高中数学北师大版选修2-1 2.6.2直线到平面的距离、平面到平面的距离 课件(25张)
新北师大选修2-1高中数学 直线与平面的夹角
§5夹角的计算第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中，A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ，直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1：φ与〈CA ，DB 〉有什么关系？ 提示：φ＝π－〈CA ，DB 〉．问题2：φ与〈BD ，n 〉有何关系？(n 为地面法向量)提示：φ＝π2－〈BD ，n 〉或φ＝〈BD ，n 〉－π2，即sin φ＝|cos 〈BD ，n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α的夹角为θ，则， 当〈a ，n 〉≤π2时，θ＝π2－〈a ，n 〉；当〈a ，n 〉>π2时，θ＝〈a ，n 〉－π2.即sin 〈a ，n 〉＝|cos 〈a ，n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|.[对应学生用书P37][例1] 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值． [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)， 故n ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，C 1(0,1,1)，C (0，1,0)，而CC 1⊥面ABCD ，∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC . 又1AC ＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)， ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值cos θ＝|cos 〈1AC ，AC 〉|＝63. 答案：D2．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________．解析：取B 1C 1中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BB 1＝2，则A 1(－3，0,0)，C 1(0,1,0)，A (－3，0,2)，O (0,0,0)，1A O ＝(3，0,0)，1A O 为面BB 1C 1C 的法向量，1AC ＝(3，1，－2)，∴sin θ＝|cos 〈1A O ，1AC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | ＝33·3＋1＋4＝64.答案：643.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．解：(1)证明：如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，且O 为BD 的中点． 又PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ，故BD ⊥PO . 又BO ＝DO ，故PB ＝PD .(2)如图所示，连接AC ，BD ， 设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，则EQ 綊12CD ，∴四边形AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，Q 为PD 的中点，∴AP ＝AD ＝ 2. 由AQ ⊥平面PCD ，可得AQ ⊥CD . 又DA ⊥CD ，QA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA . 又BD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以向量AB ―→，AD ―→，AP ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫0，22，22，D (0，2，0)，P (0,0，2)，∴AQ ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，PB ―→＝(2，0，－2)．易知AQ ―→为平面PCD 的一个法向量， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ， 则sin θ＝cos 〈PB ―→，AQ ―→〉＝|PB ―→·AQ ―→||PB ―→|·|AQ ―→|＝12，∴直线PB 与平面PCD 所成的角为π6.3.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 的夹角．解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，N ⎝⎛⎭⎫12，0，0， S ⎝⎛⎭⎫1，12，0. (1)证明：CM ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN . (2) NC ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则a ·CM ＝0，a ·NC ＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD ，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系，并求A ，B ，C 的坐标； (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值．(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 的夹角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨] (1)建立坐标系，证明AD ·BC ＝0. (2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E 满足条件，再建立关于点E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析] (1)由题意AB ＝AC ＝2，∴BC ＝ 2.则△BDC 为等腰直角三角形． 连接BH ，CH ，∴DB ⊥BH ，CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形，以DC 为y 轴，DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1,1,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)．(2)设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥BC 知：n 1·BC ＝－x ＋y ＝0.同理，由n 1⊥CA 知：n 1·CA ＝x ＋z ＝0. 可取n 1＝(1,1，－1)．同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋0＋13·2＝63， 即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件，设CE ＝x CA ＝(x,0，x )(0≤x ≤1)，则DE ＝DC ＋CE ＝(0,1,0)＋(x,0，x )＝(x,1，x )，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∵ED 与平面BCD 的夹角为30°， 由图可知DE 与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE ，n 〉＝DE ·n | DE ||n |＝x 1＋2x 2＝cos60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E ⎝⎛⎭⎫22，1，22， |AC |＝2，|CE |＝1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1)，使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12， 假设存在P (0,0，x )(0≤x ≤1)满足条件，经检验，当x ＝0时不满足要求， 当0<x ≤1时，则PA ＝(1,0，－x )，AC ＝(－1,1,0)，MD ＝(－1，－1，－12)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎨⎧PA ·n ＝0， AC ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝(1,1，1x )． 由题意MD ∥n ，由MD ＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12＝－⎝⎛⎭⎫1，1，12＝－n ， 得x ＝2.又0<x ≤1，故不满足要求，综上所述，棱DD 1上不存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD·1A B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，BDBC1＝λ＝9 25.计算直线l与平面α的夹角为θ.(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：[对应课时跟踪训练(十二)]1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A.22B．－22C．±22 D.12解析：cos〈a，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45 B.35 C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝|(－4，0，－3)·(－4，4，0)|42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33 C.23 D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ―→＝(1,1,0)，DC 1―→＝(0,1,2)，DC ―→＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·DC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC ―→〉|＝|n ·DC ―→||n |·|DC ―→|＝23，故选A.答案：A5.四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1，0,2)，FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 6.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点． 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n ||AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图．∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， ∴AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0， 1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章 空间向量与立体几何 复习课件
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
二.共线向量定理与共面向量定理
（一）、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
（三）、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则 线线平行：l∥m a ∥b a=kb; u=0; a⊥u a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u· v=0. 线面平行：l ∥α
n1 FC1 ，又FC1
FC1 //
平面ADE，
平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F 2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3
sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的
1.理解直线到平面的距离、平面到平面的距离的概念. 2.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
1.直线到平面的距离
当直线与平面平行时,直线上任一点到该平面的距离,叫直线到
平面的距离.
