徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学试题及答案

徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式：棱柱的体积公式：,Sh V =其中S 是棱柱的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知复数i i i z )(43(+=是虚数单位），则z 的模为 ▲ . 2.已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A ▲ .3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间)51,0[内，空气质量为优；在区间)101,51[内，空气质量为良；在区间)151,101[内，空气质量为轻微污染；. 由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.4.执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值是 ▲ .5.已知集合},4,3,2{},1,0{==B A 若从B A ,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .6.设等差数列}{n a 的前n 项为,28,26,453==+S a a S n 则10a 的值为 ▲ .7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 ▲ .8.已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线y x 82=的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .9.已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ . 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

10.在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面,1,111=AA C AB 底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ▲ .11.如图，半径为2的扇形的圆心角为N M ,,120︒分别为半径OQ OP ,的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AN AM ⋅的取值范围是 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆,1)2()(:22=+-+-a y a x C 点),2,0(A 若圆C 上存在点,M 满足,1022=+MO MA 则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ▲ .14.若函数)1()(2>-=a x a x f x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC ，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C ==（1） 求B tan 的值；（2） 若,5=c 求△ABC 的面积.16. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ECD 所在平面相交于⊥AE CD ,平面.ECD（1） 求证：⊥AB 平面;ADE（2） 若点M 在线段AE 上，N ME AM ,2=为线段CD中点，求证：//EN 平面.BDM17. （本小题满分14分）如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各一条正北方向的公路AC 和,BD 现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和.PF 设).20(παα<<=∠EPA （1）为减少周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定F E ,的位置，使PF PE +的值最小.18.(本小题满分16分)如图，已知椭圆),0(1:2222>>=+b a by a x M 其率心率为,23两条准线之间的距离为C B ,,338分别为椭圆M 的上、下顶点，过点)0)(2,(≠t t T 的直线TC TB ,分别与椭圆M 交于F E ,两点.（1）椭圆M 的标准方程；（2）若△TBC 的面积是△TEF 的面积的k 倍，求k 的最大值.19.（本小题满分16分）设正项数列}{n a 的前n 项和为,n S 且.,2121*2N n a a S n n n ∈+=正项等比数列}{n b 满足：.,6422a b a b ==（2）设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==**,2,,12,Nk k n b Nk k n a c n n n 数列}{n c 的前n 项和为,n T 求所有正整数m 的值，使得122-m m T T 恰好为数列}{n c 中的项.20.（本小题满分16分）已知函数,31)(23b x ax x x f +-+=其中b a ,为常数.（1）当1-=a 时，若函数)(x f 在]1,0[上的最小值为,31求b 的值；（2）讨论函数)(x f 在区间),(+∞a 上单调性；（3）若曲线)(x f y =上存在一点,P 使得曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互相垂直，求a 的取值范围.徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知直线AB 为圆O 的切线，切点为,B 点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点DBE ,垂直BE 交圆于点.D 证明：.DC DB =B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A 的逆矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-222222221A ，求曲线1=xy 在矩阵A 对应的交换作用下所得的曲线方程.C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程为ααα(sin 2,cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4cos(=+πθρ，求1C 与2C 交点的极坐标，其中.20,0πθρ<≤≥D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知c b a ,,都是正数，求证：.222222abc cb a ac c b b a ≥++++ 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。

本试卷满分40分，考试时间为30分钟。

