北京市海淀区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+Word版含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数A. B. C. D.（2）在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A.4B.5C.6D.7（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为 .（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .（13）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 . （14）对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）如图，在中，点在边上，且. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。
为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速．度越快，单位是MIPS）（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17）（本小题14分）如题1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.（18）（本小题13分）已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.（19）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：函数有且仅有一个零点；（Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）（20）（本小题13分）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件。
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)（9）（10）5050 （11）2 （12）6 （13）（14）①②三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15.（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，，…………………….1分故，……………………….2分设，则，.在中，由余弦定理……………………….3分即，……………………….4分解得，即.……………………….5分（Ⅱ）方法一.在中，由，得，故……………………….6分在中，由正弦定理……………………….7分即，故，……………………….9分由，得，……………………….11分………………………13分方法二. 在中，由余弦定理……………………….7分由，故……………………….9分故……………………….11分故………………………13分16. （本小题13分）（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件，因此……………………….3分（Ⅱ）12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量所有可能的取值为：0，1，2，3……………………….7分随机变量的分布列为……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B 打开文件的速度相当）参考数据17. （本小题14分）（Ⅰ）证明：因为，，，，平面……………..1分所以平面……………..2分因为平面，所以平面平面……………..3分（Ⅱ）解：在平面内作，由平面，建系如图. ……………..4分则，，，，.，，……………..7分设平面的法向量为，则，即，令得，，所以是平面的一个方向量. ……………..9分……………..10分所以与平面所成角的正弦值为. ……………..11分（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.……………..12分理由如:方法一：由，，知，则因为平面，所以平面. ……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取中点，连接，，.因为在中，，分别是，的中点，所以因为在正方形中，，分别是，的中点，所以因为，，平面，，平面所以平面平面因为平面，所以平面……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分法二法三方法三：如图，取中点，连接，，.因为在中，，分别是，的中点，所以且因为在正方形中，是的中点，所以且所以且，故四边形是平行四边形，故因为平面，平面，所以平面. ……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故……………..13分19. （本小题14分）（Ⅰ）因为函数所以……………..2分故，……………..4分曲线在处的切线方程为……………..5分（Ⅱ）当时，令，则……………..6分故是上的增函数. ……………..7分由，故当时，，当时，.即当时，，当时，.故在单调递减，在单调递增.……………..9分函数的最小值为…………….10分由，故有且仅有一个零点. …………….12分（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.……………..14分20. （本小题13分）解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1……………..3分（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，考虑数列的前项：，，，…，其中至少有项的取值相同，不妨设此时有：，矛盾.故对于任意的正整数，必存在，使得. ………….. 8分（Ⅲ）充分性：当时，数列为，，，，，，，…，，，，，…特别地，，故对任意的（1）若为偶数，则（2）若为奇数，则综上，恒成立，特别地，取有当时，恒有成立………….11分必要性：方法一:假设存在（），使得“存在，当时，恒有成立”则数列的前项为，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，，，，，，，…，，，，，，，，，，后面的项顺次为，，，，…，，，，，，…，，，，，，…，，……对任意的，总存在，使得，，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有………….. 13分方法二：若存在，当时，恒成立，记.由第（2）问的结论可知：存在，使得（由s的定义知）不妨设是数列中第一个．．．大于等于的项，即均小于等于s.则.因为，所以，即且为正整数，所以.记，由数列的定义可知，在中恰有t项等于1.假设，则可设，其中，考虑这t个1的前一项，即，因为它们均为不超过s的正整数，且，所以中一定存在两项相等，将其记为a，则数列中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设不成立，所以，即必要性得证！………….. 13分综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.。
2018年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题与答案
东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题共40分）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
）（1 ）若会合 A { 2, 1,0,1,2,3} ， B { x | x1 或 x 2}，则AIB （A ） { 2,3} （B ）{2, 1,2,3}（ C ） {0,1}（D ） { 1,0,1,2}（ 2 ） 函数 y 3sin(2 x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是4（ A ）（B ）（ C ）（ D ）24（3 ）履行以下图的程序框图，输出的x 值为开始（A ）1（B ）2（C ）3b=x 2（D ）7x= 1 ( x+ 3)42 xxb12否是输出 x结束 y ≥2 x,（4 ）若 x, y 知足 xy ≥3, 则 x y 的最小值为y ≤3,（A ） 5（B ） 3 （C ） 2（D ） 1（5 ）已知函数f (x)4x 1x ，则 f (x) 的2（ A ）图象对于原点对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ B ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ C ）图象对于原点对称，在[ 0 , ) 上是减函数（ D ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 ,) 上是减函数（6 ）设 a , b 为非零向量，则“a +b a - b ”是“ a b= 0”的（ A ）充足而不用要条件 （B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件（7 ）某三棱锥的三视图以下图， 则该三棱锥的体积为1（A ）1116正（主）视图侧（左）视图1（ B ）3（C ）12（D ）1俯视图（8 ）现有 n 个小球， 甲乙两位同学轮番且不放回抓球， 每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球谁赢 . 假如甲先抓，那么以下推测正确的选项是（ A ）若（ C ）若n4 ，则甲有必赢的策略 （ B ）若n 9 ，则甲有必赢的策略（ D ）若n 6 ，则乙有必赢的策略n 11 ，则乙有必赢的策略第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2018年北京市高考数学试卷(理科) word版 含参考答案及解析
2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。
2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析
