专题2.1.1 平面及其基本性质-2019届高中数学同步“教材变式+对接考点”题组高端训练(必修2)
2019届高中数学（必修二）同步“教材变式+对接考点”题组高端训练
一、选择题
1.（根据人教A 版必修二P43练习1改编）下列命题： ①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 M ，宽是20 M ；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.（根据人教A 版必修二P43练习3改编）如图所示，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝D ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C ，但不过点D
D ．点C 和点D
3.（根据人教A 版必修二P53习题2.1B 组T3改编）在三棱锥A －BCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P( ) A ．一定在直线BD 上 B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上
D ．不在直线AC 上，也不在直线BD 上
二、填空题
4.（根据人教A版必修二P51习题2.1A组4（3）改编）过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是________．
5.（根据人教A版必修二P43例1改编）把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．
(1)A∉α，a⊂α________.
(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.
(3)a⊄α，a∩α＝A________.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.
三、解答题
6.（根据人教A版必修二P53习题2.1B组T2改编）如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
【解题思路提示】要证明四点共线，可以根据公理3，先确定2个平面的交线，再证明四点在交线上即可.
7.（根据人教A版必修二P51习题2.1A组T5改编）求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
8.（根据人教A版必修二P53习题2.1B组T2改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【解题思路提示】（1）证明四点共面，需要确定四点构成两平行直线或相交直线；（2）要证明三点共线，根据两点确定一条直线，第三点在该直线上即可.
【对接考点题组训练】
一、选择题
1.（2016-2017四川广安高一期末考试第3题·考点3）如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不同在任何一个平面的图形是( )
A. B.
C. D.
2.（2018届安徽省江南十校二模第9题，考点1,3）平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，能够推出，三个平面将空间分成个平面，则的最小值为（）
A．B．C．D．
3.（2018届四川省成都高中毕业班摸底测试第6题，考点1,3）平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题
4.（2016-2017河北沧州一中第二次月考第14题·考点1、考点2）如图， ,,E F G 分别是四面体ABCD 的棱BC CD DA 、、的中点，则此四面体与过,,E F G 的截面平行的棱的条数是__________．
5.（2016-2017安徽铜陵一中高二月考第14题改编·考点3）如图所示，A ，B ，C ，D 为不共面的四点，E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上．如果EF ∩GH ＝Q ，那么Q 在直线________上．
三、解答题
6.（2015新课标2文第19题改编· 考点3）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,且11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.请在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）.
7.（2016-2017安徽池州一中高二月考第18题· 考点2、3）在正方体AC 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，如下图． (1)求证：D 、B 、E 、F 四点共面；
(2)作出直线A 1C 与平面BDEF 的交点R 的位置．
参考答案：
题组训练一 2. 1.1 平面及其基本性质
【教材变式题组训练】
1.A 【解析】由平面的概念，得平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A ．
4.6 【解析】设4条直线为a ，b ，c ，d ，则这4条直线中每2条都确定1个平面，因此，a 与b ，a 与c ，a 与d ，b 与c ，b 与d ，c 与d 都分别确定1个平面，共6个平面．
5.(1)C (2)D (3)A (4)B
【解析】 (1)图C 符合A ∉α，a ⊂α. (2)图D 符合α∩β＝a ，P ∉α且P ∉β. (3)图A 符合a ⊄α，a ∩α＝A .
(4)图B 符合α∩β＝a ，α∩γ＝c ，β∩γ＝b ，a ∩b ∩c ＝O .
6.【证明】因为AB ∥CD ，所以AB ，CD 确定平面AC ，AD ∩α＝H ，因为H ∈平面AC ，H ∈α，由公理3可知，H 必在平面AC 与平面α的交线上．同理F 、G 、E 都在平面AC 与平面α的交线上，因此E ，F ，G ，H 必在同一直线上．
7.【解】 已知：如图所示，l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，且C B A ,,不重合.
求证：直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．
证明：法一∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2⊂α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3⊂α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
8.证明：如图．
(1)连接B1D1.
∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．
【对接考点题组训练】
1.C
2.C
平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，
能够推出，则的最小值为5；
三个平面将空间分成个平面，
则的最大值为8，
则的最小值为．
3.B
【解析】记条直线两两相交且任意不共点的直线将平面分成的部分数为，由题意有
，，由规律可知，
，选B.
4.2
E F G的截面平行的棱为AC,BD,只有两条.
【解析】此四面体与过,,
5.AC
【解析】若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
6.【解析】交线围成的正方形EHGF，且AH=10，如图：。
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).。
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版
二、内容要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
所以方程的解为x=-4或x=2.
(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.
解 : (2) 因为 |x+3|+|x-1| 表示数轴上点到 A(-3) 与 B(1) 的距离之和 , 而
A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
2 2
(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点
C(3).
变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;
解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
2019年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质高一数学教案
[探究问题]
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
[提示]由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
③A a，a α⇒A α；④A∈a，a α⇒A α.
A．1B．2
C．3D．4
D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．]
2.如图所示，点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为： ⇒AB α．
②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为： ⇒α∩β＝l且P∈l．
③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
思路探究：法一： → →
→
法二： → →
[证明]如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l α.
