欧几里得算法、斐波那契数列、哥德巴赫猜想、无理数的发现以及导数与微分等都是数学史上具有重要意义的内容。
数学史考点总结
数学史考点P7P8 恩格斯和美国学者对数学的定义。
恩格斯对数学的定义：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
美国学者对数学的定义：[数学]这个领域已被称作模式的科学（science of pattern ），其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
P14 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。
P17 古埃及的两部纸草书的名字。
莱茵徳纸草书和莫斯科纸草书。
P22 最伟大的埃及金字塔。
莫斯科纸草书中的截棱锥体。
P24 美索不达米亚人采用六十进制的位值记法。
P25 开方根计算的算法。
设x =并设a 1是这根的首次近似；由方程11/b a a =求出第二次近似1b ，若a 1偏小，则1b 偏大，反之亦然。
取算数平均值2111()2a ab =+为下一步近似，因为2a 总是偏大，再下一步近似22/b a a =必偏小，取算术平均值3221()2a a b =+将得到更好的结果。
这一程序实际上可以无限继续下去。
P29 普林顿322号泥板。
有一些泥板文书上的数学问题说明美索不达米亚数学除了实用的动机外，有时也表现示出理论兴趣。
P33 泰勒斯是第一位数学家和论证几何学鼻祖。
P36 万物皆数，形数。
“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条。
形数：借助几何图形（或点阵）来表示的数。
体现了数与形的结合。
P38任意有理数可以写成/p q =/αβ，α、β是整数且最大公约数是1，则有222αβ=，这里2α为偶数，则α也必为偶数，设2p α=，于是224p α=22β=，即222p β=，2β为偶数，则β也为偶数，这与α与β互P40 三个几何问题，化月牙形为方。
① 化圆为方，即做一个与给定的圆面积相等的正方形。
② 倍立方体，即求做一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
③ 三等分角，即分任意角为三等分。
P41 梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。
希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割圆曲线”。
数学史 复习资料
数学史复习资料一、选择题1、对古代埃及数学成就的了解主要来源于(A)A纸草书 B羊皮书 C泥版 D金字塔内的石刻2、对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于(C)A纸草书 B羊皮书 C泥版 D金字塔内的石刻3、《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的(B)A棱柱 B棱锥 C棱台 D楔形体4、射影几何产生于文艺复兴时期的(C)A音乐演奏 B服装设计 C绘画艺术 D雕刻艺术5、欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后第一位有影响的数学家是(A)。
A斐波那契 B卡尔丹 C塔塔利亚 D费罗6、被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是(B)A欧几里得 B泰勒斯 C毕达哥拉斯 D阿波罗尼奥斯7、被称作“非欧几何之父”的数学家是(D)A波利亚 B高斯 C魏尔斯特拉斯 D罗巴切夫斯基8、对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”其发现者是(C)A伽利略 B哥白尼 C开普勒 D牛顿9、公元前世纪数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？(C) A不可公度数 B化圆为方 C倍立方体 D三等分角10、印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是(C)A阿耶波多 B婆罗摩笈多 C马哈维拉 D婆什迦罗11、最早证明了有理数集是可数集的数学家是(A)A康托尔 B欧拉 C魏尔斯特拉斯 D柯西12、下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？(C)A阿耶波多 B马哈维拉 C奥马海亚姆 D婆罗摩笈多13、在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是(A) A希尔伯特 B庞加莱 C罗素 D F克莱因14、与祖暅原理本质上一致的是(D)A德沙格原理 B中值定理 C泰勒定理 D卡瓦列里原理．15、我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(C)A秦九韶 B杨辉 C朱世杰 D贾宪．16、就微分学与积分学的起源而言(A)A积分学早于微分学 B微分学早于积分学 C积分学与微分学同期 D不确定．17、在现存的中国古代数学著作中最早的一部是(D)A《孙子算经》 B《墨经》 C《算数书》 D《周髀算经》．18、中国古典数学发展的顶峰时期是(D)A两汉时期 B隋唐时期 C魏晋南北朝时期 D宋元时期．19、大数学家欧拉出生于（A）A瑞士 B奥地利 C德国 D法国．20、首先获得四次方程一般解法的数学家是(D)A塔塔利亚 B卡当 C费罗 D费拉利．21、世界上讲述方程最早的著作是（ A）A.中国的《九章算术》B.阿拉伯花拉子米的《代数学》C.卡尔丹的《大法》D.牛顿的《普遍算术》22.《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为（BA.托勒玫B.帕波斯C.阿波罗尼奥斯D.丢番图23.美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是（AA.六十进制B.十进制C.五进制D.二十进制24."一尺之棰，日取其半，万世不竭"出自我国古代名著（B）。
