2019版高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练86随机变量的期望与方差理

题组训练86 随机变量的期望与方差1．(2018·福建漳州二模)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( ) A.15 B.14 C.35 D.34答案 D解析 记“取到的2个数之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数均为奇数”为事件B ，则P(A)＝C 32＋C 22C 52＝25，P(AB)＝C 32C 52＝310.由条件概率的计算公式得P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝31025＝34，故选D.2．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( ) A ．(99100)6B ．0.01 C.C 61100(1－1100)5D ．C 62(1100)2(1－1100)4答案 C解析 P ＝C 61·1%·(1－1100)5.3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.C 53C 41C 54B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14 D ．C 41×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49答案 B解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.4．(2017·沧州七校联考)某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )A.35192B.25192C.55192D.65192答案 A解析 三处都不停车的概率是P(ABC)＝2560×3560×4560＝35192.5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13答案 A解析 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.则P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.6．(2017·保定模拟)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.427 D.227 答案 A解析 所求概率P ＝C 31·(13)1·(1－13)3－1＝49.7．设随机变量X ～B(2，p)，Y ～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681答案 B解析 P(X≥1)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝C 21p(1－p)＋C 22p 2＝59，解得p ＝13.(0≤p≤1，故p ＝53舍去)．故P(Y≥2)＝1－P(Y ＝0)－P(Y ＝1)＝1－C 40×(23)4－C 41×13×(23)3＝1127.8．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球.如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 75⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 72⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 75⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 72⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235答案 B解析 S 7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S 7＝3的概率为C 72⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 9．(2018·山东师大附中模拟)已知某次考试中一份试卷由5个选择题和3个填空题组成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的．已知每题答案正确得5分，答案错误得0分，满分40分．若小强做对任一个选择题的概率为23，做对任一个填空题的概率为12，则他在这次考试中得分为35分的概率为( ) A.22243 B.11243 C.2281 D.1181答案 A解析 设小强做对选择题的个数为ξ，做对填空题的个数为η，则ξ～B(5，23)，η～B(3，12)，由于每题答案正确得5分，答案错误得0分，若小强得分为35分，则他做对题的个数为7，故所求概率为P(ξ＝5)P(η＝2)＋P(ξ＝4)P(η＝3)＝C 55(23)5×C 32(12)2(1－12)＋C 54(23)4(1－23)×C 33(12)3＝22243.10．(2018·洛阳模拟)在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为23，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为14，且三个公司是否让其面试是相互独立的．则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( ) A.116 B.18 C.14 D.12答案 B解析 记事件A 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C 为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”． 由题可得P(A)＝23，P(B)＝P(C)＝14.则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为ABC ， 由相互独立事件同时成立的概率公式，可得 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝23×14×(1－14)＝18，故选B.11．(2018·长沙调研)某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题给的四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( ) A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7思路 由“随意”两字知道这是个独立重复试验问题． 答案 B解析 由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是14，该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为P ＝C 109·(14)9×34＋C 1010(14)10≈3×10－5.12．(2017·上海十二校联考)小李同学在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为________．(用最简分数表示) 答案427解析 由于在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则第三个路口首次遇到红灯的概率为P ＝(1－13)×(1－13)×13＝427.13．(2018·天津一中期末)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．答案 34解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝(12)3＋(12)3＝14，从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34. 14．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________． 答案10243解析 考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，13)． 即有P(ξ＝k)＝C 5k (13)k×(23)5－k ，k ＝0，1，2，3，4，5.∴P(ξ＝4)＝C 54(13)4×(23)1＝10243.15．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.128解析 依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错；第三、四个问题都答对了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128.16．(2018·山东师大附中测试)在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响． (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 答案 (1)13 (2)53解析 (1)设事件A 1表示甲选第22题，A 2表示甲选第23题，A 3表示甲选第24题， B 1表示乙选第22题，B 2表示乙选第23题，B 3表示乙选第24题，则甲、乙两人选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立， 所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)设ξ可能的取值为0，1，2，3，4，5.∵ξ～B(5，13)，∴P(ξ＝k)＝C 5k(13)k (23)5－k ＝C 5k 25－k35，k ＝0，1，2，3，4，5.