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
2019-2020人教B版数学必修2 第1章 1.2 1.2.1 平面的基本性质与推论课件PPT
1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论
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学习目标
核心素养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方 1.通过平面概念及画
法．(难点)
法的学习，培养直观
2．掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言 想象的数学核心素
描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重 养．
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2．异面直线 (1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)
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3．空间两条直线的位置关系
共面_相_交__直__线__：同一平面内，有且只有一个公共点. 直线_平__行__直_线__：同一平面内，没有公共点. _异__面_直__线__：不同在任何一个平面内，没有公共点.
A，B，C 三点不 共线⇒存在唯 一的平面 α 使 A，B，C∈α
_P_∈__α__，_P_∈__β__
⇒α∩β＝l，且 P∈l
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推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图 ①)．
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
[解] (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内． (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不 在直线 l 上． (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．
图(1) 图(2)
图(3)
求证：直线 a，b，c，l 共面．
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2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点
B．一个点和一条直线
2.1平面及其基本性质.
点A在平面α内： 记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B∈ α α
B A
文字叙述
图形表示
符号表示
直线l在平 面α内
l α
直线l在平
l
l
面α外
α
α
直线l1 l2交于 点Ｐ
平面α 、 ß相 交于直线 L
P l1
l2
l
l
l1 l2 P
l
如果直线 l 与平面 有两个公共点， 直线 l 是否在平面 内？
D C
A
B
D C
A
B
这条公共直线 BC 叫做这两个 平面ABCD 和平面 BBCC 的交线．
另一方面，相邻两个平面有一个
公共点，如平面 ABCD 和平面 BBCC 有一个公共点 B ，经过点
B 有且只有一条过该点的公共直线
B C .
A
B
C
根据公理1和公理2可得到的推论 推论1 经过一条直线和直线外的 一点，有且只有一个平面 ．
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
1.直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
2.直线BC1在平面 CC1B1B内．正确
C
B
D
A
C1 D1
B1 A1
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
B
A
C
文字语言：
存在性
唯一性
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
A
C
B
推论2 经过两条相交直线， 有且只有一个平面．
A
B
C
推论3 经过两条平行直线， 有且只有一个平面．
高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质笔记省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
解析：若 m、n 都不与 l 相交，
∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l， ∴m∥n∥l，这与 m、n 为异面直线矛盾，
故 l 与 m、n 中至少一条相交． 答案：B
35/72
用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列 命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
如线互相平行．故①，④正确． 答案：C
39/72
空间线面的位置关系 [例 3] 设直线 m 与平面 α 相交但不．垂直，则下列说法 中正确的是( ) A．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不．可能与平面 α 平行 D．与直线 m 平行的平面不．可能与平面 α 垂直
12/72
2．求异面直线所成角 异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它 们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是 求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径． (1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实 际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三 角形，是求异面直线所成角的途径之一；
32/72
空间两条直线的位置关系 [例 2] (2011·新乡月考)已知 m、n 为异面直线，m⊂平 面 α，n⊂平面 β，α∩β＝l，则 l( ) A．与 m、n 都相交 B．与 m、n 中至少一条相交 C．与 m、n 都不相交 D．与 m、n 中的一条直线相交
33/72
分析：两条直线的位置关系有相交、平行、异面，而由 条件知，l、m 都在平面 α 内，l、n 都在平面 β 内，显然 l 与 m、 n 可以相交，故只需讨论 l 与 m、n 是否平行即可，不妨从都 平行入手加以分析讨论．
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质课件 苏教版必修2
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
20190126高三数学平面的基本性质
平面的基本性质一、内容分析：立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础。
平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用二、新课第一部分：1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）3平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平aβαBAβBAαβBAααβa图 2A（1）面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A=⊂aαα=∅α=Aβ=l集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄（平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a α=三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，αβ=解：说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2 将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ） 解：例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形四、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． （ ）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）（3）一个平面的面积为20 cm 2． （ ）（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．(4)(3)(2)(1)4．如图所示，用符号表示以下各概念： ①点A 、B 在直线a 上 ； ②直线a 在平面α内 ；点C 在平面α内 ；③点O 不在平面α内 ；直线b 不在平面α内 ．5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．②如图所示，两个平面α、β，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？五、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内；（3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ；（4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M二、新课第二部分：1、平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．(3)(2)(1)公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆． ①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭ 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈ 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚 公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．2、平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形三、讲解范例：例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形证明：例2 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上 证明：四、课堂练习：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面）A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）5．看图填空（1）AC ∩BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1=（3）平面A 1C 1CA ∩平面AC =（4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1=二、新课第三部分：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线l 上任取两点B 、C ，∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．A 1由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α，∵点,B C 在平面α内，根据公理1，∴l α⊂，即平面α是经过直线l 和点A 的平面.（唯一性）：∵,B C l ∈，l α⊂，A α∈，∴点,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过l 和点A 的平面只有一个推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线P b a = .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线a 上任取两点A ，直线b 上B ，∵P b a = ，∴,,A B P 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B P 可确定一个平面α，∵点,,A B P 在平面α内，根据公理1，∴,a b α⊂，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：∵P b a = ，,A a B b ∈∈，,a b α⊂，∴点,,A B P α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B P 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：∵//a b ∴由平行线的定义，直线a 和直线b 在同一个平面α内，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：取,A C a ∈，B b ∈，∵,,//a b a b α⊂ ∴点A,B,C 不共线且,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B 求证：直线,,AB BC CA 共面例2 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例3 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线1C四、课堂练习：1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（）（A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（）（A）一个（B）四个（C）六个（D）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要（4）若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则（）（A）M∈c（B）M∉c（C）M∈α（D）M∈β2．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：。