2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始←输出结束←←←NY（第5题）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=．2．（5分）复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为．3．（5分）函数y=log2（3x﹣1）的定义域是．4．（5分）某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取名血型为AB的学生．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的i的值为．6．（5分）连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为．7．（5分）已知，0＜α＜π，则α的取值集合为．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为．11．（5分）已知函数f（x）=x3．设曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为．12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为．13．（5分）不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2的解集为．14．（5分）在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量=（a，b），=（sinB，﹣cosA），且⊥．（1）求A的大小；（2）若||=，求cosC的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A 作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．18．（16分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．19．（16分）对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{a n}满足：对任意正整数n（n＞k），a na n﹣k+1…a n﹣1a n+1…a n+k﹣1a n+k=a n2k总成立，那么称{a n}是“Q（k）﹣k数列”．（1）若{a n}是各项均为正数的等比数列，判断{a n}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；（2）若{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{a n}是等比数列．20．（16分）设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．【选做题】本题包括21.22.23.24.四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC 的延长线于点E．求证：△ABD∽△AEB．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知变换T把直角坐标平面上的点A（3，﹣4），B（0，5）分别变换成点A'（2，﹣1），B'（﹣1，2），求变换T对应的矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ（a＞0）相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分20分）24．已知正数x，y，z满足x+y+z=4，求的最小值．25．（10分）小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．（1）求手机被锁定的概率；（2）设第X次输入后能成功开机，求X的分布列和数学期望E（X）．26．（10分）设n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．（1）当n=3时，求a，b的值；（2）求证：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始←输出结束←←←NY（第5题）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为2．【解答】解：∵z=i（1﹣2i）=﹣2i2+i=2+i，∴复数z=i（1﹣2i）的实部为2．故答案为：2．3．（5分）函数y=log2（3x﹣1）的定义域是（，+∞）．【解答】解：由3x﹣1＞0，得x＞，∴函数y=log2（3x﹣1）的定义域是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．4．（5分）某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取6名血型为AB的学生．【解答】解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵=，故AB型血抽：50×=6人，故答案为：65．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的i的值为3．【解答】解：第一次执行循环体后，S=400，不满足退出的循环的条件，i=1；第二次执行循环体后，S=800，不满足退出的循环的条件，i=2；第三次执行循环体后，S=1200，不满足退出的循环的条件，i=3；第四次执行循环体后，S=1600，满足退出的循环的条件，故输出的i值为3，故答案为：36．（5分）连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为．【解答】解：每枚硬币正面向上的概率都等于，故恰好有两枚正面向上的概率为C32（）2（）=故答案为：7．（5分）已知，0＜α＜π，则α的取值集合为{，} ．【解答】解：∵=sin（﹣）=sin=sin（π﹣）=sin，0＜α＜π，∴则α=，或，∴α的取值集合为{，}故答案为：{，}．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为3．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则BC=1．=•（+）=+=+||||cos=22﹣2×1×=3；故答案为：3．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1（n∈N*）．