一元一次方程及其解法
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及解法一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a0）。
方程简介一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a0）。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。
即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。
方程一词来源于我国古算术书《九章算术》。
在这本著作中，已经会列一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。
详细内容合并同类项的系数a，得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
做一元一次方程应用题的重要方法：⒈认真审题（审题）⒉分析已知和未知量⒊找一个合适的等量关系⒋设一个恰当的未知数⒌列出合理的方程（列式）⒍解出方程（解题）⒎检验⒏写出答案（作答）ax=b解：当a0，b=0时，ax=0x=0当a0时，x=b/a。
当a=0，b=0时，方程有无数个解(注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）当a=0，b0时，方程无解例：（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）得，5(3x+1)-102=(3x-2)-2(2x+3)去括号得，15x+5-20=3x-2-4x-6移项得，15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同类项得，16x=7系数化为1得，x=7/16。
一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法提要一元一次方程是方程的起始内容，是初中数学的基础，学习时应根据具体问题中的数量关系列出方程，明确解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质。
要正确解一元一次方程，必须掌握解一元一次方程的一般步骤，并能根据题目的特点灵活掌握。
知识全解一．一元一次方程（1）方程：含有未知数的等式称为方程（2）一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1的方程称为一元一次方程。
判断一个方程是一元一次方程，需要注意以下三点：（1）一元一次方程是只含有一个未知数的方程（2）一元一次方程未知数的指数是1，并且未知数的系数不为0 （3）如果等式中出现分数形式，分数的分母中不能含有未知数。
二．方程的解和解方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解，只含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根。
解方程：求方程解的过程叫做解方程。
三．等式的基本性质性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c。
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等用式子表示：如果a=b，那么ac=bc，如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c注意：（1）用等式的性质1变形等式时，必须是两边同时相加或相减，不能漏掉一边没有变形（2）用等式的性质2变形等式时，应注意不能在两边同除以0，因为0不能作为除数（3）等式还有传递性，即若a=b,b=c,则a=c；互换性，即若a=b,则b=a运用等式的性质还要把握两个要点：一是等式两边是指两边的整体，两边的各项；二是两边发生变化相同，即两边各项发生的变化相同。
注意，无论应用等式的哪条性质，等式两边都要发生相同的变化，否则等式不成立。
等式的性质是等式变形，方程变形及解方程的依据。
四．一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤如下：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。
一元一次方程的概念及解法
一、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数 二、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
三、一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的形式：最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式． 注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成 四、一元一次方程的解法（一）等式的性质等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果，那么．传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换易错点：等号左右互换的时候忘记变符号（二）解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤：21x +=ax b =0a ≠a b 0ax b +=0a ≠a b 22216x x x ++=-ax b =()0ax b a =≠ax b =a b =a m b m ±=±a b =am bm =a b m m=(0)m ≠a b =b a =a b =b c =a c =一元一次方程的概念及解法知识讲解温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项．4．合并同类项：把方程化成的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例1】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ，则m 的值是【例2】 已知关于x 的方程（a ＋1）x ＋（4a －1）＝0的解为－2，则a 的值等于（）．A.