高一数学下册期末教学质量检测试题8
福建省莆田市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题
莆田市2023－2024学年下学期期末质量监测高一数学本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）A ．调查一个班级学生的视力情况B ．调查一批玉米种子的发芽率C ．调查某城市居民的食品消费结构D ．调查一批待售袋装牛奶的细菌数2．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）A．B ．C ．13D ．264．某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（ ）A ．7B ．8C ．8.5D ．9.55．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量，，在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．7．设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）()1,2m = ()1,0n =m n mn2m 2n1332631361121412a b c0a b c ++=0a b c -+=20a b c ++=20a b c -+=αβm lA ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则8．已知点Ａ，Ｂ，Ｃ不共线，点满足，．若直线过线段的中点，则（ ）A ．B．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（ ）Ａ．B ．C ．事件与相互独立D ．证事件与互斥10．在棱长为6的正方体中，点为棱的中点，则（ ）A ．B ．平面平面C ．平面平面D ．平面截该正方体外接球的截面面积为11．在中，，（为常数），的最大值为12，则（ ）A ．为锐角B ．面积的最大值为8C ．D ．周长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量与的夹角为，，，则___________．13．写出满足的一个复数__________．αβ⊥m α∥m l ⊥l β∥m α⊥l β∥m l ⊥αβ⊥m αβ= l α∥l β∥m l∥m α⊂l β⊂m l ∥αβ∥,M N AM AB λ= (),AN AC μλμ=∈RMN BC 2λμ+=112λμ+=2λμ=1λμ=ΩA B ()24n Ω=()12n A =()8n B =()16n A B = ()8n AB =()23P A B =A B A B 1111ABCD A B C D -E 1AA 11AC CD ⊥BDE ∥1B CD BDE ⊥11ACC A 11B CD 24πABC △4BC =sin A m =m AB AC ⋅A ABC △35m =ABC △4+a b 120︒3a = 5b = a b -=2z z =z14．已知是边长为3的等边三角形，空间中动点满足，且．当平面平面时，三棱锥的体积是____________；直线与平面所成角的正弦值的最大值是____________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知，，，，．（1）求的值；（2）求与的夹角．16．（本小题满分15分）设的内角，，所对的边分别为，，．（1）证明：；（2）若，，，求．17．（本小题满分15分）目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI 值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下：女员工频数分布表BMI 值区间合计频数3813166450（1）估计样本中女员工BMI 值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中女员工BMI 值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI 值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI 值的方差；（3）根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI 值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由）参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，ABC △P PA PB =PAB △PAB ⊥ABC P ABC -PC ABC ()0,0A ()4,0B ()4,3C ()0,3D 1243AP AB AD =+ 2222PA PC PB PD ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PA PCABC △A B C a b c cos cos c a B b A =+5a =3B π=57cos 2c A =+()()115.1112212m m c m m m m m m ⎡⎤⎡⎤---+-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦[)12,15[)15,18[)18,21[)21,24[24,27）[]27,30x x m，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则．18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值．19．（本小题满分17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且．（1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；（2）用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则．（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求；（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值．x 21s n y 22s ω2s ()()2222212m n s m x y s s n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++P ABCD -ABCD 120ABC ∠=︒E PA 4PA PB ==PD =PA BC 60︒PC ∥BDE PD ⊥ABCD E BD A --()01αα<<1α-()01ββ<<1β-32αβ+=αβ=X X ()n X X =()3n X =()()()()0:13:11P n X P n X ===β()()2P n X =。
四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
雅安市2023-2024学年下期期末教学质量检测高中一年级数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所表示的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（）A ．B ．9C ．D ．103．复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在梯形ABCD 中，，E 在BC 上，且，设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则()3i 1i -172192z 1i 22i z z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+2AB DC =12CE EB =AB a = AD b = DE = 1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b - αm α⊥n α∥m n⊥m α∥n α∥m n ∥m α⊥m n ⊥n α∥m α∥m n ⊥n α⊥6．一艘船向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东方向上，航行后到B 处，看到灯塔S 在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S 的距离（即BS 的长）为（ ）AB ．C ．D ．7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z ，复数对应的点为，则的值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知下面给出的四个图都是正方体，A ，B 为顶点，E ，F 分别是所在棱的中点，① ②③ ④则满足直线的图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）30︒10nmile 75︒5i 11iz --=-z 1i --0Z 0Z Z AB EF ⊥A ．讲座前问卷答题得分的中位数小于70B ．讲座后问卷答题得分的众数为90C ．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D ．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10．若平面向量，满足，则（ ）A ．B ．向量与的夹角为C ．D ．在上的投影向量为11．如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则（ ）A ．P 在侧面B ．异面直线AB 与MP 所成角的最大值为C ．三棱锥的体积为定值D ．