2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程夯基提能作业本文
全国通用近年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3节圆的方程学案文新人教A版(2021年整理)
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第3节圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a）2＋(y－b）2＝r2(r＞0)圆心C（a，b）半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：错误!半径r＝错误!错误!2。
点与圆的位置关系平面上的一点M（x0，y0）与圆C:(x－a）2＋(y－b）2＝r2之间存在着下列关系：（1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a）2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2）d＝r⇔M在圆上，即(x0－a）2＋（y0－b)2＝r2⇔M在圆上；（3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a）2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论与微点提醒]1。
圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。
2.以A（x1，y1),B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2）＋（y－y1)(y－y2)＝0.3。
求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√"或“×”）（1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆。
(通用版)2019版高考数学一轮复习第9章平面解析几何3第3讲圆的方程教案理
第3讲 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)由圆的方程确定参数的值(范围)； (2)由已知条件求圆的方程．[典例引领]角度一 由圆的方程确定参数的值(范围)(2018·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，所以仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆． 【答案】 B角度二 由已知条件求圆的方程求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程．【解】 法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点， 所以|CA |＝|CB |，即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[通关练习]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．2．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选 D.设圆心坐标为(a ，0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 3．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为__________________．解析：设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)借助几何性质求最值问题； (2)建立函数关系求最值．[典例引领]角度一 借助几何性质求最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)． 又圆心到原点的距离为 （2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.角度二 建立函数关系求最值(2018·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．【解析】 由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 【答案】 12求解与圆有关的最值问题的方法[通关练习]1．如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________． 解析：(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.答案：73．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________________．解析：设点A ，B 的坐标分别为A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号．又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ， 即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0与圆有关的轨迹问题[典例引领]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.圆的方程选取的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．易错防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件．1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A. 2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.4．(2018·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.5．(2018·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B. 203C ．4D. 163解析：选D.由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. 答案：(0，4)7．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝28．已知点P (－2，－3)，圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，则过P 、A 、B 三点的圆的方程为________________．解析：易知圆C 的圆心为C (4，2)，连接AC 、BC ， 由题意知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以P ，A ，B ，C 四点共圆，连接PC ，则所求圆的圆心O ′为PC 的中点，所以O ′⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，所以所求圆的半径r ′＝（1＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝614. 所以过P ，A ，B 三点的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝6149．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4，4]D ．[－4，23]解析：选B.由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)， 且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2，0)时，m ＝－23，设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，所以⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2， 解得m ∈[－23，4]．2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6.答案：(0，6]3.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN的中点P 的轨迹方程．解：(1)由已知可知A (－3，0)，B (3，0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52. 4．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是 (x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，因为OC 垂直平分线段MN .因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5，此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
近年高考数学一轮复习第9章解析几何第3课时圆的方程练习理(2021年整理)
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第3课时圆的方程1．已知一圆的圆心为点（2，－3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（)A．（x－2）2＋(y＋3)2＝13 B．（x＋2）2＋（y－3）2＝13C．（x－2）2＋（y＋3)2＝52 D．(x＋2）2＋(y－3)2＝52答案A解析设该直径的两个端点分别为P（a，0），Q(0，b），则A（2，－3）是线段PQ的中点，所以P（4，0）,Q（0，－6),圆的半径r＝|PA｜＝错误!＝错误!.故圆的方程为（x－2)2＋(y＋3)2＝13.2．过点A(1，－1)，B(－1，1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．（x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．（x＋3）2＋(y－1）2＝4C．(x－1)2＋(y－1）2＝4 D．（x＋1)2＋(y＋1）2＝4答案C解析设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴（a－1）2＋（2－a＋1)2＝(a＋1）2＋(2－a－1）2.∴a＝1，b＝1。
∴r＝2。
∴方程为(x－1）2＋（y－1)2＝4。
3．(2018·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且｜AB|＝2，则圆C的标准方程为（）A．(x－1)2＋（y－错误!)2＝2 B．(x－1）2＋（y－2）2＝2C．(x＋1)2＋(y＋错误!)2＝4 D．(x－1)2＋(y－错误!）2＝4答案A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝错误!，圆心坐标为（1，错误!)，∴圆C的标准方程为（x－1)2＋（y－错误!）2＝2，故选A.4．（2018·沧州七校联考）半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2错误!均相切，则该圆的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2）2＋（y＋2）2＝2C．（x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．（x－2错误!）2＋(y＋2错误!)2＝4答案C解析依题意，设圆C的圆心坐标为(2,b)，(b<0)．则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝错误!＝2,∴b＝－2，∴该圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4.选C。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案(含解析)
