一元一次方程的解法4
怎样巧解一元一次方程
怎样巧解一元一次方程解一元一次方程，是人教版七年级数学上册第三章的重要内容之一。
学生们解一元一次方程，通常都是按课本上介绍的五个步骤进行，即：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。
但有些方程用常规解法却十分繁琐。
若能细心观察、分析方程的特点，灵活运用五个步骤、等式的两个基本性质以及分数的基本性质等，不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，锻炼思维能力。
下面，本文就介绍几种解一元一次方程的常用技巧和方法。
一、巧去括号多层括号的一元一次方程，要根据方程的特点，选择不同的去括号的方法，以避免繁杂的计算。
方法1：由内向外去括号例解方程：2■x-■x+■=■x分析：■x-■x=■x，本题可以从内向外去括号。
解：去小括号、合并同类项得：2■x-■=■x去中括号得：■x-1=■x移项、合并同类项得：■x=1，x=5方法2：由外向内去括号例解方程：■■■■+4-6-8=1分析：此题若按常规由小到大去括号解起来很复杂，若从外向内去括号会使计算简单。
解：去大括号得：■■■+4-6-4=1去中括号得：■■+4-2-4=1去小括号得：■+1-2-4=1合并同类项、移项、去分母得：3x=51x=17例解方程：■■■-1-3-2x=3分析：此方程如果先去小括号、再去大括号比较麻烦，观察方程的特点，先去大括号、再去小括号要简单得多。
解：去中括号，得 2（■）-4-2x=3去小括号，得x-2-4-2x=3移项，得x-2x=3+2+4合并，得-x=9系数化为1，得x=-9练习，解方程：■4x-■-■=2x二、巧用“整体”简化步骤有些方程，可以将一部分式子联系起来，先看成一个整体，把方程看成这个整体的一元一次方程。
例解方程：■（x-3）=2-■（x-3）。
解析：此方程可以先去括号或先去分母来解，但观察此方程的特点，把（x-3）看成整体直接移项、合并更简单。
解：移项，得■（x-3）+■（x-3）=2合并，得（x-3）=2去括号，得x-3=2即，x=5练习，解方程：■（x-2）-3=-■（x-2）.三、逆用乘法分配律巧解例解方程：■（x+1）+■（x+1）+■（x+1）=0分析：直接去分母，去括号都比较麻烦。
一元一次方程的解法公式
一元一次方程的解法公式一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，它的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知的实数，且a≠0。
解一元一次方程的方法有很多种，其中最常用的是解法公式。
解法公式是指通过一系列的代数变换，将方程转化为形如x=c的形式，从而得到方程的解。
对于一元一次方程来说，解法公式可以简化为x=-b/a。
下面将详细介绍一元一次方程的解法公式。
我们来看一个具体的例子：2x+3=0。
我们需要找到一个数x，使得代入方程后等式成立。
根据解法公式，我们可以得到x=-3/2。
这个结果就是方程的解。
那么，为什么解法公式能够得到方程的解呢？这是因为我们通过一系列的代数变换，将方程转化为了一个等价的形式。
具体的步骤如下：1. 将方程的常数项移到等号的右边，得到ax=-b；2. 将方程两边同时除以a，得到x=-b/a。
通过上述步骤，我们得到了一元一次方程的解法公式x=-b/a。
这个公式告诉我们，要求方程的解，只需要将方程的常数项取相反数，然后除以方程的系数即可。
解法公式的使用非常简单，只需要将方程的系数代入公式中即可得到方程的解。
在实际应用中，解法公式可以帮助我们快速求解一元一次方程，从而解决实际问题。
下面，我们通过一个具体的例子来说明解法公式的应用。
假设一个小明去超市买了一些东西，总共花费了50元，他买了一些苹果和一些橙子。
已知苹果的单价是2元，橙子的单价是3元，我们需要求解小明买了多少个苹果和多少个橙子。
我们可以设苹果的数量为x，橙子的数量为y。
根据题意，我们可以列出一个一元一次方程2x+3y=50。
现在，我们可以直接使用解法公式来解决这个问题。
将方程的系数代入解法公式中，我们可以得到x=-3/2，y=25。
这个结果告诉我们，小明买了-3/2个苹果和25个橙子。
显然，这个结果是不符合实际情况的。
这是因为一元一次方程的解法公式只能得到方程的解，而不能判断解是否合理。
为了得到合理的解，我们需要对方程进行进一步的分析。
一元一次方程大全
