e7统周期解擦边分岔的一类映射分析方法
非线性分析
非线性分析非线性分析是一种数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在物理、化学、生物学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
非线性系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系的系统，与线性系统不同，非线性系统具有更加复杂的行为和性质。
非线性现象是指系统在一定条件下呈现出的非线性特征，例如混沌现象、自激振荡等。
非线性分析的目的是揭示和理解非线性系统和非线性现象的运动规律和性质，以及探索其产生的机理。
非线性分析的基本方法包括：稳定性分析、周期解和庞加莱映射、分岔理论、混沌分析等。
其中，稳定性分析是研究非线性系统的重要方法之一，它用于判断非线性系统在特定条件下的稳定性和不稳定性。
周期解和庞加莱映射是研究非线性系统周期运动的方法，通过庞加莱映射可以描述系统从一个周期解转移到另一个周期解的运动轨迹。
分岔理论是研究非线性系统的分岔现象和相变行为的方法，它描述了系统参数变化时，系统状态从一个平衡态转移到另一个平衡态的过程。
混沌分析是研究非线性系统的混沌现象和运动的方法，混沌现象是指系统的运动表现出无序、不可预测的特征。
非线性分析的应用广泛，例如在物理学中，非线性分析可以用于研究天体运动、气候系统、相变行为等；在化学领域，非线性分析可以用于探索反应动力学、化学平衡等问题；在生物学中，非线性分析可以用于研究生物进化、神经网络等；在工程学中，非线性分析可以应用于控制系统、信号处理等方面。
非线性分析提供了一种新的视角和方法，帮助人们深入理解和探索复杂系统和现象的本质。
总之，非线性分析是一种重要的数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在各个领域中具有广泛应用。
随着科学技术的不断发展，非线性分析将为我们揭示更多复杂系统和现象的奥秘，为人类的进步和发展做出更大的贡献。
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了许多复杂系统中的混沌现象。
其中一个重要的研究方向是分岔现象与稳定性分析，它们对于理解系统的演变和控制具有重要意义。
一、分岔现象的基本概念分岔现象是指系统在参数变化过程中，由于参数的微小变化，系统的行为发生了剧烈的变化。
简单来说，就是系统在某个特定参数值附近，出现了多个稳定状态或周期解。
这种现象在混沌动力学中被广泛研究。
分岔现象的典型例子是一维映射系统的Feigenbaum分岔图。
在这个图中，横轴表示参数的变化，纵轴表示系统状态的变化。
当参数在某个特定值附近变化时，系统的状态从一个稳定状态突然变为两个稳定状态，然后又变为四个、八个，以此类推。
这种分岔现象呈现出一种分形的结构，即在不同尺度上都有相似的形态。
二、分岔现象的机理分岔现象的机理可以通过动力学方程的稳定性分析来解释。
在分岔点附近，系统的稳定性发生了变化，从而导致了系统行为的剧烈变化。
稳定性分析是研究系统平衡点或周期解的稳定性的方法。
通过计算系统方程的雅可比矩阵的特征值，可以判断系统的稳定性。
当特征值的实部为负时，系统为稳定状态；当特征值的实部为正时，系统为不稳定状态；当特征值有一对纯虚数时，系统为周期解。
在分岔点附近，系统的雅可比矩阵的特征值发生了变化，从而导致了系统稳定性的改变。
当参数变化超过某个临界值时，特征值的实部从负数变为正数，系统从稳定状态变为不稳定状态，从而引发了分岔现象。
三、分岔现象的应用分岔现象在许多领域都有广泛的应用。
在自然科学中，分岔现象可以用来解释生物体的形态变化、气候系统的变化等。
在工程领域中，分岔现象可以用来设计新型的控制系统，实现系统的稳定性和可控性。
例如，在电力系统中，分岔现象可以用来研究电力系统的稳定性和可靠性。