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则∵a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，∴，解得：∴a n=2n﹣1（n∈N*}，故答案为：2n﹣1（n∈N*）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为4．【解答】解：根据题意，点A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足AP⊥BP，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为（0，0），|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|==5，解可得r=4，故答案为：4．11．（5分）已知函数f（x）=x3．设曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）=x3．∴f′（x）=3x2．则曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线斜率为：f′（x1）=3x12．则曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣x13=3x12（x﹣x1），联立y=x3得：x3﹣3xx12+2x13=（x﹣x1）2（x+2x1）=0，即x2=﹣2x1，∴f′（x2）=3x22=12x12．∴=，故答案为：12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为f（x）=．【解答】解：由图可知，线段OC与线段OB是关于原点对称的，线段CD与线段BA也是关于原点对称的，根据题意，f（x）与g（x）的图象关于原点对称，所以f（x）的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，比如其组合形式为：OC和AB，CD和OB，且OC的方程为：y=x（﹣1＜x＜0），OB的方程为：y=x（0＜x＜1），所以，f（x）=，g（x）=，或f（x）=，g（x）=，故答案为：f（x）=填也给分13．（5分）不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2的解集为[﹣1，2] ．【解答】解：根据题意，不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2，则有x6﹣x4+x2≤（x+2）3﹣（x+2）2+x+2，令f（x）=x3﹣x2+x，则原不等式等价于f（x2）≤f（x+2），f（x）=x3﹣x2+x，其导数f′（x）=3x2﹣2x+1=3（x﹣）2+＞0，则函数f（x）=x3﹣x2+x为增函数，则f（x2）≤f（x+2）⇔x2≤x+2，即x2﹣x﹣2≤0，解可得﹣1≤x≤2，即原不等式的解集为[﹣1，2]；故答案为：[﹣1，2]．14．（5分）在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为25．【解答】解：如图，不妨设AD=1，BD=m，CD=n，∴tanA=，tanB=，（m＞0，n＞0），∴tanC=tan（A+B）==，∵tanC＞0，∴mn＜1，∴9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=+（+），=+，≥+，=（+）[mn+（1﹣mn）]，=9+4++，≥13+2=13+12=25，当且仅当=，即m=n=时取等号，故最小值为25，故答案为：25二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．【解答】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，∴AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C．（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，∵AB=BC，∴A1B1=B1C1，∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1A1，又CC1∩C1M=C1，∴B1A1⊥平面C1CM，又B1A1⊂平面A1B1C1，∴平面C1CM⊥平面A1B1C．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量=（a，b），=（sinB，﹣cosA），且⊥．（1）求A的大小；（2）若||=，求cosC的值．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=asinB﹣bcosA=0，由正弦定理知，sinAsinB﹣sinBcosA=0；又sinB≠0，∴tanA=；∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵||==，∴sin2B+=，解得sin2B=；由B∈（0，π），∴sinB=；△ABC中，A=，∴sinA=，∴sinA＞sinB，即a＞b，∴B为锐角，cosB==，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；∴cosC的值为．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A 作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．【解答】解：（1）A（﹣2，0），设Q（0，m）（m＞0），∵AP=PQ，∴P（﹣1，），代入椭圆方程得：=1，解得m=，∴直线l的斜率为．（2）证明：设直线l的斜率为k（k＞），直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0得y=2k，即Q（0，2k），∴AQ==2．联立方程组，消元得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴AP=•=．∴AP•AQ=．直线MN的方程为y=kx，联立方程组，得（1+4k2）x2﹣4=0，设N（x3，y3），M（﹣x3，﹣y3），则，∴MN=2ON=2=4，∴=•=．∴为定值．18．（16分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．【解答】解：（1）甲图对应的圆锥如图丙，圆锥母线为PA=L，圆锥底面圆半径为OA=r则有L+r+=，解得L=，r=∴该圆锥的母线长及底面半径分别为分米、分米．