－2B.0C.32D.23 【例3】 下列各式中，变形正确的是（）．A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【例4】 根据等式性质5＝3x －2可变形为（）．A.－3x ＝2－5B.－3x ＝－2＋5C.5－2＝3xD.5＋2＝3x 【变式练习】下列变形中，不正确的是（）A ．若，则B ．若则C ．若，则D ．若，则 【例5】 下列各式中：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．哪些是一元一次方程？【例6】 关于x 的方程（k ＋2）x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________．【例7】 已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程，则m =____________． ax b =a 0a ≠b x a =a b =a c b c +=+(1)2a x -=21x a =-2a b =4a b =1a b =+221a b =+25x x =5x =77,x -=1x =-10.2x x -=1012x x -=x y a a =ax ay =3x +2534+=+44x x +=+12x =213x x ++=44x x -=-23x =2(2)3x x x x +=++同步练习【例8】 若是一元一次方程，那么【变式练习】若关于的方程是一元一次方程，则【变式练习】若关于的方程是一元一次方程，则，方程的解是【变式练习】已知关于的方程是一元一次方程，则、需要满足的条件为【例9】 下列等式中变形正确的是（）A.若，则 B. 若，则 C.若，则 D. 若，则 【例10】将3（x －1）－2（x －3）＝5（1－x ）去括号得（）A.3x －1－2x －3＝5－xB.3x －1－2x ＋3＝5－xC.3x －3－2x －6＝5－5xD.3x －3－2x ＋6＝5－5x 【例11】在解方程21-x −1332=+x 时，去分母正确的是（） A.()()132213=+--x x B.()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例12】方程２－342-x ＝－67-x 去分母得（） A.2－2 （2x －4）= －（x －7) B ．12－2 （2x －4）= －x －7C.12－2 （2x －4）= －（x －7) D ．12－（2x －4）= －（x －7）【变式练习】解方程：⑴⑵【例13】解方程：（1）5y －9＝7y －13；（2）3（x －1）－2（2x ＋1）=12 ；131m x -=m =x 1(2)50k k x k --+=k =x 2223x x ax a x a -=-+a =x (21)50n m x --=m n 31422x x -+=3144x x -=-31422x x -+=3182x x -+=31422x x -+=3180x -+=31422x x -+=3184x x -+=6(1)5(2)2(23)x x x ---=+12225y y y -+-=-（3）757875x x -=-；（4）.逐层去括号 含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。
《一元一次方程及其解法》 知识清单
《一元一次方程及其解法》知识清单一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1的整式方程。
形如＄ax ＋ b ＝ 0$（其中＄a$、＄b$ 是常数，＄a ≠ 0$）的方程就是一元一次方程。
这里要注意几个关键点：1、只含有一个未知数。
比如说方程＄x ＋ 2y ＝ 5$ 就不是一元一次方程，因为它含有两个未知数＄x$ 和＄y$。
2、未知数的最高次数是 1。
像方程＄x^2 ＋ 3 ＝ 0$ 就不是一元一次方程，因为未知数＄x$ 的最高次数是 2 。
3、方程必须是整式方程。
比如方程＄＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 0$ 就不是一元一次方程，因为它的分母中含有未知数，是分式方程。
二、一元一次方程的解能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。
求解一元一次方程的解的过程，实际上就是通过一系列的运算和变形，将方程化为＄x ＝某个数$ 的形式，这个“某个数”就是方程的解。
三、一元一次方程的解法1、移项把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如，解方程＄3x ＋ 5 ＝ 14$ ，我们可以通过移项将 5 移到等号右边，得到＄3x ＝ 14 5$ ，即＄3x ＝ 9$ 。
移项的依据是等式的基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2、合并同类项将方程中含有相同未知数的项合并成一项。
比如在方程＄5x 2x ＝ 12$ 中，左边的＄5x$ 和＄－2x$ 是同类项，可以合并为＄3x$ ，方程就变成了＄3x ＝ 12$ 。
3、系数化为 1将方程两边同时除以未知数的系数，使未知数的系数变为 1，从而得到方程的解。
继续上面的例子，方程＄3x ＝ 12$ ，两边同时除以 3，得到＄x ＝4$ ，这就是方程的解。
四、解一元一次方程的一般步骤1、去分母如果方程中有分母，要先在方程两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母。
例如，方程＄＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 1$ ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同乘 6，得到＄3x ＋ 2x ＝ 6$ 。
一元一次方程及其解法教案(精选多篇)[修改版]
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第一篇：一元一次方程及其解法教案课题：沪科版数学七年级（上册）§3.1 一元一次方程及其解法（第一课时）合肥市五十五中学蔡新莲一．教材分析：学生在小学已经学过列方程解简单应用题，但所学方程形式较简单，仅限于ax b c,ax bx c 的形式，(a,b,c,x都是非负数)。
