高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修
高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)
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3。
2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。
(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。
２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。
高中数学第3章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修
[再练一题] 1.设 a>0，b>0，试比较a＋2 b， ab，
a2＋2 b2，1a＋2 1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】
【解】
∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥
2， ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋24ab＋b2 ≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，
(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.
【自主解答】 (1)∵a，b，c 互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即 p>q.
(2)只有当 x>0 时，才能由均值不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b
2.均值不等式 ab≤a＋2 b (1)均值不等式成立的条件：_a_>_0_，__b_>_0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b__时取等号. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为__a_b_； (2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不__小__于__它们的几何平均数.
阶
阶
段
段
一
三
3.2 均值不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解均值不等式的证明过程. 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点) 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)
辽宁省大连市高中数学第三章不等式3.2均值不等式习题课教案新人教B版
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则 ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋ ≥2 ＋ ＝4＋2 ≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
答案4
解析 由x＋2y＋2xy＝8，
得x＋2y＋( )2≥8，
二、能力目标
通过运用基本不等式解决实际问题，提高运用数学手段解决问题的意识与能力
理由：
依据本节课重难点制定
教具
多媒体课件、教材，教辅
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
课
前
3
分
钟
1．已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？
2．已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？
2．均值不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足
1、评价学生的展示结果
2、巡视学生的完成情况
3、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
1、小组讨论用均值不等式求最值的方法
2、展示讨论的结果
2、利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
引导学生归纳总结本节课解题方法及注意事项
1、讨论思考
2、抽签小组展示讨论的结果。
3、提出的问题。
强化学生知识储备及养成良好的学习习惯，加强数学思维的培养
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版
A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
【解析】m2＋1－2m＝(m－1)2≥0， 当且仅当 m＝1 时，等号成立．
【答案】A
2．已知 x>0，则 y＝3x＋4x有( )
A．最大值 4 3
B．最小值 4 3
C．最大值 2 3
D．最小值 2 3
【解析】∵x>0，∴y＝3x＋4x≥2 3x·4x＝4 3，当且仅当 3x＝4x， 即 x＝233时，等号成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【创新设计】高中数学 3.2 均值不等式名师课件 新人教B版必修5
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
解 (1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝ 36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 法一 由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得xy≤227， 即S≤227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
≥3＋2 2xy·yx＝3＋2 2. 当1－ 22时，等号成立， 所以1x＋1y的最小值为3＋2 2.
在用均值不等式求最值时，尽量避免两次使用均值 不等式．在应用时，要注意等号成立的一致性，否则易出错.
[错解]
因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，所以
1x ＋
1 y
＝(
1 x
＋1y )(x＋
2y)≥2
11 x·y·2
2xy＝4
2，所以1x＋1y的最小值为4
2.
在用均值不等式时，如果连续两次使用均值不等 式，则应两次取“＝”的条件相同，否则“＝”不能取得，前后 出现了矛盾．
[正解] 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1， 所以1x＋1y＝x＋x2y＋x＋y2y＝1＋2＋2xy＋xy
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
题型一 应用均值不等式证明不等式 【例1】 已知a，b，c是三个不全相等的正数．求证： b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
[思路探索] 属于均值不等式的直接应用 证明 b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c ＝ba＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc－3 ＝(ab＋ba)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)－3， ∵a，b，c都是正数，
【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411
(3)若实数
a,b
满足1
������
+
2 ������
=
������������,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1������+21������ ≤
������������
≤
������+������ 2
≤
������2+2 ������2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理 解均值不等式成立的条件,等号 成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、 范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及 需注意的问题.
课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(������+2������)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(������+2������)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差 法即可证明.
探究三
探究四
探究五
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当堂检测
课堂篇 合作学习
版高中数学第三章不等式32均值不等式二学案新人教B版必修5
3.2 均值不等式（二）学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立．梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b________ab ________a ＋b 2________a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二 均值不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－22．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b≥21ab >0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)， 当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时，等号成立．梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9xy＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时不等式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 跟踪训练1 解 (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 类型二 命题角度1例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 命题角度2例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8 当堂训练1．C 2.D 3.C 4.2－2 5。
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课 标 阐 释 思 1.了解均值不等式的证明过程,理 解均值不等式成立的条件,等号 成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、 范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式
a+b 2
维 脉 络
≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及 需注意的问题.
