华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解[精选]

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．2、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC ＝AE即可．【答案与解析】证明：在DC上取一点E，使BD＝DE∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE在△ABD和△AED中， BD＝DE，AD＝AD．∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB＝AE，∠B＝∠AED．又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝12（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.AEDC B【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ） ∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ， 即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ） ∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE. ∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.类型二、全等三角形的判定2——“角边角”3、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ） ∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型三、全等三角形的判定3——“角角边”4、（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．举一反三：【变式】已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B 都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．【答案】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．5、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH ⊥CE 与点H ，易证△ACE ≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF ＋BF ＝2CE ． 【答案与解析】解：图2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立， 证明：过B 作BH ⊥CE 于点H ，∵∠CBH ＋∠BCH ＝∠ACE ＋∠BCH ＝90° ∴∠CBH ＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH ．（AAS ） ∴CH ＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ，∴AF ＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：【变式】已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A BAD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ） ∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°， ∴∠ MDE ＝∠NDF 在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DNMDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ） ∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形 可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形， ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 类型四、全等三角形判定的实际应用6、小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A 视线PA 与地面夹角∠APB=54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？图2ADBCE M NF【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．【答案与解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．。