一元一次方程大全一元一次方程是数学中的一种最基本的方程，也是学习数学的第一步。
它应用广泛，可用于分析简单的数学问题，也可以解决复杂的实际应用问题。
本文旨在介绍一元一次方程，阐述它的基本概念、解法、应用以及习题等内容。
一、一元一次方程的定义一元一次方程是一种最基本的数学方程，它的定义如下：一元一次方程是指由一元一次未知数和常数构成的数学方程，通常表示为：ax + b = 0，其中a和b分别为常数和未知数，a≠0。
二、一元一次方程的解法一元一次方程的解法大多有三种：因式分解法、移项法和简单求根法。
（1）因式分解法如果一元一次方程是 ax + b = 0，则可以分解为a（x + b/a）= 0,x = -b/a。
也就是说，一元一次方程的解为x = -b/a。
（2）移项法移项法是指将一元一次方程的右端的常数项移到左端，即将ax + b = 0写成aｘ＝－b的形式，然后除以a，即x＝－b／a。
（3）简单求根法简单求根法是指将一元一次方程的右端的常数项对左端的未知数求根，即 aｘ＋b＝0变成x＝－b／a的形式，然后计算x的值。
三、一元一次方程的应用一元一次方程不仅在学校教育中应用广泛，而且在现实生活中也有重要的应用。
比如，平面几何中的几何计算，可以使用一元一次方程求解平行直线和垂直直线的交点；统计学中的数据拟合，也可以通过一元一次方程拟合数据，以获得更准确的数据分析结果；复杂的工程问题，如两垂直的射线的仿射变换，也可以用一元一次方程来求解。
四、一元一次方程的习题以下为常见的一元一次方程习题：（1）2x + 3 = 0解：x = -3/2。
（2）3x - 5 = 0解：x = 5/3。
（3）-4x + 8 = 0解：x = -8/4。
（4）4x - 7 = -9解：x = 2。
总结从上面的内容可以看出，一元一次方程是学习数学的一个基本概念，不仅在学校数学教育中应用广泛，而且在实际生活中也有广泛的应用。
它的解法有三种，分别是因式分解法、移项法、简单求根法。
2 一元一次方程的解法-课时4 “去分母”解一元一次方程
10x
3中的分母化成整数，得
2
= 30
D.将方程5% ⋅ x = 2 × 3%变形，得5x = 200 × 3
【解析】 将方程0.001 −
x
意；将方程
0.2
=
x
100
= 5去分母，得0.1 − x = 500，B项不符合题
10x
3中的分母化成整数，得
2
= 3，C项不符合题意；将方
程5% ⋅ x = 2 × 3%变形，得5x = 2 × 3，D项不符合题意。
C.2x − 2 − x = 1
D.2x − 2 − x = 4
【解析】 方程的两边都乘4，得2x − 2 − x = 4。
1
2
3
4
5
6
7
在去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的
项，同时要把分子作为一个整体加上括号，原因是分数线具有括号的作用。
1
2
3
4
5
6
7
x−2
x+1
2
2.[2024邯郸期末]若代数式
活应用，各个步骤的目的都是为使方程向x = a的形式转化。
1
2
3
4
5
6
7
知识点2 “去分母”解一元一次方程的实际应用
6.一题多解[2023哈尔滨十七中月考]登山是一种简单易行的健身运动，山
中森林覆盖率高，负氧离子多，能使人身心愉悦地进行体育锻炼。张老师
和李老师登一座山，张老师每分钟登高10米，并且先出发30分钟，李老师
C.去括号，得x − 24 = 7
4 5x−120
D.括号内先通分，得 ⋅
5
4
8
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
一元一次方程解法
2015年12月09日一元一次方程解法4一．填空题（共5小题）1．已知关于x的方程3x+8﹣｜k|=0的根是﹣2,则k=．2．方程|x﹣|2x﹣1||=3的解是．3．显然绝对值方程｜x﹣3|=5有两根：x1=8，x2=﹣2．依此类推，方程|｜||x﹣1｜﹣9｜﹣9｜﹣3|=5的根的个数是．4．方程的解是．5．如果关x的方程与的解相同，那么m的值是．二．解答题（共18小题）6．（2014秋•广丰县期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x｜=3解:当x≥0时，方程可化为:x+2x=3解得x=1，符合题意．当x＜0时，方程可化为:x﹣2x=3解得x=﹣3，符合题意．所以，原方程的解为：x=1或x=﹣3．仿照上面解法,解方程：x+3｜x﹣1|=7．7．