高数2015-2016-1.1
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
2015~2016年考研数学(一)真题含答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c (3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →=(10)22sin ()d ________.1cos xx x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式.已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量.答案解析（1）【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.（2）【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）（3）【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.（4）【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ） （5）【答案】(D)【解析】221111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）x（6）【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） （7）【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .（8）【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . （9）【答案】12-【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- （10）【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰ （11）【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =. 所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-（12）【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（13）【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-L L LL L221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-（14）【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. （15）【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx →⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭==即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx x x kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-（16）【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.（17）【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=.（18）【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+（II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L （19）【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==（20）【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠（21）【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP（22）【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰， 从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()(). （23）【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--.从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2015高数作业下答案 (1)
第一次 I 一阶微分方程 1.()1(2)1yC x e +-=;2.21ln 2x e y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；3.1()1xxy x e C e=+++；4.2y x =；5.2(1)y x C+=；6.222x y y e-=；7.1cos()sin()2x y x y xπ-+=+；8.3121xCe x y=--；9.()y x y C e =-；II 可降阶的高阶方程 1.331y x x =++; 2. 12C xy C e=；3.11y x=-。
第二次1．（1）2560λλ-+=；"'560y y y -+= ；（2）2440λλ-+=；"'440y y y -+=；（3）"'230y y y -+= ；2．（1）31213x x y C e C e x -=++-；（2）12(cos2sin 2)52x y e C x C x x -=++-；（3）2xy xe x =-++；（4）121(cos2sin2)cos24x x y e C x C x xe x =+-；3．（1）2()xy e Ax B *=+；（2）*(cos2sin 2)y x A x B x =+；（3）(cos sin )xy Ae x B x C x *=++；（4）cos2sin 2y A B x C x *=++；微分方程 综合练习题一选择题1.B ；2.A ；3.D; 二 提示：根据线性方程解的结构证明；三.(1ln )y x x =-;四 1. tan tan x y C ⋅=;2. sin ()xy ex C -=+;3. 2312x y Cy =+;4. 21(1)x xy Ce xy -=+;5. 特解：2111s i n s i n 22x y y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（或者111c o s 2s i n 44x y y ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦； 6. 21212y C x C =+；7.12()()2x y x C xC e x =+++；8.421214xxy C C e e=+-；9.12(cos sin )x xy e C x C x e =++；五1. ()cos ()sin y Ax B x Cx D x *=+++；2.(cos sin )x y x Ae B x C x *=++。
高数1.1
x Q, x Q
C
,
对于任意正有理数 r ， D( x r ) D( x) 当 x Q 时， r x Q ，则 D(r x) 1 D( x) ；
当 x Qc 时， r x Qc ，则 D(r x) 0 D( x) ；
因此 D( x r ) D( x) ,但是没有最小正周期．
x
1
x
函数的特性
函数的有界
性
调性
函数的单
函数的
奇偶性
函数
的周期性
设函数-的定义域为.数集 X cD. 如果存在数几，使得对任 5 . 都有 J(x) < Kp
定义
ε.
则 称 函 数 - 在 X 上有 上界，而 Kl 称为函数 J(x) 在 X 上的一个上界 . 如果存在数矶，使得对任 --x
ε.
都 有 / 伊 拉 矶
则 称 函 数 - 在 X 上有 下 界 ， 而 . 称 为 函 数
J(x)
如果存在正数 M ，使得对任一 x X ，都有 f x M ， 则称函数 f x 在 X 上有界；
如果这样的 M 不存在，则称函数 f x 在 X 上无界．
y M
O
y
M
有界
例
1, 符号函数 y sgn x 0, 1,
x 0, x 0, x0
定义域为 D , ，
值域 R f 1,0,1
y 1
O
1
x
x sgn x x
例 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的 整数部分，记作 x. 比如， 3.5 3 ， 0.5 0 ， 3.5 4 ． 取整函数 y x 的定义域为 D , ， y 值域为整数集 Z .
2016年高考理科数学全国卷1含答案
D． 28
7．函数 y 2x2 e|x| 在 [2, 2] 的图象大致为
（）
A
B
8. 若 a b 0 ， 0 c 1 ，则 A． ac bc
C． alogb c b loga c
C
B． abc bac D． loga c logb c
数学试卷 第 2页（共 21页）
B． y 3x D． y 5x
10．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点，已知
| AB | 4 2 ， | DE | 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为
（）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A ， // 平面 CB1D1 ， 平面 ABCD=m ，
D （）
9．执行右面的程序框图，如果输入的 x 0 ， y 1，n 1 ，则输出 x ， y 的值满足（ ）
开始
输入x, y, n n n 1 x x n 1, y ny
2
否
x 2 y 2 36 ?
