第十六章 学案6

学案6习题课：动量和能量的综合应用[学习目标定位]1.熟练掌握动量守恒定律的运用.2.利用动量守恒定律结合能量守恒解决相关功能关系问题．1．处理动量守恒问题时，应注意：(1)适用条件：①系统不受外力或所受合外力为零；②系统在某一方向上不受外力或分量为零；③系统内力远大于外力．(2)确定状态：分析对应过程的初、末状态及对应动量．(3)列表达式：选取恰当的动量守恒表达式，结合常用的机械能守恒、动量定理或能量守恒的公式列式．(4)分析讨论：根据题意讨论结果是否符合题意．2．处理动量和能量结合问题时，应注意：(1)守恒条件：动量守恒条件是F合＝0，而机械能守恒条件是W外＝0.(2)分析重点：动量研究系统的受力情况，而能量研究系统的做功情况．(3)表达式：动量为矢量式，能量为标量式．(4)相互联系：没有必然联系，系统动量守恒，其机械能不一定守恒，反之亦然．一、滑块—木板模型1．把滑块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，则在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．2．由于摩擦生热，把机械能转化为内能，则系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．3．注意：滑块不滑离木板时最后二者有共同速度．例1如图1所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：图1(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？ (2)它们相对静止时，小铁块与A 点距离多远？ (3)在全过程中有多少机械能转化为内能？解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得， M v 0＝(M ＋m )v ′，则v ′＝M v 0M ＋m.(2)由功能关系可得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx 相＝12M v 20－12(M ＋m )v ′2. 解得x 相＝M v 202μg (M ＋m )(3)由能量守恒定律可得， Q ＝12M v 20－12(M ＋m )v ′2 ＝Mm v 202(M ＋m ) 答案 (1)M v 0M ＋m (2)M v 202μg (M ＋m ) (3)Mm v 202(M ＋m )例2 如图2所示，光滑水平桌面上有长L ＝2 m 的挡板C ，质量m C ＝5 kg ，在其正中央并排放着两个小滑块A 和B ，m A ＝1 kg ，m B ＝3 kg ，开始时三个物体都静止．在A 、B 间放有少量塑胶炸药，爆炸后A 以6 m/s 的速度水平向左运动，A 、B 中任意一块与挡板C 碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：(1)当两滑块A 、B 都与挡板C 碰撞后，C 的速度是多大； (2)A 、C 碰撞过程中损失的机械能．图2解析 (1)A 、B 、C 系统动量守恒，有 0＝(m A ＋m B ＋m C )v C ， 解得v C ＝0.(2)炸药爆炸时A 、B 系统动量守恒，有 m A v A ＝m B v B解得：v B ＝2 m/sA 、C 碰撞前后系统动量守恒，有 m A v A ＝(m A ＋m C )v 解得v ＝1 m/sA 、C 碰撞过程中损失的机械能ΔE ＝12m A v 2A －12(m A ＋m C )v 2＝15 J.答案 (1)0 (2)15 J 二、子弹打木块模型1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒． 2．在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化． 3．若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多．例3 如图3所示，在水平地面上放置一质量为M 的木块，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：图3(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能．解析 因子弹未射出 ，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v ′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：m v ＝(M ＋m )v ′，①二者一起沿地面滑动，前进的距离为s ，由动能定理得： －μ(M ＋m )gs ＝0－12(M ＋m )v ′2，②由①②两式解得：s ＝m 2v 22(M ＋m )2μg (2)射入过程中损失的机械能 ΔE ＝12m v 2－12(M ＋m )v ′2，③解得：ΔE ＝Mm v 22(M ＋m ).答案 (1)m 2v 22(M ＋m )2μg (2)Mm v 22(M ＋m )三、弹簧类模型1．对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．2．整过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大． 例4 如图4所示，A 、B 、C 三个木块的质量均为m ，置于光滑的水平面上，B 、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B 和C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于B 、C 可视为一个整体，现A 以初速度v 0沿B 、C 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起．以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离．已知C 离开弹簧后的速度恰为v 0，求弹簧释放的势能．图4解析 设碰后A 、B 和C 的共同速度的大小为v ，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得 3m v ＝m v 0①设C 离开弹簧时，A 、B 的速度大小为v 1，由动量守恒定律得3m v ＝2m v 1＋m v 0② 设弹簧的弹性势能为E p ，从细线断开到C 与弹簧分开的过程中机械能守恒，有 12(3m )v 2＋E p ＝12(2m )v 21＋12m v 2③ 由①②③式得，弹簧所释放的势能为E p ＝13m v 20.答案 13m v 201．(滑块—木板模型)质量为M 、内壁间距为L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图5所示．现给小物块一水平向右的初速度v ，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )图5A.12m v 2B.mM v 22(m ＋M )C.12NμmgLD ．NμmgL答案 BD解析 根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v ′＝m v M ＋m ，损失的动能ΔE k ＝12m v 2－12(M＋m )v ′2＝mM v 22(m ＋M )，所以B 正确．