§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) (2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ ) 题组二 教材改编2．[P111练习T4]圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 答案 (2，－3)解析 由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为(a ,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)， 又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∴k CB ＝6＋E28＋D 2.∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1， 即6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0， ② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)， 即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)． 又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2， 即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，② 又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二 与圆有关的最值问题例2已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练2已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型三 与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________． 答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________． 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________． 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________． 答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________． 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________________． 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝4解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.8．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22， 由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0 解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求y x的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解) y x表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145. 所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16，当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1， CQ ＝|5＋3|2＝42， 则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |. 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2. 故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是________．答案 323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号． 16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值． 解 x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.。
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练47圆的方程文20180724390
课时跟踪训练(四十七) 圆的方程[基础巩固]一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4[解析] AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. [答案] A2．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.[答案] D3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2 [解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.[答案] A4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. [答案] D5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.[答案] A6．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.[答案] B 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为__________．[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.[答案]28．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．[解析] 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.故y －1x －2的最大值为33. [答案]339．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．[解析] 圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题10．(2017·江西南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．[解] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[能力提升]11．(2017·大连统考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[答案] A12．(2018·山西运城模拟)已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D.3－22[解析] l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S △min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.∴选A.[答案] A13．(2017·广州市高三综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是__________________．[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] x 2＋(y －1)2＝214．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交．解法一：设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，x ＋62＋y －32＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)， 易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20，可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. [答案] [－52，1]15．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165.16．(2017·吉林省实验中学模拟)已知圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解] (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12(|AM |·|PA |＋|BM |·|PB |)．又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.[延伸拓展]1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是__________．[解析] 由k 2＋4－4(k 2－15)>0， 得－833<k <833.由题意可知，点(1,2)在圆的外部， 所以1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0， 得k <－3或k >2.所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，8332．(2017·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________． [解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019-2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程分层演练文(1)
