高考数学 考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切练习

考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切1.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ1）cos300︒=（ ）(A)32-(B)-12 (C)12 (D) 32【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【思路点拨】利用角的推广公式将然后根据诱导公式求解.【规范解答】选C.()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=.2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（ ）(A)21k k - (B)-21k k - (C)21k k - (D) -21k k -【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.【思路点拨】由1cos sin 22=+αα及cos(80)k -︒=求出sin80°，再利用公式αααcos sin tan =求出tan100°的值.【规范解答】选B.方法一：222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o ,所以tan100tan80︒=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o方法二：cos(80)k -︒=co k ⇒︒=cos80º=k ，3.（2010·江西高考理科·Ｔ７）E ，F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）(A)1627 (B)23 (C)33 (D)34【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式． 【思路点拨】先求ACE ∠、BCF ∠的三角函数值，再求ECF ∠的正切.【规范解答】选Ｄ．设α=ACE ∠，β=BCF ∠，则tan α=tan β=21，所以tan ECF ∠=)2tan(βαπ--=43212121211tan tan tan 1)tan(1=+⨯-=+-=+βαβαβα.【方法技巧】本题也可建立直角坐标系，利用向量坐标来解决，以点C 为坐标原点，CA ，CB 分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，且设直角边长为3，则C （0,0），A （3,0），B （0,3），E （2,1），F （1,2），所以)2,1(),1,2(==CF CE ，54551221cos =⨯⨯+⨯=⋅⋅=∠CFCE CF CE ECF ，故tan ECF ∠=34.在解决平面几何有关问题时，利用坐标向量求角、距离，判断平行、垂直，来得更加快捷，思路也畅顺.4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ13）已知α是第二象限的角,21tan =α，则cos α=__________【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式.【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列出方程求解.注意α是第二象限的角，即cos α<0.【规范解答】 21=ααcon 及1sin 22=+ααcon ,α是第二象限的角.所以cos α=-552. 【答案】-5525.（2010·全国Ⅰ文科·Ｔ14）已知α为第二象限的角，3sin 5α=,则tan 2α= .【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【思路点拨】由α为第二象限的角，利用1cos sin 22=+αα，求出αcos ，然后求出αtan .利 用倍角的正切公式代入求解.【规范解答】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所以tan 2α=22tan 24tan(2)1tan 7ααα==--. 【答案】247-6.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【思路点拨】由α为第三象限的角，判断α2 所在的象限，然后利用sin22α+cos22α=1sin 801.cos80k k -=-=-oo sin 801.cos80kk -=-=-o o求出α2sin 的值，由α2cos 和α2sin 求出α2tan 的值，再根据两角和的正切公式化简计算求值. 【规范解答】【方法1】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=, sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+.【方法2】α为第三象限的角，3cos 25α=-，3222k k ππαππ+<<+，k ∈Z42243k k ππαππ⇒+<<+⇒，k ∈Z ⇒ 2α在第二象限，4sin 25α=sin(2)sin cos 2cos sin 2cos 2sin 21444tan(2)4cos 2sin 27cos(2)cos cos 2sin sin 2444πππαααπαααπππααααα++++====--+-.【答案】17-7.（2010·上海高考理科·Ｔ4）行列式cos sin 36sincos36ππππ的值是 ．【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．【规范解答】原式=02cos)63cos(6sin3sin6cos3cos==+=⨯-⨯πππππππ．【答案】08.（2010·上海高考文科·Ｔ3）行列式cos sin 66sincos66ππππ的值是 ．【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．【规范解答】原式=213cos6sin 6cos 6sin6sin6cos6cos22==-=⨯-⨯πππππππ．【答案】219.（2010·重庆高考文科·Ｔ１5）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等。

设第i 段弧所对的圆心角为αi （i=1,2,3），则232311coscossinsin3333αααααα++-【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】第i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的 两个端点，如图所示,△123O O O 是正三角形，点P 是其中心，根据圆的有关性质可知123AO B π∠=， 第i 段弧所对的圆心角为αi 都是43π，所以232311coscossinsin3333αααααα++-23123141cos()coscos 33332ααααααπ+++=+===-【答案】12-【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快速解答. 10.（2010·四川高考理科·Ｔ19） （Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ②由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos c αβ+-+cos sin αβαβαβαβ++=-.（Ⅱ）已知ABC ∆的面积1,32S AB AC =•=u r u r 1,32S AB AC =•=u u u r u u u r ，且35cos B =，求cos C . 【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.【思路点拨】（I ）①在单位圆中，分别作出角α，β，β-，αβ+，利用三角函数定义，分别写出各角的终边，始边与单位圆的交点坐标，由圆的性质，可知1324PP P P =，结合两点间距离公式即可求解. ②中求的是两角和的正弦值，需借助能把余弦变为正弦的诱导公式，故可用sin()()2cos παβαβ⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦求解.本题第（Ⅱ）问，由三角形的面积公式，向量的数量积公式可求得角A 的正、余弦值，又知B 的余弦值， 故可求cos()A B +的值，由诱导公式[]cos cos ()C A B π=-+cos()A B =-+.【规范解答】（I ）①如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ， 并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ,终边交⊙O 于点3P ，β-的始边位1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P ββ--，由1324PP P P =及两点间的距离公式得[][][]2222cos()1sin ()cos()cos sin()sin αβαββαβα+-++=--+--展开并整理得，22cos()22(cos cos sin sin )αβαβαβ-+=--，∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-.②∵cos()sin 2παα-=，sin()cos 2παα-=，由①易得sin()cos ()cos ()()22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ cos()cos()sin()sin()22ππαβαβ=-----sin cos cos sin αβαβ=+， ∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.（II ）由题意，设ABC ∆的角B ，C 的对边分别为b 、c ，则S 11sin 22s bc A ==，AB AC BC A ⋅==>uu u r u u u r bccos 30AB AC BC A ⋅==>u u r u u r∴(0,)2A π∈，cos 3sin A A =， 又22sin cos 1A A +=,∴10310sin ,cos 1010A A ==.由3cos 5B =得，4sin 5B =.10cos()cos cos sin sin 10A B A B A B +=-=.故[]10cos cos ()cos()C A B A B π=-+=-+=-.【方法技巧】对于本题的第（I ）可用向量求解. 解法如下：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ， 以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B则cos ,sin )A αα(，B(cos ,sin )OB ββ=u u u r ， (cos ,sin )OA αα=u u u r ，(cos ,sin )OB ββ=u u u r，cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+u u u r u u u r，∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 由向量数量积的概念可知，须[]0,αβπ-∈[0,π]， 则[),2αβππ-∈时，[)2()0,παβπ--∈(0,π]，[]cos 2()cos()OA OB παβαβ⋅=--=-u u u r u u u r，故对任意的α，β，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立.[]cos()cos ()cos cos()sin sin()αβαβαβαβ+=--=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.11.（2010·四川高考文科·Ｔ19）（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-；○2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.（Ⅱ）已知431cos ,(,),tan ,(,),cos()5232πααππββπαβ=-∈=-∈+求cos()αβ+.【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.【思路点拨】（Ⅱ）分别求出sin α,sin β,cos β的值，套用公式求解. 【规范解答】（Ⅰ）同理T19(Ⅱ）∵34(,),cos 25αππα∈=-，∴3sin =5α-.∵1tan ,(,)32πββπ=-∈，∴cos 10β=-，sin 10β=. cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-43()(()51051010=-⨯---⨯=.关闭Word 文档返回原板块。