2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析考点规范练39空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.82.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A. B.1 C. D.4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D. ?导学号37270348?6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是.8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.?导学号37270349?10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A. B. C. D. ?导学号37270350?14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+2πD.+2π15.(2016浙江,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.16.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为()A.3B.2C.D.1 ?导学号37270351?参考答案考点规范练39空间几何体的表面积与体积1.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2r2+πr×2r+4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=1=4.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.5.D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=13=故选D.6.B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,2πR=8,∴R=∴体积V=πR2h=π5.∵π≈3,∴V(立方尺).∴堆放的米约为22(斛).7.32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是43=32.8解析由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=9.12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC 的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2,所以球的直径是2,半径为,球的表面积为4π×()2=12π.10解析由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.∴S△MNP=1=∵点A1到平面MNP的距离为AM=,11.解如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面中心,D,D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1=20,AB=30,则OD=5,O1D1=,由S侧=S上+S下,得3(20+30)×DD1=(202+302),解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,O1O==4(cm),所以棱台的高为4 cm.12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2×(1×1+1+1×2)=6+213.A解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以S△AGD=S△BHC=1=所以V=V E-ADG+V F-BHC+V AGD-BHC=2V E-ADG+V AGD-BHC=2+1=14.A解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=2×1×1=;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=π·12·2=π,所以该几何体的体积V=V1+V2=+π.15.7232解析由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为17.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.由于SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以V S-ABC=V S-ABD+V C-ABD=S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2由于AD= 同理在Rt△BSC中也有BD=又AB=,所以△ABD为正三角形.所以V S-ABC=S△ABD·SC=()2·sin 60°×4=,所以选C.。
高三数学-2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷 精
2018--2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷2018．1一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若πα713=，则（ ） A ．sin α>0且cos α>0 B ．sin α>0且cos α<0 C ．sin α<0且cos α>0 D ．sin α<0且cos α<02．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-2 3．已知m ，l 是异面直线，那么①必存在平面α，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直； ④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等。
其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④4．（理）要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数)42sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位（文）要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S ，则圆锥的侧面积等于（ ）A ．S π21B ．πSC ．2πSD ．4πS6．已知点A （-2，0）及点B （0，2），C 是圆122=+y x 上一个动点，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．22-B ．22+C ．2D ．222- 7．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3608．设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图。
北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合，，则（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】由于会合，,因此,应选 C.2. 以下函数中，既是偶函数又在区间上单一递加的是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】对于A, , 是偶函数，且在区间上单调递加，切合题意；对于B, 对于对于 C,是奇函数，不合题意；对于不合题意，只有合题意，应选3. 已知向量，，则既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；D,在区间上单一递减，A.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】向量错误；错误；错误；，4. 已知数列知足正确，应选，则D.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】依据条件获得：可设，，故两式做差获得：，故数列的每一项都为0，故 D 是正确的。
A ， B， C，都是不正确的。
故答案为 D 。
5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数分析式为（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】将函数的图象向左平移个单位，获得函数的图象 ,所求函数的分析式为，应选 B.6. 设，则“ 是第一象限角”是“”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】充足性：若是第一象限角，则, ,可得，必需性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“ 是第一象限角”是“”的充足必需条件，应选 C.【方法点睛】此题经过随意角的三角函数主要考察充足条件与必需条件，属于中档题.判断充要条件应注意：第一弄清条件和结论分别是什么，而后直接依照定义、定理、性质试试.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题；对于范围问题也能够转变为包括关系来办理.7. 设（），则以下说法不正确的选项是（）A.为上偶函数B.为的一个周期C.为的一个极小值点D.在区间上单一递减【答案】 D【分析】对于 A ，，为上偶函数，A正确；对于B, , 为的一个周期 ,B 正确；对于 C，), ，, 为的一个极小值点 ,C 正确，综上，切合题意的选项为D, 应选 D.8. 已知非空会合知足以下两个条件：（ⅰ ），；（ⅱ ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序会合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，不知足条件，因此知足条件的有序会合对的个数为，应选 A.【方法点睛】此题主要考察会合的交集、并集及会合与元素的关系、分类议论思想的应用 . 属于难题 .分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度.运用这类方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