（2014秋•瑞安市校级月考）解方程：（1）3+|2x﹣1｜=x（2）3|x﹣1｜﹣7=2（3)|2x+1|=｜x﹣3|（4）10﹣5x=7(1﹣x）（5）﹣（x﹣2)=2+x(6）2（x﹣5）=3x+1．8．（2012秋•武侯区期末）（1）解方程:(2）解方程:｜2x﹣1｜=3x+2．9．解下列方程：（1)｜x+1|=3；（2）|3x﹣5|+4=8；（3）｜4x﹣3|﹣2=3x+4；（4）|x﹣|2x+1|｜=3．10．已知关于x的方程与方程的解相同，求的值．11．已知关于x的方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同．求代数式(﹣2m）2009﹣(m﹣）2010的值．12．已知关于x的方程和有相同的解,求a与方程的解．13．已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，求：（1）m的值;（2）代数式（m+2)2008•（2m﹣）2009的值．14．已知关于x的方程（m+3）x|m｜﹣2+6m=0…①与nx﹣5=x（3﹣n）…②的解相同，其中方程①是一元一次方程，求代数式（m+x）2000•（﹣m2n+xn2)+1的值．15．若方程2x+1=3x的解与关于x的方程x﹣3a=4的解相同，求关于y的方程的解．16．若关于x的方程：与方程的解相同，求k的值．17．已知关于x的方程（m+3)x|m｜﹣2+4m=0①与nx﹣5=x(3﹣n）②的解相同，其中方程①是一元一次方程,求代数式（m+x）2014•（﹣m2n+xn2)+1的值．18．若方程+=1﹣与关于x的方程x+=﹣3x的解相同，求a的值．19．（2014秋•武平县校级月考）如果方程5（x﹣3)=4x﹣10的解与方程4x﹣(3a+1）=6x+2a ﹣1的解相同，求式子(2a2+3a﹣4）﹣（﹣3a2+7a﹣1）的值．20．（2014秋•江干区校级月考)已知关于x的方程6x+2a﹣1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，求：（1）a的值；（2）代数式(a+3）2012×(2a﹣）2013的值．21．（2014秋•藁城市校级期中）已知关于x的方程﹣=x﹣1与方程3(x﹣2）﹣4（x﹣）=0有相同解,求a的值．22．(2015秋•江都市期中)已知关于x的方程3[x﹣2(x﹣）]=4x和有相同的解，求a的值和这个解是什么？23．(2015秋•盐城校级期中)已知方程6x﹣9=10x﹣45与方程3a﹣1=3（x+a）﹣2a的解相同．（1）求这个相同的解；（2）求a的值；（3)若[m]表示不大于m的最大整数,求［a﹣2］的值．2015年12月09日一元一次方程解法4参考答案与试题解析一．填空题(共5小题）1．已知关于x的方程3x+8﹣|k|=0的根是﹣2,则k=±2．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】计算题．【分析】先把x的值代入方程3x+8﹣|k｜=0,再根据绝对值的性质去掉绝对值，求出k的值即可．【解答】解：x=﹣2代入方程3x+8﹣｜k｜=0得:（﹣2）×3+8﹣｜k|=0，故｜k｜=2，解得:k=±2．故填±2．【点评】本题考查的是一元一次方程的解法及绝对值的性质，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．2．方程|x﹣|2x﹣1｜｜=3的解是4或．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】计算题．【分析】本题就①x≥时,②x＜两种情况讨论．再就所求的结果验证其合理性．【解答】解:①当x≥时,则|x﹣|2x﹣1||=3，⇒｜x﹣2x+1|=3，⇒｜x﹣1|=3，⇒x﹣1=3或x﹣1=﹣3，解得x=4或x=﹣2（不合题意舍去）②当x＜时，则|x﹣|2x﹣1||=3，⇒|x﹣1+2x｜=3,⇒｜3x﹣1｜=3，⇒3x﹣1=3或3x﹣1=﹣3，解得x=(不合题意舍去）或x=，综上所述方程｜x﹣｜2x﹣1|｜=3的解是：4或．故答案为：4或．【点评】本题考查含绝对值符号的一元一次方程的解法．解决本题的关键是区分好x取值范围,从而合理去掉绝对值符号，并就方程的解验证其合理性．3．显然绝对值方程｜x﹣3|=5有两根：x1=8,x2=﹣2．依此类推,方程||｜|x﹣1｜﹣9｜﹣9|﹣3｜=5的根的个数是6．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】计算题．