2020上海高三数学二模分类汇总-立体几何(含答案)
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
1（2020静安二模）. 若sin 3x =，则cos(2)x π-的值为 1（2020虹口二模）. 函数()3cos21f x x =+的最小值为2（2020宝山二模）. 函数)1arcsin(+=x y 的定义域是 2（2020黄浦二模）. 函数22cos 2y x =+的最小正周期为 3（2020杨浦二模）. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 3（2020徐汇二模）. 函数()cos 3xf x π=的最小正周期为5（2020黄浦二模）. 如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= 5（2020徐汇二模）. 方程1sin 3x =在[,]2ππ上的解是 7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是7（2020崇明二模）. 若1sin()23πα+=，则cos2α=8（2020虹口二模）. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =9（2020崇明二模）. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是10（2020普陀二模）. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22csc()ab ca b c A B -=++，则角C 的大小为11（2020崇明二模）. 在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r ，则△ABC面积的最大值是12（2020嘉定二模）. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222sin a b c A ++=，则A =14（2020宝山二模）. 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 1-C.D. 15（2020徐汇二模）. 设点2( 1)(0)2t P t t+<，是角α终边上一点，当||OP uu u r 最小时，cos α的值是（ ）A. 5-B. 5C. 5D. 515（2020虹口二模）. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 14(2,]3 B. 14[2,)3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]315（2020长宁二模）. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（ ）A. 0.6B. 0.8C. 0.6-D. 0.8- 15（2020浦东二模）. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2k ππ+（Z k ∈）；③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15{|,Z}88x k x k k +<<+∈； 则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④16（2020静安二模）. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ≤<）满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26f x f π≤=）成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =， 求△ABC 的周长l 的取值范围.18（2020闵行二模）. 已知函数2()3cos cos f x x x x ωωω=+（0ω>）. （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =，6b =，求△ABC 的面积.18（2020松江二模）. 已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且1a =， 求△ABC 面积的最大值.18（2020宝山二模）. 已知函数())f x x ωϕ=+，()g x x ω=，0ω>，[0,)ϕπ∈，它们的最小正周期为π.（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ； （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值.18（2020普陀二模）. 设函数2()2sin ())1263x f x x ωππω=++-.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为()2f π，求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围.18（2020嘉定二模）. 设常数a ∈R ，函数2()2cos f x x a x =+.（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()36f π=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.18（2020青浦二模）. 已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++. （1）若函数()y f x =的图像关于直线x a =（0a >）对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围.18（2020杨浦二模）. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.18（2020金山二模）. 已知函数2()2cos 2xf x x =. （1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.18（2020长宁二模）. 已知函数()sin f x x x =-，R x ∈.（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值.18（2020浦东二模）. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q . （1）求cos()αβ+的大小；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值.。
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020届上海市普陀区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(精品)
第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ） )A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα// ()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数 ()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数 ()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .1A 1B 1C1DF18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元） （1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .xyo（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c Λ21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,Y3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示： 则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB DE =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3, ，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
2020年上海市虹口区高三二模数学试卷(精校Word版含答案)
