2012届上海市奉贤区高三数学二模(文理数)

图12012届上海市奉贤区高三数学二模调研卷一、填空题（本大题满分56分）1.若(4)a i i b i +=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a b -=2.函数()32-=xx f 的反函数()=-x f13.若集合{1,0,1},{cos ,},A B y y x x A =-==∈|则A B =4.阅读如图1，所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为___________5.二项式61⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的常数项是 （用数字回答）6.无穷等比数列满足12+=n n a a ，11=a ，则数列{}n a 的各项和为7.已知数列{}n a 是等差数列，公差0≠d ，在行列式987654321a a a a a a a a a 中，元素()91,*≤≤∈i N i a i 是实数，则所有元素的代数余子式大于零的个数有__ 个8.不等式022>--a xx的在[]2,1内有实数解，则实数a 的取值范围是 9.(理)圆22cos 30ρρθ+-=的圆心到直线()是参数t ty t x ⎩⎨⎧+=-=4434的距离是（文）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅-+=， 则A ∠=________ 10.（理）盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm ，两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降________cm （文）如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为正视图 侧视图 俯视图 11.（理）已知33)6cos(-=-πx ，则=-+3cos(cos πx x ___________ （文）双曲线()012222>>=-b a by a x 的实轴长4，则双曲线上的一点()3,4到两渐近线的距离的乘积等于12. （理）关于x 的方程42-=+x m x 没有实数解，则实数m 的取值范围是(文)从11{,,2,3}32中随机抽取一个数记为a ，从{1,1,2,2}--中随机抽取一个数记为b ,则函数xy a b =+的图象经过第三象限的概率是 13.（理）已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0,0x y >>，随机变量ξ的方差21=ξD ，则x =（文）过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，当α最小时，此时点P 坐标为____________14.（理）若点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________(文)操作变换记为),(1y x P ，其规则为：),(),(1y x y x y x P -+=，且规定：)),((),(11y x P P y x P n n -=，n 是大于1的整数，如：)1,3()2,1(1-=P ，)4,2()1,3())2,1(()2,1(1112=-==P P P P ，则=-)1,1(2012P二、选择题（本大题满分16分）15.已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的 [答］（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.若有不同的三点C B A ,,满足()()()()5:4:3::-=⋅⋅⋅则这三点 [答］（ ） A ．组成锐角三角形 B ．组成直角三角形 C ．组成钝角三角形 D ．在同一条直线上17.（理）已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是 [答］（ ） A ．数列{}n a 的各项均为正数 B ．数列{}n a的项C ．数列{}n a 的公比必是正数D ．数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1（文）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()nn k P P +=10，其中n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期k 满足01<<-k ，那么这期间人口数 [答］（ ） A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变18.（理）已知：P 为椭圆192522=+y x 上的任意一点，过椭圆的右顶点A 和上顶点B 分别作与x 轴和y 轴的平行线交于C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，矩形PMCN 是1S ，三角形PDE 的面积是2S ，则21:S S [答］ （ ）A ．1B ．2C ．21D ．与点P 的坐标有关 （文）平行于x 轴的直线1l 与椭圆C ：192522=+yx 交于左右A 、B 两点，平行于y 轴的直线2l 与椭圆C ：192522=+yx 交于上下C 、D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为 [答］ （ ）A ．15B ．60C ．30D ．不是一个定值三、解答题（本大题满分78分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分10分)设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式031≤-+x x 的解集为N . （1）当1a =时,求集合M ； （2）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.20.(本题满分11分)本题共有两个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分.已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈. （1）求()f x 的零点； （2）求()f x 的最大值和最小值.21.