通过对电力系统的分岔现象进行分析，可以找到系统的临界点，从而实现对系统的控制。
这对于提高电力系统的稳定性和可靠性具有重要意义。
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法在物理学、工程学以及许多其他领域中，非线性振动系统是一种常见且重要的研究对象。
理解非线性振动系统的周期解和分岔现象对于深入研究系统的动态行为、稳定性以及预测系统可能的变化趋势具有至关重要的意义。
首先，让我们来理解一下什么是非线性振动系统。
与线性振动系统不同，非线性振动系统中力与位移之间的关系不是简单的线性比例关系。
这种非线性特性可能源于多种因素，比如材料的非线性特性、几何非线性或者外部激励的非线性。
周期解是指系统在一定条件下呈现出的周期性运动状态。
对于非线性振动系统，寻找周期解并不是一件容易的事情。
常见的方法之一是利用数值计算。
通过数值方法，我们可以对系统的运动方程进行逐步求解，从而得到系统的时间响应。
这种方法直观且易于实现，但它也存在一些局限性，比如数值误差的积累以及对初值的敏感性。
另一种重要的方法是解析方法。
其中，平均法是一种常用的手段。
平均法的基本思想是将系统的运动方程在一个周期内进行平均，从而得到一个简化的方程，进而求解周期解。
此外，还有谐波平衡法，它假设系统的解可以表示为一系列谐波的叠加，然后将其代入运动方程，通过求解得到周期解的参数。
分岔则是指系统在参数变化时，其定性性质发生突然的改变。
分岔现象可以分为多种类型，比如鞍结分岔、叉形分岔、霍普夫分岔等。
分岔分析能够帮助我们了解系统在不同条件下的稳定性和动态行为的转变。
在研究分岔时，我们通常需要关注系统的特征值。
特征值的变化可以反映系统的稳定性。
当特征值从负实部变为正实部时，系统可能会发生不稳定的分岔。
相平面分析也是研究非线性振动系统分岔的有力工具。
通过绘制系统的相轨迹，我们可以直观地观察到系统的运动状态以及分岔的发生。
例如，在鞍结分岔中，相轨迹会出现两个平衡点合并为一个的现象；而在霍普夫分岔中，会从一个稳定的焦点变为一个不稳定的焦点，并在其周围出现一个稳定的极限环。
对于一些复杂的非线性振动系统，可能需要结合多种方法来进行分析。
准周期响应对称破缺分岔点的一种快速计算方法
准周期响应对称破缺分岔点的一种快速计算方法龚冰清;郑泽昌;陈衍茂;刘济科【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2022(54)11【摘要】稳态响应如周期及准周期解的分岔计算,是非线性动力学研究的难点问题之一.与计算方法及分析理论相对完善的周期响应相比,准周期响应的求解只是在近些年才得到较大进展,而且其分岔分析更加棘手,仍需要更有效的理论和方法.目前,稳态响应尤其是准周期响应的分岔计算,一般需采用数值方法,通过调节参数反复试算得到.为此,本文基于增量谐波平衡IHB法提出一种快速方法,可以高效地确定准周期响应的对称破缺分岔点.方法的理论基础是在准周期解的广义谐波级数表达基础上,当响应发生对称破缺分岔时,其偶次(含零次)谐波系数将逐渐由0变为小量.基于此性质,将零次谐波系数预先设定为小量,同时将分岔控制参数视为可变的迭代变量,进而通过IHB法构造迭代格式.作为算例,研究不可约频率作用下的双频激励Duffing 系统以及Duffing-van der Pol耦合系统.结果表明,只要迭代格式收敛,随着预设小量减小,控制参数将逐渐接近分岔近似值;同时,通过提高谐波截断数可显著提高近似分岔值的计算精度.所提方法无需反复试算,只要迭代过程收敛、便可实现分岔点直接快速计算.【总页数】8页(P3181-3188)【作者】龚冰清;郑泽昌;陈衍茂;刘济科【作者单位】中山大学理论与应用力学系【正文语种】中文【中图分类】O322【相关文献】1.Duffing系统对称破缺分岔及其逆分岔研究2.对称破缺与混沌同步态的分岔行为3.一维非线性动力系统分岔的对称破缺分析4.一种计算二重X_0-对称破缺分歧点的有效方法5.子格对称破缺的准一维海森堡系统的DMRG研究因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
