8.4复合函数与隐函数求导法
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
u v w
t
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
) m ,,2,1 i (
关于多元复合函数求偏导问题
这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二 阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求 强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将 会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用 公式 ①用图示法表示出函数的复合关系
②函数对某个自变量的偏导数的结构
z f (u1 , u2 ,, um ) ui ui ( x1 , x2 ,, xn )
m z z ui , ( j 1,2,, n) x j i 1 ui x j
则
从以上推广中我们可以得出：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自 变量的个数无关
同理可得
w w u x u y w v x v y ( ) ( ) u x y v x y
例4
设 w f ( x y z , xyz ) ，f 具有二阶
解
令 u x y z,
记 同理有
称为标准法则或 2 2 法则 这个公式的特征： ⑴函数 z f [u( x , y ), v ( x , y )] 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 z z
x y
,
两个公式；
⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v
故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 z z
原因就是不注意 是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的 函数，从而导致漏掉 f uv 这一项
④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 ⑥
uv
的合并问题 视题设条件
) v ,u ( u f
f , vu f
z z u z v y u y v y e u sin v x e u cos v 1 e u ( x sinv cos v ). 例 2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ， dz 求全导数 . dt
z f u f . y u y y
两者的区别
把 z f ( u, x , y )
把复合函数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的u 及 y 看作不 中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
注
如
此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t t t t ve u sin t cos t e cos t e sin t cos t
e (cos t sin t ) cos t .
t
例3 设 w f ( u, v ), u u( x , y ), v v ( x , y ), x x( r , ), y y( r , ) w w , 均满足复合函数求偏导数的条件 计算 r （两重复合问题）
一、链式法则
t 定理 如果函数 u (t ) 及v (t ) 都在点 可 导，函数 z f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏 t 导数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 可 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
z f u ( u, v ) u
u
x
v
u v [ f u ( u, v )] f uu f uv x x x y [ f ( u, v )] f u f v v vu vv x x x
在具体计算中最容易出错的地方是对
f u (u, v ) 再求偏导数这一步
( 函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点 x , y ) 的
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
u v
⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即：
,
“分道相加，连线相乘”
类似地再推广，设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、
x y w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 和 的偏导数，复合
例 1 设 z e u sin v ，而u xy ，v x y ，
z z 求 和 . x y 解 z z u z v x u x v x u u e u ( y sinv cos v ), e sin v y e cos v 1
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x 2 y 2 , xy) 它是由 z f ( u, v )
及u x y , v xy 复合而成的
2 2
由于 f
没有具体给出
z z 在求 , 时 x y
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
链式法则如图示
u
x
y
z
v
z x z y
z u z v , u x v x z u z v . u y v y
（项数及项的构成）
③弄清 f u ( u, v ), f v ( u, v ) 的结构是求抽象的复合函 数的二阶偏导数的关键
f u (u, v ), fv (u, v ) 仍是复合函数
且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量 的复合函数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则
第四节 复合函数与隐函数的求导方法
一、复合函数求导
第八章
二、一个方程所确定的隐函数 及其导数 三、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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复合函数求导法则
先回忆一下一元复合函数的微分法则
若y f ( u)而u ( x )可导 则复合函数
y f [ ( x )] 对 x
w 2 w 连续偏导数，求 和 . x xz
v xyz;
f ( u , v ) f1 , u
2 f ( u, v ) f12 , uv
f 22 .
f 2,
f11 ,
w f u f v f1 yzf 2; x u x v x
的导数为
dy dy du dx du dx
这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y z z du dv. v u
2w yzf 2) f1 yf 2 yz f 2 ; ( f1 x z z z z
f1 f1 u f1 v f11 xyf12 ; z u z v z f 2 u f 2 v f xyf ; f 2 21 22 u z v z z 2 w f11 xyf12 yf 2 yz( f 21 xyf 22 ) 于是 x z
证
设 t 获得增量 t， 则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解
由链式法则
x
y
r
v
u
w
w w u w v r u r v r
u u x u y r x r y r
v v x v y r x r y r
故ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
w w u x u y w v x v y ( ) ( ) r u x r y r v x r y r
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
复合函数及隐函数求导
2x x2 y2
z y
z u
u y
z v
v y
eu ln v
x
eu 1 v
2y
xe xy
ln( x2
y2)
2y x2 y2
说明：
1. 在定理1中,对 z f (u,v) 若u ( x),v ( x)，
则复合函数z f [ ( x), ( x)]是x的函数，
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zuf f,22f12yf
2 2 f u v
u
x
简单表示为 z v
x
此时z对x的导数称为全导数，
且有 dz z du z dv dx u dx v dx
例2 求y (sin x)cos x的导数 dy . dx
解 令 u sin x, v cos x 则 y uv，
dy dx
y u
du dx
y v
解 z z u F (u) 2 x x u x
u
x y
2xF( x2 y2 )
zy
y
z
y
z u f u y y
F (u)(2 y) 1
1 2 yF( x2 y2 )
3. 定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形 例如，设z f (u,v, w)具有连续偏导数，
xy
例4 设u x2 y2 z2 , x s2 t 2 , y s2 t 2 , s
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
84复合函数与隐函数求导法
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x2 y2, xy) 它是由 z f (u,v)
及u x2 y2,v xy 复合而成的 由于 f 没有具体给出 在求 z , z 时
x y
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微ຫໍສະໝຸດ 法和隐函数的 微分法。uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v x u x v x
f1 yzf2;
2w xz
( z
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
②函数对某个自变量的偏导数的结构
（项数及项的构成）
③弄清 fu(u,v), fv (u,v) 的结构是求抽象的复合函
数的二阶偏导数的关键
fu(u,v), fv (u,v) 仍是复合函数
且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量
的复合函数
称为标准法则或 2 2 法则
这个公式的特征：
⑴函数 z f [u(x, y),v(x, y)]有两个自变量 x 和 y
故法则中包含 z , z 两个公式； x y
多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。
定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。
其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。
现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。
作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。
u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。
现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。
同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。
于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。