新人教A版平面向量数量积的物理背景及其含义PPT优选课件

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bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
arbr等于
r a的长度
r | a|与
br在ar方向上的投
r
|b|cos的乘积。
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练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 ×
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例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
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a bab 例4、 已 知 | | ３ , | | 4 , 与 的夹角为
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
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例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
abab 60o,
求 （ 2 ) ( 3 ) 。
变式１：求 | a+2b |,| a-b |
变式２：当且仅当k为何值时，
ka b 与 a 2 b垂直
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思考：用向量方法证明：直径所对的圆
周角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分 量AO析C上： 任要C意证B一∠，点A即。CABC 求=9证C 0B °∠ ，AC0 只B。须=9证0°向A
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
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已知两个非零向量a和b ，作OA= a ， OB= b ，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记4为a⊥b.
A
A
B
O
B
b Oa A
B
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我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbB
(( 3 2 )当 ) a a r 与 b b r 同 a b 向 0 a rb r |a r 时 |b r ||;
Oθ
A
B1 a
当 a r与 b r反向 a rb r |时 a r|b r ||;
特2(04 20别/)10c/1地8 os a r|araa rr||b b rr||a r|2或 ( 5 |) a r||a r b r a r| a |ra r |b |r ar|2 8
((12))a(rbar)rbrb ra(rarrbr)rarr(br)
(3)(ab)cacbc
其中，a r、 b r、 c r是任意三个向量，
注：
rrrrrr ( a b ) c a ( b c )
R
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证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
y
浙江省安吉县昌硕高中 姚秀梅
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一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ a ，
它的长度和方向规定如下：
(1) |λ a |=|λ| | |a
(2) 当λ>0时,λ a的方向与 a 方向相同； 当λ<0时,λ a 的方向与 a方向相反；
a 0 a 0 特别20地20/10，/18 当λ=0或 = 时, λ =
B O
解 则：A C 设 A a O b , a C , B OC a bb，
a ·b =| a | | b | cosθ
|b |c o s( 或 |a |c o s)
叫做向量 b 在 a 方向上 （或向量 a 在 b 方向上）的投影。 2020/10/18 规定:零向量与任一向量的数量积为06 。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
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.
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设 a , b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)=(λμ) a ②(λ+μ) a =λ +aμ a ③λ( a + b )=λ a+λ b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意的向量 a、b, 以及任意实数 、1、2， 恒有
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( 1 a 2 b ) = 1 a 2 b
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0×． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c ×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当
a=0 时成立．× 7．对任意向量 a 有 a2|a|2 √
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二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
rr rr
rr r r
a ·b =|a | |b | cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时 为ar正·br； 当当9θ0=°9＜0θ°时≤180ar°为·时br零。为ar 负·br。
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单位设向ar量、 ，br是是 非a r与 零向e rr 的量夹，r er角是 r ，r 则与 br方r 向相同的
ab | a| | b| c o s ( 1 ) e r a r a e r |r a |cos
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量
“数量积”的概念。
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注的一夹意数个ar与角：量数已为br向积量的知θ，数量是。两我量个r们积非r把（零数或向量内r量|积ararr|）与| ，brb|rc，记osθ它作叫a们r做·的br