本节教科书在描述一元一次方程的概念后，利用等式性质来解一元一次方程（比小学更为广泛），一元一次方程的解法是应用一元一次方程解决实际问题，解二元一次方程组及一元二次方程等内容的基础，是代数中的重要内容。
二．教学目标：1．通过对多个实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型体会学习方程的意义在于解决实际问题。
2．通过观察，归纳一元一次方程的概念。
3．理解等式的基本性质，会根据等式的基本性质解方程。
三．教学重难点：重点：一元一次方程的概念，运用等式的性质解方程难点：运用等式的性质解方程。
四．教学流程：1. 通过一些具体问题，引出一元一次方程概念。
2. 复习等式的基本性质。
3. 利用等式的基本性质，解一元一次方程。
五．教具准备：教师：多媒体课件，投影仪学生：练习本六．教学过程：（一）。
创设情境，引出概念问题1：在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共获得了多少枚金牌？设澳大利亚共获得了x枚金牌，引导学生列出等量关系式：3x951问题2：王玲今年12岁,她爸爸今年36岁, 问再过几年,他爸爸的年龄是她年龄的2倍？设再过x年，他爸爸的年龄是她的2倍，引导学生列出等量关系式：36x2(12x)观察思考：上面的两个式子有什么共同点？【设计意图】用学生感兴趣的身边的例子引入，唤起同学的注意力，同时也为下面得到一元一次方程的概念埋下伏笔。
师生互动：得到一元一次方程的概念，同时教师明确方程的解的概念，指出一元方程的解也叫做根。
考考你：1.判断下列式子是不是一元一次方程：(1)2x45x 3(4)x 32.判断对错:(1)x=2是方程x-10=4x的解. (2)x y1(5)3x1(3)3a211(6)x1x(2)x=3和x=-3都是方程x290的解.【设计意图】加深对一元一次方程及根的理解。
一元一次方程及其解法
3.如果a=b，那么b=a.（对称性） 例如:X=2.5，则2.5=X
4.如果a=b,b=c那么a=c.（传递性）
巩固练习
１．说明下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的：
（1）如果 5x ，3 那么7
；5x 4
（2）如果 8x，那4么
aa
左
a=b
右
2a = 2b
性质2 ：等式两边都 乘以(或除以)同一个数 C个 b(结除b果bb数b仍不bb是能等为式零。),所得a aaaaa a C个
性质2 用式子可表示为
a b 左
：如果a=b ac=bc
=，
那么
右
ac = bc
等式的基本性质：
1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结 果仍是等式。
；x 1 2
（3）如果 5a ，那5b么
；a b
（4）如果 3x 2，x那么1
；x 1
（5）如果 0.25，那x么
。x 0.25
例题：
解方程：2x - 4=18
解：2x = 18+4 ，（等式基本性质1） 即 2x=22 两边都除以2，得 x = 11（等式基本性质2）
检验:把x=11分别代入原方程的两边，得 左边=2×11-4=18 右边=18
即 左边=右边 所以x=11是原方程的解
根据等式基本性质解下列方程，并检验：
（1） 5x 7 （28）
27 7 4x
（3） 1 1 x 1 23 6
能否找到一个ｘ的值，使代数式 ２ｘ－３与７ｘ的值相等？若能请找 出；若不能，请说明理由．
小结
1.一元一次方程及方程解的定义 2.等式的基本性质： 3.解简单的一元一次方程。
一元一次方程及其解法丹
第七周 一元一次方程及其解法【知识要点】1、只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。
形如ax = b (a 、b 为已知数，a ≠0)的方程叫做最简方程。
2、如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解。
只含有一个未知数的方程的解又叫做方程的根。
3、求方程的解的过程叫做解方程。
解一元一次方程的一般步骤是：(1) 去分母(2) 去括号(3) 移项(4) 化成ax = b (a ≠0)形式(5) 两边同除以未知数的系数，得到方程的解ab x =(A 卷)姓名 班级 学号 成绩一、填空题 (3分×10 = 30分) 1、把方程1223=-x 化成最简方程，得到 2、已知x = - 4是方程 kx + 6 =21x 的根，则k = 3、由方程3x + 6 = 5得到方程3x = - 1，其根据是4、已知9x – 8y = 10，用含y 的代数式表示 x =5、单项式3115n m a b c -+-与21315m c ba -是同类项，则m – n = 。
6、若 (x + 1 ) 2 + | y – 2 | = 0，则x – y = 。
7、当x = 时，代数式 1 – 3( x + 2 ) 的值等于5。
8、若2、5、x 的平均数为 3，则 x = 。
9、若 2323n x n -+= 是一元一次方程，则 n 的值为 。
10、当x =2 时，代数式 ax – 2 的值是 4，那么当x = - 2时，这代数式的值是二、选择题 (3分×6 = 18分)1、下列四个叙述中正确的个数有 ( )① 1 +π= π+ 1是一元一次方程 ② x = 1是一元一次方程③ 12x x+=是一元一次方程 ④ x + 3 2 = 2x 不是一元一次方程 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、x = 2 不是下列哪个方程的解 ( )A 、213x -+=-B 、x 2 + 3x – 10 = 0C 、1532x -=- D 、| x – 3 | = - 1 3、在下列变形中，错误的个数是 ( ) ① 由方程 6x = 3，得x = 2 ② 由方程3553x =，两边同除以35，得x = 1 ③ 由方程 3x – 2 = x + 2，得2x = 0④ 由方程 225162x x ---=，两边同乘以6，得 6 – 2x – 2 = 3 (x – 5 ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、在公式S =12(a + b ) h 中，a = 3，h = 4，S = 16，则b 等于 ( ) A 、11 B 、5 C 、6 D 、105、下列说法中，正确的是 ( )A 、含有未知数的式子叫方程B 、能够成为等式的叫方程C 、方程就是含有未知数的等式D 、方程就是等式，等式就是方程6、若方程 (a – 2 )x – (1 – x ) a = 3的解为x =12，则a 等于 ( ) A 、- 1 B 、- 2 C 、1 D 、没有满足条件的a 值三、解答题 (6分×6 + 8分×2 = 52分)1、解方程：22534x x -=+2、解方程：44346x x x ---=3、解方程：5812()364x x --=4、解下列方程：80% + 60% (500 – x ) = 500×70%5、已知x = - 4 是方程322x x a +=-的解，求a 的值并说明x = 9是不是方程2x – 10 = a -4x 的解？