北京市海淀区2018届高三第一学期期末练习数学(文)试卷(含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1B. 0C.1-D. 2-（2）已知,a b R ∈，若a b p ，则A. 2a b pB. 2ab b p C.1122a b p D. 33a b p （3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A.3 B. 6 C. 3或3- D. 6或6-（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅u u u r u u u r的取值范围是A. 31(,)44-B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 A.21-B.2C.3515- D. 355第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中， 1,7,a b ==且ABC ∆的面积为32，则c = . （12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩f 的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
(完整版)2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12 C ．1 D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R ðA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->UD ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uuu r uuu rC ．3144AB AC +uu u r uuu rD ．1344AB AC +uuu r uuu r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN?uuu r uuu r A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33B ．23C ．32D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2018届高三上学期期末考试数学理试题 含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =-+B．12y x =C．2y x =D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．ABCD1图O DCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2018.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b ===， 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P1327321532932 171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七： 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅= ，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则 110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z ==，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅ 法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1y z =，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+， 即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ， 故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。
2018届北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2018．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z .因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分9． 2 10．4511. (0,1)；4 12．2313．214．43；①②③cos sin x x =+π2sin()4x =+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =.-----------------------------------10分 因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分 事件“Xk=”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分即X 的分布列为X123P16496427642764所以X的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ,所以O为,AC BD中点.-------------------------------------1分 又因为,PA PC PB PD ==,所以,PO AC PO BD⊥⊥,---------------------------------------3分 所以PO ⊥底面ABCD.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==，可得3,3PO OB OD ===.所以(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)A C B P -.---------------------------------------5分所以(1,0,3)CP = ,(1,0,3)AP =-.由已知可得133(,0,)444OF OA AP =+=-----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即30,330.44y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3z =-，所以(1,0,3)=-n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分PAFB CDOx yz所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30 . -----------------------------------------10分（Ⅲ）设BM BPλ=(01)λ≤≤，则(1,3(1),3)CM CB BM CB BP λλλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面BDF ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面BDF ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BM BP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R.------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(1)10F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10e aF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗x(,2)-∞2 (2,)+∞ '()f x+0 -()f x↗ 极大值↘所以此时函数()F x 总存在零点. --------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =, ---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =, ------------------------------------------2分所以2223b a c =-=, -------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=.---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分设1122(,),(,)B x y C x y ， 由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分 所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()21x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.*,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++， 所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1=++，k g g d所以*,d b∀∈N，数列{()}+++成g g g g g g dg n中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]等比数列.所以*∀∈N，函数(),d bg x dx b=+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。