2020年上海市虹口区高三二模数学试卷（精校Word 版含答案）2020. 5考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1. 函数()3cos 21f x x =+的最小值为_________. 2.函数()f x =的定义域为_________. 3. 设全集{},23,U R A x x ==-≥若则U A =ð_________.4．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为_________.5．已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =_________.6.设复数cos sin i z iαα=（i 为虚数单位），若,z =则tan 2α=_________.7.若25(a x 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为________.8. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c若8,30,b c A ===︒则sin C =_________.9. 已知点(3,2),A P -点满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩设O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r的最大值为_________.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M .若1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r,则椭圆C 的长轴长为________.（第14题图）侧视图俯视图11. 已知球O 是三棱锥P ABC-的外接球，2,PA AB BC CA PB ===== 点D BC为的中点，且PD =则球O 的体积为 _________.12.已知函数()1,18,115x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a = 恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点 的距离为5，则点M 到y 轴的距离为 （ ）（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）614．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的表面积（单位：cm 2）为 （ ）（A ）32 （B ）36 （C ）40 （D ）4815．已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为 ( )（A ）1423⎛⎤ ⎥⎝⎦,（B ）142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）10,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ 16．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 首项11,a =且24323.S S S +=已知,,m n N *∈若存在正整数,(1),i j i j <<使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为 （ ）（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）6（第17题图）BD（第19题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形， ,PA ABCD ⊥底面且22,PA AD AB ===设,,E F G,,PC BC CD 分别为的中点，H EG 为的中点，如图.（1）求证：// FH PBD 平面；（2）求直线FH PBC 与平面所成角的大小.18．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数4()().31xf x a a =-+为实常数 （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.19．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的 “H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2,AOB α∠= 记 “H ”型图形的面积为S ．（1）将AB , AD 用R ,α表示，并将S 表示成α 的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可 能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 设双曲线222:1x C y a-=的左顶点为,D 且以点D 为圆心的圆222:(2)(0)D x y r r ++=>与双曲线C 分别相交于点,,A B 如图所示.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 求DA DB ⋅u u u r u u u r的最小值，并求出此时圆D 的方程；(3) 设点P 为双曲线C 上异于点,A B 的任意一点，且直线,PA PB 与x 轴分别相交于点 ,,M N 求证：OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知项数为(,2)m m N m *∈≥的数列{}n a 满足条件:① (1,2,,);n a N n m *∈=L ② 12.m a a a <<<L若数列{}n b 满足 12()(1,2,,),1m nn a a a a b N n m m *+++-=∈=-L L 则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列”.(1)数列1,5,9,13,17是否存在“关联数列”？若存在,写出其“关联数列”；若不存在,请说明理由；(2)若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ,证明:11(1,2,,1);n n a a m n m +-≥-=-L (3)已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ,且11,2049,m a a ==求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值 .（第20题图）虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试 高三数学 参考答案和评分标准 2020年5月一、填空题（本大题满分54分）第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 1．2- 2．(]3,1- 3. ()1,5- 4．18 5．2 6. 17. 12-8．．． 12.8,45⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. B 14.A 15. D 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 证：(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 解：（2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则（第19题图）(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r得……11分设FH PBC 与平面所成的角为,θ则12sin cos ,FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅u uu r r u u u r r u u u r r 故FH PBC 与平面所成角的大小为arc …… 14分18．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分．解：（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且 于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分当2a =时， 44()()2240,3131x xf x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31x f x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t -≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t tϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 解：（1）过点O 作,OM AB M ⊥于点交,CD N 于点则,,M N AB CD 分别为的中点,从而1.2AOM AOB α∠=∠=记横向矩形为,EFGH 如图所示.