一
二
三
一、重要不等式 【问题思考】 1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
1 1 如求函数 f(x)=x+ 在区间[3,+∞)内的最小值,就得利用 f(x)=x+ ������ ������ 10 在区间[3,+∞)内是增函数,进而得到 f(x)min= . 3
一
二
三
值为(
4.做一做:设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则������ + ������的最小 ) B.4
1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
当堂检测
1 1 1 1 2������ ������ 2������ ������ 解:(1) + = + (2x+y)=2+ + +1=3+ + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2������ ������ ≥3+2 · =3+2 2, ������ ������ 1 ������ ������ = , = 2, 2������ ������ 2+ 2 当且仅当 = ,即 ������ ⇒ 时等号成立. 2 ������ ������ 2������ + ������ = 1 ������ = 2+ 2 1 1 ∴������ + ������的最小值为 3+2 2. 1 (2)∵0<x<2,∴1-2x>0. 2 1 1 2������+(1-2������) 1 ∴y=x(1-2x)=2· 2x(1-2x)≤2 = 8, 2 1 当且仅当 2x=1-2x,即 x=4时,等号成立.
1 16
答案:
一
二
三
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打 “×”.
(1)不等式 a2+b2≥2ab 和 a+b≥2 ������������成立的条件是 a>0,b>0,当 且仅当 a=b 时取等号. ( )
2 (2)当 α 为锐角时,sin α+ 的最小值为 2 2. ( sin������ 1 2 (3)若实数 a,b 满足������ + ������ = ������������,则 ab 的最小值为
【例 1】 (1)已知 x,y∈(0,+∞),且 2x+y=1,求 + 的最小值; (2)已知
1 0<x< ,求函数 2
1 ������
1 ������
y=x(1-2x)的最大值.
1 1 1 1
思路分析:(1)利用“1”的代换,即将������ + ������等价转化为 ������ + ������ ×1 或 2������+������ 2������+������ + ������ 即可. ������ (2)将“x(1-2x)”变形为“ ×2x(1-2x)”,利用 2x+(1-2x)=1 为定值即 可.
) 2 2. (
������2 +������ 2
2
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1 ( )
答案:(1)× (2)× (3) (4)
2
1 + ������ ������
≤ ������������ ≤
������+������ 2≤成来自.探究一探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
当堂检测
利用均值不等式求范围或最值
2 ( ������ + ������ ) 2.怎样比较 a2+b2, 2 ,2ab
三者的大小关系?
a=b 时等号成立.利用作差
法即可证明.
2 ( ������ + ������ ) 提示:a2+b2≥ ≥2ab,当且仅当 2
一
二
三
3.做一做:已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
一
二
三
2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理? 提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
������+������ 2 (a,b>0),当且仅当 a=b 2 ������+������ (2)对任意两个正实数 a,b,数 2 叫做
������+������
a,b 的算术平均值,数 ������������
1 ②a+������≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立. ������ ������ ③������ + ������≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,等号成立.
一
二
三
3.做一做:已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1 2 1 2 1 8 1 4 1 4 1 4
.
1 16 1 16
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy= x· 4y≤ × (x+4y)2= ,当 且仅当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
������+������ 2 1
4
1
1
A.8
C.1
1 2 1 4
D.4
1
解析: 3是 3a 与 3b 的等比中项⇒3a· 3b=3⇒3a+b=3⇒a+b=1,
∵a>0,b>0,∴ ������������ ≤ ∴������ + ������ =
答案:B
1 1 ������+������ ������������
一
二
三
二、均值定理 【问题思考】
1.填空:
(1)如果 a,b>0,那么 2 ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立.这也 叫基本不等式. 叫做 a,b 的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术 平均值大于或等于它的几何平均值. (3)公式变形:①a+b≥2 ������������,ab≤ 时,等号成立.
= ⇒ab≤ .
=
1 ������������
≥ 1 =4.
一
二
三
三、重要结论 【问题思考】 1.填空: 已知x,y都为正数,则 1 2 S . (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值____ 4 (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值_____ 2 ������ . 2.应用上述两个结论时,要注意哪些事项? 提示:应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或 积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.