数学史复习资料
一、单项选择题关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。
1.B.兰德纸草书和莫斯科纸草书埃及纸草书和苏格兰纸草书A.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D.兰德纸草书和尼罗河纸草书C.。
以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )2.伊利亚学派A.爱奥尼亚学派 B.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派C.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。
3.C.《周髀算经》D.《孙子算经》《缀术》A.《九章算术》 B.。
4.首先使用符号“0”来表示零的国家或者民族是( )阿拉伯 D.C.古希腊印度A.中国B.。
5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )费罗塔塔利亚 D.A.卡尔丹 C.斐波那契 B.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。
6.牛顿C.开普勒 D.哥白尼伽利略 B.A.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( )7.泥版 D.金字塔内的石刻纸草书 B.A.羊皮书 C.8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( )三等分角A.不可公度数B.化圆为方C.倍立方体D.9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( )棱台 D.楔形体棱锥 C.棱柱 B.A.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( )10.婆什迦罗婆罗摩笈多C.马哈维拉 D.A.阿耶波多B.射影几何产生于文艺复兴时期的( )11.绘画艺术服装设计C.雕刻艺术 D.音乐演奏 B.A.微分符号“d”、积分符号“ ”的首先使用者是( )12.卡瓦列里开普勒 D.牛顿 B.莱布尼茨 C.A.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )13.匈牙利人A.葡萄牙人D.C.德国人俄国人 B.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( )14.柯西魏尔斯特拉斯 D.欧拉 C.A.康托尔 B.年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家()在190015.罗素 D.克莱因希尔伯特 B.庞加莱 C.A.）是我国古代两部重要的数学著作。
数学史概论复习资料
数学史复习资料第一章数学的起源与早期发展一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？（P13）1.古埃及的象形数字（公元前3400年左右）2.古巴比伦的楔形数字（公元前2400年左右）3.中国的甲骨文（公元前1600年左右）4.希腊阿提卡数字（公元前500年左右）5.中国的算筹码（公元前500年左右）6.印度婆罗门数字（公元前500年左右）7.玛雅数字（？）其中除巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系二、“河谷文明”指的是什么？（P16）历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国、印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。
三、古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？纸草书中问题绝大部分是实用性质，但个别例外，请举例。
（见P23）古埃及数学的知识，主要就是依据两部纸草书—莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。
四、美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处主要表现在哪些方面？（P23—25）1.大多数文明普遍采用十进制，但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。
2.美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位置原理推广应用到整数以为的分数。
3.美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。
第二章古代希腊数学一、希腊数学一般是指什么时期，活动于什么地方的数学家创造的数学？（P32）希腊数学一般指从公元前600年一公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
二、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于什么发现而受到动摇？这个“第一次数学危机”是由于什么人提出的新比例理论而暂时消除？（P38）毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条吗，由于不可公度量的发现而受到了动摇。
大约一个世纪以后，这一“危机”才由于毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出新比例理论而暂时消除。
数学史总复习
（5）《论劈锥曲面和旋转椭球》
（6）《引理集》
（7）《处理力学问题的方法》
（8）《论平面图形的平衡或其重心》
（9）《论浮体》 （10）《沙粒计数》 （11）《牛群问题》