6、已知x = 12是关于x 的方程 3 (x + m ) = 2m + x 的根，求代数式212m m m --+的值7、已知y 1 =32x – 2，y 2 = 23x – 3，若y 1 = y 2，求 (1) x 的值 (2) y 1的值8、已知x = 2时，代数式 2x 2 + (3 – c ) x + c 的值是10，求当x = - 3 时，这个代数式的值第七周 一元一次方程及其解法(B 卷)姓名 班级 学号 成绩一、填空题 (2分×14 = 28分)1、如果方程 Px – 2 = 3 的解是 x = - 4 ，那么P = 。
(完整版)一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，假设方程左、右两边的值相等，那么它是方程的解．如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】以下各式哪些是一元一次方程( )．11＝1；－1＝2；－5＝1；x2＋2x＋1A．S＝2ab；B.x－y＝0；＝0；D.2 x＋3＝0；＋2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】x ＝－3是以下方程A ．－5(x －1)＝－4(x －2) ()的解．B ．4x ＋2＝11C ．3x ＋5＝5D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的根本性质 (1)等式的根本性质①性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.②性质2：等式的两边都乘以 (或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为： 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a ＝b(c ≠0)．c c③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a.(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.(传递性) 如：假设∠1＝60°，∠2＝∠1，那么∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的考前须知(1)应用等式的根本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式． 这里特别要注意： “同时〞和“同一个〞，否那么就会破坏相等关系．(2)等式的根本性质2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以 0，因为0 不能作除数或分母．【例2－1】以下运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的选项是()．5A ．假设4y ＋2＝3y －1，那么y ＝1B ．假设7a ＝5，那么a＝7C ．假设x＝0，那么x ＝2D ．假设x－1＝1，那么x －6＝12 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的根本性质1，等式的两边都减去 3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是 1；C 根据等式的根本性质2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的根本性质 2，左边乘以6，而右边漏乘 6，故不正确；只有B 根据等式的根本性质2，两边都除以7，得5 到a ＝7.答案：B【例2－2】利用等式的根本性质解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.分析：利用等式的根本性质求解．先利用等式的根本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的根本性质2将未知数的系数化为 1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的根本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－ 2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－〞，移到右边后需变成“＋〞，在移动的过程中同时变号，没有移动的项那么不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变〞：一变性质符号，即“＋〞号变为“－〞号，而“－〞号变为“＋〞号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据考前须知方程左右两边的每一项不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式去分母都乘以各分母的最小公等式的根本性质2倍数的去掉分母后，要加小括号不要漏乘括号内的去括号可由小到大，或由大到分配律；去括号的项；括号前是“－〞小去括号法那么号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项就是将方程中的某移项些项改变符号后，从方等式的根本性质1移项要变号程的一边移到另一边将方程化为ax＝b的最合并同类项的法那么只将系数相加，字母合并同类项及其指数不变简形式方程的左右两边同时除化系数为1以未知数系数或乘以未等式的根本性质2分子、分母不能颠倒知数系数的倒数解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了防止错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】以下各选项中的变形属于移项的是A．由2x＝4，得x＝2B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项()．