年全国大联考高三第六次联考数学(文)试卷

2008年全国大联考高三第六次联考数学(文)试卷一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.集合{1,2,3,4}I =,{1}A =,{2,4}B =,则I A B ð等于( B ).A.{1}B.{1,3}C.{3}D.{1,2,3} 2.已知,αβ是平面,,m n 是直线,则下列命题中不正确的是( B ).A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,n αβ= ,则//m nC.若m α⊥,m β⊥,则//αβD.若m α⊥,m β⊂,则αβ⊥3.为了了解某地区高二学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为16.5岁~17岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如右：根据右图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是( C ). A.20 B.30 C.40 D.504.函数2244()sin ()cos ()1f x x x ππ=++--是A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数5.若等比数列{}n a 的首项11a =,公比为q ,前n 项和是n S ,则数列1{}na 的前n 项和是( A ).A.1n n S q -B.n n S q -C.1n S - D.11n n S q --6.半球O 的半径为R ,点A 、B 、C 都在底面圆O 的圆周上,且AB 为圆O 的一直径,2BC =,半球面上一点D 到平面ABC 的距离为R ,且二面角D AC B --的平面角的余弦值为3,则该半球的表面积为( D ).A.8πB.4πC.4πD.6π 7.在202)-的二项展开式中,含x 的奇次幂的项之和为S ,当x 时,S =( D ). A.302-B.302C.402-D.392-8.如图所示,ABC ∆中,BC 边上的两点D 、E 分别与A 连线.假设4ACB ADC π∠=∠=,ABC ∆,ABD ∆,ABE ∆的外接圆直径分别为,,d e f ,则下列选项正确的是( C ).A.d f e <<B.e f d <<C.e d f =>D.d e f =< 9.设实数x 满足22log 0x x +=,则有( B ).A.21xx << B.12xx << C.12xx << D.12xx <<10.函数f ：{1,2,3}{1,2,3}A B =→=满足(1)(2)f f ≠,则这样的函数个数为(D ).AB DEC0.0.0.A.6B.9C.12D.1811.将2n 个正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中,使其每行、每列、每条对角线上的数的和相等, 这个正方形叫做n 阶幻方,记()f n 为n 阶幻方对角线的和,如图就是一个3阶幻方,可知(3)15f =,则(6)f 等于( C ).A.65B.91C.111D.12612.已知椭圆22221(0)x y aba b +=>>的离心率为1e ,准线为1l 、2l ,双曲线222231y x ab-=的离心率为2e ,准线为3l 、4l .若1l 、2l 、3l 、4l 正好围成一个正方形,则12e e 等于( A ).A.B. C.二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.过点(1,2)M 的直线l 将圆22(2)9x y -+=分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l 的方程 为__________.230x y -+=14.已知函数()2sin(4)(0)f x x ϕϕπ=-<<,若对任意实数x 有6()()f x f π≤成立,则满足方程()0f x =的锐角x 组成的集合为__________.72424{,}ππ15.如果,x y R ∈,221x y +=,那么(1)(1)z xy xy =-+的取值范围是__________.34[,1]16.已知0230x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数),若3z x y =+的最大值为25k -,则k =_____.5-或92-+13.230x y -+= 14.72424{,}ππ15.34[,1] 16.5-或92-+三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数()sin cos 1()f x a x x x R =+-∈的最大值是0. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若143()f x π+=-,求sin 2x 的值.6 7 295 18 3 4解：(Ⅰ)由已知得())1f x x ϕ+-,由于|sin()|1x ϕ+≤,∴max ()10f x =, 故0a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)有()cos 1f x x =-,∴243cos()x π-=,即2223x x -=,得19sin 2x =.18.(本小题满分12分)已知10件产品中有3件是次品.(Ⅰ)任意取出3件产品作检验,求其中至少有1件是次品的概率；(Ⅱ)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6,最少应抽取几件产品作检验？ 解：(Ⅰ)任意取出3件产品作检验,全部是正品的概率为37310724C C =,∴至少有1件是次品的概率为171724241p =-=.(Ⅱ)设抽取n 件产品作检验,则3件次品全部检验出的概率3337102n n C C C p -=,∴3337100.6n nC C C ->,即7!610!(3)!(10)!10!(10)!n n n n --->⋅,整理得(1)(2)986n n n -->⨯⨯.∵*n N ∈,且10n ≤,∴9n =或10n =,故最少要抽取9件产品作检验.19.(本小题满分12分)已知底面边长为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 的中心为O , 1D O 的中点为M ,点N 为11B C 上一点,且11MN B C ⊥,5MN =. (Ⅰ)求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高； (Ⅱ)求三棱锥1D ACN -的体积.