(本题满分11分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分. 函数()()x b xx f 24lg2++=，其中0>b（1）若()x f 是奇函数，求b 的值；（2）在（1）的条件下，判别函数()x f y =的图像是否存在两点A,B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由；22.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.（理）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC AB AA ，11===⊥AC ，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且满足111B A A λ=. （1）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大； (2) 在（1）的条件下，求三棱锥MNC P -的体积．（理） (文)（文）如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 90ABC ∠=，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点．（1）求异面直线1AB 与N C 1所成的角；（2）求三棱锥CN C M 1-的体积．23.(本题满分17分)1A1B PNM ABC1C平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于1，（1） 求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2形式表示（4分）（2） 类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C 的性质，请直接写出答案（9分）（3） 求21F PF ∆周长的取值范围（4分）（文）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题9分 平面内一动点()y x P ,到两定点()()0,1,0,121F F -的距离之积等于2， （1） 求21F PF ∆周长的最小值（4分）（2） 求动点()y x P ,的轨迹C 方程，用()x f y =2形式表示（4分）（3） 类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C 的性质，请直接写出答案（9分）24. (本题满分17分)（理）本题有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.数列{}n a 的各项均为正数，,1t a =1,*≥∈k N k ，0>p ，n k n n n n p a a a a 621=+++++++（1）当5,1==p k 时，若数列{}n a 是成等比数列，求t 的值； （2）当1=t ，1=k 时，设1212321---+++++=n n n n n p a p a p a p a a T ，参照高二教材书上推导等比数列前n 项求和公式的推导方法，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n p aT p p n n n 61是一个常数； （3）设数列{}n a 是一个等比数列，求t （用k p ,的代数式表示）；（文）本题有3小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分7分.数列{}n a 的各项均为正数，,1p a =0>p ，*N k ∈,()nk n n p k p f a a ⋅=++,，（1）当,1=k ()k p k p f +=,，5=p 时，求32,a a ；（2）若数列{}n a 成等比数列，请写出()k p f ,满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明） （3）当,1=k ()k p k p f +=,时，设1321222++++++=n n n a a a a a T ，求n T奉贤区高三数学(理)调研答题纸2012、4、19奉贤区高三数学(文)调研答题纸2012、4、192012调研测试高三数学参考答案一、填空题1、52、()3log 2+x3、{}14、3log 2=x 或0=x5、206、27、48、3<a9、理：532文：3π 10、理 ：3511、理：1- 12、理：[)()2,2,0-∞- 文：61 文：54 文： ）或375.0(8313、理：4114、理：12π+文：()2,4-- 文；()100610062,2-14理：⑵点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在正方形KLMN 里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在KLMN 边界上滑动时，分别得到4个长为2宽为1的矩形；在顶点滚动时，得到4个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积π424412π4S =+⨯+⨯=+．二、选择题15、 A 16、C 17、（理）C 18、（理）A （文）B （文）C 三、解答题（10+11+11+12+17+17）19．解：(Ⅰ)当1a =时, 由已知得(2)0x x -<.所以{|02}M x x =<<. …………………3分(Ⅱ)方法一： 由已知得{}31<≤-=x x N . …………………5分 ①当1a <-时, 因为10a +<，所以{|10}M x a x =+<<.因为M N ⊆，所以110a -≤+<，解得21a -≤<- …7分 ②若1a =-时, M =∅，显然有M N ⊆，所以1a =-成立 …8分 ③若1a >-时, 因为10a +>，所以{|01}M x x a =<<+.又{}13N x x =-≤≤，因为M N ⊆，所以013a <+≤,解得12a -<≤ …9分综上所述,a 的取值范围是[2,2]-. ……………10分 说明②可以并入①，也可并入③，每一种2分，一共4分，最后结论1分方法二：(Ⅱ)方法一： 由已知得{}31<≤-=x x N . …………………5分 由题得⎩⎨⎧≤+-≥+0111a a …………………6分 解得12-≤≤-a …………………7分⎩⎨⎧≤+≥+3101a a …… ……………8分 解得21≤≤-a …………………9分 所以[]2,2-∈a …………………10分x20．