3.9 动力系统中的分岔与近似重整化方法
以下就研究二次映射：
xn +1 = 2Cxn + 2 xn = 2( x n + ) −
C 2 2 C2 2
2
1-不动点： 稳定性：
x10 = 0, x11 = 1 2 −C
f ' ( x) = 2C + 4 x *
−1 2 < C <
1 2
1 2
得x10 的稳定区间： x11 的稳定区间：
<C < 3 2
令：
xn + 2 = xn
得除1-不动点之外得两个根：
x2 +
x11
x2 ± = a ± b
C a=−1 − 4 2 ,
x10 x2 −
b=
1 2
3 (C + 1 )( C − 2 2)
稳定性： 令：
x = x2+ + ∆x
2
2
代入映射：
xn +1 = 2Cxn + 2 xn
得：
∆xn +1 = d∆xn + 2∆xn , ∆xn + 2 = e∆xn +1 + 2∆xn +1
∆x1 ∆x3
x
= α, =α
2
f ( xk + ) − f ( xk − ) f ( xk +1, + ) − f ( xk +1, − )
x* = − C 2
二次映射 的特点：
∆x2 ~ (∆x1 ) 2 , ∆x3 ~ ∆x1
x
∆x |α |
x = x* = − C 2
C3 C 2
∆x |α 2 |
y C=-1.05
一类弹性碰撞振动系统周期倍化分岔预测及其神经网络控制
一类弹性碰撞振动系统周期倍化分岔预测及其神经网络控制分岔是非线性系统所具备的独特现象且已经成为非线性动力学不可或缺的组成部分，分岔理论的研究不仅揭示了系统的各种运动状态之间的相互联系和转化，而且与混沌密切相关。
对于非线性系统，分岔现象可能产生有害的动力学行为，需要避免或抑制;又或为了使系统产生人们所需要的分岔行为，需要设计适当的控制器以改变非线性振动的分岔特性。
因此，对非线性系统的分岔分析和控制的研究具有重要的科学意义和广阔的应用前景。
研究分岔控制，可以有效地避免、延缓和消除分岔所导致的不良后果，对提高系统的稳定性和可靠性具有理论指导意义。
非光滑动力系统在机械、电路等领域十分普遍，它会导致类似于复杂非线性系统具有的分岔和混沌运动，然而很多分岔特性及机理又与普通光滑非线性系统完全不同[2-10]。
非光滑系统中含有的间隙、预紧、干摩擦等非光滑因素使其Poincaré映射在控制目标附近不可微，故基于局部线性化映射的各种控制策略及其推广形式不能胜任这类系统的混沌运动控制。
周期倍化分岔过程是一条通向混沌的典型道路，因此消除或延迟周期倍化分岔的发生是控制混沌发生的一个有效方法。
Abed等提出了周期倍化分岔的局部镇定问题，并采用反馈控制延迟倍周期分岔的发生。
唐驾时等研究了Logistic模型的倍周期分岔的控制问题，设计了各种线性控制器，使倍周期分岔延迟或提前出现甚至消失。
罗晓曙等利用系统的状态反馈和参数调节的方法，有效地实现了离散非线性动力系统的倍周期分岔的延迟控制和混沌吸引子中不稳定周期轨道的控制。
王学梅等根据一般迭代映射的倍周期分岔定理，从数学上论证了电压型不连续导电模式（DCM）Boost和Buck变换器中倍周期分岔现象产生的条件，由此揭示了DC-DC 变换器中倍周期分岔现象发生的机理。
姜海波等基于Floquet理论揭示了Logistic映射周期解的分岔机理。
卫晓娟等应用基于RBF神经网络的智能优化控制方法研究一类含间隙碰撞振动系统混沌运动的控制，将混沌运动控制为预期的规则运动。
分岔ppt课件
2 .平方映射的不动点
<1时走向不动点 A
当参数<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管