求直线到平面的距离时,一般转化为点到平面的距离.
说明:如果直线l平行于平面α,即l∥α,求直线l到α的距离可以转化
2.平面到平面的距离 当两平面平行时,一个平面内任一点到另一平面的距离,叫平面 到平面的距离. 求平面到平面的距离时,一般也是转化成点到平面的距离. 说明:如果两个平面α,β互相平行,即α∥β,求α与β之间的距离可以 转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离,即点到平面的距离.
3.两条异面直线间的距离 (1)与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线,夹在 两交点之间的线段叫作公垂线段.两异面直线的距离是指公垂线段 的长度. (2)用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线 的方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向 量上的投影的大小.如图,a,b是两条异面直线,n是a和b的公垂线的 方向向量,点E∈a,F∈b,则异面直线a与b间的距离 d=|������|������������·|������|.
设 F(0,m,0),则������������=(-a,m-a,0),������������=(-a,-a,a).
∵PC⊥CF,∴������������ ⊥ ������������,∴������������ ·������������=(-a)·(-a)+(-a)·(m-a)+0·a
=a2-a(m-a)=0,
∴������������1=(1,1,1)为 AD1和 A1B 的公垂线的方向向量,d=|���������|������1������·������1������|���1| =
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
北师大版高中数学选修2-1教案：2.6 距离的计算
2.6 距离的计算1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)3．通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)知识点一 点到直线的距离利用向量求点A 到直线l 的距离步骤：(1)找到直线l 的方向向量s ，并求s 0＝s|s |； (2)在直线l 上任取一点P ；(3)计算点P 到点A 的距离|PA →|；(4)计算PA →在向量s 上的投影PA →·s 0；(5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.知识点二 点到平面的距离利用向量求点A 到平面π的距离步骤：(1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ；(3)计算PA →在向量n 上的投影PA →·n 0； (4)计算点A 到平面π的距离d ＝|PA →·n 0|.考点一 点到点、点到线、线到线的距离例1 (1)(2016·临汾高二检测)如图 ，在60°的二面角αAB β内，AC ⊂β，BD ⊂α，AC ⊥AB 于A ，BD ⊥AB 于B ，且AC ＝AB ＝BD ＝1，则CD 的长为________．(2)单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点B 1到直线AC 的距离为________．(3)已知四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，且SD ＝AD ＝1，则异面直线SB 与AC 的距离为________．【名师指津】1．求A 、B 两点间的距离一般用|AB →|＝AB →·AB →2．用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：①点P 可以在直线l 上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点． ②直线l 的方向向量可任意选取．③点到直线的距离公式中s 0是单位向量，在求得直线l 的方向向量s 后，要将其单位化． 3．异面直线间的距离如图，设n 与异面直线a ，b 都垂直，A 是直线a 上任一点，B 是直线b 上任一点，则异面直线a ，b 的距离d ＝|n ·AB →||n |.练习1．线段AB 在平面α内，AC ⊥α.BD ⊥AB ，且BD 与α所成角是30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 考点二 点到平面的距离例2在正四棱柱ABCD A ′B ′C ′D ′中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，求点D ′到平面B ′EF 的距离．【名师指津】求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n|n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d ＝|PA →·n 0|.练习2．本例条件不变，求点A 到平面B ′EF 的距离． 考点三 线面、面面距离例3如图 所示，在已知直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点．求A 1B 1与平面ABE 的距离．【名师指津】1．求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点可适当选取，以求解最为简单为准则，因线面距可用点面距求解，反之，求点到平面的距离时也可用直线到平面的距离过渡．2．两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离．练习3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．例4 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，求点N 到平面ACM 的距离．例5如图所示，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，试问在线段PA 上是否存在一点M ，到平面PCD 的距离为33？若存在，试确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．课堂练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离，就是点A 与平面内一点B 所成向量AB →的长度．( ) (2)直线l ∥平面α，则直线l 到平面α的距离就是直线l 上的点到平面α的距离．( ) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )2．已知向量n ＝(1,0，－1)与直线l 垂直，且l 经过点A (2，3,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( )A.32 B ．22 C. 2 D ．3223．如图264，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )图264A.12 B ．24 C.22 D ．324．在坐标平面xOz 内，与三点A (0,1,2)、B (2,0,1)、C (1,2,0)距离相等的点的坐标为________．5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是AD 1的中点，求点E 到直线BD 的距离．。
2.6《距离的计算》,课件(北师大版选修2-1)
∠ACB=90°,侧棱AA1=2，D，E分别是C1C，A1B的中点，点E在
平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD夹角的大小;
(2)求点A1到平面AED的距离.
