2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第2课时高度、角度问题

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高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修5(2021年整理)

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第1课时距离问题［课时作业][A组基础巩固］1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )A。

错误!a km B。

错误!a kmC．a km D．2a km解析:△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝错误!a.答案:A2.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔,其方向是北偏东60°，那么B,C两点间的距离是（)A．102海里B．10错误!海里C．20错误!海里D．20错误!海里解析：由题目条件，知AB＝20海里,∠CAB＝30°，∠ABC＝105°,所以∠ACB＝45°。

由正弦定理,得错误!＝错误!，所以BC＝10错误!海里，故选A。

答案：A3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度（单位:m)是（)A．5 B．10C．10错误!D．10错误!解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中,∠B′＝30°,∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m,由正弦定理，得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝错误!＝10错误!（m）．∴坡底延伸10 2 m时，斜坡的倾斜角将变为30°。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第3课时几何计算问题 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：A2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62 B ．1 C.32D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.答案：C3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.答案：B4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.332B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝332.答案：A5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253，故选B. 答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23.答案：237．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2. 答案：28．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13.答案：139．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2，在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3， ∴AD ＝ 3.[B 组能力提升]1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.答案：B2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋(c ＋2)2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534.答案：A3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{b －c ＝bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8. 答案：84．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________．解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332. 答案：3325．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解析：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理， BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。

人教版高中数学必修五优化练习：第一章 1.2 第3课时几何计算问题

[课时作业] [A 组基础巩固]1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：A2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62 B ．1 C.32D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.答案：C3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.答案：B4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.332B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝332.答案：A5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin Asin C ＝535＝253，故选B. 答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23.答案：237．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB ＝2.答案：28．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13.答案：139．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2，在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝12＋22－2×1×2·cos 60° ＝3， ∴AD ＝ 3.[B 组能力提升]1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.答案：B2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋c ＋2－c ＋22c c ＋＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534. 答案：A3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{ b －c ＝bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8. 答案：84．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________．解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332. 答案：3325．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解析：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理， BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。

