2019届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.2第1讲绝对值不等式练习理北师大版
2019版高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第一节绝对值不等式实用课件理
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点 分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式(组)求解．
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
|x|<a |x|>a
x|－a<x<a
x|x>a或x<－a
a＝0
∅
x∈R|x≠0
a<0 ∅ R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解．
法二：原不等式等价于x<－12， －2x＋1＋2x－1>0
或－12≤x≤1， 2x＋1＋2x－1>0
或x2>x1＋，1－2x－1>0.
解得 x>14，所以原不等式的解集为x|x>14. (2)①当 x<－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<10， ∴x<－3. ②当－3≤x<12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<－25， ∴－3≤x<－25. ③当 x≥12时，原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<x2＋1， 解得 x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式增分练20180509276
第1讲 绝对值不等式板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x<－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12， G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|. (1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围； (2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集． 解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2； x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4x <a ，－x －a －4a ≤x ≤－2，3x －a ＋4x >－2.可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋12|x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x＋52，x≤1，12x＋12，1<x≤3，32x－52，x>3.f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12绕点⎝⎛⎭⎪⎫－12，0旋转，由图可得不等式f(x)≤a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12的解集非空时，a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。
2019版高考数学一轮总复习不等式选讲1绝对值不等式课
∴f(x)min＝1.
4．(2018· 南宁模拟)若存在实数 x 使 |x－a|＋|x－1|≤3 成立， 则实数 a 的取值范围是________．
答案 解析 [－2，4] 据题意 (|x－a|＋ |x－ 1|) min≤ 3 ，而 |x－ a|＋ |x－ 1|≥ |(x－ a)
1．(课本习题改编)不等式|x|· (1－2x)>0 的解集是( 1 A．(－∞， 2) 1 C．( ，＋∞) 2
答案 B
)
1 B．(－∞，0)∪(0，2) 1 D．(0， ) 2
2．若 a，b，c∈R，且满足|a－ c|<b，给出下列结论 ①a＋b>c; ③a＋c>b; 其中错误的个数( A．1 C．3 ) B．2 D．4 ②b＋c>a； ④|a|＋ |b|>|c|.
(3)当 ab≥0 时，|a＋b|＝ |a|＋ |b|； 当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|； 当 b(a＋b)≤0 时，|a|－ |b|＝|a＋b|； 当 b(a－b)≥0 时，|a|－ |b|＝|a－b|.
思考题 1 ________；
(1)① |a ＋ b|<|a| ＋ |b| 成 立 的 充 要 条 件 为
－(x－1)|＝ |a－1|.∴ |a－1|≤3⇔－3≤a－1≤3，即－2≤a≤4.
5．若关于 x 的不等式 |x－ a|<1 的解集为(1，3)，则实数 a 的 值为________．
答案 解析 2 由|x－ a|<1，则－1<x－ a<1不等式|x－1|－ |x－5|<2 的解集是________．
答案 (－∞，4) 解析 当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2， 显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1＋(x－5)<2，即 2x－6<2， 解得 x<4，又 1≤ x≤5，所以此时不等式的解集为[1，4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即 4<2，显然不成 立，所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十四章 系列4选讲14-2-1 含答案 精品
1．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△P AB 面积的最小值．解 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0， 即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3，由题意，得A (0，－1)，B (0，－3)，所以AB ＝2. P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝3， 所以△P AB 面积的最小值为12×2×3＝ 3.2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 因为曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋y 2－2y ＝0.(2)因为C 1的普通方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1,0)． 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.4．在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若OP ＝3OQ ，求直线l 的极坐标方程． 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．5．已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n )． (1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．解 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos (θ＋θ0)，n ＝ρsin (θ＋θ0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θcos θ0－ρsin θsin θ0，n ＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x cos θ0－y sin θ0，n ＝x sin θ0＋y cos θ0. (2)由(1)可知⎩⎨⎧m ＝22x －22y ，n ＝22x ＋22y ，又mn ＝1，所以⎝⎛⎭⎫22x －22y ⎝⎛⎭⎫22x ＋22y ＝1.整理得x 22－y 22＝1.所以x 22－y 22＝1即为所求方程．6．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，求PQ 的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化，∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化， ∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.7．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－2π3＝－3，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解 (1)直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－2π3＝－3， ∴ρ⎝⎛⎭⎫sin θcos 2π3－cos θsin 2π3＝－3， ∴y ·⎝⎛⎭⎫－12－x ·32＝－3，即y ＝－3x ＋2 3.⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0.(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. ∴圆心C (2,1)，半径R ＝5， ∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离 d ＝|1＋23－23|(3)2＋12＝12， ∴AB ＝2R 2－d 2＝2 5－⎝⎛⎭⎫122＝19.∴弦AB 的长为19.8．(2018届江阴中学调研)在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以交点的坐标分别为(0,0)，(2,2)．所以以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2， 即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．9．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标． 解 (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意，得PQ ＝2－3cos θ，QR ＝2－sin θ， ∴PQ ＋QR ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，PQ ＋QR 取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.10．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.11．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求AB 的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0， 可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3，∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴AB ＝2×1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 12．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)， ∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)∵l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0， ∴圆心C (2,1)到直线l 的距离d ＝22＝2， ∴弦长为25－2＝2 3.13．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求OA ＋OB 的最大值．解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形为ρ2＝2aρcos θ， 化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2， ∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆． 由l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32， 展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32，∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0. 由题意，知直线l 与圆C 相切， 即|a －3|2＝a ，解得a ＝1.(2)由(1)知，曲线C ：ρ＝2cos θ.不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则OA ＋OB ＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，当θ＝11π6时，OA ＋OB 取得最大值2 3.14．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案20180509275
