《垂径定理》课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
垂径定理优秀课件
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦 AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
垂径定理课件
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（（
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（（
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理课件
平行线的关系
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
《垂径定理》课件
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
C
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⌒
⌒
·
E
垂径定理
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
再来！你行吗？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
A E B
O
·
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点. 求证：AC＝BD.
解：
(1)
O A E D
650 OB = (mm) 2 600 EB = (mm) 2
2 2 OE = OB EB B
(2) E
B O A
OE=125(mm)
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
练习
1.已知：如图，CD为 O直径，AB为 O的弦，CD⊥AB， 垂足为E .求证：AC BC .
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
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D
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 B 几何语言： ∵ CD是直径, CD⊥AB,
湘潭凤凰初级中学 王伟东
⌒ ⌒ =BC ⌒ ⌒ ∴AE=BE, AD =BD， AC
探索新知
----理解定理
1、在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
C
O
D
B
A
E D
湘潭凤凰初级中学
王伟东
探索新知 ----理解定理 2、垂径定理的几个基本图形
C A
.O
D B
湘潭凤凰初级中学
王伟东
课堂小结
谈谈这节课自己的收获：
1、从知识上我学到了……
２、从方法上我学到了……
湘潭凤凰初级中学
王伟东
当堂训练
1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂 足为E，下列结论错误的是（ D ）。 ⌒ ⌒ A. CE=DE B.BC=BD A C.∠1=∠2 D.AC>AD
湘潭凤凰初级中学
王伟东
练习：再逛赵州桥 赵州桥主桥拱的跨度(弦AB的长)约为 40m,拱高(弧的中点到弦的距离CD的长)为8m， 你会求出赵州桥主桥拱的半径吗？
（只列关键算式，不求解） 40
C8A源自20DBX
X-8
O
湘潭凤凰初级中学
王伟东
典例精析
例2：已知：⊙O 中弦AB∥CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC＝BD
A
8 └M
●
B
O
10
D 湘潭凤凰初级中学 王伟东
探索新知
----应用定理
3、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 垂足为M，CD=20，CM=2，则弦 C AB= 12 。
A B 6 └M 8 10
●
2
O
20
D
湘潭凤凰初级中学 王伟东
方法归纳 1.常用思想方法：
（1）垂径定理常和勾股定理结合使用
C
A
6 8
●
B
O
10
D 湘潭凤凰初级中学
王伟东
典例精析 例1： 如图，弦AB=8cm，CD是直径，
CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，
求⊙O的直径CD的长。
2
湘潭凤凰初级中学
王伟东
方法归纳 1.常用思想方法：
（1）垂径定理常和勾股定理结合使用 （2）方程思想、建模思想
2.常见辅助线作法：
（1）连半径
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是 弦，CD⊥AB，垂足为E。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC。
C
· 1 2
A
E D
O
B
王伟东
湘潭凤凰初级中学
探索新知
----归纳定理
条件 CD为⊙O的直径
结论
AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
CD⊥AB
.O
A
垂径定理：
E
1 2
C
O
E B
湘潭凤凰初级中学 王伟东
D
当堂训练
2．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
2 3cm 。
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王伟东
当堂训练 3．AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，求BD的 长。
8
10
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拓展提升
如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦， AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E， CD⊥MN于点F，
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探索新知
----猜想和验证
（3）当AB⊥CD时,如右图，你认为有相等 的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的 操作来验证一下这个猜想吗？动手试一试。
C
AD=DB AC=CB AE=EB
A
O
·
B
王伟东
E D
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探索新知
----证明结论
2.3 垂径定理
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赵州桥：位于现在的历史文化名城
河北省赵县,是世界上现存最早、保存 最好的石拱桥,距今已有1400多年历史, 被誉为“华北四宝之一”。它的结构 是当时世界桥梁界的首创,这充分显示 了我国古代劳动人民的创造智慧。
问题情境
赵州桥 ( 如图 ) 的桥拱是圆弧形 , 它的跨 度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 40m, 拱高 ( 弧的中点 到弦的距离 , 也叫弓形高 )为 8m, 如何求桥拱 所在圆的半径？
∵ OC过圆心，OC⊥AB,
∴AC=CB
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探索新知
----应用定理
1、在⊙O中，弦AB垂直于0C，垂足 6 。 为E，AE=3，则AB=
3
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探索新知
----应用定理
2、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 垂足为M，AB=16，半径OB=10，则 OM= 6 ，CM= 4 。 C
P为EF上的任意一点，
求PA+PC的最小值。
M
A H
┓
C
┓
E
O
P
F
N
B
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D
王伟东
课后作业
《导学案》-- 课后作业
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王伟东
A
C
M
┓
┓
E
O
P
F
D
N
B
学习目标
1、通过观察实验证明,理解掌握垂径定理。
2、会用垂径定理解决有关证明与计算问题。 3、掌握与垂径定理相关的解题方法和常见 辅助线的作法。
探索新知
----观察和思考
（1）AB、CD是⊙O的两条直径,
⌒ ⌒ 与 AD BC
⌒ ⌒ 与 AC BD 分别相等吗？
（2）当AB向下平移,变成非直径的弦时, 上面的结论还成立吗?