——教学资料参考参考范本——2019-2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程分层演练文(1)______年______月______日____________________部门一、选择题1．方程y ＝表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A ．由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．以M(1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋y2＝8B ．(x ＋1)2＋y2＝8C ．(x －1)2＋y2＝16D ．(x ＋1)2＋y2＝16解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝＝2．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y2＝8．故选A ．3．已知圆C1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B ．圆C1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a ，b)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a－12－b＋12－1＝0，b－1a＋1＝－1，解得所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1．4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D．由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝．又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选C．设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0．求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P有2个，选C．6．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．要使△PAB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大．由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．再根据AB ＝4，可得△PAB 面积的最大值为·AB·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，所以a ＝1，故选A ．二、填空题7．已知动点M(x ，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知＝2，即＝2， 化简整理得(x －8)2＋y2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR2＝16π． 答案：16π8．当方程x2＋y2＋kx ＋2y ＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝＝≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝．答案：3π49．已知平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝＝，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510．设命题p ：(x ，y ，k ∈R 且k>0)；命题q ：(x －3)2＋y2≤25(x ，y ∈R)．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ，则⎩⎨⎧k>0，（k－3）2＋169（3－k）2≤25，解得0<k≤6．答案：(0，6] 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝4．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P(a ，b)，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD|＝4， 所以|PA|＝2，所以(a ＋1)2＋b2＝40．②由①②解得或⎩⎨⎧a＝5，b＝－2.所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．12．已知M(m ，n)为圆C ：x2＋y2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求的最大值和最小值．解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C(2，7)，半径r ＝2．(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－m ＋在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以＝2，所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，所以m＋2n的最大值为16＋2．(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2，3)所在直线的斜率，所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大、最小值，所以＝2，解得k＝2＋或k＝2－．所以的最大值为2＋，最小值为2－．1．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x ＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝．因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0．因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝．(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝．2．在△OAB中，已知O(0，0)，A(8，0)，B(0，6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离d＝＝＝5>2，故点P到直线l的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．(2)设点P的坐标为(x，y)，则S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y －6)2＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，而(x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2，即0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以72≤S≤88，即当x＝4时，Smin＝72，当x＝0时，Smax＝88．。
近年届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程练习理北师大版(2021年整理)
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第3讲圆的方程一、选择题1.已知点A（1，－1），B（－1,1），则以线段AB为直径的圆的方程是( ）A.x2＋y2＝2 B。
x2＋y2＝错误!C。
x2＋y2＝1 D。
x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为(0，0），|AB|＝错误!＝2错误!，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案A2。
(2017·合肥模拟）圆（x－1)2＋（y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )A。
(x－2)2＋(y－1）2＝1 B。
（x＋1)2＋（y－2)2＝1C。
(x＋2)2＋（y－1）2＝1 D.(x－1)2＋（y＋2)2＝1解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x －1)2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（x－2)2＋（y－1)2＝1，故选A.答案A3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（)A。
（－∞，－2)∪错误! B.错误!C.(－2,0）D.错误!解析方程为错误!错误!＋(y＋a)2＝1－a－错误!表示圆，则1－a－错误!＞0，解得－2＜a＜错误!.答案D4.（2017·淄博调研)点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（)A。
近年届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程夯基提能作业本文(2021年整理)
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第三节圆的方程A组基础题组1.以M(1，0)为圆心,且与直线x—y+3=0相切的圆的方程是（)A.(x—1）2+y2=8B.（x+1)2+y2=8C。
（x-1)2+y2=16 D.（x+1)2+y2=162.已知圆C1：(x+1)2+（y—1）2=1,圆C2与圆C1关于直线x—y-1=0对称，则圆C2的方程为（）A.（x+2）2+(y-2)2=1B.（x—2）2+（y+2）2=1C。
（x+2)2+（y+2)2=1 D。
（x—2)2+（y-2）2=13。
已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x—6y+1=0上存在两点P，Q关于直线l对称,则m的值为( ）A。
2 B.—2 C。
1 D。
—14.方程｜x|—2=所表示的曲线是（)A.一个圆B。
两个圆C。
半个圆 D.两个半圆5.圆心在y轴上且过点(3,1）的圆与x轴相切,则该圆的方程是( ）A。
x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C。
x2+y2+10x=0 D.x2+y2—10x=06.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积最大时，直线y=（k-1)x+2的倾斜角α= .7.已知动点M（x,y）到点O(0,0）与点A(6，0）的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是。
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第三节圆的方程
A组基础题组
1.(2015北京东城二模)已知圆的方程为x2+y2-2x-6y+1=0,那么圆心的坐标为( )
A.(-1,-3)
B.(1,-3)
C.(1,3)
D.(-1,3)
2.方程|x|-2=所表示的曲线是( )
A.一个圆
B.两个圆
C.半个圆
D.两个半圆
3.已知M(2,1),P为圆C:x2+y2+2y-3=0上的动点,则|PM|的取值范围为( )
A.[1,3]
B.[2-2,2+2]
C.[2-1,2+1]
D.[2,4]
4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
5.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( )
A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0
D.x2+y2-10x=0
6.(2017北京西城二模)已知圆O:x2+y2=1,圆O'与圆O关于直线x+y-2=0对称,则圆O'的方程是.
7.(2016北京房山一模)圆x2+y2-4x+2y+2=0的圆心坐标为,半径为.
8.(2017北京海淀期末)已知圆C:x2+y2-2x=0,则圆心C的坐标为,圆C截直线y=x的弦长为.
9.一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.
10.已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆C的方程.
B组提升题组
11.(2017北京朝阳一模)已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率
为”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7
B.6
C.5
D.4
13.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4
B.-1
C.6-2
D.
14.(2015北京朝阳一模)圆C:(x-2)2+(y-2)2=8与y轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角的大小为.
15.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且
|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x 的距离为,求圆P的方程.。