由条件，可得 22sin 2sin ,AB AM OA R αα==⋅=112223121cos sin (3cos 2sin )3333AD MN OM ON OM EF OM ABOM AB R R R αααα==-=-=-⋅=-=-=-L L 分2282233816sin (3cos 2sin ).39ABCD EFGH ABCD ABCD ABCD S S S S S S AB AD R ααα=+=+==⋅=-矩形矩形矩形矩形矩形于是又由“H ”型图形的特征，得2,,3EF FG AB AD >>即亦即41sin (3cos 2sin )0,33R R ααα>-> 解得13tan ().22αα<<为锐角 于是21613sin (3cos 2sin ),(arctan ,arctan ).922S R αααα=-∈ …… 7分 （2）由（1）可得2221616sin (3cos 2sin )(3sin cos 2sin )99S R R αααααα=-=-2288(3sin 22cos 22))2,99R R αααϕ⎤=+-=+-⎦ 2tan .3ϕϕ=其中锐角满足： …… 10分所以当S 取得最大值时，322tan 2cot 222ππαϕαϕαϕ+=⇒=-⇒==，即1313arctan (arctan ,arctan )2222α=∈.于是，S的最大值为282)9R -. …… 14分 20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 解：（1）由条件知：双曲线C 的左焦点为(2,0),D -于是 2.a =故双曲线C 的方程为：22 1.4x y -= ……4分（2）易知点A , B 关于x 轴对称，设111111(,),(,)(2,0),A x y B x y x y -<->则由点A 在双曲线C 上，得 22111.4x y =-由于1111(2,),(2,),DA x y DB x y =+=+-u u u r u u u r……6分所以22221111111113381(2,)(2,)(2)45().4433DA DB x y x y x y x x x ⋅=+⋅+-=+-=++=+-u u u r u u u r因12,x <-故当1min 81().33x DA DB =-⋅=-u u u r u u u r 时, ……8分此时222218811((2).339y A r DA =-==-++=u u u r 即从而所以当DA DB ⋅u u u r u u u r取最小值时，圆D 的方程为2211(2).9x y ++= ……10分（3）设0001(,)(),P x y y y ≠±则0101(,),AP x x y y =--u u u r直线AP 的方程为010010()()()()0.y y x x x x y y -----= ……12分令001100100101()0,.M y x x x y x y y x x y y y y --==-=--得同理，可得 100101.N x y x y x y y +=+ ……14分因点A , M 在在双曲线C 上，故222211004(1),4(1),x y x y =+=+于是 222222221001100101222222010101()()4(1)4(1)4()4.M N x y x y y y y y y y x x y y y y y y -+-+-====--- 因此4.M N M N OM ON x x x x ⋅=⋅==为定值 ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 解：（1）因为12(1591317)1(1591317)511,10,5151b b ++++-++++-====--3(1591317)99,51b ++++-==-45(1591317)13(1591317)178,7.5151b b ++++-++++-====--均为正整数所以数列1,5,9,13,17存在“关联数列”,且其“关联数列”为11，10，9，8，7. ……4分（2）因为数列{}n a 存在“关联数列”{},n b 所以+10(11),n n a a n m ->≤≤-且 1,.n n b b N *+∈ ……6分进而1111111()().111m n m n n nn n a a a a a a a a a a b b N m m m *++++++-+++---=-=∈---L L从而111,1(1,2,,1).1n n n n a aa a m n m m ++-≥-≥-=--L 故 ……10分（3）① 因为11,2049, 2.m a a m ==≥其中当1221,2049,m a a ===时,有1212049)1(12049)20492049,1.2121b b +-+-====--（均为正整数即当21,2049m =时,数列存在“关联数列”:2049，1.因此m 的最小值为2. ……12分② 一方面，由（2）知：11(1,2,,1),n n a a m n m +-≥-=-L 于是21122111()()()(1)(1)(1)(1),m m m m m m a a a a a a a m m m m -----=-+-++-≥-+-++-=-L L 1444442444443个所以2(1)204846().m m m N *-≤⇒≤∈因 ……14分 另一方面，由数列{}n a 存在“关联数列”{},n b 知1111111()()2048.1111m m m m m a a a a a a a a a a b b N m m m m *+++-+++---=-==∈----L L所以1m -是2048的正约数，1m -取23112,2,2,,2,L 即m 取3,5,9,17，33,65, (2049)综合上述， m 的最大值可能为33. ……16分 当33m =时，可取6463(1,2,,33),n a n n =-=L 有 11()(1651292049)(6463)105921331m n n a a a a n b n N m *+++-++++--=-=-∈--L L 符合条件.因此m 的最大值为33. ……18分。
上海市各区高三二模数学试题分类汇编立体几何
20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（ B ）．15、（上海市奉贤区20XX 年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ）（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试理科) 四棱A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视左视B ．C ．D ．第17题图锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD内的轨迹一定是（ B ）17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A ．33；B ．3；C ．3；D ．3.17．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4 B ．6 C ．8 D ． 1014．（上海市闸北区20XX 年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 A 】[AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABCDD.15．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （20XX 年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（B ）.(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 二、填空题：6．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留π）．10．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．128π7[第1010、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。
2020届上海市虹口区高三下学期二模考试数学试题及解析
【答案】
【解析】
由根式函数定义域的求法得到 ，再转化为 ，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
3.设全集 ，若 ，则 _______________.
【答案】
【解析】
先利用绝对值不等式的解法化简集合A，然后再根据全集求补集.
所以H为CK的中点，
所以 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）建立如图所示直角坐标系
则 ，
所以 ，
设平面PBC一个法向量为： ，
则 ，有 ，
令 ， ，
设直线FH与平面 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
18.已知函数 （a为实常数）.
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由;
（2）当 为奇函数时，对任意的 ，不等式 恒成立，求实数u的最大值
，转化为： ，平移直线
当直线经过点 时，在y轴上的截距最小，
此时目标函数取得最大值，最大值为16
故答案为：16
10.已知 、 是椭圆 左、右焦点，过原点O且倾斜角为 的直线与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆C的长轴长为_______.
【答案】
【解析】
由题意设直线为 ，代入 ，求得 ，根据 ，得到 ，将M的坐标代入求解.
【答案】C
【解析】
先由等比数列的基本运算得到通项，根据 、 、 成等差数列，由等差数列的中项性质得到 ，即 ，然后根据 讨论求解.