十、 阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什
么？P58
答：阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是创
立了相当完美的圆锥曲线理论。
第三章 中世纪的中国数学
一、中国数学史上何时何人何种方法最先完成勾 股定理证明？ 二、《九章算术》中各章名称是什么?这些章节 中谈论算术、代数、几何方面的内容为哪些章节？ 三、刘徽的数学成就中最突出是什么？ 四、 贾宪增乘开方法能否适用于开任意高次方? 五、为什么说一次同余组求解的剩余定理常常被 称为“中国剩余定理”？
4、19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数
学的对象是现实世界的空间形式与数量关 系”。根据恩格斯的论述，数学可以定义为： “数学是研究现实世界的空间形式与数量关 系的科学。” 5 、 19 世 纪 晚 期 ， 集 合 论 的 创 始 人 康 托 尔 (1845—1918)曾经提出： “数学是绝对自由 发展的学科，它只服从明显的思维，就是说 它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过 定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和 存在的概念相联系”。
美索不达米亚人的记数制远胜埃及 象形数字之处主要表现在哪些方面？ P23--25 答：1、六十进制为主德楔形文记数系统， 2、巧妙地将位值原理应用到整数以外 的分数。 3、计算程序化 4、数表计算
第二章
古代希腊数学
一、希腊数学一般是指什么时期，活动于
什么地方的数学家创造的数学？ 二、什么使泰勒斯获得了第一位数学家和 论证几何学鼻祖的美名？ 三、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖 于整数的信条由于什么发现而受到动摇？ 这个“第一次数学危机”是由于什么人提 出的新比例理论而暂时消除，这个新比例 理论当今的语言可怎么叙述？ 四、希腊数学学派主要有哪些学派?
数学史复习资料.doc
数学史复习资料1.世界上第一个把n计算到3.1415926< n <3.1415927的数学家是（祖冲之）。
2.亚力山大晚期一位重要的数学家是（帕波斯），他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作。
3.古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼兹在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，其著作《圆锥曲线》代表了希腊演绎几何的最高成就。
4.我国的数学教育有悠久的历史，（隋唐）代开始在国子寺里设立“算学”，唐至五代代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。
5.《几何基础》的作者是（希尔伯特），该书所提出的公理系统包括（五）组公理。
6.用“分割法”建立实数理论的数学家是（戴德金），该理论建立于（19）世纪。
7.费马大定理证明的最后一步是英国数学家（怀尔斯）于1994年完成的，他因此于1996年获得了（沃尔夫）奖。
8.“蓦势既同，则积不容异”是我国古代数学家（刘徽）首先明确提出的，这一原理在西方文献中被称作（〈瓦列利）原理。
9.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是（印度），而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是（中国）。
10.古希腊的三大著名几何问题是化圆为方、倍立方和三等分角。
11.我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是（朱世杰），《海岛算经》的作者是—刘徽12.就微分学与积分学的起源而言（积分学早于微分学）13.在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。
14.希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、完备性、独立性。
15.二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_杨辉一三角，而数学史学者常常称它为贾宪三角。
16.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用—几何—方法对这一解法给出了证明。
17.被称为“现代分析之父”的数学家是（柯西），被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。
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数学史是研究数学的产生、发展过程和发展规律的学科。
数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
数学史的特点：1、数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识.2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。
3、数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。
学习数学史的意义：1、树立正确的世界观和数学观2、丰富数学专业必备的知识3、把握数学科学发展的规律4、当代数学教育的需要为什么要从历史的角度谈谈“什么是数学史”数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。
公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。
亚里士多德：数学是量的科学。
