圆锥曲线的离心率

圆锥曲线的离心率1.已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．2.椭圆C ：+y 2=1，A （，），B （﹣，﹣），点P 是椭圆C 上的动点，直线PA 、PB 的斜率为k 1，k 2，则k 1k 2=（ ）A ．﹣4B ．C ．4D ．﹣3.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y +=4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与x 轴负半轴交于点C ，A 为椭圆第一象限上的点，直线OA 交椭圆于另一点B ，椭圆的左焦点为F ，若直线AF 平分线段BC ，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3 D ．125.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于（ ）A ．﹣4B ．C ．4D ．6.P为椭圆+=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值﹣，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之积为定值C．直线PA1与PA2的斜率之和为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值7.椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．8.已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．9.如果椭圆的短轴长等于焦距，那么此椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．10.已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±4y=0C．4x±5y=0D．5x±4y=011.已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F（1，0），定点A（﹣1，1）在E的内部，若椭圆E上存在一点P使得|PA|+|PF|=7，则椭圆E的方程可以是（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D．+=112.已知椭圆C2过椭圆C1：的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为（）A． B．C． D．13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．14.椭圆的两个焦点坐标分别为F1（﹣8，0），F2（8，0），且椭圆上一点到两焦点的距离之和为20，则此椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=115.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±16.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0B．x±y=0 C．2x±y=0D．x±2y=017.在△ABC 中，AB=BC ，cosB=﹣，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．18.设F 1，F 2分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，求点P 的横坐标为（ ） A ．1 B ．38C ．22D ．362 19.设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．20.已知椭圆： +=1的焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对试卷答案1.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．2.D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值．【解答】解：设P（m，n），可得m2+4n2=4，即有m2=4﹣4n2，又k1=，k2=，则k1k2=•===﹣．故选：D．试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为，所以对于椭圆而言，b=合离心率等于12，可知4a=，所以方程为2211612x y+=，故选D.考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程.4.A【知识点】椭圆【试题解析】设AF交BC于点M，设右焦点为G，由椭圆的对称性知：A，B关于原点对称，所以MF//BG．因为M是BC的中点，所以F是CG的中点，所以a-c=2c，即a=3c ，所以故答案为：A5.D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆x2+ky2=1的方程化为： +x2=1，由于焦点在y轴上，可得：a2=，b=1，利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出．【解答】解：椭圆x2+ky2=1的方程化为： +x2=1，∵焦点在y轴上，可得：a2=，b=1，∵长轴长是短轴长的2倍，∴=2×2，解得k=．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；推理和证明．【分析】由已知椭圆的性质类比可得直线PA1与PA2的斜率之积为定值．然后加以证明即可．【解答】解：设P（x0，y0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则A1（﹣a，0），A2（a，0），∴=，又P（x0，y0）在双曲线﹣=1上，∴，∴=，∴直线PA1与PA2的斜率之积为定值．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．7.C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，∴e==．故选：C．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8.A【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的焦点坐标F（0，±），∴设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，∴b==1，∴椭圆方程为．故选A．【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．9.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c，故a== c，从而得到的值．【解答】解：由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c，∴a== c，∴=，故选 C．10.A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】依据题意，求得双曲线C 的焦点坐标和实轴端点坐标，求得曲线的标准方程，从而求得双曲线C的渐近线方程．【解答】解：椭圆的长轴端点为（±5，0），焦点为（±3，0）．由题意可得，对双曲线C，焦点（±5，0），实轴端点为（±3，0），∴a=3，c=5，b=4，故双曲线C的方程为，故渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准方程是解题的关键．11.D【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤4；利用|PF1|≥|PA|﹣|AF1|可知a≥3，进而可得结论．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+7=8，即a≤4；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥7﹣1=6，即a≥3，∴9≤a2≤16，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12.A【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆C1的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆C2的a=3，b=，求得c，由离心率公式可得．【解答】解：椭圆C1：的焦点为（±，0），短轴的两个端点为（0，±3），由题意可得椭圆C2的a=3，b=，可得c==2，即有离心率e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a，b，c是解题的关键，属于基础题．13.B【考点】椭圆的应用；数列的应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．14.C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得：c=8，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=10，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．【解答】解：∵两个焦点的坐标分别是F1（﹣8，0），F2（8，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=8，∴由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，∴由a，b，c的关系解得b=6，∴椭圆方程是+=1．故选：C．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题．15.B【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2﹣b2=1，焦点为（±1，0）．直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x﹣1．代入+y2=1得x2+2（x﹣1）2﹣2=0，即3x2﹣4x=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1•x2=0，x1+x2=，y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=1﹣=﹣，•=x1x2+y1y2=0﹣=﹣．故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．16.B【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论．【解答】解：∵椭圆C1的方程为+=1，∴椭圆C1的离心率e1=，∵双曲线C2的方程为﹣=1，∴双曲线C2的离心率e2=，∵C1与C2的离心率之积为，∴•=，∴==1﹣，又∵a＞b＞0，∴ =，故选：B．【点评】本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．17.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，利用椭圆的定义和余弦定理即可得出．【解答】解：如图所示，∵|AB|=|BC|，∴|BC|=2c．又|AC|+|BC|=2a，∴|AC|=2a﹣2c．在△ABC中，∵，∴=，化为16e2+18e﹣9=0，又e＞0．解得e=．故选：C．18.D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1⊥PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P所在的象限确定其横坐标．【解答】解：由题意半焦距c==，又∵PF1⊥PF2，∴点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，由，解得x=±，y=±∴P 坐标为（，）．故选：D ．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系．考查了考生对椭圆基础知识的综合运用．属基础题． 19.D【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．20.C【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：（1）焦点在x 轴上时：10﹣m ﹣（m ﹣2）=4（2）焦点在y 轴上时m ﹣2﹣（10﹣m ）=4分别求出m 的值即可．【解答】解：（1）焦点在x 轴上时：10﹣m ﹣（m ﹣2）=4解得：m=4（2）焦点在y 轴上时m ﹣2﹣（10﹣m ）=4 解得：m=8 故选：C【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．。