【详解】由 ，且 ，
整理得： ，
所以 ， ，
因为 、 、 成等差数列，
所以 ，
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2020届二模分类汇总-立体几何一、点线面关系1、【2020年闵行区二模第13题】在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案： B 】二、棱锥、棱柱2、【2020年长宁区二模第7题】 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 【答案：4π】3、【2020年奉贤区二模第9题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是【答案：2π】 4、【2020年浦东新区二模第14题】如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案：C 】5、【2020年嘉定区二模第15题】如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆 【答案：C 】6、【2020年松江区二模第15题】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（ ）A. [,]43ππB. 2[arctan,arctan 2]2 C. [,arctan 2]4πD. 2[arctan,]2π 【答案：C解析：如图，作QE ⊥AD 交AD 于点E ，联结PE ， ∴∠QPE 即θ，设AE BP x ==，∴222(1)PE x x =+-，由2222[(1)](1)[(1)]2x x x x x x +-≤+-≤+-，∴2112PE ≤≤，2[,1]2PE ∈，1tan [1,2]QE PE PE θ==∈，即θ∈[,arctan 2]4π。
】7、【2020年黄浦区二模第16题】如图，直线l ⊥平面α, 垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E的距离的最大值为21+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为3．其中正确的说法是 （ ）. A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确【答案： C解析：① 取AD 中点F ，∵正四面体ABCD 的棱长为2，∴3AE =，∵1AF =，∴2EF =，∵直角三角形AOD ，∴112OF AD ==，∴max 1OE OF EF =+= ② 当点A 与点O 重合，EF ∥l ，此时射影面积为122S AD BC =⋅=，∴②错误，或者放入正方体中观察更为直观 】三、圆锥、圆柱、球8、【2020年奉贤区二模第1题】 若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm 【答案：323π】 9、【2020年宝山区二模第6题】一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为 【答案：23】 10、【2020年闵行区二模第5题】已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案：50π 】11、【2020年嘉定区二模第3题】已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 【答案： 4π 】12、【2020年浦东新区二模第5题】若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比__________ 【答案：81:】13、【2020年青浦区二模第6题】用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ． 【答案：16π】14、【2020年松江区二模第7题】用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是__________立方米．【答案：3】 15、【2020年虹口区二模第11题】 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为BC的中点，且PD =，则球O 的体积为【答案：27解析：如图，O '是三角形ABC 的外心，∴OO '⊥平面ABC ，∵PB =，22PA AB BC CA ====，∴PA AB ⊥，∵3AD =，7PD =，∴PA AD ⊥，∴PA ⊥平面ABC ，即OO '∥PA ，∵OA OP =，∴112OO PA '==，∵2233AO AD '==， ∴外接圆半径2273OA OO AO ''=+=，∴球O 的体积为343OA π=2821π。
】四、三视图与空间向量（小题）16、【2020年崇明区二模第5题】已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于【答案：3π】 17、【2020年黄浦区二模第6题】若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 【答案： 93π 】18、【2020年嘉定区二模第6题】已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于 【答案：43π 】 19、【2020年徐汇区二模第14题】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）3()()()()222A B C D ππππ【答案：B 】20、【2020年虹口区二模第14题】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 48 【答案：A 】21、【2020年金山区二模第14题】如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( ). （A ）222+ （B ）221+ （C ）22+ （D ）21+ 【答案：C 】22、【2020年金山区二模第14题】在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是( ).（A ）()2211111113A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r（B ）1111)0AC A B A A ⋅(-=u u u r u u u u r u u u r（C ）向量1AD u u u u r 与1A B u u u r的夹角是120︒ （D ）正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD ⋅⋅u u u r u u u r u u u r【答案：C 】五、综合大题23、【2020年崇明区二模第17题】如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求点C 到平面1A BE 的距离. 【答案：（1）联结BD ，因为ED ⊥平面ABCD ，所以EBD ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角……………2分在Rt EDB V 中，2tan 22DB EBD DE ∠===所以2arctan4EBD ∠= 所以直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小是2arctan4…………………………6分 （2）以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、1AA 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)A B C E所以1(2,0,2)BA =-u u u r ，1(0,2,1)A E =-u u u r，(0,0,2)BC =u u u r …………………………2分 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n u v w =r，则110,0n BA n A E ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，所以22020u w v w -+=⎧⎨-=⎩取1v =，则2u w ==，于是平面1A BE 的一个法向量为(2,1,2)n =r…………………5分于是点C 到平面1A BE 的距离||23||n BC d n ⋅==r u u u rr …………………………8分】24、【2020年奉贤区二模第17题】如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.