解：(Ⅰ)取OD 的中点E ,作NF BC ⊥于F ,连结,ME EF ,∵11MN B C ⊥ ∴MN BC ⊥,∴EF BC ⊥.设正四棱柱1111ABCD A B C D -的高为2a ,则 ME a =,在直角梯形MEFN 中,可得3EF =,∴8NF =为所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)知点N 为11B C 上靠近点1C 的四等分点,取线段11A B 靠近1A 的 四等分点G ,连结NG 交11B D 于点P ,则//GN AC ,∴//GN 面1D AC , 则点N 到平面1D AC 的距离等于点P 到平面1D AC 的距离.过点P 作 1PH D O ⊥于H .∵AC ⊥面11BDD B ,则AC PH ⊥,PH ⊥面1D AC , 则PH 就是点P 到平面1D AC 的距离.在1Rt D AC ∆中,111582D P D B ==,1111183sin cos DD PH PHD OD PPD H DD O ∠=∠=====解得103PH =.而1Rt D AC ∆的面积为AB CNMO1A1D1B1CDABCN MO1A1D1B1CD E FHP G1112224AC D O ⋅=⨯,∴1111111080333324D ACN N D AC P D AC D AC V V V S PH ---∆===⋅=⨯⨯=.20.(本小题满分12分)设1212,()x x x x ≠是函数322()(0)f x ax bx a x a =+->的两个极值点. (Ⅰ)若121,2x x =-=,求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若12||||x x +=求b 的最大值. 解：(Ⅰ)22()32(0)f x ax bx a a '=+->,则2(1)320f a b a '-=--=,2(2)1240f a b a '=+-=, 解得6a =,9b =-,∴32()6936f x x x x =--.(Ⅱ)依题意知12,x x 是方程22320ax bx a +-=的两相异根,234120b a ∆=+>对一切0,a b R >∈ 恒成立.∴1223b ax x +=-,123ax x =-.∵0a >,∴120x x <.∵12||||x x +=∴1212||||||x x x x +=-==得223(6)b a a =-.由20b ≥,得23(6)0a a -≥,解得06a <≤.令2()3(6)h a a a =-,则2()936h a a a '=-+,当 04a <<时,()0h a '>,()h a 在(0,4)上是增函数；当46a <≤时,()0h a '<,()h a 在(4,6]上是减 函数.∴当4a =时,()h a 有极大值为96,∴()h a 在(0,6]上的最大值是96,故b的最大值为 21.(本小题满分12分)已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的一条弦,O 为坐标原点,2OA OB p ⋅=-.(Ⅰ)求证：直线AB 恒过一定点；(Ⅱ)若CD 也是抛物线的一条弦,且AC 与BD 相交于抛物线焦点F ,求直线AB 与CD 的斜率比 值AB CDk k .(Ⅰ)证明：由题意可设直线AB ：(0)y kx b k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y .由2OA OB p ⋅=-得, 21212x x y y p +=-,即221122121242y y y y p y y p +=-⇒=-.将直线与抛物线联立,消去x 整理得2220ky py pb -+=,∴21222pb ky y p ==-,得b pk =-.∴222484(12)0p kpb p k ∆=-=+>.则直线AB 为()y k x p =-,故直线AB 过定点(,0)p .若直线AB x ⊥轴,则1212,x x y y ==-, 由21212x x y y p +=-,得2222111112x y x px p x p -=-=-⇒=,此时直线AB ：x p =过定点(,0)p . 综上,得直线AB 恒过定点(,0)p .(Ⅱ)解：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .由(Ⅰ)知,设过焦点2(,0)pF 的直线AC 或BD 的方程为2()(0)py k x k ''=-≠,与抛物线联立,消去x 整理得2220k y py k p ''--=,∴213y y p =-,224y y p =-,得213py y =-,224py y =-(当k '不存在时此式也成立).故22221223412412341212222342341212123434311()()()()()()121()()()()2()()22AB CDp p y y y y x x y y y y py y p x x y y y y y y y y y y pp y y k x x y y k x x ------+--++-------======-=.22.(本小题满分14分)已知212()n n S x a x a x a x =+++ ,且12,,,n a a a ,组成等差数列,设2(1)S n =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：12()3S <.(Ⅰ)解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则2121431(1)2n n n n na d n a a a a a a n --⎧+=⎪⎨⎪-+-++-=⎩ 1122n n a d n d n -⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩, 解得2d =,11a =.∴21n a n =-.(Ⅱ)证明：由231111111222222()13()5()(23)()(21)()n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+- ,得234111111112222222()1()3()5()(23)()(21)()n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+- ,两式相减得,1231111[1()]421221111111112222222221()2[()()()](21)()(21)()n n n n S n n -++-⨯-=++++--=+--1131132222()(21)()n n n -+=---<(n 是正偶数),故12()3S <.。