B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，那么b＝a〞所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】解方程2－x－5＝x－1 34.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x)－60＝3(x－1)．去括号，得8－4x－60＝3x－3.移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x＝49.两边同除以－7，得x＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的根底．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个数)．复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中假设含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中假设含有小数或百分数，就要根据分数的根本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】解方程－9x－5＝＋－.2－9＋分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的根本性质把－910，变为4x－90＋小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以5，在式子的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得4x－90x－53＋2x5－2＝3.去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.移项，得24x－15x－20x＝540－75＋30.合并同类项，得11x＝495.两边同除以－11，得x ＝－45. 5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)方程的解求字母系数：假设方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，那么得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，那么 k ＝()． 4 4A ．－2B ．3C ．2D ．－ 35解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.35将x ＝－3代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选 C.答案：C【例5－2】假设关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，那么m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤， 去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，假设能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，那么不但可以提高解题速度与准确性， 而且还可以使解题过程简捷明快， 下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，假设硬套解题的一般步骤，先去分母那么复杂繁琐，假设根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，那么使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣． 【例6－1】解方程 34 1 1 －4 ＝3x ＋1. x － 443 2 2 3 4 3 3 4 1 1 3分析：注意到4×3＝1，把4乘以中括号的每一项，那么可先去中括号，4×3 2x － 4－4×4＝3x ＋1，再去小括号为 1x － 1－3＝3x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．2 2 4 2解：去括号，得1 1 32x －4－3＝2x ＋1.17移项，合并同类项，得－x ＝ 4.17两边同除以－1，得x ＝－4.【例6－2】解方程x ＋3－x ＋2＝x ＋1－x ＋47 5 6 4.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但此题假设直接去分母，那么两边乘以最小公倍420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5x ＋3－7x ＋22x ＋1－3x ＋4数 35＝12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．5x＋3－7x＋22x＋1－3x＋4.化简，得－2x＋1解：方程两边分别通分，得＝1235＝35－x－10.12去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．去括号，得－24x＋12＝－35x－350.移项、合并同类项，得11x＝－362.362两边同除以11，得x＝－11.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可开掘隐含的条件，列一元一次方程解题，开掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学根底知识．【例7－1】(1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．(2)假设6的倒数等于x＋2，那么x的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解11得x＝－6.11答案：(1)－3(2)－6【例7－2】x＝－2是方程x－k＋3k＋2－x＝x＋k的解，求k的值．362分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．解：把x＝－2代入原方程，得－2－k3k＋2－(－2)＝－2＋k3＋62.