【解题提示】建立空间直角坐标系，利用向量运算进行 证明.
【解析】(1)连接BG，GE，则BG是BE在平面ABD上的射影，即 ∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立空间直角坐标 系，坐标原点为C，射线CA，CB，CC1分别为x轴,y轴，z轴的
ABCD折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、 BC间的距离为（ ）
（A） 2 （B） 3 （C） 3 （D）1 2 【解题提示】正确的比较两个图形. 【解析】选D.CE为公垂线段.E为CD中点，CE=1.
4.如图，ABCD—EFGH是边长为1的正方体，若P在正方体内部且
满足 则P到AB的距离为( )
2 a,d2= 3 a,d3=a. 2 3
答案：d2＜d1＜d3
6.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1 到平面MBD的距离是_________.
【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立 空间直角坐标系. 则A1(a,0,a),A(a,0,0),M(a,0, B(a,a,0),D(0,0,0).
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·商丘高二检测)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量 AB，AD，AA1两两夹角均为60°,且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3， 则|AC1|=（ ）
高中数学北师大版选修2-1 2.6.1点到直线的距离、点到平面的距离 课件(32张)
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第1课时 点到直线的距离、点到平面的距离
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第1课时 点到直线的距离、 点到平面的距离
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1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式. 3.体会用向量法求点到直线的距离、点到平面的距离的解题思 想.
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说明:(1)点到直线的距离的求解方法一般有两种: ①直接求解法:从该点向直线引垂线,确定垂足的位置,求出点和 垂足之间的距离即可;
②向量法:利用公式 d= |������������|2 -| ������������· ������0 |2 .
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题型一
求两点间的距离或线段的长
【例1】
平面α与平面β相交于直线l,AB⫋α,且AB⊥l,CD⫋β,CD⊥l,B,C∈l, 且AB,CD的夹角为60°,若AB=BC=CD=1,求A,D间的距离. 分析:求A,D间的距离,就是求向量������������的模,由于本题中的空间图 形不适合建系,因此可用向量分解法求模.
∴|������������ |2=(������������ + ������������ + ������������)2=|������������|2+| ������������ |2+|������������|2+2( ������������ ·������������ +
高中数学线面距离方法汇总
高中数学线面距离方法汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线面距离是一个重要的概念，涉及到线和平面之间的最短距离。
在解决数学问题时，线面距离方法可以帮助我们快速准确地求解各种题目。
今天我们就来总结一下高中数学中常见的线面距离方法。
一、直线和平面的距离1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)在平面上，则点P到平面的距离为：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)其中(a,b,c)为直线上的一点。
3. 平行线面距离如果直线l平行于平面Π，直线和平面之间的距离为两者所含向量的点积模的比值，也就是直线上的一点到平面的距离就是这一点到平面上任意一点的距离。
二、两平面之间的距离如果两个平面Π1和Π2的法向量分别为n1和n2，平面到平面的距离为：d = |d|sinθd是两平面之间的距离，θ是n1和n2的夹角。
如果两个平行的平面Π1: Ax+By+Cz+D1=0和Π2:Ax+By+Cz+D2=0，它们的距离为：三、点到线的距离设线段两端点为A和B，点P到线段的距离为点P到直线AB的距离，如果点P在直线AB的延长线上，则点P到线段的距离等于点P到端点A或B的距离。
设两条线段AB和CD，线段到线段的最短距离取决于它们的垂直距离，并且有可能在端点处取得最小值。
我们可以通过求解两线段组成的四边形的四边长度来求解线段到线段的最短距离。
通过以上总结，我们可以看到，在高中数学中，线面距离方法应用广泛，涉及到点、线、面之间的距离。
在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，通过计算距离来求解各种问题。
希望本文对大家在学习数学时有所帮助。
【字数：583字】第二篇示例：高中数学中，线面距离方法是指计算线段与平面之间的距离的一种数学方法。
在几何学中，线段与平面之间的距离是一种重要的概念，它在实际问题中经常被用到，比如在建筑设计中确定物体之间的距离，或者在物理学中计算物体移动的距离等。
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答案:
60 13
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2.平面到平面的距离 当两平面平行时,一个平面内任一点到另一平面的距离,叫平面 到平面的距离. 求平面到平面的距离时,一般也是转化成点到平面的距离. 说明:如果两个平面α,β互相平行,即α∥β,求α与β之间的距离可以 转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离,即点到平面的距离.