（2）图乙剩余部分覆盖的长方体如图丁所示，设其棱长为a\b，c则2（a+b）=1，2b+c=1⇒a=，c=1﹣2b长方体体积的V=abc=（）b（1﹣2b）=，（0）令g（b）=，（0），g′（b）=4b2﹣4b+=（3b﹣）（2b﹣1）b时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0∴g（b）在（0，）递增，在（）递减，∴当b=时，长方体体积最大值，V max=（）××（1﹣2×）=．19．（16分）对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{a n}满足：对任意正整数n（n＞k），a na n﹣k+1…a n﹣1a n+1…a n+k﹣1a n+k=a n2k总成立，那么称{a n}是“Q（k）﹣k数列”．（1）若{a n}是各项均为正数的等比数列，判断{a n}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；（2）若{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{a n}是等比数列．【解答】（1）解：假设{a n}是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得：a n﹣2•a n﹣1•a n+1•a n+2=a n﹣2•a n+2•a n﹣1•a n+1=•=．∴{a n}为“Q（2）数列”．（2）证明：{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，∴a n•a n﹣1•a n+1•a n+2=．（*）a n﹣3•a n﹣2•a n﹣1•a n+1•a n+2•a n+3=．﹣2•a n+3=．对于任意n∈N*（n≥4）都成立．可得：a n﹣3∴a3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．∴n=3，4时，由（*）可得：，a2a3a5a6=，可得a1q=a2，a2q=a3．∴{a n}是等比数列．20．（16分）设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．【解答】证明：（1）若a=1，b=0，则命题p：对任意的，sinx ≤x≤tanx恒成立，如图由三角函数线的定义可知，sinx=MP，cosx=OM，x=，tanx=AT．∵时S△AOP=|OA|•|MP|=sinx，S扇形AOP=•|OA|=x，S△AOT=|OA|•|AT|=tanx，且S△AOP ＜S扇形AOP＜S AOT．∴sinx＜x＜tanx即sinx＜x＜tanx（2）若命题p为真命题，则当x=0时，sin0≤b≤tan0，所以b=0，此时sinx≤ax≤tanx恒成立，若a＜1，令f（x）=ax﹣sinx，，则f′（x）=a﹣cosx=0在时有唯一解，记为x0，当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，此时f（x）≤f（0）=0恒成立，即ax≤sinx，矛盾，舍去；若a＞1，令h（x）=ax﹣tanx，，则h′（x）=a﹣=0在时有唯一解，记为x1，当x∈[0，x1）时，h′（x）＞0，此时h（x）≥h（0）=0恒成立，即ax≥tanx，矛盾，舍去；故a=1，b=0．【选做题】本题包括21.22.23.24.四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC 的延长线于点E．求证：△ABD∽△AEB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB与∠ADB所对应的弧为．∴∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD共用，∴△ABD∽△AEB．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知变换T把直角坐标平面上的点A（3，﹣4），B（0，5）分别变换成点A'（2，﹣1），B'（﹣1，2），求变换T对应的矩阵M．【解答】解：设M=，则有：M：→===，解得b=﹣，d=，M：→===，∴，解得a=，c=．∴M=．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ（a＞0）相切，求a的值．【解答】解：直线的方程转化为：x﹣，圆ρ=acosθ（a＞0）转化为：ρ2=aρcosθ，整理成直角坐标方程为：x2+y2﹣ax=0，整理为：，由于直线与圆相切，则：（）到直线x﹣的距离等于．则：，解得：a=（负值舍去）．故a的值为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分20分）24．已知正数x，y，z满足x+y+z=4，求的最小值．【解答】解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（）•（4+9+1），…（5分）故≥=，当且仅当，即：x=，y=，z=时，取得最小值为．…（10分）25．（10分）小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．（1）求手机被锁定的概率；（2）设第X次输入后能成功开机，求X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）设事件A：“手机被锁定”，则手机被锁定的概率P（A）==．（2）依题意X的所有可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==；P（X=4）==，∴X的概率分布表为：∴E（X）=（1+2+3+4）×=．26．（10分）设n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．（1）当n=3时，求a，b的值；（2）求证：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．【解答】（1）解：当n=3时，集合{1，2，3}的所有元素个数为2的子集为{1，2}，{1，3}，{2，3}，即有a=2+3+3=8，b=1+1+2=4；（2）证明：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．运用数学归纳法证明．当n=3时，由（1）可得a=8，b=4，为，成立；假设n=k时，为定值，则n=k+1时，a'=a+（k+1）k，b'=b+（1+2+3+…+k）=b+k（1+k），由a=2b，可得a'=2b+k（1+k）=2b'，则n=k+1时，结论仍然成立．故对任意的n≥3，n∈N*，为定值．。