初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次 数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽 然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。
2 .平方映射的不动点
准备:
1. 建立坐标系 x n1 ~ x n
2. 作条抛物线：
x n1 x n (1 x n )
3. 作对角线，称恒等线
x n1 x n
通过它做投影。
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条抛物线， 抛物线高度由 值决定。
d 2x dt 2
k x
x3
0
由势能曲线知：
a. 在 k 时0仅有一个平衡点：
x 0
b.在 k时存0 在三个平衡点：
x0 x k
可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解
转为三解的叉式分岔。
c.在这三个平衡点中， x ， 处k
在势能极小点，是稳定的； x 处0 在势
能极大点，是不稳定的平衡点。
4 霍夫型分岔
一、从横坐标 x0 处作竖直线 与抛物线相交，这点的纵坐标 高度即为 x1;
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
对于稳定的不动点，应有 e n+1 e n , 即： m 1
碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性研究
碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性研究碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性研究摘要：本文主要研究碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性。
我们通过理论分析和数值模拟的方法，深入探讨了碰撞振动系统中擦切分岔的机制和特征，并讨论了奇异性对系统动力学性质的影响。
研究结果表明，奇异性对碰撞振动系统的稳定性和周期性产生了显著的影响。
1. 引言碰撞振动系统是一类常见的非线性振动系统，广泛应用于工程、物理、力学等领域。
在实际应用中，擦切现象是不可避免的，例如，摩擦力、滑动摩擦等。
擦切现象的存在对系统稳定性和动力学性质产生了显著的影响，因此研究碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性是非常有意义的。
2. 碰撞振动系统的擦切分岔碰撞振动系统中存在两种类型的擦切分岔，即硬碰撞擦切分岔和软碰撞擦切分岔。
硬碰撞擦切分岔主要由于碰撞强度变化引起，而软碰撞擦切分岔主要由于碰撞强度的非线性和非平滑特性引起。
硬碰撞擦切分岔的特征是系统震荡频率的突然跃变，造成系统从周期运动转变为混沌运动。
研究发现，硬碰撞擦切分岔与系统参数之间存在复杂的非线性关系，且影响因素多样。
通过理论分析和数值模拟发现，碰撞强度、碰撞速度等参数的变化对擦切分岔起着重要作用。
软碰撞擦切分岔的特征是系统频率的连续变化，且变化幅度较小。
研究表明，软碰撞擦切分岔主要由于碰撞强度的非线性和非平滑特性引起，具有相对较高的频率稳定性。
软碰撞擦切分岔在工程应用中具有一定的优势，如降低系统噪声、提高系统精度等。
3. 奇异性对碰撞振动系统的影响奇异性是指系统在一些特殊参数下从周期运动突变到混沌运动的现象。
研究发现，奇异性对碰撞振动系统的稳定性和周期性产生了显著的影响。
奇异性现象导致系统周期振动的破裂，使系统从周期运动转变为混沌运动。
同时，奇异性现象还对系统非线性特性、周期性特性等产生了明显的影响，使系统的动力学性质发生了明显的变化。
因此，研究奇异性对碰撞振动系统的影响对于理解系统的动力学行为具有重要意义。