【分析】根据绝对值的意义从外到内依次去绝对值，最后得到｜x﹣1｜=26或|x﹣1｜=﹣17（舍去)或｜x﹣1|=10或|x﹣1|=8，于是易得到原方程有6个根．【解答】解：｜｜｜x﹣1|﹣9|﹣9｜﹣3=±5,∴｜｜|x﹣1|﹣9｜﹣9｜=8或||||x﹣1|﹣9｜﹣9｜=﹣2(舍去），∴||x﹣1｜﹣9｜﹣9=±8，∴|｜x﹣1｜﹣9｜=17或｜|x﹣1｜﹣9｜=1，∴｜x﹣1|﹣9=±17或｜x﹣1|﹣9=±1，∴|x﹣1|=26或|x﹣1｜=﹣17（舍去）或｜x﹣1|=10或|x﹣1|=8，∴x1=27，x2=﹣25，x3=11,x4=﹣9，x5=9,x6=﹣7．故答案为6．【点评】本题考查了含绝对值方程的解法:根据绝对值的意义先去绝对值，转化为多个一元一次方程，分别解一元一次方程即可原方程的解．4．方程的解是±．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】计算题．【分析】把｜x|看成整体，解一元一次方程，最后去绝对值符号．【解答】解:3|x｜﹣3=+1，|x｜=4，∴｜x｜=，∴x=±．故答案为：±．【点评】此题考查含绝对值符号的一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和绝对值的代数定义是关键．5．如果关x的方程与的解相同，那么m的值是±2．【考点】同解方程．【分析】本题中有两个方程，且是同解方程，一般思路是:先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．【解答】解：解方程=整理得:15x﹣3=42，解得：x=3，把x=3代入=x+4+2｜m｜得=3++2|m｜解得：|m|=2，则m=±2．故答案为±2．【点评】本题考查了同解方程，使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解,因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等．二．解答题（共18小题)6．（2014秋•广丰县期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值,转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x｜=3解：当x≥0时，方程可化为:x+2x=3解得x=1，符合题意．当x＜0时，方程可化为：x﹣2x=3解得x=﹣3，符合题意．所以，原方程的解为：x=1或x=﹣3．仿照上面解法，解方程:x+3|x﹣1｜=7．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【专题】阅读型．【分析】分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义,可化简绝对值,根据解方程，可得答案．【解答】解：当x＜1时，方程可化为:3﹣2x=7解得x=﹣2，符合题意．当x≥1时，方程可化为:x+3x﹣3=7，解得x=，符合题意．所以,原方程的解为:x=﹣2或x=．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏．7．（2014秋•瑞安市校级月考）解方程：（1)3+|2x﹣1｜=x(2）3｜x﹣1|﹣7=2（3）|2x+1｜=|x﹣3|(4）10﹣5x=7（1﹣x）（5）﹣(x﹣2）=2+x(6）2（x﹣5）=3x+1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程;解一元一次方程．【分析】（1)分类讨论：x＜，x≥可化简去掉绝对值，根据解方程,可得答案；(2）分类讨论：x＜1，x≥1可化简去掉绝对值,根据解方程，可得答案；(3）分类讨论：x＜﹣，﹣≤x＜3，x≥3，可化简去掉绝对值，根据解方程，可得答案；（4)根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1,可得方程的解；（5）根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1，可得方程的解；(6)根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1，可得方程的解．【解答】解：（1）当x＜时，原方程等价于3+1﹣2x=x,解得x=（不符合题意要舍去), 当x≥时,原方程等价于3+2x﹣1=x，解得x=﹣2（不符合题意要舍去）综上所述，原方程无解．