数学人教A版必修五优化练习：第一章章末优化总结含解析

章末检测 (一 ) 解三角形时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．相关正弦定理的表达：①正弦定理只合用于锐角三角形；②正弦定理不合用于钝角三角形；③在某一确立的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ ABC 中， sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶c.此中正确的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．4分析：正弦定理合用于随意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确立，则各边与其所对角的正弦的比就确立了，故③正确；由比率性质和正弦定理可推知④正确．故选 B.答案： B2．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b ＝ 6，c ＝ 10，则△ ABC 的面积为 ()A ．15 6B ．15 3C ． 15D ．30答案： B3．△ ABC 为钝角三角形， a ＝ 3， b ＝ 4，c ＝ x ， C 为钝角，则 x 的取值范围是 () A ． x<5 B ． 5<x<7 C ． 1<x<5D ．1<x<7分析：由已知条件可知 x<3＋ 4 且 32＋ 42<x 2，∴5<x<7. 答案： B44．在△ ABC 中，已知 AC ＝ 2， BC ＝ 3，cos A ＝－ 5.则 sin B 的值为 ()3 A ． 1B.51 2 C.2D.5分析：在△ABC 中， sin A ＝1－ cos 2A ＝1－－4 2＝ 3.BC AC ∵sin A ＝ sin B ，∴sin B ＝AC·sin A ＝2× 3＝ 2.BC 35 5答案： D5．在△ ABC 中，已知 a ＝ 1， b ＝2， C ＝60°，则 c 等于 ( )A. 3 B ． 3 C.5D ．5分析： c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos C ， ∴c ＝ 3. 答案：A6．在△ ABC 中，已知 b 2＝ ac 且 c ＝2a ，则 cos B 等于 ()13 A. 4B.422 C. 4D. 3分析： b 2＝ ac ，c ＝ 2a ，∴b 2＝ 2a 2， b ＝ 2a.a 2＋ c 2－b 2 3∴cos B ＝ 2ac＝ 4.答案：B7．在△ ABC 中，依据以下条件解三角形，此中有两解的是( )A ． b ＝10，∠ A ＝ 45°，∠ C ＝ 70°B ． a ＝ 30， b ＝ 25，∠ A ＝150 °C ． a ＝ 7， b ＝ 8，∠ A ＝ 98°D ． a ＝14， b ＝ 16，∠ A ＝ 45°分析：A 中已知两角与一边，有独一解； B 中， a>b ，且∠A ＝ 150°，也有独一解； C 中 b>a ，且∠A ＝ 98 °为钝角，故解不存在； D 中因为 b ·sin 45 <a<b °，故有两解．答案：D8．在△ ABC 中，已知 a ＝ 1，b ＝ 3，A ＝ 30°，B 为锐角，那么角 A ，B ，C 的大小关系为 () A ． A>B>C B ．B>A>C C ． C>B>AD ．C>A>B分析：由正弦定理得a b，∴sin B ＝3，又∵B 为锐角，∴ B ＝ 60 °，∴C ＝ 90 °，即 sin 30＝2°sin BC>B>A.答案：C9．有一长为 1 km 的斜坡，它的倾斜角为 20°，现高不变，将倾斜角改为 10°，则斜坡长为 ()A ． 1 kmB ． 2sin 10km °C ． 2cos 10 °kmD ．cos 20 °km分析：如下图， ∠ABC ＝ 20°，AB ＝ 1 km ，∠ADC ＝ 10°，∴∠ABD ＝ 160°.在△ABD 中，由正弦定理ADABsin 160 °sin 20 °sin 160 ＝，∴AD ＝ AB ·＝＝°sin 10 ° sin 10°sin 10 °2cos 10 (km)° ．答案：C10．在△ ABC 中， a 、 b 、c 分别为角 A ， B ，C 所对的边，若 a ＝ 2bcos C ，则此三角形必定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形分析：因为 a ＝2bcos C ，因此由余弦定理得：a 2 ＋b 2－c 2a ＝ 2b ·，整理得 b 2＝ c 2，则此三角2ab形必定是等腰三角形．答案：C411．在△ ABC 中，三内角 A ，B ， C 分别对应三边 a ， b ， c ，tan C ＝ 3，c ＝ 8，则△ ABC 外接圆的半径 R 为( )A ．10B ． 8C ． 6D ．5分析：由 tan C ＝ 4>0 且 C ∈(0， π)，得 C ∈ 0， π2 .由同角三角函数的基本关系式，得cos C31 3 4c 8 ＝1＋ tan 2C ＝ 5，sin C ＝ cos Ctan C ＝ 5，由正弦定理，有 2R ＝sin C ＝ 4＝ 10，故外接圆半5径为 5，应选 D.答案：D12．设锐角△ ABC 的三内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ＝ 1， B ＝ 2A ，则 b 的取值范围为 ()A ．( 2， 3)B ．(1，3)C．( 2，2)分析：由a＝b＝b，得sin A sin B sin 2Aππ23因此6<A<4，2 <cos A< 2，因此D ．(0,2)πππππb＝ 2cos A. <A＋ B＝3A<π，进而6<A< .又 2A<，因此 A< ，2324 2<b< 3.答案：A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)13．在等腰△ ABC 中，已知 sin A∶ sin B＝ 1∶ 2，底边 BC＝ 10，则△ ABC 的周长是 ________．分析：由正弦定理得BC∶AC＝ sin A∶sin B＝ 1∶2.又∵BC ＝10，∴AC＝ 20，∴AB＝AC ＝20.∴△ABC 的周长是 10＋20＋ 20＝50.答案：50sin B14．在△ ABC 中， A＝ 120 °， AB＝ 5， BC＝7，则sin C＝ ________.分析：由余弦定理，得a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A，即 49＝ b2＋ 25＋ 5b，解得 b＝ 3 或 b＝－ 8(舍去 ) ，sin B b3因此＝＝.sin C c5答案：3515．在△ ABC 中，若 S△ABC＝ 123， ac＝ 48， c－ a＝ 2，则 b＝________.