4. 结论通过对碰撞振动系统的擦切分岔及奇异性的研究，我们深入探讨了擦切分岔的机制和特征，并讨论了奇异性对系统动力学性质的影响。
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上式简化时利用了ｆ （ Ａ ， Ｗ ｔ ） 的周期性假设． 方程（ １ ６ ） 与式 （ １ ７ ） 确定了满足擦边条件时， 参数 Ｐ 及初始相 位ｗ 。 与其他参数 （ 如Ｗ ） 之间的关系．可见，擦边 从式 （ １ ６ ） 和式 （ １ ７ ） 中解出 Ａ和 ｝ ０ ０ ， 将其分别 代入式 （ １ １ ） 和式 （ １ ５ ） ， 即可得到邻近擦边轨道的任
确性．
边碰撞 （ ｇ ｒ ａ ｚ ｉ ｎ ｇ ｉ ｍ ｐ ａ ｃ ｔ ） 的现象，它是振子由周期 运动直接进入混沌运动的主要原因． Ｃ ｈ ｉ ｎ 等［ ３ ］ 对 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ － Ｎ ｏ ｒ ｄ ｍ ａ ｒ ｋ 映射做单参数开折后详细研究了
它的性质， 发现该映射具有十分丰富的动力学行为， 如存在擦边分岔，反向周期递增分岔，多周期解共 存等现象，其中许多现象是光滑动力学系统所没有
周期时间内有且仅有 的运动， 即假设稳态解每 为某个 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面的相 一次碰撞 （ 图１ ） ． 若设 ｝ ０ ０ 位，其对应的时刻为 ｔ ｏ ，则碰撞发生时刻可表示为
ｔ ＊ ＝ｔ ｏ ＋Ｔ
Ｌｎ ７ ｒ
ｘ 一（ ｔ － ｔ ” 二 （ ｔ ＊ ） ＋ 厂 一 （ 。 一 “ ） ｆ （ Ａ ， ｗ ｝ ） ｄ ｝ （ １ ３ ）
的关系．
［ Ａ ｘ ＋ （ ｔ ＊ ） ］ Ｐ ＝＿ ｙ ［ Ａ 二 一 （ ｔ ＊ ） ］ ， 一 （ １ ＋ ＇ Ｙ ） ． ｆ ｐ （ ｈ ， ｗ ｔ ＊ ） （ ５ ） 的右侧，有
若对方程 （ １ ） 选取适当的坐标变换，使
（ａ） 故
显然， 该式确定了时间二 与初始状态 二 。 及参数之间
该式与式 （ １ ０ ） （ １ ３ ） 一起，确定了 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面上 的点 二 。 到点二 １ 之间的映射关系，是进一步分析周
期解擦边分岔的基础．
。 ￣ ．１２ ｎｒ ｒ 、
２ ｎ万 ／。 ＼
引
言
映射，最终组装成全局映射．
碰振现象在许多转子机械、 振动机械， 以 及Ｈ ｅ － 都做过研究，不过出于简单起见，一般都是以碰撞 Ｎ ｅ 激光器和数值合成电 路中都有发生， 它会导致类 面作为 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面建立碰撞映射关系．但当振子
似于复杂非线性系统具有的分岔以及混沌运动，然 而很多分岔特性及机理又与普通光滑非线性系统完 全不同． 因而碰振导致的复杂运动是近 １ ０ 几年学者
统单碰周期 ｎ运动的Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 映射．通过对该映射
Ｎ ｏ ｒ ｄ ｍ ａ ｒ ｋ等 ［ ２ ， ４ ］ 从相空间中 流与边界相互作
用的关系出发，建立了反映冲击振子碰撞运动的拉 回映射，发现冲击振子的运动中存在一种被称为擦
的分析，得到了发生擦边分岔的条件和分岔方程， 并以单自由度碰振系统为实例验证了分析结果的正
其中二 ＋ （ ｔ ＝ ） 除Ｘ Ｐ ， ｘ 才分量分别由 式（ １ １ ） ， （ １ ２ ） 确定
外，其他分量与方程 （ １ ０ ） 中二 （ ｔ ＊ ） 完全相同．
轨线离开碰撞点返回 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面的时刻为
ｔ ｉ ＝ｔ ｏ ＋