（2）当x＜1时，原方程等价于﹣3x+3﹣7=2，解得x=﹣2,当x＞1时，原方程等价于，3x﹣3﹣7=2,解得x=4，综上所述：x=﹣2或x=4．（3）当x＜﹣时，原方程等价于﹣1﹣2x=3﹣x,解得x=﹣4；当﹣≤x＜3时，原方程等价于1+2x=3﹣x，解得x=；当x≥3时，原方程等价于1+2x=x﹣3，解得x=﹣4(不符合题意要舍去)，综上所述：x=﹣4或x=；（4）去括号，得10﹣5x=7﹣7x，移项，得﹣5x+7x=7﹣10,合并同类项，得2x=﹣3系数化为1，得x=﹣；（5)去括号，得﹣x+2=2+x，移项，得﹣x﹣x=2﹣2，合并同类项,得﹣2x=0系数化为1，得x=0；(6)去括号，得2x﹣10=3x+1,移项，得2x﹣3x=1+10合并同类项,得﹣x=11系数化为1，得x=﹣11．【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，去括号时要注意符号:括号前是正数去括号不变好,括号前是负数去括号全变号．8．（2012秋•武侯区期末）（1）解方程：（2）解方程：｜2x﹣1｜=3x+2．【考点】含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】（1）方程左边第二、三项利用同分母分数的加减逆运算法则变形，去括号后移项合并，将x系数化为1，即可求出解；（2)分两种情况考虑:2x﹣1大于等于0与小于0时,利用绝对值的代数意义化简即可求出解．【解答】（1)方程变形得：x﹣（2﹣x)﹣(3+x)=12,去括号得：x﹣2+x﹣3﹣x=12，移项合并得：x=17,解得：x=85；（2）当2x﹣1≥0，即x≥时，方程化为2x﹣1=3x+2，解得：x=﹣3＜,舍去；当2x﹣1＜0,即x＜时,方程化为1﹣2x﹣=3x+2,解得:x=﹣＜，∴原方程的解为x=﹣．【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程的解法，以及解一元一次方程，利用了分类讨论的思想，是一道基本题型．9．解下列方程：（1)|x+1|=3;(2)｜3x﹣5｜+4=8；（3)｜4x﹣3｜﹣2=3x+4；（4）｜x﹣|2x+1|｜=3．【考点】含绝对值符号的一元一次方程．【分析】根据分类讨论，可化简去掉绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：(1）当x＜﹣1时,原方程等价于﹣x﹣1=3，解得x=﹣4，当x≥﹣1时，原方程等价于x+1=3，解得x=2，综上所述:x=﹣4,x=2；(2）当x＜时，原方程等价于﹣3x+5+4=8,解得x=当x≥时，原方程等价于3x﹣5+4=8,解得x=3,综上所述：x=,x=3；（3）当x＜时，原方程等价于﹣4x+3﹣2=3x+4，解得x=﹣,当x≥时原方程等价于4x﹣3﹣2=3x+4，解得x=9，综上所述：x=﹣，x=9；(4）当x＜﹣时，原方程等价于﹣3x﹣1=3，解得x=﹣，当﹣≤x＜﹣时，原方程等价于3x+1=3,解得x=(不符合题意的要舍去）当x≥﹣时,原方程等价于，x+1=3，解得x=2，综上所述：x=﹣，x=2．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程,分类讨论是解题关键．10．已知关于x的方程与方程的解相同,求的值．【考点】同解方程．【分析】先求出方程的解,然后把x的值代入方程，求出a的值，继而可求解的值．【解答】解：解方程，得：x=﹣2，将x=﹣2代入方程,得:﹣4+3=﹣﹣a,解得:a=，则=﹣9=﹣．【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．11．已知关于x的方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同．求代数式（﹣2m)2009﹣（m﹣）2010的值．【考点】同解方程．【分析】分别求出两个方程的解，然后根据解相同，列出关于m的方程,求出m的值,再将m 的值代入（﹣2m）2009﹣（m﹣)2010，计算即可求解．【解答】解：解方程4x+2m=3x+1得:x=1﹣2m，解方程3x+2m=6x+1得：x=，则=1﹣2m,解得：m=，所以（﹣2m）2009﹣(m﹣）2010=（﹣2×）2009﹣（﹣）2010=﹣1﹣1=﹣2．【点评】本题考查了同解方程的知识，解答本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．