（1）解法一：解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=，所以sin 0x =，或tan 3x =-. ……2分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ……3分由 tan x =，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ……4分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ……5分解法二：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）. ………3分令()0f x =，得 πsin(2)3x -=. ……5分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,.所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. …7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =. ……8分综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ……9分（2）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）…8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ……9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f …10分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ……11分21．解：（1）2244,0x b x b >+∴> 恒成立，所以函数()()x b xx f 24lg2++=的定义域是一切实数，关于原点对称 ……2分 方法一： ()x f 是奇函数，()00=f ……3分()0lg 0==b f1=∴b ……5分 方法二：因为()x f 是奇函数，所以()()0=-+x f x f ……3分 ()()()()0lg 2)4(lg 24lg 22==-+-+++=-+b x b x x b x x f x f1=∴b ……5分（2）方法一：假设存在B A ,两点，使得AB 平行x 轴，0=AB k ……6分⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴222121214lg 214lg x x x x ……7分122221221414x x x x -=+-+两边平方化简得到：01442221=++x x ……10分 得到矛盾()x f y =∴的图像上不存在两点，使得所连的直线与x 轴平行 ……11分 方法二：不存在 210x x <≤()()()分6114142222214144421421422212121212221222122212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=-++++-=-+-++=-x x x x x x x x x x x x x x x x x h x h 11414220,1420,1420,022212122221121<++++<∴+<<+<<<-x x x x x x x x x x()x f 在[)+∞,0单调递增； ……7分 ()x f 是奇函数，所以在(]0,∞-单调递增； ……8分 ()x f ∴在R 单调递增； ……9分0>--=∴BA BA AB x x y y k ……10分()x f y =∴的图像上不存在两点，使得所连的直线与x 轴平行 ……11分说明：证明在整个R 上单调递增的要4分，不证明单调性，直接说函数是单调递增的，扣3分22．（理）（1）方法一：(),1,0,λP 则)1,21,21(--=λPN ， ……1分平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =……2分则=θsin 4521123122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=λλλ ……4分所以当21=λ时，552)(sin max =θ， ……5分552arcsin max =θ（55arccos 2arctan = ） ……6分 方法二：过P 作AB PH ⊥交于H 点，可得ABC PH 面⊥,PNH ∠就是所成的线面角 ……1分计算：λ=AH ,212+-=λλHN ……2分 41211211tan 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-==λλλθHNPH……4分所以当21=λ时，()2tan m ax =θ， ……5分 2arctan m ax=θ （55arccos 552arcsin = ） ……6分(2)方法一：过P 作⊥PT 面11BCC B ,可证得T 在11C B 上 ……8分 点P 到平面11BCC B 的距离42=PT ……9分 82212221=⨯⨯=∆CMN S ……10分 481428231=⨯⨯=-MNC P V ……12分方法二：用向量平面11BCC B 的法向量⎪⎭⎫⎝⎛=0,21,21 ……8分点P 到平面11BCC B 的距离=d =42……9分 面积82212221=⨯⨯=∆CMN S ……10分 481428231=⨯⨯=-MNCP V ……12分22．（文）解：（1）过A 作AQ ∥C 1N 交A 1C 1于Q ，连结Q B 1，∴AQ A 1∠为异面直线1AB 与N C 1所成的角（或其补角）． ……2分 根据四边形C C AA 11，N 是中点，为矩形，可证Q 为中点计算17,22,511===AQ Q B AB ……3分11B C ∥BC ，11B C =BC ，BC ∥AD ，BC AD =，∴四边形11ADC B 为矩形，且1AB ∥1C D ，由已知条件和余弦定理可得517cos 1=∠Q CC ……5分 ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角为517arccos ……6分 （2）方法一：过M 作11C A MH ⊥于H ，面⊥111C B A 面C C AA 11于11C A∴⊥MH 面C C AA 11MP ⊥ 平面ABC ， ……8分2=MH ……10分1NCC M V - MH C C NC ⨯⨯⨯=12131223222131=⨯⨯⨯⨯= ……12分方法二：（2）取BC 的中点P ，连结MP 、NP ，则MP ∥1BB ， ∴MP ⊥ 平面ABC ， ……8分又NP ABC ⊂平面，∴MP NP ⊥．