是
输出 x , y
结束
A． y 2x C． y 4x
40 2
【提示】求出小明等车时间不超过 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得
答案．
【考点】几何概型
5.【答案】A
数学试卷 第 7页（共 21页）
【 解 析 】 双 曲 线 两 焦 点 间 的 距 离 为 4 ， c 2 ， 当 焦 点 在 x 轴 上 时 ， 可 得
4 (m2 n) (3m2 n)
2.【答案】B
【金版学案】2015-2016高中数学第一章统计案例章末总结
【金版学案】2015-2016 高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人 教 A 版选修 1-2回归方程及其应用 对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系， 并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化， 这就是对样本进行回归分析． 矚慫润厲钐瘗睞枥。
某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品， 在市场试验中发现， 此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下对应数据：聞創沟燴鐺險爱氇。
单位 x/元35404550日销售量 y/台564128111 / 11(1)画出散点图并说明 y 与 x 是否具有线性相关关系． 如果有， 求出线性回归方程(方程 的斜率保留一个有效数字)．残骛楼諍锩瀨濟溆。
(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元， 根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式， 并预测当 销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．酽锕极額閉镇桧猪。
分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系． 解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． ^ ^ ^ (2)设回归直线方程为y＝a＋bx.彈贸摄尔霁毙攬砖。
－ － ^ ∵ x ＝42.5， y ＝34，∴b＝错误!＝－错误!≈－3，错误!＝错误!－b错误!＝34－(－ 3)×42.5＝161.5.謀荞抟箧飆鐸怼类。
^ ∴y＝161.5－3x. (2)由题意，有 P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x ＋251.5x－4 845. 251.5 ∴当 x＝ ≈42 时，P 有最大值． 6 即预测销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润． 点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系 数； 二是画散点图． 两种方法要结合题目的要求合理选取， 也可同时使用， 则判断更加准确． 厦礴恳蹒骈時盡继。
高数1-2(15-16)(A)答案
4、解：∵，
而 ， ∴
5、解：原方程化为：
方程是一阶线性方程，其通解为 ，
由初始条件，解得 ∴ 特解为
6、解：原方程对应的齐次方程为: ，
特征方程为: ， 特征根为: ，
齐次方程的通解为: . 由于是特征方程的二重根，
设特解 代入所给方程化简, 得，
求得一个特解为: ， 原方程通解为:． 7、解：令 则. 设直线段与围成区域. 由格林公式得：
8、解：设曲面所围成的空间区域为， 由高斯公式得：
＝ =
贵州大学2015-2016学年第一学期考试试卷A卷 高数1-2答案
1、 选择题 1、B 2、D 3、 A 4、C
2Байду номын сангаас 填空题
1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、
二、解答题 1、解：（1）
① 函数在处取得极值，所以. 解得 （2）将代入①式，并令，得驻点
在点处， ，又，所以函数在点处有极小值 在点处，，所以点不是极值点.
2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1(1)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足1+z 1z-=i ，则|z|=( )2.sin20°cos10°-con160°sin10°=( )A.12- D.12 3.设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为( )A ∀n ∈N, 2n >2nB ∃ n ∈N, 2n ≤2nC ∀n ∈N, 2n ≤2nD ∃ n ∈N, 2n =2n4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312 5.已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是( )A.（ B （ C （） D （） 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+D.4133AD AB AC =- 8函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A.13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C.13(,),44k k k Z -+∈ D.13(2,2),44k k k Z -+∈9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )A.5B.6C.7D.81025()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )A.10B.20C.30D.60 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
映射与函数
3. 邻域(neighbourhood)
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x | x a | }称为点 a的 邻域,
它是以 点a中心 , 为半径 的开区间.
即 U (a , ) { x a x a }.
U (a , )表示 : 与点a距离小于的一切点x的全体.
7
映射与函数
4. 逻辑符号
、 . Exist( Any(每一个 存在)的 )或 字头 All(E 所有的 的倒写 )的字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 . “存在 ”,“至少存在一个 “ ”” 表示
或“能够找到 ”, 任意给定两个正的实数 a,b, ” . 都存在一个 自然数n,使 得na b.
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
这是一个周期函数, 任何正有理数r都是它 的周期. 因为不存在最小的正有理数, 所以没有
最小正周期.
26
映射与函数
4. 反函数与复合函数
(1) 反函数(inverse function) 定义 设函数f : D 单射 f ( D ) 则它存在逆映射
D f 1 : f ( D ) 1 称此映射 f 为函数f 的 反函数. 如 y x 3 , x R 单射 x 3 y , y R.
25
映射与函数
周期性(periodicity)
正数 l , 使得x D, 有( x l ) D, f ( x l ) f ( x ) 例 狄利克雷(Dirichlet)函数
1, y D( x ) 0,
x Q , (当x是有理函数时)
x QC . (当x是无理函数时)
I [a , b ]
y M
I (0,2)
y
f ( x)
界
b
x
O
无界
M
x0
2
x
22
映射与函数
显然, 有界等同于既有上界又有下界. 在定义域上有界的函数叫做 有界函数. (bounded function) 例 y sinx 是有界函数;
1 y 是无界函数, 但它在区间 (0, ) 上 有下界, x 在区间 (1, ) 上 有界.
