全等三角形ASA

用数学符号表示:
A
A'
在△ABE和△A’CD中
∠A=∠A’ （已知 ） AB=A’C（已知 ） ∠B=∠C（已知 ） ∴ △ABE≌△A’CD（ASA）
B
ED C
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B
∠A=∠B,（已知）
=∠EDC=900
BC＝DC, ∠1＝∠2,
B 1C D
F
2
∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
∴ AB＝ED.
E
知识应用
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD.
证明： ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC,
A
A
B
C
B
C
探究5
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
∠D +∠E +∠F =1800,
C ∵ ∠A ＝∠D, ∠B＝∠E,
B
D
∴ ∠C＝∠F,
∴ ∠B＝∠E,
BC＝EF,
∠C＝∠F,
E
F ∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
探究反映的规律是：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
用数学符号表示:
A
A'
AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等)
\ DAOC DBOD (AAS)
到目前为止,我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律，它们分别是:
1、边边边 2、边角边 3、角边角 4、角角边
(SSS) (SAS)
(ASA) (AAS)
练一练：
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，
回首往事： 1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判断三角形全等至少要有几个条件？
答：至少要有三个条件
边边边公理： 有三边对应相等的两个三角形全等。
边角边公理： 有两边和它们夹角对应相等的两个
三角形全等。
问题：
如果已知一个三角形的两角及一边，那 么有几种可能的情况呢？
答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
D
E
O
∴△ACD≌△ABE（ASA）
B
C
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
1.如图,O是AB的中点，∠A= ∠B， △AOC与 △BOD全等吗?为什么？
两角和夹边 对应相等
C
A
O
B
解：在 DAOC和DBOD 中
D
A B (已知)
AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等)
画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律？A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
(2) (1)
D
A
(2)
C
利用“角边角”可知,带第(2)块去，
可以配到一个与原来全等的三角形玻E璃。
B
探究6 如下图，在△ABC和△DEF中,∠A ＝∠D,
∠ B＝∠E, BC＝EF, △ABC与△DEF全等吗？能利用 角边角条件证明你的结论吗？
A
在△ABC和△DEF中,
∠A +∠B +∠C＝1800,
在△ABE和△A’CD中
AE=A’D（已知 ） ∠A=∠A’ （已知 ） ∠B=∠C（已知 ） B
ED C
∴ △ABE≌△A’CD（AAS）
例: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D， △AOC
与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和对边
对应相等
A
O
B
解：在 DAOC和DBOD 中
D
∠C= ∠D (已知)
\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：BE=CF．
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
那么应补充一个直接条件
AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D
--------------------------，
（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
A
A
F
E
B
C
D
E
1
2
D
B
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
AB=AC相等
知识应用
1. 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以 在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出 BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上， 这时测得DE的长就是AB的长。为什么？
三4、步角走角：边 (AAS) A D
①要证什么；
②已有什么；
= =
③还缺什么。
B EC F
练习
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由.
全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两
个三角形全等.
解：在DABC和DDBC中
A
ABC DBC (已知)
∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.
练习
已知:
如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证:ΔABC≌ ΔDEF
((12))若 若要要以以1““、SAA边SSA””边为为依依边据据，，还(还S缺缺S条条S件)件∠A＿BA＿=CDB＿E=＿∠＿D＿EF；； (3)若要以2“、SS边S”角为依边据，还(缺SA条S件A)B=DE、AC=DF ; (4)若要以3“、A角AS”边为角依据，(还A缺S条A件)∠＿A＿= ＿∠＿D ＿＿；
C
AO=BO , ∠1=∠2, （已知） ∴△AOC≌△BOD (ASA)
12
O D
A
例题讲解
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交 于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE。
A
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知）