12．已知关于x的方程和有相同的解,求a与方程的解．【考点】同解方程．【专题】方程思想．【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于a的方程，从而可以求出a的值，再代入求出x的值．【解答】解：由第一个方程得：（3分）由第二个方程得：（3分)所以，解得,（3分）所以(3分）【点评】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于x的方程,要正确理解方程解的含义．13．已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，求：（1）m的值;（2）代数式（m+2）2008•（2m﹣）2009的值．【考点】同解方程．【分析】（1）分别求出两方程的解，然后令它们的解相等，求出m的值；(2）将m的值代入求解．【解答】解：（1）解方程4x+2m=3x+1得:x=1﹣2m，解方程3x+2m=6x+1得：x=,则1﹣2m=,解得：m=；(2）（m+2）2008•(2m﹣)2009=（）2008•（﹣）2009=[×（﹣）］2008•(﹣）=﹣．【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．14．已知关于x的方程(m+3)x｜m|﹣2+6m=0…①与nx﹣5=x（3﹣n）…②的解相同，其中方程①是一元一次方程，求代数式(m+x）2000•（﹣m2n+xn2）+1的值．【考点】同解方程．【分析】根据一元一次方程的定义，可得m的值根据解方程，可得方程的解，根据同解方程的解满足另一个方程，把解代入另一个方程，可得关于n的一元一次方程，根据解方程，可得n的值根据代数式求值，可得答案．【解答】解；关于x的方程（m+3)x｜m|﹣2+6m=0,得m+3≠0｜m｜﹣2=0．解得m=3．解6x+18=0，解得x=﹣3．把x=﹣3代入nx﹣5=x（3﹣n)，得﹣3n﹣5=﹣3（3﹣n）,解得n=．当m=3，n=，x=﹣3时，（m+x)2000•(﹣m2n+xn2)+1=（3﹣3）2000•[﹣32×+（﹣3）×（）2］+1=0+1=1．【点评】本题考查了同解方程,利用了一元一次方程的定义，同解方程的解相同，代数式求值．15．若方程2x+1=3x的解与关于x的方程x﹣3a=4的解相同,求关于y的方程的解．【考点】同解方程．【专题】计算题．【分析】求出第一个方程的解得到x的值,代入第二个方程求出a的值,将a的值代入所求方程中计算即可求出y的值．【解答】解：方程2x+1=3x，解得：x=1，将x=1代入方程x﹣3a=4中，得：1﹣3a=4，即a=﹣1，把a=﹣1代入得：y+1=y+5,解得：y=﹣4．【点评】此题考查了同解方程,解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．16．若关于x的方程:与方程的解相同,求k的值．【考点】同解方程．【专题】计算题．【分析】解方程，把方程的解代入即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．【解答】解：解方程，15﹣6（x+1）=1﹣2x15﹣6x﹣6=1﹣2x﹣4x=﹣8x=2；把x=2代入方程得：10﹣=3×2﹣﹣k=﹣4k=4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．17．已知关于x的方程(m+3）x｜m｜﹣2+4m=0①与nx﹣5=x(3﹣n）②的解相同，其中方程①是一元一次方程，求代数式（m+x)2014•(﹣m2n+xn2）+1的值．【考点】同解方程．【专题】计算题．【分析】由方程①为一元一次方程，求出m的值，代入方程求出方程①的解,即为方程②的解,代入方程②求出n的值，把x，m，n的值代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵(m+3）x｜m｜﹣2+4m=0①与nx﹣5=x（3﹣n）②的解相同,其中方程①是一元一次方程，∴｜m|﹣2=1，且m+3≠0，解得:m=3，即方程为6x+12=0，解得:x=﹣2，把x=2代入得:2n﹣5=2(3﹣n），解得:n=，则原式=（3﹣2）2014•（﹣﹣)+1=﹣．【点评】此题考查了同解方程,解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．18．