(2) 函数的记号: 记作:
y g( x ), y F ( x ), y ( x ) 等,
也可记作: y y ( x )
13
映射与函数
(3) 函数值y总是唯一的, 这种函数称为单值函数,否则称为 多值函数.
如 y x 是多值函数, (4) 构成函数的 两个要素: 定义域 D f 与对应法则f .
2 x , x 1 即y 4 x , x 1
y
3 -2 O 1 4
注
x
分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不是几个函数.
20
映射与函数
3. 函数的几种特性(有界,单调,奇偶,周期)
4. 反函数,复合函数
5. 函数的运算 有界性 (bounded) 设函数y=f(x)在区间I上有定义, 若存在 常数A (B), 使得对所有 x I , 都有
注 一定要把区间明确出来! 不是有界函数, 就是无界函数.
23
映射与函数
单调性(monotonicity)
单调增加; monotone increasing
y y
y f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 )
f ( x1 )
单调减少. monotone decreasing
y f ( x)
(2) 对 x X ,元素 x 的像y是唯一的; 而对 y R f , 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即R f Y , 不一定 R f Y .
10
映射与函数
2. 几类重要映射
值域
设映射 f : X Y .
若R f Y ,
(2) 把刚才所得的表达式中 的x与y对换,
即得所求函数的反函数 f 1 ( x ).
28
映射与函数
(2) 复合函数 (compound function )
设 y u, u 1 x 2
y 1 x2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域是 D1 , 函数 u g ( x ) 在D上 有定义, 且 g( D) D1 , 则由下式 确定的函数
f ( x2 )
O
x1
I
x2
x
O
x1
x2
I
x
注
应指明单调区间 ,否则会产生错误.
24
映射与函数
奇偶性 偶函数的图形
y
奇函数的图形
y
y f ( x)
f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
x
O
x
x
x
O
x
x
f ( x )
注 (1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的 概念. (2) 奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈 奇、偶.
定义域是 (1,2) ( 2,4).
15
映射与函数
几个今后常引用的函数 例2 绝对值函数
x, y | x | x,
x 0,
x0
y
y | x |
定义域 D ( , ), 值域 R f [0, ).
O
x
16
映射与函数
例3符号函数
1, y sgn x 0 , 1,
R f f ( X ) f ( x ) x X .
9
映射与函数
注 (1) 构成一个映射必须具备以下 三个要素: ① 集合X, 即定义域 D f X ;
② 集合Y, 即值域的范围: R f Y ;
③ 对应法则f , 使对 x X , 有唯一确定的
y f ( x ) 与之对应.
如
2.5 2
5.2 5
y
3
7.9 7
5 5
2 1
2
1
阶 梯 曲 线
o
2.5 3
1 1 2
2
3
4
x
定义域 D ( , ), 值域 R f {整数}.
18
映射与函数
狄利克雷(德)1805-1859 例5 狄利克雷(Dirichlet)函数
几何表示
O
a
a
a
x
6
映射与函数
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U (a， ） { x 0 x a }.
xa 开区间 (a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 (a , a ) 称为a的 右 邻域 .
y f [ g( x )], x D y f (u ) 构成的 复合函数. 称为由函数 u g ( x )、
中间变量
g( D ) D f
29
映射与函数
注 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;
g( D ) D f
如y 1 u2 和u x 2 2 不能构成复合函数. 2 ) 不能包含于 u 2 x 因为 的值域 [2， y 1 u 2 的定义域 1,1 之中.
3
映射与函数
2. 区间(interval)
区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数 , 且a b .
{ x a x b}称为 开区间, 记作 (a, b)
O
a
b
x
{ x a x b} 称为 闭区间,记作 [a, b]
O
a
b
x
4
映射与函数
f ( x ) A ( f ( x ) B ),
则说 f(x) 在区间I上有上 (下)界.
21
映射与函数
若存在常数 M 0, 使得对所有 x I , 都有
f ( x) M M f ( x) M
则称 f(x) 在I上有界. 若这样的M 不存在, 则称 f(x)
在 I上无界; 即为对于任何 M 0, 总存在 x0 I , 使 f ( x0 ) M , 则称 f(x) 在 I上无界.
{ x a x b} 记作 [a , b) 称为 半开半闭区间. { x a x b} 记作 (a , b] [a ,) { x a x }
a ( , b) { x x b}
O O
有限区间
x
b
x
无限区间
全体实数的集合R 也可记作 ( , ), 是无限区间. 区间长度: 两端点间的距离(线段的长度) “区间”, 常用I 表示.
(Advanced Mathematics)
数学是科学的大门和钥匙.
— 培根
1
第一章
第一节
函数与极限
(function and limit)
函数
集 合 ( set ) 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function )
初等函数 函数的特性
第一章 函数与极限
2
映射与函数
一、集合
1. 集合(set)概念与记号 集合 (集) 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 (简称元) 组成这个集合的事物称为该 集合的 元素(element).
2 y lg x 、y 2 lg x 是两个不同的函数. 如