去分母，得2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．去括号，得4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.移项、合并同类项，得2k＝－16.方程两边同除以－2，得k＝8.课后作业黑体小四【题01】以下变形中，不正确的选项是〔〕A．假设x25x，那么x5．B．假设7x7,那么x1．C．假设x1x，那么10x1x．D．假设xy，那么ax ay．2a a【题02】以下各式不是方程的是〔〕A．y2y 4B．m2nC．p22pq q2D．x0【题03】解为x2的方程是〔〕A．2x40B．5x362C．3(x2)(x3)5x D．x27x5462n23(n4)0是一元一次方程，求n的值．【题04】假设关于x的方程2x【题05】(2m3)x 2．(23m)x1是关于x的一元一次方程，那么m【题06】假设关于x的方程(2 |m|)x2(m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解．【题07】假设关于x的方程(k2)x k1．5k0是一元一次方程，那么k=【题08】假设关于x的方程(k2)x k15k0是一元一次方程，那么k=．假设关于x 的方程(k2)x24kx5k0是一元一次方程，那么方程的解x=．【题09】(3a8b)x25bx7a0是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，那么x 〔〕A．21B．214040C．56D．561515【题10】解方程：1(33x) 52【题11】解方程：1 (4y) 3【题12】解方程：x x123(25x)3641(y3)42x233【题13】解方程：2x15x11 36【题14】解方程：1x 10.2x)1x31 (x4)【题15】解方程：35x19【题16】解方程：x 【题17】解方程：x14213【题18】解方程：2[x(x)]x3324【题19】解方程：1[1(1x1)6]20 343。
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学科：数学凤阳县十校合作师生共用教学案
课题：3.1一元一次方程及其解法课型：新授课教学时间：第二课时
年级：七年级主备：黄湾中学程方林审核：武善礼、黄海雷授课人：
教学目标：
1、巩固一元一次方程概念；理解“移相”概念。
2、能够综合应用等式性质及“移相”法解一元一次方程。
培养学生的观察及综合能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。
3、在经历方程求解的过程中，使学生自己认识到学习方程知识的重要性，感受学习数学的价值，使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。
教学重点：一元一次方程的解法。
教学难点：“移相”法解一元一次方程时，被移的相变号的依据
教学过程：
一、课前准备：
1、等式的性质有（1），
（2）。
2、下列各变形分别用了等式的那一条基本性质
（1）由x + 4 = 6，得x = 6 – 4；（）
（2）由3 x= 2x + 5，得3 x – 2 x = 5；（）
二、导入新课：
创设问题情境
活动：观察下图，你能得到什么结论？( 表示x)
x + 2 = 5 x = 5 – 2
3 x = 2 x + 2 3 x – 2 x = 2
2 x = 6 x = 6 ÷ 2
交流：用天平测量物体的质量时，常将物体放在天平的左盘，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，就可以测得该物体的质量。
如果我只拿走天平一边的一部分物体会有什么现象呢？
如果要使天平重新达到平衡，我们可以如何操作？
讨论：请认真思考并把你的想法写出来。
三、探究导学：
（—）独立思考、解决问题
首先各小组集体研讨上面提出的问题，汇总结果，之后展示各小组成果。
教师总结。
（二）师生探究、合作交流
综述：通过上面的试验得出的方法可以用来解决数学问题。
本节课内容：用移相法解一元一次方程。
观察：仔细观察下面的解答过程2 x – 4 = 18
2 x = 18 + 4
你发现了什么？
讨论：各小组认真讨论，体会前后变化在关键项的位置及符号上的变化的特点。
你的结论是。
归纳：
叫做移相。
移相的根据是。
应用：解方程： 3 x + 5 = 5 x –7
示范：解移相，得3 x – 5 x = – 7 –5
合并同类项，得–2 x = – 12
两边都除以-2，得x = 6
思考：本题有无其它的变形方法？如果你认为有请你把你的想法或解法写在下面。
互动：下面的移相对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
（1）从9 + x = 7，得x = 7 + 9
（2）从5 x = 7 – 4 x，得5 x – 4 x = 7
（3）从2 y – 1 = 3 y + 6，得2 y – 3 y = 6 – 1
解答（1）；
（2）；
（3）。
体会：通过上面的例题学习及互动巩固，你觉得在利用移项法解一元一次方程时应该注意。
（三）学习体会：
1、本节课我的收获是。
2、本节课我感觉疑惑的地方是。
3、我认为老师可以改进的地方有。
4、本节课我觉得自己的预习效果是。
（四）检测练习：
1、判断下列等式变形是否正确：
（1）由x – 1 = 2 得x = 3 （2）由a + b = 0 得a = – b （）（3）由4 x = 3 x + 2 得x = 2 （4）由x+1/3=4/3 得x=1 （）（5）由a/4 = 1 得a = 1/4 （6）由2 x = x + 3 得3 x = 3 （）（7）由3 x = 2 得x = 3/2 （8）由x/10 = 0 得x = 0 （）
2、解下列方程：（1）2 x = x + 5 （2）2 x –1/2 = – 1/2 x + 2
（3）5 x + 21 = 7 – x （4）11 x +1 =（ 2 x + 1 ）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（五）应用与拓展：
1、下列各方程后面括号里的数均是该方程的解的是（）
A 2 x – 1 = 3（2，– 1）
B x（x – 1）（x – 2）= 0（0，1，2）
C 5/x + 1 = 0（-5，– 10）
D x2 –5 x =–6（– 2，3）
2、若3 a4 b n+2与5 a m-1 b2n+3是同类项，求( m + n )( m – n )的值。
（六）教学反思：。