若方程+=1﹣与关于x的方程x+=﹣3x的解相同，求a的值．【考点】同解方程．【分析】由已知方程+=1﹣与关于x的方程x+=﹣3x的解相同，所以得关于x、a的方程组，解方程组即可．【解答】解：∵方程+=1﹣与关于x的方程x+=﹣3x的解相同，∴，解得：,∴a的值为2．【点评】此题考查的知识点是同解方程，本题解决的关键是根据同解的定义建立方程组．19．（2014秋•武平县校级月考）如果方程5（x﹣3)=4x﹣10的解与方程4x﹣（3a+1）=6x+2a ﹣1的解相同，求式子（2a2+3a﹣4）﹣（﹣3a2+7a﹣1）的值．【考点】同解方程;整式的加减—化简求值．【分析】求出方程5（x﹣3）=4x﹣10的解，代入方程求出a的值,即可解答．【解答】解:方程5（x﹣3）=4x﹣10的解为：x=5,把x=5代入方程4x﹣(3a+1）=6x+2a﹣1得：20﹣(3a+1）=30+2a﹣1，解得：a=﹣2，（2a2+3a﹣4）﹣(﹣3a2+7a﹣1）=2a2+3a﹣4+3a2﹣7a+1=5a2﹣4a﹣3，当a=﹣2时,原式=5×（﹣2）2﹣4×(﹣2）﹣3=25．【点评】本题考查了方程的解的定义，解决本题的关键是熟记方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．20．（2014秋•江干区校级月考）已知关于x的方程6x+2a﹣1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，求：(1）a的值;（2）代数式(a+3）2012×（2a﹣）2013的值．【考点】同解方程．【分析】(1)分别求出两个关于x的方程，根据两个方程的解相同,可得到一个关于a的方程，即可求得a的值；（2）根据同底数的幂的乘法法则即可求得式子的值．由4x+2a=7x+1得x=②,∵关于x的方程6x+2a﹣1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，∴﹣2a+1=，解得：a=；(2）当a=时，（a+3）2012×（2a﹣）2013=（+3）2012×(2×﹣）2013=（）2012×（﹣）2013=[×（﹣）]2012×（﹣）=﹣．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确利用同底数的幂的运算性质即可求解．21．（2014秋•藁城市校级期中）已知关于x的方程﹣=x﹣1与方程3（x﹣2)﹣4（x﹣）=0有相同解，求a的值．【考点】同解方程．【分析】先求出第二个方程的解，把x=﹣1代入第一个方程，求出方程的解即可．【解答】解：3（x﹣2）﹣4(x﹣)=0，3x﹣6﹣4x+5=0,3x﹣4x=﹣5+6，﹣x=1，x=﹣1，把x=﹣1代入方程﹣=x﹣1得:﹣=﹣1﹣1，解得:a=﹣11．【点评】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于a的方程，难度不是很大．22．（2015秋•江都市期中）已知关于x的方程3[x﹣2(x﹣）]=4x和有相同的解,求a的值和这个解是什么？【考点】同解方程．【分析】分别解出两方程的解,两解相等,就得到关于a的方程，从而可以求出a的值．由，得x=．）因为它们的解相同,所以=．所以a=．所以x=×=．【点评】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．23．（2015秋•盐城校级期中）已知方程6x﹣9=10x﹣45与方程3a﹣1=3（x+a）﹣2a的解相同．（1）求这个相同的解；（2）求a的值；（3）若[m]表示不大于m的最大整数，求［a﹣2]的值．【考点】同解方程．【分析】（1）解第一个方程即可求得两个方程相同的解；(2）将求得的方程的解代入第二个方程即可求得a的值;（3)根据定义代入a的值求解即可．【解答】解：（1）原方程6x﹣9=10x﹣45移项得6x﹣10x=﹣45+9,合并同类项得到﹣4x=﹣36，解得：x=9;（2）将x=9代入第二个方程得：3a﹣1=3（9+a）﹣2a，解得：a=14;(3）[a﹣2]=[×14﹣2］=[]=2．【点评】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用,关键是得出关于a的方程．。
解一元一次方程的九种技巧