２ ｎ７ ｒ
（ ９ ）
这里 Ｔ 为系统轨线离开 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面到达碰撞点的
Ｊ ａ ｎ ． ， ２ ０ ０ ７
线性碰振系统周期解擦边分岔的一类映射分析方法‘ ’
张思进 ＊ ， ２ ） 周利彪 ｔ 陆启韶 ＊ ，
＊ （ 湖 南 大 学 力 学 系 ， 长 沙４ １ ０ ０ ８ ２ ） ｔ （ 湖 南 大 学 数 学 系 ， 长 沙４ １ ０ ０ ８ ２ ）
＊ ＊ （ 北京 航空航天大学数理学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ８ ３ ）
ｘ ； 分量 对应的 速 度分量 ， 即ｘ ｑ ＝ ｘ Ｐ ．
的通解可以 排除系统碰撞点间断外，方程 （ １ ）
表示为
二 一 （ ｔ － ｔ ｏ ， 一 ＋ ｆ ｔ ｔ ， 二 （ ｔ － ｝ ） ｆ （ 一 ； ） ｄ ｝（ ‘ ）
其中 二 ０ 为系统在 ｔ ｏ 时刻的初始状态变量． 为分析周期解擦边分岔 考虑一种单碰周期 。
［ Ａ ｘ （ ｔ ＊ ） ＋ ｆ （ ｕ ， ｗ ｔ ＊ ） ］ Ｐ ＇ ＝一 ＇ Ｙ ［ Ａ ｘ （ ｔ ＊ ） ＋ ｆ （ ｗ ， ｗ ｔ ＊ ） ｌ ｐ
显然，由于 ｆ （ ． １ ， ｗ ｔ ＊ ） 在碰撞前后没有发生改变， 式（ ４ ） 可以改写为
ｅ Ａ ‘ 一 “ ， ｆ （ Ｌ ， ， 、 。 ＋ ｗ ｝ ） ｄ ｝ ］ ，
仅法向速度分量发生改变，其他分量仍然保持连续
ｔ ｏ ＋ － ２ ｎ ７ ｒ
ｗ
［ ｘ （ ｔ ＊ ） ｌ 盆 ｒ ＝－ Ｔ ［ ｘ （ ｔ ＊ ） ｌ ｎ ｏ ｒ
（ ３ ）
图 １单碰周期 。运动轨线在一周期内的碰撞示意图
其中 ［ 创ｔ ＊ ） ］ 乱 ｒ ， ［ 钊ｔ ＊ ） ｌ ｎ ｏ ｒ 分别表示碰撞后和碰撞前 的法向 速度分量． ７为回复系数，一般 。 ＜ｙ ＜１ ．
们［ １ － ８ ］ 感兴趣的一个方向 ． 其中Ｓ ｈ ａ ｗ和Ｈ ｏ ｌ ｍ ｅ ｓ Ｎ
对分段线性振子和冲击振子做了大量的理论分析和 实验研究工作，发现这类系统中除存在倍周期分岔 外， 还存在次谐响应，Ｓ ｍ ａ ｌ ｅ 马蹄集等非线性特征， 但产生该类现象的机理却不同于一般非线性系统．
期内 碰撞次数的变化，而非运动周期本身的改变． 本文从单碰周期运动假设出发，以固定相位面作为 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面，建立了满足擦边条件的线性碰振系
将方程 （ １ ０ ） 中 叫ｔ ＊ ）， ） ， ［ ｅ Ａ Ｔ 二 。 十 ｘ ｑ （ ｔ ＊ ）
（ ６ ）
ｘ ｑ ＝［ Ａ ｘ ］ Ｐ ， ｑ 〔 Ｚ ＋ ， ｑ ： Ａ ｐ
则式 （ ５ ） 可简化为
！ ．
ｅ Ａ （ Ｔ － ｆ ） ｆ （ ｔ ｔ ， ｝ Ｐ ｏ ＋ ｗ ｝ ） ＜ｑ
（ １ ２ ）
ｘ 享 （ ｔ ＊ ） ＝一 ： ｘ ｑ （ ｔ ＊ ） 一 （ １ ＋ ＇ Ｙ ） ｆ ， （ Ｍ ， ｗ ｔ ＊ ） （ ７ ）
对于碰振机械系统 （ 二阶微分系统） ，ｘ 。 可以看作
（ １ ＋＇ Ｙ ） ｆ ， （ ｈ ， ｖ ｏ ＋。 二 ）
该式 确定了 碰撞后系 统的 状态分 量‘ ｑ与 初始 值之
２ ０ ０ ６ － ０ ４ － １ ７ 收到第 １ 稿， ２ ０ ０ ６ ０７ － － １ ２ 收到修改稿．
其中： 二〔Ｒ Ｎ ， ｔ ＥＲ ， ｐ〔Ｚ ＋ ， 且 ｐ＜Ｎ； Ａ为 Ｎｘ Ｎ的常系数矩阵． ｆ （ ｊ ， ｗ ｔ ） 为周期性外荷载矢
量， ｐ为系统参数， 。为外荷载的角频率．
１ ３ ４
力
学
２ ０ ０ ７年 第 ３ ９卷
二 ： ＝ｅ ＼山
Ａ （ ２ － － 一 二 、
ｊ 二 ＋ （ ｔ ＊ ） ＋