公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。
公元前6世纪~17世纪，数学数学主要是关于数和形的研究。
笛卡尔：数学是以研究顺序和度量为目的的学科。
17世纪数学主要是关于“数、形、运动和变化”的研究。
恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的学科。
19世纪后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。
20世纪80年代开始，美国学者把数学定义为“模式”的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
三次数学危机：第一次数学危机：（无理数悖论，希帕索斯悖论）直觉和经验并不可靠，推理证明才是可靠的。
第二次数学危机：（无穷小量悖论，贝克莱悖论）重建微积分基础：极限理论和实数论。
第三次数学危机（集合悖论，罗素悖论）公理化集合论，对数学基础的研究。
三种常见的早期计数方法：手指计数、刻痕计数、结绳计数。
除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数。
几何学的希腊文意为测地中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法（测日法）的著作。
古埃及人在一种纸莎（suo）草压制成的草片上书写：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。
埃及人很早及发明了象形文字记号，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值的概念。
单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。
古巴比伦的普林顿322泥书上记录了勾股数。
（毕达哥拉斯数）向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那是一个崭新的、更加开放的文明—历史学家成称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代—以论证几何为主的希腊数学时代。
把零作为数引入运算，这是印度人的伟大贡献。
用符号“0”表示零是印度的重要发明。
超越数：π和e。
最早的希腊数学家是泰勒斯。
他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明的先河。
（1）圆的直径将圆分为两个相等的部分。
（2）等腰三角形的两底角相等。
（3）两相交直线形成的对顶角相等。
（4）两个三角形，有两个角和一条边对应相等则全等。
（5）内接于半圆的角必是直角。
泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。
“哲学”和“数学”这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数仅指整数。
普鲁塔克的面积剖析法证明勾股定理。
P36毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图。
其中正四面体、正六面体、正八面体归功于毕达哥拉斯学派，正十二面体、正二十面体归功于蒂奥泰德。
正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。
整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比，这就是所谓的“黄金分割”。
三大几何问题：（1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
（2）倍立方体，即作一立方体，使其面积等于已知立方体的两倍。
（3）三等分角，即分任意角为三等分。
这三大问题实际上是不可解的。
安提丰是古希腊“穷竭法”的始祖。
芝诺四个著名的悖论：（1）两分法（2）阿基里斯（3）飞箭（4）运动场亚里士多德的哲学思想及对数学的贡献：(1）提出了物质第一性的认识论(2）创立了逻辑学，为数学的理论建构奠定了基础。
提出了思维的三条规律：同一律、矛盾律、排中律。
提出了几种思维基本形式：概念、判断、推理。
特别提出了作为严格推理形式的演绎三段论，为推理的规范化科学化奠定了基础。
据载，亚里士多德的逻辑学一直到19世纪无人能挑出它的毛病。
(3）确定了数学中的公理化方法将概念分为了不经定义的(基本)概念，和在此基础上定义的(派生)概念两类。
亚里士多德把数学命题也分为两类，基本原理和定理(引申出来的命题)。
他不把基本原理看作是“明显的、无须证明的、大家公认的命题”，而是“无法论证的知识原理”。
他把基本原理分为公理和公设，把公理作为一切科学公有的真理，而把公设作为某一门学科的第一性原理。
并认为基本原理的数目应尽可能地少(不妨碍推出所有结论)。
亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经，在当时，则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。
欧几里得的《原本》公设：1、假定从任意一点到任意一点可作一直线。
2、一条有限直线可无限延长。
3、以任意中心和直径可以画圆。
4、凡直角都彼此相等。
5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
公理：1、等于同量的量彼此相等。
2、等量加等量，和相等。
3、等量减等量，差相等。
4、彼此重合的图形是全等的。
5、整体大于部分。
毕达哥拉斯的证明是用面积来证明勾股定理的。
P48欧几里得《原本》评价：是数学史上的第一座理论丰碑，它最大的功绩是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公设或公理。
这就是后来所谓的公理化思想。
缺点：主要在于其逻辑结构不够严密和完整。
反映在两个方面：一是对某些概念的定义和运用不当，二是公设和公理不完善。