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝np ＝5×3＝3.17．(2018·河南五个一联盟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染． 一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算) (2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．答案 (1)18 (2)95解析 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，估计该月空气质量优良的频率为35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)可估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝(25)3＝8125，P(ξ＝1)＝C 31×35×(25)2＝36125，P(ξ＝2)＝C 32×(35)2×25＝54125，P(ξ＝3)＝(35)3＝27125.∴ξ的分布列为∵ξ～B(3，35)，∴E(ξ)＝3×5＝5.1．每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( ) A ．C 103p 3(1－p)7B ．C 103p 3(1－p)3C ．p 3(1－p)7D ．p 7(1－p)3答案 C2．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127答案 C解析 ∵变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝59，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ<1)＝1－C 20p 0(1－p)2＝59，∴p ＝13，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C 30×(13)0×(23)3－C 31×(13)1×(23)2＝1－827－1227＝727，故选C.3．如果ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，那么使P(ξ＝k)取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4答案 D解析 采取特殊值法．∵P(ξ＝3)＝C 153⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412，P(ξ＝4)＝C 154⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P(ξ＝5)＝C 155⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410， 从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．故选D.4.如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案 B解析 A 1，A 2不能同时工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.5．由0，1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝( ) A.12 B.14 C.16 D.18答案 A解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P(AB)＝12×12＝14，所以P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝1412＝12. 6．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0.4，1) B ．(0，0.6] C ．(0，0.4] D ．[0.6，1)答案 A解析 C 41p(1－p)3≤C 42p 2(1－p)2，4(1－p)≤6p，p ≥0.4，又0<p<1，∴0.4≤p<1. 7．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12答案 B解析 P(A)＝C 32＋C 22C 52＝25，P(AB)＝C 22C 52＝110，P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝14. 8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)． 答案 0.947 7解析 分情况讨论：若共有3人被治愈，则P 1＝C 43(0.9)3×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，则P 2＝(0.9)4＝0.656 1，故至少有3人被治愈概率P ＝P 1＋P 2＝0.947 7.9．(2017·武汉调研)如图所示，圆通快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A→C→D→B，A →E →F →B 两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D 算作两个路段，路段AC 发生堵车事件的概率为16，路段CD 发生堵车事件的概率为110)．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A 到B 应选择的路线是________．思路 利用相互独立事件同时发生的概率公式与对立事件的概率公式、求出路线A→C→D→B 途中堵车与路线A→E→F→B 途中堵车的概率，哪条路线堵车的概率小，就选择哪条路线． 答案 A→E→F→B解析 路线A→C→D→B 途中发生堵车事件的概率为P 1＝1－(1－16)×(1－110)×(1－25)＝1120，路线A→E→F→B 途中发生堵车事件的概率为P 2＝1－(1－15)×(1－18)×(1－15)＝1125.因为1125<1120，所以应选择路线A→E→F→B.10．在某校老师趣味投蓝比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． 答案 (1)E(X)＝4 (2)3281解析 (1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知，X ～B(6，23)，P(X ＝k)＝C 6k·(23)k ·(13)6－k (k ＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X 的分布列为故E(X)＝729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝729＝4.(或因为X ～B(6，23)，所以E(X)＝6×23＝4.)(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P(A)＝C 42·(13)2·(23)4＋C 41·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.11．(2018.福州市高三质检)质检过后，某校为了解理科班学生的数学、物理学习情况，利用随机数表法从全年级600名理科生的成绩中抽取100名学生的成绩进行统计分析．已知学生考号的后三位分别为000，001，002， (599)(1)若从随机数表的第4行第7列的数开始向右读，请依次写出抽取的前7人的后三位考号； (2)如果第(1)问中随机抽取到的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)依次对应如下表：从这7ξ，……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… 11 求ξ的分布列和数学期望(规定成绩不低于120分为优秀)．附：(下面是摘自随机数表的第3行到第5行)……15 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 ……答案 (1)310，503，315，571，210，142，188 (2)E(ξ)＝97解析 (1)抽出的前7人的后三位考号分别为：310，503，315，571，210，142，188.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.依题意知，ξ服从超几何分布H(7，3，3)，所以P(ξ＝0)＝C 30C 43C 73＝435，P(ξ＝1)＝C 31C 42C 73＝1835， P(ξ＝2)＝C 32C 41C 73＝1235，P(ξ＝3)＝C 33C 40C 73＝135. 故随机变量ξ的分布列为方法一：所以E(ξ)＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7. 方法二：所以E(ξ)＝3×37＝97. 解题技巧 求解此类问题的关键：一是会“读数”，即会利用随机数表的读数规则，得到样本；二是求概率，即会利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求基本事件的概率；三是定分布，即判断离散型随机变量是否服从超几何分布H(N ，M ，n)；四是用公式，即利用超几何分布的概率、期望、方差的公式P(X ＝k)＝C M k C N －M n －k C N n (k ＝0，1，…，m)，E(X)＝Mn N，D(X)＝nM N (1－M N )N －n N －1，求出X 取每个值时的概率及X 的期望、方差． 易错点拨 本题的易错点是混淆超几何分布与二项分布，两种分布的本质差别在于“有放回”与“无放回”，“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布．。