第1讲绝对值不等式板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．考点2 绝对值不等式的应用1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.(2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )(3)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(4)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( )(5)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( )A ．[－2,1)∪[4,7)B ．(－2,1]∪(4,7]C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 由题得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <7，x ≥4或x ≤1，得解集为(－2,1]∪[4,7)． 3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，∴a 2－3a ≥4恒成立，∴a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．4．[课本改编]不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 解析 由|x －1|<4－|x ＋2|，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋2＋x －1<4或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1，x ＋2＋1－x <4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－(x ＋2)＋1－x <4，解得1≤x <32或－2<x <1或－52<x ≤－2.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 5．[2018·南宁模拟]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,4]解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.6．[课本改编]不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2 解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，所以x <－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为x ＋3＋1－2x <x 2＋1，解得x >2，所以x >2. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2. 板块二 典例探究·考向突破考向绝对值不等式的解法 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a >0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．【变式训练1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．考向绝对值三角不等式的应用 例 2 (1)[2018·江西模拟]已知函数f (x )＝|2x －1|.①求不等式f (x )<4的解集； ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m >0，n >0)，求2m ＋1n的取值范围．解 ①不等式f (x )<4，即|2x －1|<4，即－4<2x －1<4，求得－32<x <52， 故不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <52. ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x －1|＋|2(x －1)－1|＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，故g (x )的最小值为a ＝2，∵m ＋n ＝a ＝2(m >0，n >0)，则2m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n 2n ＝1＋n m ＋m 2n ＋12＝32＋n m ＋m 2n ≥32＋2n m ·m 2n ＝32＋2，当且仅当m ＝4－22，n ＝22－2时等号成立， 故2m ＋1n 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32＋2，＋∞. (2)[2018·太原模拟]已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.①解不等式：|g (x )|<5；②若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 ①由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解不等式得－2<x <4，所以原不等式的解集是{x |－2<x <4}．②因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}．触类旁通绝对值三角不等式的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值．(2)证明不等式．【变式训练2】 (1)[2018·江西模拟]设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )，①求证：f (x )≥2；②若不等式f (x )≥|2b ＋1|－|1－b ||b |对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围． 解 ①证明：f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2.②令g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |，g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |≤|2b ＋1－1＋b ||b |＝3， ∴f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋1|≥3，x ≤－1时，－2x ≥3，∴x ≤－1.5；－1<x ≤1时，2≥3不成立；x >1时，2x ≥3，∴x ≥1.5.综上所述x ≤－1.5或x ≥1.5.(2)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .①若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；②当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解 ①由题f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．②函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，得a ＝－4<2(符合题意)， 故a ＝－4.考向 与绝对值不等式有关的求参问题 例 3 [2018·安徽模拟]已知函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝a |x |，a ∈R .(1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )>2g (x )＋1；(2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，x <0，不等式化为4－x >－4x ＋1，解得x >－1，∴－1<x <0；0≤x ≤4，不等式化为4－x >4x ＋1，解得x <35， ∴0≤x <35； x >4，不等式化为x －4>4x ＋1，解得x <－53，无解；综上所述，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <35. (2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，即|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立，当x ＝0时，不等式|x －4|≥a |x |－4恒成立；当x ≠0时，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立．∵|x －4|＋4|x |≥|x －4＋4||x |＝1， ∴a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．触类旁通(1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，分类讨论求得x 的范围．(2)由题意可得|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立．当x ＝0时，不等式显然成立；当x ≠0时，采用分离参数法，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a 的范围．含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【变式训练3】 (1)已知函数f (x )＝|1－2x |－|1＋x |.①若不等式f (x )<4的解集为{x |a <x <b }，求a ，b 的值；②求使不等式f (x )≤k －f (－2x )有解的实数k 的取值范围．解 ①∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，当x <－1时，－x ＋2<4，∴－2<x <－1；当－1≤x ≤12时，－3x <4，∴－1≤x ≤12； 当x >12时，x －2<4，∴12<x <6. 故由f (x )<4得－2<x <6，∴a ＝－2，b ＝6.②不等式f (x )≤k －f (－2x )有解，即|1－2x |－|1＋x |≤k －|1＋4x |＋|1－2x |，即k ≥|1＋4x |－|1＋x |有解，∵|1＋4x |－|1＋x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－5x －2，－1≤x ≤－14，3x ，x ≥－14，∴|1＋4x |－|1＋x |的最小值为－34， ∴实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. (2)[2018·凉山州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .①若不等式f (x )≥0的解集为空集，求实数a 的取值范围；②若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解 ①令g (x )＝|x ＋1|－|x |，则由题意可得f (x )≥0的解集为∅，即g (x )≥－a 的解集为∅，即g (x )<－a 恒成立．∵g (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0，作出函数g (x )的图象，如图：由图可知，函数g (x )min ＝－1；g (x )max ＝1.∴－a >1，即a <－1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1)．②在同一坐标系内作出函数g (x )＝|x ＋1|－|x |图象和y ＝x 的图象如图所示，由题意可知，把函数y ＝g (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.核心规律含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法：运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．满分策略1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x<－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12，G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围；(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2；x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4(x <a )，－x －a －4(a ≤x ≤－2)，3x －a ＋4(x >－2).可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋12|x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x＋52，x≤1，12x＋12，1<x≤3，32x－52，x>3.f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12绕点⎝⎛⎭⎪⎫－12，0旋转，由图可得不等式f(x)≤a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12的解集非空时，a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。
2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 第1课 绝对值不等式
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4]
即 3>0，此时 x>1.