分析：由 S△ABC13222＝2acsin B 得 sin B＝2，∴B＝ 60 °或 120 .°由余弦定理得，b ＝ a ＋ c － 2accos B＝ (a－ c)2＋ 2ac－ 2accos B＝ 22＋ 2× 48－ 2× 48cos B，∴b2＝ 52 或 148，即 b＝ 213或 237.答案：2 13或 23716．△ ABC 的三内角 A， B， C 所对边分别是 a， b， c，设向量 m＝ (a＋b， sin C)， n＝(3a ＋c， sin B－ sin A)，若 m∥ n，则角 B 的大小为 ________．分析：由 m∥n，∴(a＋ b)(sin B－sin A)－ sin C( 3a＋ c)＝ 0，由正弦定理有(a＋b) ( b－a)＝ c(3a＋ c)，即 a2＋c2－ b2＝－33ac，再由余弦定理得 cos B＝－2，∵B∈(0 °，180 )°，∴B＝ 150 .°答案： 150°三、解答题 (本大题共有 6小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． (12 分) 在△ ABC 中，三个内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 a＝ 4，b＝ 5， c ＝ 61.(1) 求 C 的大小；(2) 求△ ABC 的面积．分析： (1)依题意，由余弦定理得42＋ 52－ 61 2 1cos C ＝2× 4×5＝－ 2.∵0 °<C<180 ，°∴C ＝ 120 °.△11× 4×5× sin 120 ＝° 1× 4× 5×3(2) S ABC ＝ 2absin C ＝ 2 22＝5 3.18． (12 分 )在△ ABC 中，已知 (a 2＋ b 2)sin(A － B)＝ (a 2－ b 2) ·sin(A ＋ B)，试判断△ ABC 的形状．分析：由题意可知 a 2[sin( A ＋B)－ sin(A － B)] ＝ b 2[sin( A －B)＋ sin(A ＋ B)] ，即 a 2·2sin Bcos A ＝b 2·2sin AcosB.∵sin Asin B ≠0，∴2sin Acos A ＝ 2sin Bcos B ，即 sin 2A ＝ sin 2B ，π∴A ＝B 或 A ＋B ＝2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．19． (12 分 )在△ ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ，C 的对边， a 2－ (b － c)2＝ bc ，(1)求角 A ；(2) 若 sin bB ＝c ＝ 2，求 b 的值．分析： (1)由 a 2 － (b － c)2＝ bc 得： a 2－ b 2－ c 2＝－ bc ，∴cos A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 12bc ＝ 2，又 0＜ A ＜π，π∴A ＝ 3.bc π(2) sin B ＝ sin C ，∴sin C ＝ 1.∴C ＝ 2，πb∴B ＝ 6.∵sin B ＝ c ＝2，π∴b ＝2sin B ＝ 2sin 6＝ 1.20． (12 分 )△ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， asin Asin B ＋ bcos 2A ＝ 25(1) 求 b；a(2) 若 c 2＝ b 2＋ 3a 2，求 B.分析： (1)由正弦定理得， sin 2Asin B ＋ sin Bcos 2A ＝ 2sin A ，即 sin B(sin 2A ＋ cos 2A)＝ 2sin A.b故 sin B ＝ 2sin A ，因此 a ＝ 2.(2) 由余弦定理和 c 2＝b 2＋ 3a 2，得 cos B ＝1＋ 3 a. 2c由(1) 知 b 2＝ 2a 2，故 c 2＝ (2＋ 3)a 2.1 2 可得 cos 2B ＝，又 cos B>0，故 cos B ＝2，因此 B ＝ 45 °.2121． (13 分 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 cos 2C ＝－ 4.(1) 求 sin C 的值；(2) 当 a ＝2,2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．分析： (1)因为 cos 2C ＝ 1－2sin 2C ＝－ 1，及 0<C<π，因此 sin C ＝10 44 .a c(2) 当 a ＝2,2sin A ＝ sin C 时，由正弦定理 sin A ＝ sin C ，得 c ＝ 4.由 cos 2C ＝2cos 2C － 1＝－ 1，及 0<C<π得 cos C ＝ ± .446由余弦定理 c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos C.得 b 2± 6b － 12＝0，解得 b ＝ 6或 2 6，因此 { b ＝ 6， c ＝ 4. 或{b ＝ 2 6，c ＝ 4.22． (13 分 )在一个特准时段内，以点E 为中心的 7 海里之内海疆被设为戒备水域，点 E 正北 55 海里处有一个雷达观察站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海里的地点 B ，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东 45°＋θ此中 sin θ＝ 2626，0°<θ<90° 且与点 A 相距 10 13海里的地点C.(1) 求该船的行驶速度 (单位：海里 /小时 )；(2) 若该船不改变航行方向持续行驶，判断它能否会进入戒备水域，并说明原因.分析： (1)如下图， AB ＝ 402， AC ＝ 10 13，∠BAC ＝ θ，sin θ＝ 2626.因为 0 °<θ<90 °，因此 cos θ＝1－26 2526 26＝26.由余弦定理得BC＝AB2＋ AC2－ 2AB·AC ·cos θ＝ 10 5.因此船的行驶速度为10510540＝2＝ 15 5(海里 /小时 )．603(2) 如下图，以 A 为原点成立平面直角坐标系，设点B、 C 的坐标分别是B(x1， y1)、 C(x2，y2)， BC 与 x 轴的交点为 D ，2由题设有， x1＝y1＝2 AB＝ 40，x2＝ ACcos∠CAD＝10 13cos(45 －°θ)＝ 30，y2＝ ACsin∠CAD ＝1013sin(45 －°θ)＝ 20.因此过点 B、 C 的直线 l 的斜率20k＝10＝ 2，直线 l 的方程为y＝ 2x－ 40.又点 E(0，－ 55)到直线 l 的距离|0＋ 55－40|d＝＝ 35<7 ，1＋ 4因此船会进入戒备水域.。