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2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，,2=AB ,60︒=∠BAD 沿对角线BD 将△ABD 折起，使C A ,之间的距离为,6若Q P ,分别为线段CA BD ,上的动点求线段PQ 长度的最小值；（）当线段PQ 长度最小时，求直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值23.(本小题满分10分)设,,,*N n b a ∈且,b a ≠对于二项式.)(n b a -（1）当4,3=n 时，分别将该二项式表示为),(*N q p q p ∈-的形式； （2）求证：存在,,*N q p ∈使得等式q p b a n -=-)(与q p b a n -=-)(同时成立.徐州市2015届高三年级第三次质量检测数学Ⅰ参考答案一、填空题1.52.{2}3.284.45.126.377.2-8.2213x y -= 9.4π10.2 11.35[,]2212.[0,3] 13.251314. 2e (1,e )二、解答题15.（1）因为1cos 3C =，()0,C π∈，所以22sin 3C =． ………………………2分因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C =+122sin cos cos sin sin cos 33B C B C B B =+=+，…………5分 由题意122sin cos 2cos 33B B B +=，所以12sin cos 33B B =， 所以tan 2B =．……………………………………………………………………7分（2）由（1）知tan 2B =，所以6sin 3B =，3cos 3B =．…………………………9分由正弦定理得sin sin b cB C =，所以651532223b =⨯= …………………………11分 又6sin 2cos 3A B ==， ……………………………………………………………12分 所以1115652sin 522234S bc A ==⨯⨯⨯=．………………………………………14分16．（1）因为AE ⊥平面ECD ，CD ⊂平面ECD ，所以AE CD ⊥． 又因为AB //CD ，所以AB AE ⊥．……………………………2分 在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， …………………………4分 因为AD AE A =，,AD AE ⊂平面ADE ，所以AB ⊥平面ADE ． ……………………………6分 （2）连结AN 交BD 于F 点，连结FM ，………………………………………………8分因为AB //CD 且2AB DN =，所以2AF FN =， ………………………………10分 又AM =2ME ，所以EN //FM ， ………………………………12分 又EN ⊄平面BDM ,FM ⊂平面BDM ，所以EN //平面BDM . ………………………………14分 17.（1）在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，AP =8，则8tan AE α=．所以132tan 2PAE S PA AE α=⨯=． ………………………………………2分同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，PB ＝1，则1tan BF α=，所以1122tan PBF S PB BF α=⨯=． ………………………………………………4分故△PAE 与△PFB 的面积之和为132tan 2tan αα+ …………………………5分1232tan 2tan αα⨯≥=8，当且仅当132tan 2tan αα=，即1tan 8α=时，取“＝”， 故当AE =1km ， BF =8km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小．………………6分（2）在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，则8cos PE α=．同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，则1sin PF α=．令81()cos sin f PE PF ααα=+=+，π02α<<， ………………………………8分 则3322228sin cos 8sin cos ()cos sin sin cos f ααααααααα-'=-=， ………………………………10分 令()0f α'=，得1tan 2α=，记01tan 2α=，0π02α<<，当0(0,)αα∈时，()0f α'<，()f α单调减； 当0(,)2παα∈时，()0f α'>，()f α单调增．所以1tan 2α=时，()f α取得最小值， …………………………………12分此时1tan 842AE AP α=⋅=⨯=，2tan BPBF α==．所以当AE 为4km ，且BF 为2km 时，PE +PF 的值最小． ……………………14分18.（1）由题意23283,23c a a c ==，解得2,3a c ==，所以1b =，椭圆方程为2214x y +=． …………………………………………4分（2）解法一：12TBC S BC t t =⋅=△ ， …………………………………………6分直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得284E t x t -=+，所以22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 到:TC 30x ty t --=的距离()()()222222242444212994t t t t t t t t d t t t ----+++==+++， …………………………8分直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以TF 22222243623636t t t t t ⎛⎫-⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()22222222222222212336129129363636t t t tt tt t tt+++++++===+++，……10分所以()()()()()()22222222221292121211223636494TEFt t t t t t S TF d t t t t t ++++=⋅=⋅⋅=+++++△， 所以()()()222236412TBC TEFt t S k S t ++==+△△， ……………………………………12分 令21212t m +=>，则22(8)(24)16192413m m k m m m -+==+-≤，……………………14分当且仅当24m =，即23t =±时，取“=”， 所以k 的最大值为43．…………16分 解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得284E t x t -=+， ……………6分直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+， ……………8分1sin 21sin 2TBC TEF TB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T Fx x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- ……10分 ()()()()2222224368241212436t t t tt t t t t t t t +⋅+=⋅=+⋅++-++，…………………………………12分 令21212t m +=>，则22(8)(24)16192413m m k m m m -+==+-≤，…………………14分 当且仅当24m =，即23t =±时，取“=”，所以k 的最大值为43． ……………………………………………………16分19.