还有一类缺点是对一些需要分类讨论的命题只用特例或所给图形的特定位置作了论证。
阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。
阿波罗尼斯第一次象现在这样，依靠改变截面的角度，从一个正圆锥或斜圆锥上得到三种圆锥曲线。
双曲线有两支也是他首先发现的。
海伦的三角形面积公式：托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。
丢番图：代数之父。
不定方程又称丢番图方程。
费马大定理：对于任意大于2的自然数n，不存在正整数x,y,z,满足xn＋yn=zn。
丢番图《算术》的另一重要贡献是创用了一套缩写符号。
亚历山大女数学家希帕蒂娅是历史上第一位杰出的女数学家。
中国古代用算筹进行计算，称作“筹算”。
纵式“个、百、万”，横式“十、十万千”春秋战国时期：九九乘法口诀表家喻户晓，是从“九九八十一”开始的。
《墨经》中记载的几何概念平行：“平，同高也”直线：“直，参也”点：“端，体之无厚而最前者也”线段：“同长，以正相尽也”重合：“正相尽”体积：“厚，有所大也”圆：“圜，一中同长也”正方形：“方，柱隅四杂也”《周髀算经》主要成就是分数运算、勾股定理（最为突出）及其在天文测量中的应用。
《九章算术》出现标志中国古代数学形成了完整的体系，是中国古代第一部数学专著。
《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。
依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。
九章算术的数学成就：(1) 算术方面：分数四则运算法则，比例算法，盈不足数。
(2)代数方面：方程术，正负术，开方术。
(3)几何方面：各种平面图形的面积、多面体体积公式，给出了“以盈补虚”的方法，体现了数形结合的思想。
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。
刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。
《张邱建算经》：百鸡问题——中国最早的不定方程祖冲之的代表性数学著作是《缀术》。
3.1415926<π<3.1415927。
称为“密率”或“祖率”。
祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用牟合方盖，得到正确的球体积公式。
祖氏原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”。
算经十书：《周髀算经》《九章算术》刘徽《海岛算经》祖冲之父子《缀术》王孝通《缉古算经》《孙子算经》《张邱建算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》《五经算术》宋元四大家：秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰朱世杰数学代表作有《算学启蒙》和《四元玉鉴》。
《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
高阶等差数列的研究在中国始于北宋的沈括。
首先阐述天元术的是李冶，朱世杰阐述了四元术。
中国传统数学衰落的原因：皇朝更迭的漫长封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。
元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学家社会地位低下，研究数学没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。
同时，中国传统数学本身也存在着弱点。
算筹系统使用的十进位制记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。
在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”和“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。
筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。
另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向于缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。
而无论是笔算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。
婆罗摩笈多：零的运算法则：负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零……零除以零是空无一物，正数和负数除以零是一个以零为分母的分数。
提出了正负数的乘除法则，并给出了二次方程的求根公式给出了负数的概念和记号，还有运算法则，如“负负得正”还得到边长分别为a,b,c,d的圆的内接四边形的面积公式他最重要的数学成果是解下列不定方程马哈维拉指出：一个数乘零得零，除以一分数等于乘以此数的倒数。
一个数除以零为无穷大量。
《计算方法纲要》婆什迦罗比例法证明勾股定理m nchabb:c=m:b a:c=n:a花拉子米《代数学》（代数方程求解），《印度计算法》系统地介绍了印度数码和10进制记数法，把阿拉伯数字推广到了全世界。
阿耶波多：对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
按时代顺序列举世界上几种古老文明的早期记数系统：古埃及的象形数字（公元前3400年左右）巴比伦楔形文字（公元前2400年左右）中国甲骨文数字（公元前1600年左右）希腊阿提卡数字（公元前500年左右）中国筹算数码（公元前500年左右）印度婆罗门数字（公元前300年左右）玛雅数字（约公元3世纪）自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。