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第3课时几何计算问题

[课时作业][A 组基础巩固]1、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a sin A等于( ) A.2393B.2293C.2633 D 、3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：A2、△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 面积等于( )A.62 B 、1 C.32 D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C， ∴sin C ＝12， ∴C ＝30°或150°(舍去)、∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32. 答案：C3、△ABC 三个内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 大小为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)， ∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4. 答案：B4、在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 面积为( ) A.332 B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin A sin C ， ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 面积为12ab ·sin C ＝332. 答案：A5、设△ABC 内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 面积S ＝10，b ＝4，则a 值为( )A.233B.253C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c 3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253，故选B. 答案：B6、设△ABC 内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23. 答案：237、若△ABC 面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 长度等于________、解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.答案：28、锐角△ABC 面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________.解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13. 答案：139、已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 面积、解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ， ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3. 故△ABC 面积为23或 3.10、已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上中线AD 长、解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2，在△ABD 中，由余弦定理知：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.[B 组能力提升] 1、如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形面积等于( )A. 3B 、5 3C 、6 3D 、7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：B2、已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角正弦值为32，则△ABC 面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋(c ＋2)2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534. 答案：A3、(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 值为________、解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{ b －c ＝bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8. 答案：84、在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上高等于________、解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上高为c sin B ＝3×sin 60°＝332. 答案：3325、(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 面积为332，求△ABC 周长、解析：(1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C 、故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 周长为5＋7.6、已知圆内接四边形ABCD 边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 面积、解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 面积 S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C .∵A ＋C ＝180°，∴cos A ＝－cos C ，∴64cos A ＝－32，∴cos A ＝－12， ∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