（1）因为0n a >，当1n =时，21111122a a a =+，解得11a =. ………………1分由21122n n n S a a =+，当2n ≥时， 21111122n n n S a a ---=+，两式相减，得221111)(+)022n n n n a a a a ----=（． ………………………………2分 又因为0n a >，所以1+0n n a a -≠， 所以1=1n n a a --，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)1n a a n n =+-⨯=． …………………………………………4分由2246,b a b a ==，得264223a b q b a ===， 所以2222(3)n n n b b q --=⋅=⋅． ……………………………………6分（2）由题意得12, 21,,23,2,,nn n n k k c n k k *-*⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩N N 所以21321242()()m m m T a a a b b b -=+++++++2(121)2(13)31213m m m m m +--=+=+--， ………………………………8分21122122312331m m m m m m T T b m m ---=-=+--⨯=+-，所以222121221312(1)333131m m m m m T m m T m m ---+--==-+-+-≤， ……………………………10分 故若221m m TT -为{}n c 中的项只能为123,,c c c ． ……………………………11分①若2122(1)3=131m m m ---+-，则130m -=，所以m 无解． ……………………12分 ②若2122(1)3=231m m m ---+-，则12310m m -+-=， 显然1m =不合题意，2m =符合题意． 当3m ≥时，即12()31m f m m -=+-，则1()3ln32m f m m -'=-，设1()3ln32m g m m -=-，则12()3(ln3)20m g m -'=->，即1()3ln32m f m m -'=-为增函数，故()(3)0f m f ''>≥，即()f m 为增函数，故()(3)10f m f >=>．故当3m ≥时方程1231=0m m -+-无解，即2m = 是方程唯一解．………………………………………………………………15分③若2122(1)3331m m m ---=+-，则21m =，即1m =. 综上所述，1m =或2m =． ……………………………………………16分20．（1）当a =-1时，f '(x )=x 2-2x -1，所以函数f (x )在[0，1]上单调减， …………2分由f (1)= 13，即13-1-1+b =13，解得b =2． ………………………4分（2） f '(x )=x 2+2ax -1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x =-a ，因为△=4a 2+4>0，f '(x )=0有两个不等实根x 1,2=21a a -±+． …………………5分①当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上无实根时，有 ,()0,a a f a -⎧⎨'⎩≤≥解得33a ≥． ………………6分 ②当方程f '(x )=0在区间(]a -∞，与(a ，+∞)上各有一个实根时，有f '(a )<0，或()0,,f a a a '=⎧⎨->⎩ 解得3333a -≤<． …………………………8分 ③当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上有两个实根时，有,()0,a a f a ->⎧⎨'>⎩解得33a <-．综上，当33a ≥时，f (x )在区间(a ，+∞)上是单调增函数；当3333a -≤<时，f (x )在区间(a ，21a a -++)上是单调减函数， 在区间(21a a -++，+∞)上是单调增函数；当33a <-时，f (x )在区间(a ，21a a --+)，(21a a -++，+∞)上是单调增函数， 在区间(21a a --+，21a a -++)上是单调减函数． ……10分（3）设P (x 1，f (x 1))，则P 点处的切线斜率m 1=x 12+2ax 1-1，又设过P 点的切线与曲线y =f (x )相切于点Q (x 2，f (x 2))，x 1≠x 2， 则Q 点处的切线方程为y -f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x -x 2)， 所以f (x 1)-f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x 1-x 2)，化简，得x 1+2x 2=-3a ． ………………………12分 因为两条切线相互垂直，所以(x 12+2ax 1-1)(x 22+2ax 2-1)= -1， 即(4x 22+8ax 2+3a 2-1)(x 22+2ax 2-1)= -1． 令t =x 22+2ax 2-1≥-(a 2+1)，则关于t 的方程t (4t +3a 2+3)= -1在t ∈2[(1),0)a -+上有解， …………………14分所以3a 2+3=-4t -1t ≥4，当且仅当t =-12时，取“=”，解得a 2≥13，故a 的取值范围是33(,][,)33-∞-+∞． ……………………16分徐州市2015届高三年级第三次质量检测数学Ⅱ参考答案21-A ．如图，连结DE ，交BC 于点G ． 由弦切角定理，得ABE BCE ∠=∠．……………4分 而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，所以BE CE =． ………………6分 又因为DB BE ⊥，所以DE 为圆的直径，所以90DCE ∠=︒，由勾股定理可得DB =DC ．………10分21-B ．解法一：设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的变换作用下对应的点(),x y ''，则122222222x x x y y y -⎡⎤⎢⎥''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦A ， ……………………4分 由此得()()2,22,2x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩ ……………………6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=.所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=．