解一元一次方程的九种技巧初一同学在刚刚学习解一元一次方程时，为结实掌握其解法，按照课本上所总结的五个步骤来做是完全必要的．而在较熟练后就要根据方程的特点灵活安排求解步骤．现以义务制初中?代数?第一册(上)的局部题目为例介绍解一元一次方程的一些技巧，供同学们参考．1．巧用乘法例1 方程0.25x=4.5．分析·4=1，故两边同乘以4要比两边同除以0.25简便得多．解两边同乘以4，得x=18．2．巧用对消法分析不要急于去分母，注意到632155x x---=，两边消去这一项可防止去分母运算。
3．巧用观察法例3解方程分析原方程可化为1233234y y y+++++=，不难发现，当1y=时，左边=右边。
又原方程是一元一次方程，只能有一解，故原方程的解是y=1．解(略)4．巧用分数加减法法那么∴ z=-1．5．逆用分数加减法法那么解原方程化为∴ x=0．6．逆用乘法分配律例6解方程278(x-3)＋463(6-2x)-888(7x-21)=0．分析直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可巧解此题．解原方程可化为278(x-3)-463·2(x-3)-888·7(x-3)=0，即 (x-3)(278-463·2-888·7)=0，∴ x-3=0，于是x=3．7．巧用去括号法那么去括号一般是从内到外，但有时反其道而行之即由外到内却能巧辟捷径．分析注意到23132-⋅=，那么先去中括号可简化解题过程。
8．巧用分数根本性质例8解方程分析直接去分母较繁，观察发现此题有如下特点：①两个常数项移项后合并得整数； ②0.0220.02x -的分子、分母约去因数2后，两边的分母一样， 解 原方程可化为460.0110.010.01x x --=-。
去分母，得460.010.01x x -=--。
例9 解方程分析 根据分数根本性质，此题可将化分母为整数和去分母同时完成．解 由分数根本性质，得即 8x-3-25x ＋4=12-10x ，思考 例8可以这样解吗？请不妨试一试．9．巧用整体思想 整体思想就是指从全局着眼，注重问题的整体构造的特殊性，把某些外表看来毫不相关而实质严密相联的数或式看成一个整体来解决问题的一种思想方法．例10 解方程3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝=5(第244页第1③题)解 把2x-1看作一个整体，去大、中括号，得 3(2x-1)-9(2x-1)-9=5，整体合并，得-6(2x-1)=14，即64x -=，故23x =-。
九章算术中的一元一次方程问题
一、引言九章算术是我国古代著名的数学经典之一，涵盖了广泛的数学内容，其中包括一元一次方程问题。
一元一次方程在数学中占有重要的地位，解决现实生活中的问题，也是数学学习中的重点内容。
本文将从九章算术中的一元一次方程问题入手，探讨其解法和应用。
二、一元一次方程的概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a≠0，a和b是已知数，x是未知数，且x的最高次数为1。
例如2x+3=5就是一个一元一次方程。
2. 一元一次方程的解对于一元一次方程ax+b=0，可以使用反运算的原则，将方程化简为x=-b/a，因此方程的解为x=-b/a。
三、九章算术中的一元一次方程问题1. 《九章算术》中的具体问题《九章算术》是我国古代数学经典之一，其内容包含了丰富的数学问题和方法。
在《九章算术》中，有许多关于一元一次方程的问题，如田甲申数问题、城市水井修建问题等。
这些问题都是现实生活中的数学表达，通过一元一次方程的方法可以求解。
2. 举例分析以田甲申数问题为例，题目是这样的：田积之甲、丁之申，问积之何？这是一个典型的一元一次方程问题，通过变量的设定和方程的建立，可以得到方程的解，从而求得问题的答案。
3. 解法探讨《九章算术》中的一元一次方程问题，通常都可以通过设立变量、建立方程、解方程等步骤来求解。
这些问题在古代的《九章算术》中被提出，不仅具有数学意义，还对古代生产生活有着实际的指导作用。
四、一元一次方程在现实生活中的应用1. 求职择业在现实生活中，一元一次方程常常被用于求职择业过程中的问题。
关于工资的问题、工作时间的问题等，都可以建立成一元一次方程进行求解。
2. 购物计算在日常的购物消费中，一元一次方程也有着广泛的应用。
折扣问题、商品打折后的价格计算等都可以用一元一次方程进行求解。
3. 金融投资在金融投资领域，一元一次方程也有着重要的作用。
计算利息、投资收益率等问题都可以转化为一元一次方程进行求解。
五、一元一次方程问题的解法和技巧1. 设立方程的关键在解一元一次方程问题时，最关键的是能够正确地设立方程，将现实生活中的问题转化为数学表达式。