关 ‘ ・ ｅ Ａ 、 － 一 ‘ ， ｆ （ ｕ ， 、 。 ＋ ｗ ｝ ） ｄ ｝ （ １ ５ ）现象只有在某些特定的参数条件下才可能发生．
的法矢量上的投影， 故从方程 （ ２ ） 中 求得约束面的 法 矢量 （ 该矢量除ｐ 分量为１ 外， 其余分量均为０ ） ， 然 后利用方程 （ １ ） 中 速度与向 量场的关系， 从而式 （ ３ ）
可以表示为
由碰撞条件 （ ２ ） 有
ｘ ｐ （ ｔ ＊ ） ＝
ｒ ｅ Ａ Ｔ ｘ ｏ 十
＝０ （ １ １ ）
间的关系．由于碰撞时刻该分量发生了跳跃，因而 相空间中的轨线在碰撞点附近存在不连续现象． 按照前面的假设，轨线在每个周期均被碰撞面 Ｅ分为两段，第 ２ 段解曲 线方程与方程 （ ８ ） 应是相 同的，但初值发生了改变，由ｔ ｏ 时刻的 二 。 变为 ｔ ＊ 时刻碰撞后的二 ＋ （ ｔ ＊ ） ， 即
Ｓ ｈ ａ ｗ和Ｃ ｈ ｉ ｎ 等［ １ １ ， ３ ］ 对单自 由 度线 性 碰撞振子
发生擦边分岔或混沌运动 （ 由混沌运动轨道的 稠密 性知也存在擦边的轨线） 时， 碰撞面与轨线相切， 因
而并不满足 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面与轨线横截相交的条件． 此外， 在碰振系统中， 振子碰撞次数与运动周期数是 两个相对独立的特征量；这类映射反映的是单个周
１ ） 国 家自 然科学基金资 助 项目（ １ ０ ４ ０ ２ ０ １ １ ） ．
２ ） Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｈ ａ ｒ ｋ ｓ ｐ ｅ Ｏ１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
第 １期
张思进等 ： 线性碰振系统周期解擦边分岔的一类映射分析方法
由方程
拭 哟 ＝Ｘ Ｐ （ 约＝０
（ ２ ）
确定的超平面 Ｚ称为约束 （ 碰撞） 面． 假定系统 （ １ ） 的轨线与约束面（ ２ ） 发生碰撞时，
１ 单碰周期 。映射的建立 考虑如下单边约束的线性微分系统
ｘ＝Ａ ｘ ＋ｆ （ ａ ， ， ｗ ｔ ） ，ｘ ｐ ＜０
（ １ ）
的 ．Ｂ ｅ ｒ ｎ ａ ｒ ｄ 。 等［ ５ ］ 为一般多维分段光滑动力学系
统找到了统一的建立范式映射的方法，该方法在擦
边轨道或滑行轨道附近引入 Ｚ Ｄ Ｍ映射， 通过分段流 的局部展开法并利用各段的切换条件，建立起分段
射关系式．该 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ‘ 映射的不动点，亦即满足擦
边条件的周期解为
意 轨 线 的 碰 撞 时 间 认 一 般 Ｔ 廿少 及 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ‘ 映
、 ． ， ． ． ． ． ． ． ｔ． 了 ． ． ． ．
／ ， ＿ ２ ｎ ７ ｒ ＿ ＿
摘要 擦边分岔是碰振机械系统的一种重要分岔行为．以固定相位面作为 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 截面，建立了线性碰振系 统单碰周期 。运动的Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 映射．通过分析该映射，得到了系统发生擦边分岔的条件和分岔方程，并以单 自由度碰振系统为实例验证了分析结果的正确性． 该方法不仅可以计算线性碰振系统擦边分岔的参数值， 还可 以计算系统的任意周期 ｎ解的分岔参数值． 关键词 碰振系统，单碰周期 。运动，擦边分岔， Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｅ 映射 中图分类号： ０ ３ ２ １ 文献标识码： Ａ 文章编号： ０ ４ ５ ９ － １ ８ ７ ９ （ ２ ０ ０ ７ ） ０ １ － ０ １ ３ ２ － ０ ５