…10分 解法二：ABCDEOG22222222⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ， …………………………………4分 设1xy =上任意一点(),x y 在矩阵A 对应的线性变换作用下得到点(),x y ''，则22222222x x y y ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，其坐标变换公式为22,2222,22x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 由此得()()2,22,2x x y y y x ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩………………………………………………………6分 代入方程1xy =，得222y x ''-=.所以1xy =在矩阵A 对应的线性变换作用下的曲线方程为222y x -=．……10分 21-C ．解法一：将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2224x y -+=，所以1C 的普通方程为：2240x y x +-=． ……………………4分将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得：40x y --=． …………………6分由2240,40,x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩ 解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩ ……………………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或7π22,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． …………………10分解法二：将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2224x y -+=，所以1C 的普通方程为：2240x y x +-=． …………………………4分 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………………………6分代入πcos 224ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得2cos(2)42πθ+=， ………………………………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0或7π22,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． ……10分 21-D ．证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥ ①同理2222()2b a c ab c +≥ ② 2222()2c a b abc +≥ ③ ……………4分 ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++++≥， ……………6分 从而222222()a b b c c a abc a b c ++++≥． 由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++++≥．………10分22．取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE BD ⊥，ADP QB C （第22题）xzyCE BD ⊥，3AE CE ==，因为6AC =，所以222AE CE AC +=， 所以ACE △为直角三角形所以AE CE ⊥， 所以AE ⊥平面BCD . ………2分 以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,3B C A ，………………………3分 （1）设(),0,0,P a ()=0,3,3CQ CA λλλ=-，则()(),3,00,3,3PQ PC CQ a λλ=+=-+-(),33,3a λλ=--()22222333663PQ aa λλλλ=+-+=+-+2213622a λ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， …………………………………………………5分当10,2a λ==时，PQ 长度最小值为62．……………………………………6分（2）由（1）知330,,22PQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z ，由n DA ⊥，n DC ⊥得()()()(),,1,0,30,,1,3,00x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n ()3,1,1=--，设PQ 与平面ACD 所成角为θ，则310sin |cos ,|5652PQ n θ-=<>==⨯． 故直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为105．………………………………10分 23．（1）当n =3时，3()(3)(3)a b a b a b a b -=+-+，22(3)(3)a a b b b a =+-+． ……2分当n =4时，42222()464(6)4()a b a a ab ab b ab b a ab b a b ab -=-+-+=++-+，2222(6)16()a ab b ab a b =++-+． ……………4分（2）证明：由二项式定理得k k n knnk knb a Cb a )()()1()(0-=∑-=-，若n 为奇数，则]))(()()()()()([)(113332220-----++++=-n n n n n n n n n n n b a C b a C b a C a C b a11333222[()()()()()()()]n n n n nn n n n n C a b C a b C a b C b -----++++，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为b v a u b a n 11)(-=-的形式，其中*11,u v ∈N ，也即q p b v a u b a n-=-=-2121)(，其中a u p 21=，b v q 21=，*,p q ∈N ，………………………………6分若n 为偶数，则])()()()()()([)(2222220n nn n n n n n n n n b C b a C b a C a C b a ++++=----1133333311[()()()()()()()]n n n n n n n n n n C a b C a b C a b C a b -------++++类似地，可将上式表示为ab v u b a n 22)(-=-的形式，其中*22,u v ∈N ，也即q p ab v u b a n-=-=-2222)(，其中22u p =，ab v q 22=，*,p q ∈N .所以存在*,p q ∈N ，使得等式q p b a n -=-)(． ………………………8分同理可得n b a )(+可表示为q p b a n +=+)(，从而有))((q p q p q p -+=-n n n b a b a b a )()()(-=-+=， 综上可知结论成立． …………………………………10分。