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 B 几何语言： ∵ CD是直径, CD⊥AB,
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⌒ ⌒ =BC ⌒ ⌒ ∴AE=BE, AD =BD， AC
探索新知
----理解定理
1、在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
C
O
D
B
A
E D
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探索新知 ----理解定理 2、垂径定理的几个基本图形
C A
.O
D B
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课堂小结
谈谈这节课自己的收获：
1、从知识上我学到了……
２、从方法上我学到了……
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当堂训练
1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂 足为E，下列结论错误的是（ D ）。 ⌒ ⌒ A. CE=DE B.BC=BD A C.∠1=∠2 D.AC>AD
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练习：再逛赵州桥 赵州桥主桥拱的跨度(弦AB的长)约为 40m,拱高(弧的中点到弦的距离CD的长)为8m， 你会求出赵州桥主桥拱的半径吗？
（只列关键算式，不求解） 40
C8A源自20DBX
X-8
O
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典例精析
例2：已知：⊙O 中弦AB∥CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC＝BD
A
8 └M
●
B
O
10
D 湘潭凤凰初级中学 王伟东
探索新知
----应用定理
3、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 垂足为M，CD=20，CM=2，则弦 C AB= 12 。
A B 6 └M 8 10
●
2
O
20
D
湘潭凤凰初级中学 王伟东
方法归纳 1.常用思想方法：
（1）垂径定理常和勾股定理结合使用
C
A
6 8
●
B
O
10
D 湘潭凤凰初级中学
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典例精析 例1： 如图，弦AB=8cm，CD是直径，
CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，
求⊙O的直径CD的长。
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王伟东
方法归纳 1.常用思想方法：
（1）垂径定理常和勾股定理结合使用 （2）方程思想、建模思想
2.常见辅助线作法：
（1）连半径
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是 弦，CD⊥AB，垂足为E。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC。
C
· 1 2
A
E D
O
B
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探索新知
----归纳定理
条件 CD为⊙O的直径
结论
AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
CD⊥AB
.O
A
垂径定理：
E
1 2
C
O
E B
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D
当堂训练
2．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
2 3cm 。
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当堂训练 3．AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，求BD的 长。
8
10
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拓展提升
如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦， AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E， CD⊥MN于点F，
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探索新知
----猜想和验证
（3）当AB⊥CD时,如右图，你认为有相等 的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的 操作来验证一下这个猜想吗？动手试一试。
C
AD=DB AC=CB AE=EB
A
O
·
B
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E D
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探索新知
----证明结论
2.3 垂径定理
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赵州桥：位于现在的历史文化名城
河北省赵县,是世界上现存最早、保存 最好的石拱桥,距今已有1400多年历史, 被誉为“华北四宝之一”。它的结构 是当时世界桥梁界的首创,这充分显示 了我国古代劳动人民的创造智慧。
问题情境
赵州桥 ( 如图 ) 的桥拱是圆弧形 , 它的跨 度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 40m, 拱高 ( 弧的中点 到弦的距离 , 也叫弓形高 )为 8m, 如何求桥拱 所在圆的半径？
∵ OC过圆心，OC⊥AB,
∴AC=CB
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探索新知
----应用定理
1、在⊙O中，弦AB垂直于0C，垂足 6 。 为E，AE=3，则AB=
3
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探索新知
----应用定理
2、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 垂足为M，AB=16，半径OB=10，则 OM= 6 ，CM= 4 。 C
P为EF上的任意一点，
求PA+PC的最小值。
M
A H
┓
C
┓
E
O
P
F
N
B
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D
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课后作业
《导学案》-- 课后作业
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A
C
M
┓
┓
E
O
P
F
D
N
B
学习目标
1、通过观察实验证明,理解掌握垂径定理。
2、会用垂径定理解决有关证明与计算问题。 3、掌握与垂径定理相关的解题方法和常见 辅助线的作法。
探索新知
----观察和思考
（1）AB、CD是⊙O的两条直径,
⌒ ⌒ 与 AD BC
⌒ ⌒ 与 AC BD 分别相等吗？
（2）当AB向下平移,变成非直径的弦时, 上面的结论还成立吗?