九年级数学上册3图形的相似小专题(八)比例式或等积式的证明练习(新版)湘教版

小专题(八) 比例式或等积式的证明
方法1 三点定型法
要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形．
1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.
求证：AB·AE＝AC·AD.
2．(滨州中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB·BC＝AC·BD.
3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F.
求证：CD2＝DE·DF.
方法2 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形．
4．已知：如图，在ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.
5．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.
6.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．
求证：BP2＝PE·PF.
方法3 等比代换法(找中间比)
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．
7．如图，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE∥BC，AQ 交DE 于点P.求证：DP BQ ＝PE
QC
.
8．如图，在
ABCD 的对角线BD 上任取一点P ，过P 点引一直线分别与BA 、DC 两边的延长线交于E 、G ，又与BC 、
AD 两边交于F 、H ，求证：PE PG ＝PF
PH
.
9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 的中点，ED 、CB 的延长线交于点F. 求证：DF CF ＝BC
AC
.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE·AB＝AF·A C.
11．(崇明中考)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：BG AB ＝AB
BE
.
12．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.
参考答案
1.∵∠ABC ＝∠ADE，∠A ＝∠A，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AC ＝AD
AE ，即AB·AE＝AC·AD.
2.∵∠ABC＝2∠C，BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠DBC＝∠C.
又∵∠A 为公共角，∴△ABC ∽△ADB ，∴AC AB ＝BC
BD
，即AB·BC＝AC·BD.
3.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠A ＋∠B＝90°，CD ＝AD.∴∠A＝∠DCE. 又DF 垂直平分AB ，∴∠BDF ＝90°.∴∠B ＋∠F＝90°.∴∠DCE ＝∠F. 又∠CDE＝∠FDC.∴△CDE∽△FDC.∴CD DF ＝DE CD ，即CD 2
＝DE·DF.
4.在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠E. ∴△ADF∽△CED.∴AD CE ＝AF CD .∴AD CE ＝AF
AB ，即AD·AB＝AF·CE.
5.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，∠ADE ＝∠AED＝60°.
∴∠ADB ＝∠AEC＝120°，∠B ＋∠BAD ＝60°.
又∵∠BAC＝120°，∴∠B ＋∠C＝60°.∴∠BAD ＝∠C. ∴△ABD∽△CAE.∴
BD AE ＝AD CE .∴BD DE ＝DE CE
，即DE 2
＝BD·CE. 6.连接PC.在△ABC 中，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD 垂直平分BC.∴PB＝PC.∴∠PBC ＝∠PCB.
∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC －∠PBC＝∠ACB－∠PCB，即∠ABP＝∠ACP. ∵CF∥AB，∴∠ABP ＝∠F.∴∠ACP＝∠F.
又∵∠E PC ＝∠CPF，∴△PCE ∽△PFC.∴PC PE ＝PF PC .∵PC ＝PB ，∴PB PE ＝PF PB ，即PB 2
＝PE·PF.
7.在△ABQ 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ.∴DP ∶BQ ＝AP∶AQ.
同理△AEP∽△ACQ，∴PE ∶QC ＝AP∶AQ.∴DP∶BQ＝PE∶QC.
8.在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴PE PG ＝PB PD ，PF PH ＝PB PD .∴PE PG ＝PF
PH .
9.∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB ＝∠BDC＝90°. ∴∠A ＝∠BCD.∴△ACD∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD
CD
.
又∵E 为AC 中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠B DF ，∠A ＝∠FCD，∴∠FCD ＝∠BDF . 又∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD .∴DF CF ＝BC
AC
.
10.∵AD⊥BC，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED＝90°.
∴∠ADE ＋∠BDE＝∠ADE＋∠DAE.∴∠BDE＝∠DAE.∴△ADE∽△ABD. ∴
AD AB ＝AE AD
，即AE·AB＝AD 2
. 同理，△ADF ∽△ACD ，∴AF ·AC ＝AD 2
.∴AE ·AB ＝AF·AC. 11.∵∠B GD ＝∠C，∠DBG ＝∠EBC，∴△BGD ∽△BCE. ∴
BG BC ＝BD
BE
，即BG·BE＝BC·BD. 又∵∠BAD＝∠C，∠ABD ＝∠CBA， ∴△ABD ∽△CBA. ∴
AB BC ＝BD AB ，即BC·BD＝AB 2.∴BG ·BE ＝AB 2
，即BG AB ＝AB BE
. 12.∵AD、BF 分别是BC 、AC 边上高，∴∠ADB ＝∠BED＝90°.
∴∠EBD ＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED∽△DEB.∴DE 2
＝A E·BE. 又∵∠HFG＝90°，∠BGE ＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.
EG AE ＝
BE
EH
，即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.∴。