根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔE k ＝fNL ＝NμmgL ，所以D 正确． 2．(子弹打木块模型)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图6所示，上述两种情况相比较( )图6A ．子弹对滑块做功一样多B ．子弹对滑块做的功不一样多C ．系统产生的热量一样多D ．系统产生的热量不一定多 答案 AC解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得m v ＝(M ＋m )v 共，得v 共＝mM ＋m v ；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A 正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C 正确． 3．(子弹打木块模型)图7如图7所示，质量为M 的小车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L 的细线悬挂着质量为m 的沙箱，一颗质量为m 0的子弹以v 0的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后的运动过程中，求沙箱上升的最大高度．答案 m 20M v 22(m 0＋m )2(m 0＋m ＋M )g解析 子弹打入沙箱过程中动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得 m 0v 0＝(m 0＋m )v 1摆动过程中，子弹、沙箱、小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒． 沙箱到达最大高度时，系统有相同的速度，设为v 2，则有(m 0＋m )v 1＝(m 0＋m ＋M )v 2 12(m 0＋m )v 21＝12(m 0＋m ＋M )v 22＋(m 0＋m )gh 联立以上各式可得沙箱上升的最大高度 h ＝m 20M v 202(m 0＋m )2(m 0＋m ＋M )g.4．(弹簧类模型)如图8，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、B 、C .B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A 以速度v 0朝B 运动，压缩弹簧；当A 、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B 和C 碰撞过程时间极短．求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，图8(1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能． 答案 (1)116m v 20 (2)1348m v 2解析 (1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，动量守恒，有 m v 0＝2m v 1①此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v 2，损失的机械能为ΔE ，对B 、C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒得 m v 1＝2m v 2② 12m v 21＝ΔE ＋12(2m )v 22③ 联立①②③式，得ΔE ＝116m v 20④(2)由②式可知，v 2＜v 1，A 将继续压缩弹簧，直到A 、B 、C 三者速度相同，设此速度为v 3，此时弹簧被压缩到最短，其弹性势能为E p ，由动量守恒和能量守恒得： m v 0＝3m v 3⑤12m v 20－ΔE ＝12(3m )v 23＋E p ⑥ 联立④⑤⑥式得E p ＝1348m v 20题组一 滑块—木板模型 子弹打木块模型1.如图1所示，一个木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个小木块．木箱和小木块都具有一定的质量．现使木箱获得一个向右的初速度v 0，则( )图1A ．小木块、木箱最终都将静止B ．小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动C ．小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动D ．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动 答案 B解析 木箱和小木块组成的系统，所受合外力为零，故系统动量守恒．系统初动量向右，故小木块相对木箱静止后，系统总动量也向右，故B 正确，A 、D 、C 错误．2．两质量分别为M 1和M 2的劈A 和B ，高度相同，放在光滑水平面上，A 和B 的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图2所示，一质量为m 的物块位于劈A 的倾斜面上，距水平面的高度为h ，物块从静止滑下，然后又滑上劈B ，求物块在B 上能够达到的最大高度．图2答案M 1M 2(M 1＋m )(M 2＋m )h解析 设物块到达劈A 的底端时，物块和A 的速度大小分别为v 和v 1，由机械能守恒定律和动量守恒定律得 mgh ＝12m v 2＋12M 1v 21 M 1v 1＝m v设物块在劈B 上达到的最大高度为h ′，此时物块和B 的共同速度大小为v 2，由机械能守恒定律和动量守恒定律得 mgh ′＋12(M 2＋m )v 22＝12m v 2 m v ＝(M 2＋m )v 2解得h ′＝M 1M 2(M 1＋m )(M 2＋m )h3.如图3所示 ，质量m 1＝0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上，车长L ＝1.5 m ，现有质量m 2＝0.2 kg 可视为质点的物块，以水平向右的速度v 0＝2 m /s 从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g ＝10 m/s 2，求：图3(1)物块在车面上滑行的时间t ；(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v 0′不超过多少． 答案 (1)0.24 s (2)5 m/s解析 (1)设物块与小车相对静止时的共同速度为v ，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有m 2v 0＝(m 1＋m 2)v设物块与车面间的滑动摩擦力大小为F ，对物块应用牛顿运动定律有 F ＝m 2·v 0－v t又F ＝μm 2g 解得t ＝m 1v 0μ(m 1＋m 2)g代入数据得t ＝0.24 s.(2)要使物块恰好不从小车右端滑出，须使物块到达车面最右端时与小车有共同的速度，设其为v ′，则 m 2v 0′＝(m 1＋m 2)v ′ 由功能关系有12m 2v 0′2＝12(m 1＋m 2)v ′2＋μm 2gL 代入数据解得v 0′＝5 m/s故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v 0′不超过5 m/s.4.如图4所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M 的木块，一质量为m 的子弹，以水平速度v 0击中木块，已知M ＝9m ，不计空气阻力．