综上所述，不等式 f(x)>0 的解集为xx>－12
.
(2)依题意，方程 f(x)＝x 等价于 a＝|x－1|－|x＋1|＋x， 令 g(x)＝|x－1|－|x＋1|＋x.
x＋2，x<－1， ∴g(x)＝－x，－1≤x≤1， .
x－2，x>1. 画出函数 g(x)的图象如图所示，
2．解不等式|x－1|－|x－5|<2. 解：当 x<1 时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当 1≤x≤5 时，不等式可化为 x－1－(5－x)<2， 即 2x－6<2，解得 x<4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当 x>5 时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2， 即 4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．
3 ． 若 不 等 式 |kx － 4|≤2
的
解
集
为
x|1≤x≤3
，
则
实
数
k＝
________.
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6. ∵不等式的解集为x|1≤x≤3， ∴k＝2. 答案：2 4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________． 解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3， ∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即 k＜－3. 答案：(－∞，－3)
2019版高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第一节 绝对值不等式实用
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点 分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式(组)求解．
绝对值不等式的解法
[典例] 解下列不等式： (1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1. [解] (1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方 得 4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得 x>14，所以原不等式的解集为 x|x>14.
[全练题点]
1．求不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集．
解：不等式|x－1|－|x－5|<2 等价于
x<1， －x－1＋x－5<2
或x1－≤1x＋≤x5－，5<2
或xx>－51，－x－5<2，
即
x<1， －4<2
或
1≤x≤5，
2x<8
解析：由|2x－1|>3 得， 2x－1<－3 或 2x－1>3，即 x<－1 或 x>2. 答案：{x|x<－1 或 x>2}
(3)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为x－53<x<13
，则 a
＝________.
解析：依题意，知 a≠0.|ax－2|<3⇔－3<ax－2<3⇔－1<ax<5，当
高考数学一轮复习 选考部分 第十四篇 不等式选讲 第1节 绝对值不等式及其解法应用能力提升 文 北师大版
第十四篇不等式选讲(选修4-5)第1节绝对值不等式及其解法知识点、方法题号解绝对值不等式1,3,4与绝对值不等式有关的证明2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题2,4 1.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1时,且当x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=错误!未找到引用源。
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)都成立.故-错误!未找到引用源。
≥a-2,即a≤错误!未找到引用源。
.从而a的取值范围是(-1,错误!未找到引用源。
].2.(2016贵阳一测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:错误!未找到引用源。
≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。
恒成立,求实数k的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,所以错误!未找到引用源。
≥4.(2)解:记h(x)=|2x+1|-|x+1|=错误!未找到引用源。
若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。
恒成立,则函数h(x)的图像在直线y=k(x-1)-错误!未找到引用源。
的上方,因为y=k(x-1)-错误!未找到引用源。
经过定点(1,-错误!未找到引用源。
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第1讲 绝对值不等式
1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
(1)解不等式f (x )＞2；
(2)求函数y ＝f (x )的最小值.
解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12
，x ＝4. 原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2
或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩
⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＞－3， ∴x ＜－7或x ＞53
. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）
画出f (x )的图象，如图所示. 求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12
时， 知：f (x )min ＝－92
. 2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤
|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋
|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋
|cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.
(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围.
解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4.
(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min
. 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集.
解不等式得－2≤x ≤2.
故实数x 的取值范围为[－2，2].
4.(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ).
(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；
(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值.
解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，
①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4.
②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解.
③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3.
∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
(2)不等式f (x )≥3，
即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8，
∵当x ∈R 时，
恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ，
∴a ＋8≤3，即a ≤－5，
∴a 的最大值为－5.
5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2
－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .
(1)求M ；
(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14
. (1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1） 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，
得x ≤43，故1≤x ≤43
； 当x <1时，
由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.
所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43
}. (2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142
≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34. 当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是
x 2f (x )＋x ·[f (x )]2
＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14. 6.(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式：|g (x )|＜5；
(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，
所以－7＜|x －1|＜3，
解不等式得－2＜x ＜4，
所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.
(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，。