122PN AB ==,3MP =，CM C N NCC M V V 11--= ……10分NP C C MC ⨯⨯⨯=11213122322131=⨯⨯⨯⨯= ……12分23．（理）解:（1）121=⋅PF PF ,列式：()()1112222=+-⋅++y x y x 3分化简114222--+=x x y 1分（2）性质：对称性：关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称 3分 顶点：()0,0，()0,2±3分x 的范围：22≤≤-x 1分y 的范围：2121≤≤-y 2分 （3）2111212121++=++=∆PF PF F F PF PF C F PF 1分()x x y x PF 214122221++=++=，()()2,00,2 -∈x()()12,11,121+-∈∴ PF 1分()222,4212121+∈++=∴∆F F PF PF C F PF 1+1分23．（文）解:（1）2222121=⋅≥+PF PF PF PF 2分当且仅当()1,0,221±==P PF PF 时等式成立 1分21F PF ∆周长的最小值222+ 1分（2）221=⋅PF PF ,列式：()()2112222=+-⋅++y x y x 3分化简112222--+=x x y 1分（3）性质：对称性：关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称 3分 顶点：()1,0±，()0,3± 2分 x 的范围：33≤≤-x 2分 y 的范围：11≤≤-y 2分（23（2）理科）y 的取值范围推导过程解1：推导过程：[]3,1142∈=+t x 设()()412414341142222+--=-+-=--+=t t t x x x h[]2,1∈∴t 时()x h x x 时即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈≤+≤23,0,211,2递增， 所以41,43m ax 22==y x 时解2：设0210x x x ≤<<时()x h 递增，()()021<-x h x h()()()0114144141444114114222122212122222122212222212121<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=-++++-=+++---+=-x x x x x x x x x x x x x x x h x h,02221<-x x 令021x x x ==，23011414402221=∴=-+++x x x （文科23（3））单调性：[]3,0∈x 单调推导过程：[]2,112∈=+t x ， 设()()1121122222+--=+-=--+=t t t x x x h[]2,1∈∴t 时[]()x h x x 时即3,0,211,2∈≤+≤递减，所以1,0m ax 22==y x 时 另解：设210x x <<()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=-++++-=+++---+=-11121122112112222122212122222122212222212121x x x x x x x x x x x x x x x h x h,02221<-x x 011122221<-+++x x ()()21x h x h >∴()[]3,0,∈∴x x h 单调递减，即)(x f y =在[]3,0单调递减24．（理）解（1）n n n a a 561⋅=++，12156+++⋅=+n n n a a ……2分设等比数列{}n a 的公比是q ，则可计算出5=q ， ……4分1=n 时，305=+t t ，5=∴t ……5分（2）证明：1212321---+++++=n nn n n pa p a p a p a a T n nn n n pa p a p a p a p a T p+++++=--11332211……7分 n n n n n np a p a a p a a p a a a T p ++++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--1123221111 ……8分 n n n n p a a T p +++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+- 个1166611 ……9分 56a 611-=-=--+∴n p a T p pnn n ……10分（3）nk n n n n p a a a a 621=+++++++113216++++++=++++n k n n n n p a a a a ……11分数列{}n a 是一个等比数列，所以求出公比为p ……13分()n k n n n p p p p t 611=+++∴-+- ……15分当1=p 时，()61=+k t ，16+=∴k t ……16分当01>≠p p 且时，n k n p p p p t 61)1(11=--∴+-，()1116+--=∴k pp p t ……17分（文）解（1）nn n a a 561⋅=++ ……2分252=∴a ， 1253=∴a ……6分（2）当()kp k p f +=1,时，nn p a = ……10分（3）()111+++=⋅+=+n nnn n pp p p a a 由（2）知，nn p a = ……12分1321222++++++=n n n a a a a a T()()()()113221+-++++++++=n n n n n a a a a a a a a T ……13分 ()()n n p p p p T ++++= 21 ……15分1=p 时，n T n 2= ……16分当01>≠p p 且时，()pp p p T n n --⋅+=1)1(1， ……17分方法二：由（2）知，nn p a = ……12分()111+++=⋅+=+n n n n n p p p p a a 1321222++++++=n n n a a a a a T132)(2++++++=n n n p p p p p T ……15分1=p 时，n T n 2= ……16分当01>≠p p 且时，()pp p p T n n --⋅+=1)1(1 ……17分。