【答案：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立 空间直角坐标系O －xyz ，则D （0，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），B 1（2，2，4） 3分设E （0，2，t ），∵1(2,0,),(2,0,4),BE t BC =-=--u u u r u u u r114040BE BC BE BC t ⊥∴⋅=+-=u u u r u u u r Q ，1,1t EC ∴== 4分（2）设(,,)n u v w =r是平面BED 的一个法向量.因为n BE ⊥r u u u r ，n BD ⊥r u u u r ，所以20n BE u w ⋅=-+=r u u u r，022=--=⋅v u BD n可以取得其中的一个法向量得(1,1,2)n =-r4分由1(0,2,4)A B =-u u u r， 设直线1A B 与平面BED 所成的角为θ63020610sin 11=⋅=⋅=nB A n B A θ，所以30sin 6arc θ=所以直线1A B 与平面BED 所成的角的大小为30sin 6arc . 3分第1问7分（3+4），第2问7分（4+3）】25、【2020年闵行区二模第17题】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，123AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =.（1）若3h =，求多面体111ABM A B C -的体积； （2）若异面直线BM 与11AC 所成的角为60°，求h 的值. 【答案：（1）因为3MC h ==．三棱锥的体积12333ABC V S MC =⨯=△三棱锥． …………………2分三棱柱的体积143ABC V S CC =⨯=△三棱柱． ………………4分 所以多面体的体积为1111033ABM A B C V V V -=-=多面体三棱柱三棱锥． ……………………………………6分 （2）法1：在平面11BCC B 上过点1C 做BM 的平行线与1BB 交于N ，联结1A N ，ABC M -111C B A ABC -111C B A ABM -A BD CA 1B 1D 1C 1E F yxz则11AC N ∠就是异面直线BM 与11A C 所成的角． …………………8分 显然1B N h =，11A N C N =，且1122AC =． ……………………………10分 所以11A C N △为等边三角形，故248h +=……………………………………12分 解得：2h =． …………………………………………………………14分 法2：以B 为坐标原点，以射线1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则得到()0,0,0B ，()10,2,23A ，()12,0,23C ，()2,0,M h ，()112,2,0AC =-u u u u r，()2,0,BM h =u u u u r． ………8分由异面直线BM 与11A C 所成的角为60o 得，1111cos60⋅=o u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r BM AC BM AC ，…………………………10分 即241284h =⋅+，224+4h ⋅=． …………………………………12分 解得2h =． ………………………………………………………………14分】26、【2020年青浦区二模第17题】如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒． （1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小． 【答案：（1）因为在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足， 所以1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角， 设1AB =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒，12AB ∴=，113BB AA ==，112AC =+=，1136tan 22AA ACA AC ∴∠===∴ 16arctan 2ACA ∠= BAC 1C A 1B 1MNy xz1A C ∴与平面ABCD 所成的角的大小为6arctan（2）解一：如图所示：连接AC ，11AC AC Q ∥，1B CA ∴∠是异面直线1B C 与11A C 所成角， 112AB B C ==Q ，2AC =，22211112cos 24222B C AC AB B CA B C AC +-∴∠===⋅⨯⨯，12arccos4B CA ∴∠= 所以异面直线1BC 与11A C 所成角的大小的大小为2arccos4．】 27、【2020年宝山区二模第17题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点.（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高； （2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小.【答案：（1）由题意，求得3BC =， ………………………………………2分 所以11322ABC S AC BC ∆=⨯=， …………………………………………………4分 由133V S CC =⨯=柱， ………………………………………………………5分 解得16CC =.……………………………………………………………………………6分 （2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系. 则13,,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,2B ，()10,0,2C ，……………………………………7分113,,22DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，113,,22DC ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭uuur ，……………………………………8分 设平面11C B D 的法向量为(,,)n x y z =r，则由1100DB n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuur r 得340340x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，所以，平面11C B D 的法向量为()4,0,1n =r， ……………………………………10分平面111A B C 的法向量为(0,0,1)m =u r， ……………………………………11分记二面角111D B C A --为θ，则cos 17n m n mθ⋅==⋅r u v r u v ，………………………13分 所以cos 17arc θ=。