[课时作业] [A 组基础巩固]1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A.75 B.57 C.712D.512解析：由正弦定理得sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝7∶5＝75.答案：A2．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，则△A BC 的外接圆半径是( ) A.32 B ．3 C ．3 3D ．6解析：△ABC 的外接圆直径2R ＝a sin A ＝3sin 30°＝6，∴R ＝3. 答案：B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( ) A.22B ．1 C. 2D ．2 解析：C ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理：c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin B ·sin C ＝22sin 45°·sin 30°＝2.答案：D4．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：对于A ：a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，∴A 正确．对于B ：∵sin 2B ＝sin(π－2B )，∴sin 2A ＝sin(π－2B )也成立，此时2A ＝π－2B ，∴A ＋B ＝π2，∴A ＝B 不一定成立，∴a ＝b 不一定成立．∴B 不正确．对于C ：①若A ，B 均为锐角，结论显然成立．②若A ，B 中有一钝角，则A >B 时，B <π－A <90°，∴sin B <sin(π－A )＝sin A ，∵sin A >sin B 时，sin(π－A )>sin B ，∴C 正确．由等比定理知：D 正确．答案：B5．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A.等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°解析：由正弦定理：sin A a ＝sin Bb ，∴sin B ＝cos B ，∴22sin B －22cos B ＝0，即sin(B －45°)＝0， ∴B ＝45°，同理C ＝45°. ∴A ＝90°. 答案：C6．在△ABC 中，若B ＝30°，b ＝2，则asin A＝________. 解析：a sin A ＝b sin B ＝2sin 30°＝4.答案：47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理：sin A ＝a c ·sin C ＝13·sin 60°＝12，∵a <c ，∴A <90°，∴A ＝30°. 答案：30°8．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得AB ＝sin Csin A ·BC ＝2 5.答案：2 59．在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解析：∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°.又∵c >a ，∴C >A . ∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解析：∵sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0. ∴sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ① ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，② 由①②：△ABC 是等腰直角三角形．[B 组能力提升]1．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( ) A ．2∶3∶4 B ．3∶4∶5 C ．6∶5∶4D ．7∶5∶3解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴设b ＋c ＝4k 时，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解之得：a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝72k ∶52k ∶32k ＝7∶5∶3.答案：D2．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3解析：由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2. 答案：C3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝1 50°，BC ＝1，则AB ＝________.解析：∵tan A ＝13，∴cos A ＝3sin A ，再结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝1010. 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C，得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.答案：1024．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：因为sin B ＝12，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝bsin B，解得b ＝1.答案：15．△ABC 中，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求BC 边上的高．解析：∵1＋2cos(B ＋C )＝0， ∴1＋2cos(π－A )＝0. ∴2cos A ＝1，∴A ＝60°.∵sin B ＝b a ·sin A ＝23×32＝22，又∵b <a ， ∴B ＝45°， ∴C ＝75°， ∴BC 边上的高为b ·sin C ＝2×sin 75°＝2×6＋24＝3＋12.6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3－cos 2x (x ∈R)．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫B 2＝－32，b ＝1，c ＝3，且a >b ，试求角B 和角C . 解析：∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝－32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝－12. ∵0<B <π，∴－π3<B －π3<2π3，∴B －π3＝－π6，即B ＝π6.由正弦定理得，a sin A ＝1sinπ6＝3sin C，∴sin C ＝32，∵0<C <π，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，A ＝π2；当C ＝2π3时，A ＝π6，此时a ＝b (不合题意，舍)．所以B ＝π6，C ＝π3.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.2.2 Word版含解析