问：图4(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O 低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g )(2)如果子弹在极短时间内以水平速度v 04穿出木块，则在这一过程中子弹、木块组成的系统损失的机械能是多少？ 答案 (1)v 20200g (2)716m v 20解析 (1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v 1，则m v 0＝(m ＋M )v 1因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h ，则 12(m ＋M )v 21＝(m ＋M )gh h ＝v 20200g(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块的速度为v 2，则m v 0＝m ·v 04＋M v 2，在这一过程中子弹、木块组成的系统损失的机械能为 ΔE ＝12m v 20－12m (v 04)2－12M v 22＝716m v 20 题组二 弹簧类模型5．如图5所示，A 、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是99m 和100m ，一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )图5A.m v 20400B.m v 20200C.99m v 20200D.199m v 20400答案 A解析 子弹射入木块A 的过程中，动量守恒，有m v 0＝100m v 1，子弹、A 、B 三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，100m v 1＝200m v 2，弹性势能的最大值E p ＝12×100m v 21－12×200m v 22＝m v 20400. 6．如图6所示，粗糙斜面与光滑水平面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接，斜面倾角α＝37°，A 、B 是两个质量均为m ＝1 kg 的小滑块(可看做质点)，C 为左端附有胶泥的薄板(质量不计)，D 为两端分别连接B 和C 的轻质弹簧．当滑块A 置于斜面上且受到大小F ＝4 N ，方向垂直斜面向下的恒力作用时，恰能向下匀速运动．现撤去F ，让滑块A 从斜面上距斜面底端L ＝1 m 处由静止下滑．(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：图6(1)滑块A 到达斜面底端时的速度大小；(2)滑块A 与C 接触后粘连在一起，求此后两滑块和弹簧构成的系统在相互作用过程中，弹簧的最大弹性势能．答案 (1)2 m/s (2)1 J解析 (1)施加恒力F 时，μ(F ＋mg cos α)＝mg sin α未施加力F 时，(mg sin α－μmg cos α)L ＝m v 212代入数据，解得v 1＝2 m/s.(2)滑块A 与C 接触后，A 、B 、C 、D 组成的系统动量守恒，能量守恒，所以当A 、B 具有共同速度时，系统动能最小，弹簧弹性势能最大，设为E p ，有m v 1＝2m v 212m v 21＝E p ＋12·2m v 22 代入数据，得E p ＝1 J.题组三 动量和能量的综合应用7．如图7所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B 上，另一端与滑块C 接触但不连接，该整体静止在光滑水平地面上，并且C 被锁定在地面上．现有一滑块A 从光滑曲面上离地面h 高处由静止开始下滑，与滑块B 发生碰撞并粘连在一起压缩弹簧，当速度减为碰后速度一半时滑块C 解除锁定．已知m A ＝m ，m B ＝2m ，m C ＝3m .求：图7(1)滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度；(2)被压缩弹簧的弹性势能的最大值．答案 (1)132gh (2)724mgh 解析 (1)滑块A 下滑过程中机械能守恒，设A 到达水平面时速度为v 1，由机械能守恒定律有m A gh ＝12m A v 21，解得v 1＝2gh . A 、B 碰撞过程动量守恒，设滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度为v 2，由动量守恒定律有 m A v 1＝(m A ＋m B )v 2，解得v 2＝m A v 1m A ＋m B ＝132gh . (2)滑块C 解除锁定后，滑块A 、B 继续压缩弹簧，被压缩弹簧的弹性势能最大时，滑块A 、B 、C 速度相等，设为速度v 3，由动量守恒定律有：(m A ＋m B )v 22＝(m A ＋m B ＋m C )v 3. 故v 3＝14v 2＝1122gh . 滑块A 、B 发生碰撞后到弹簧压缩最大，A 、B 、C 及弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有： E pmax ＝12(m A ＋m B )v 22－12(m A ＋m B ＋m C )v 23， E pmax ＝724mgh . 8．如图8所示，带有半径为R 的14光滑圆弧的小车其质量为M ，置于光滑水平面上，一质量为m 的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则小球离开小车时，小球和小车的速度分别为多少？图8答案 2MgR M ＋m ，方向水平向左 2m 2gR M (M ＋m )，方向水平向右 解析 小球和小车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机械能守恒，设小球和小车分离时，小球的速度为v 1，方向水平向左，小车的速度为v 2，方向水平向右．则：m v 1－M v 2＝0mgR ＝12m v 21＋12M v 22 解得v 1＝ 2MgRM ＋m ，方向水平向左，v 2＝ 2m 2gRM (M ＋m )，方向水平向右． 9．如图9所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 段是以O 为圆心、R 为半径的一小段圆弧．可视为质点的物块A 和B 紧靠在一起，静止于b 处，A 的质量是B 的3倍．两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右始终沿轨道运动．B 到d 点时速度沿水平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的34.A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，求：图9(1)物块B 在d 点的速度大小v ；(2)物块A 滑行的距离．答案 (1)gR 2 (2)R 8μ解析 (1)设B 物块的质量为m ，在d 点的速度为v ，B 物块在d 点，受力分析得： mg －34mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR 2. (2)B 物块从b 到d 的过程中，由机械能守恒得：12m v 2B ＝mgR ＋12m v 2 A 、B 物块分离过程中，动量守恒：即有：3m v A ＝m v B A 物块减速运动到停止，由动能定理得－3μmgs ＝0－12×3m v 2A 联立以上各式解得：s ＝R 8μ.。