黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试 数学(文)

哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{20}A x x x =+-<，集合21{|1}B x x=>，则A B = A ．(1,2)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-2．已知2sin cos 0θθ+=，则2sin cos cos θθθ-的值 A ． 65-B ．35-C ．35D ．653．已知向量=a ，向量,a c 的夹角是3π，2⋅=a c ，则||c 等于A ．12B ．1CD ．2 4．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥nB ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ== m n m ∥α⇒n ∥β 5．已知角α的终边经过点P ()2,1，则sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为A ．B ．CD 6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺7．函数()sin()ωϕ=+f x A x （其中0,||2πϕ><A ）的图象如图所示，为了得到()cos 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象俯视图侧视图正视图3112A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 8．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°9．若函数()()20.3log 54=+-f x x x 在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32=c ，则 A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<10．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则91056a a a a -=-A ．16B ．8C ．4D ．211．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 ABCD12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(+3)f x f x =， 当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-，则(2018)=f A ．67312- B ．67212-C ．67212D ．67312二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()102,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -=． 14．已知32)24sin(=-θπ，则=θsin ．15．已知向量(1,2)=a ，(3,2)=-b ，若k （)+a b ∥3)-（a b ，则实数k 的值为．16．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A ． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若a c +=b =,求ABC ∆的面积．18．（本小题12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ； （Ⅱ）求三棱锥B MAC -的体积．20．（本小题12分）已知椭圆:E )0(12222>>=+b a b y a x 的左，右焦点分别为12,F F ，其离心率21=e ，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，且0AC BD ⋅=，当96=7AC BD + 时，求直线AC 的方程．21．（本小题12分）已知函数()ln 1x f x x+=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()()ln g x f x a x =+在()0,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21*,22341--+⋅⋅⋅<∈≥+++n n n n N n n n .考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，当α在区间[0,)2π上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值a ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n +=≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试文科数学参考答案一．选择题二．填空题13．12 14．19 15．13- 16．94π 三．解答题17．解：（Ⅰ）由1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A得，1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CA CA C A ,1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （，即31)cos(-=+∴C A ，31cos =∴B ，又0B π<<,322sin =∴B ．…………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：312cos 222=-+=ac b c a B 3122)(22=--+∴ac b ac c a ， 又a c +=，b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴==．…………12分 18．解：（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=…………3分设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+…………6分（Ⅱ）1232135721,33333n n n nn n c T ++==++++ ①则234113572133333n n n T ++=++++ ②， 由①—②得，23121112112()33333n n n n T ++=++++- 142433n n ++=-∴223n n n T +=-…………12分19．解：（Ⅰ）取SC 中点为N ，连MN,ND,M N 分别是,SB SC 的中点，∴MN ∥BC ，且MN =12BC AD ∥BC ，且AD =12BC ，∴MN ∥AD 且MN =AD ∴四边形AMND 为平行四边形，∴AM ∥ND又AM ⊄平面SCD , ND ⊂平面SCD ．∴AM ∥平面SCD ．………6分（Ⅱ）SA ⊥ 底面ABCD ，SA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，SA AB A =BC ∴⊥平面SAB 111223323B MAC C MABMAB V V S BC --∆∴==⋅⋅=⋅⋅=．………12分 20．解：（Ⅰ）由已知，1,242c e c a ===，∴2,4c a ==，∴22212b a c =-= 故，椭圆方程为2211612x y += ………4分 （Ⅱ）∵0AC BD ⋅=，∴直线,AC BD 垂直相交于点1(2,0)F -．① 直线,AC BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=，不成立②直线,AC BD 斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设AC 方程(2)y k x =+联立22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212221616483434k k x x x x k k-+=-=++，22224(1)34k x k +=+．把k1-2222168(1)96(43)(34)7k AC BD k k +∴+==++， 21k ∴=，即1k =±，所以直线AC 的方程为：20x y -+=或20x y ++=．…………12分21．解：（Ⅰ）()2ln 'xf x x -=，由()'01f x x =⇒=，列表如下： 因此增区间()0,1，减区间()1,+∞，极大值()11f =，无极小值.…………4分（Ⅱ）()()221ln 1ln '0x x a x axx g x x x x⋅-+-+=+=≥对0x ∀>恒成立， 于是，ln 0ax x -≥对0x ∀>恒成立， 所以，ln x a x ≥对0x ∀>恒成立()maxln ,0,x a x x ⎛⎫∴≥∈+∞ ⎪⎝⎭令()()ln ,0,x h x x x=∈+∞，则()221ln 1ln 'x xx x h x x x ⋅--== 因为，()ln 1,0, x x e <∈，所以，()()'0,0, h x x e >∈，从而()h x 在()0,e 递增； 另外，()ln 1,, x x e >∈+∞，所以，()()'0,, h x x e <∈+∞，从而()h x 在(),e +∞递减． 综上，()()max ln 1e h x h e e e ===，故1a e≥．…………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得()()()max ln 1ln 1111x x f x f x f x x x+=≤==⇒≤-，当且仅当1x =时取等号.令2*2n N n n x =∈≥（，）， ()()2222lnn 1ln 11111111111,222121n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<-⇒<-<-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222ln 2ln 3ln 1111111111112322323421n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅⋅⋅<-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ ()211121121241n n n n n --⎛⎫=-+-=⎪++⎝⎭2n ≥（）．…………12分 22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由02πα≤<，知52444πππα≤+<，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+．…………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++2)452()432(=+--≥x x 当且仅当35(2)(2)044x x -+≤，即5388x -≤≤时，上式取等号， 即()f x 取得最小值2 故2a =．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．2(21)32(21)32222m n m n ++++≤=+≤=+，∴∴故，原不等式成立．…………10分。