|������|
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说明:当异面直线a与b的公垂线的方向向量n不易找时,可通过以 下方法求n:设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)分别是直线a与b的方向 向量,设n=(x,y,z),且n⊥a,n⊥b,则由n· a=0,n· b=0,得 ������1 ������ + ������2 ������ + ������3 ������ = 0, ������1 ������ + ������2 ������ + ������3 ������ = 0, 可取适合此方程组的一个解,从而求得一 个方向向量.
|������������1 · ������������1| ∴������������1 =(1,1,1)为 AD1 和 A1B 的公垂线的方向向量,d= = |������������1| 1 3 3 . 3
=
答案 :
3 3
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题型一
题型二
题型三
解 :以 D 为坐标原点 ,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则由题意可知 E
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1.直线到平面的距离 当直线与平面平行时,直线上任一点到该平面的距离,叫直线到 平面的距离. 求直线到平面的距离时,一般转化为点到平面的距离. 说明:如果直线l平行于平面α,即l∥α,求直线l到α的距离可以转化 为求直线l上一点P到平面α的距离,即点到平面的距离. 【做一做1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=5,AB=12,则直线 B1C1和平面A1BCD1的距离是 . 解析:由于B1C1∥平面A1BCD1,则B1C1到平面A1BCD1的距离即为 点B1(或C1)到平面A1BCD1的距离.
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题型一
题型二
题型三
题型一 求直线到平面的距离
【例 1】
如图所示,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B 1C1D 1 中,E,F 分别为 BB1,C1C
1 的中点,DG= DD1,过 E,F,G 的平面交 AA1 于点 3
H,求 A 1D1 到平面
Байду номын сангаас
EFGH 的距离.
分析:求与平面平行的直线到该平面的距离可转化为求直线上一 点到平面的距离.但本题向平面作垂线不易确定垂足,可考虑用向 量的方法进行解题.
1 1,1, 2
,F
1 0,1, 2
,G
1 6
1 0,0, 3
,D1(0,0,1).
������������ =(-1,0,0), ������������ = 0,-1,, -������ = 0, ������ +
1 ������ 6
设平面 EFGH 的一个法向量 n=(x,y,z), 则 n· ������������ =0 且 n· ������������=0,即 令 z=6,可得 n=(0,-1,6). 又������1 ������ = 0,1,1 2
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【做一做 2】 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1B1C1D 1 中 ,异面直 线 AD1 与 A 1B 之间的距离为 . 解析 :如图所示 ,以 D 为坐标原点 ,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 , 则 D(0,0,0),A(1,0,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1), B(1,1,0),B1(1,1,1),
∴������������1 =(1,1,1),������������1 =(0,0,1),
������������1 =(-1,0,1),������1 ������ =(0,1,-1).
∵������������1 ·������������1 =0,������������1 ·������1 ������ =0.
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3.两条异面直线间的距离 (1)与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线,夹在 两交点之间的线段叫作公垂线段.两异面直线的距离是指公垂线段 的长度. (2)用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线 的方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向 量上的投影的大小.如图,a,b是两条异面直线,n是a和b的公垂线的 |������������· ������| 方向向量,点E∈a,F∈b,则异面直线a与b间的距离 d= .
第2课时 直线到平面的距离、平面到平面的距离
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1.理解直线到平面的距离、平面到平面的距离的概念. 2.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
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