第2课时高度问题课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,a=5,sin A=√55,则bsinB等于().A.5√5B.√525C.√5D.不确定解析:bsinB =asinA=√55=5√5.答案:A2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是().A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.答案:B3在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为().A.4003mB.400√33mC.200√33mD.2003m解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=OAcos30°=√3又∠B=120°,在△ABC中,由正弦定理ACsin120°=BCsin30°,得BC=ACsin30°sin120°=400√3×12√32=4003(m).答案:A4如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A 的俯角β=45°.已知塔高为60 m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=30(√6+√2)(m),∴CD=AC·sin45°=30(√3+1)(m).答案:30(√3+1) m5如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD=.答案:32 m6如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10√6 m,则旗杆的高度为m.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第2课时高度、角度问题 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．南偏西35°D ．南偏西55°解析：如图可知，D 项正确．答案：D2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a kmD. 2a km解析：∵∠ACB ＝120°， AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理知 AB ＝3a . 答案：B3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( ) A ．521 m B ．10 m C.4 90013mD ．35 m解析：作出示意图，设塔高OC 为h m. 在△OAC 中，OA ＝h tan 60°＝33h ，OB ＝h .AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理求得h ＝521. 答案：A4.如图，从山顶A 望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( ) A ．100米 B ．50 3 米 C ．502米D ．50(3＋1)米解析：在△ACD 中，CD ＝100米，∠D ＝30°，∠DAC ＝∠ACB －∠D ＝45°－30°＝15°，∴ACsin ∠D ＝CDsin ∠DAC.∴AC ＝CD sin D sin ∠DAC ＝100sin 30°sin 15°＝50sin 15°.在△ABC 中，∠ACB ＝45°，∠ABC ＝90°，AC ＝50sin 15°米，∴AB ＝AC sin 45°＝50sin 45°sin 15°＝50(3＋1)米．答案：D5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( ) A ．15海里/时 B ．5海里/时 C ．10海里/时D ．20海里/时解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是10海里/时．答案：C6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理得BC sin 45°＝CDsin 30°，则BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ，所以AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答案：10 67.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析：ED ＝AB ＝24米，在△ACD 中，∠CAD ＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE ⊥CD ，DE ＝24 米，则AD＝DE sin β＝24sin 60°＝163(米)，则CD ＝AD cos ∠ADC ＝AD cos 30°＝16332＝32 (米)．答案：328．在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m ，则旗杆的高度为________m.解析：如图，设旗杆高为h ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝h sin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝10 6 m ，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，∴∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30 m.答案：309.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．解析：在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin (45°－15°)＝50(6－2)．在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBDCD＝50(6－2)·sin 45°50＝3－1.由题图，知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.10．甲船在A 处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析：设AB ＝10海里，两船在C 处相遇，∠CAB ＝θ，乙船行驶了x 海里，则AC ＝ 3 x 海里．由题意，知∠ABC ＝180°－60°＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin θ＝BC sin ∠ABC AC ＝12，∴θ＝30°或θ＝150°. 由题意知θ＝30°.∴∠ACB ＝180°－(∠ABC ＋θ)＝180°－(120°＋30°)＝30°， ∴BC ＝AB ＝10海里，60°－θ＝60°－30°＝30°.故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里．[B 组能力提升]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A 沿北偏东30°方向前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 mD ．150 m解析：设水柱高度是h ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m. 答案：A2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析： ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案：C3．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝1002m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理得，AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝1003m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1504．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝____________m.解析：依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600，由正弦定理可得600sin 45°＝BC sin 30°，即BC ＝3002m ，在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2. 所以tan 30°＝CD BC ＝CD 3002，所以CD ＝1006m.答案：100 65.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解析：设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306(m)或h ＝－306(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m. 6．海岛O 上有一座海拔1 km 的小山，山顶设有一观察站A ，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C 处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E 离海岛O 的距离是多少千米？解析：(1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中， OB ＝OA cot 60°＝33， OC ＝OA cot 30°＝ 3. 在△BOC 中，由余弦定理得 BC ＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos ∠BOC ＝393， ∵由C 到B 用的时间为1060＝16(h)，∴该船的速度为39316＝239(km/h)．(2)在△OBC 中，由余弦定理，得 cos ∠OBC ＝BC 2＋OB 2－OC 22BC ·OB ＝51326，∴sin ∠OBC ＝1－cos 2∠OBC ＝33926，∴sin ∠OEB ＝sin(∠OBE ＋∠EOB )＝sin ∠OBE ·cos ∠EOB ＋cos ∠OBE ·sin ∠EOB ＝1313，在△BEO 中，由正弦定理得 OE ＝OB ·sin ∠EBO sin ∠OEB ＝32.BE ＝OB ·sin ∠BOE sin ∠OEB＝396，∴从B 到E 所需时间为396239＝112(h)，即所需时间为5 min.即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5 km.。

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