直线MP 与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．a b 2a b a b ==+= 2a b ⋅=- a a b - π3a b -= a b - a 32a 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C MP ∥1AB C 11CDD C π21A PB C -12411ABB A ⎡⎣12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．13．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，BC 边上，则________．14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A ，B ，C 在内的各个顶点都在球O 的球面上．若P 为球O 上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O 的体积为V ，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，（其中）．（1）若为实数，求m 的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p ，q 的值．16．（15分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数k 的值；（2）已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且，，．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．17．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间ABC △()πsin π2A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6b =c =P ABC -1V 1V V=12i z m =-2i z m =-m ∈R 12z z 1m =12z z ⋅220x px q ++=()1,2a =- ()3,2b =2ka b - 2a b + 2OA a b =+ 3OB a b =+ ()3,2OC m m =-，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？18．（17分）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知________．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在AB 上，CD 平分，，，求CD 的长；（3a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19．（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD 是正方形，底面ABCD ，，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点[)50,60[)60,70[]90,10085%()in cos s a C C a B +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()s sin s in in C A B A -=-ABC △ACB ∠2a =c =PA ⊥PA AB =（1）平面AEF 与平面PBC 是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面AEF ，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值．B PCD --PC ∥数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．9．ACD10．AD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3013．314四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【解析】（1），因为为实数，所以，解得．故为实数时，m 的值为．（2）当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得()()()2122232i 2i i 2i i 11m m m m z m m m m z +--+-===-++12z z 220m -=m =12z z 1m =12i z =-21i z =-()()1221i =1-3i z i z =--⋅13i -220x px q ++=()()2213i 13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p ⎩+-=-+⎧⎨=4,20.p q ⎧⎨⎩=-=16．（15分）【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得．（2），，，，因为A ，B ，C 三点共线，所以．所以，解得．17．（15分）【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- AB AC∥()()22637m m ---=-⨯-2m =[)50,60[)60,70[]90,10010a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)50,60[)60,70[]90,100()506060707080809090100005005020403835kg 22..222....+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%90kg 10031007..-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =95kg方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．18．（17分）【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以．又，则，所以．若选条件②．由正弦定理得，所以，，，即．因为，所以，所以．若选条件③在中，因为，，所以，90kg 10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()g .0.8507901095k 10.7-+⨯=-95kg cos sin a A C a +=sin sin cos si n A A C C A +=π02A <<sin 0A >i 1cos n C C +=1c os C C -=1122cos C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ=66C -π3C =2sin sin s n πsin i 6A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin 2s sin 1in c 2os 2B A B C B B B C ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos 2sin sin B C B C B ++=i sin sin cos s n cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++i sin s n cos sin C B B C B =+1c os C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ=66C -π3C =ABC △()s sin s in in C A B A -=-πA B C ++=()()n s s s n i i in C A C A A +-=-即，化简得．又，则，故．因为，所以．（2）依题意，，即，则，在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以．（3）依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以所以a 的取值范围为．19．（17分）【解析】（1）平面平面PBC．理由如下：因为平面ABCD ，平面ABCD ，sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin co 2s sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠cos 12C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623D a b a CD b C ⋅+⋅=⋅⋅⋅()b CD a b ⋅+=CD =ABC △22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC △sin 1122ABC S C ab ab ===△4ab =ABC △π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin B a b A =sin sin A Bb a =221s sin sin s 2in π4sin 223B a B ab B BB ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===228a <<a <<AEF ⊥PA ⊥BC ⊂所以，因为，又．所以平面PAB ，故．在中，，E 为PB 的中点，所以．因为平面PBC ，平面PBC ，，所以平面PBC ．又平面AEF ，所以平面平面PBC ．（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于G ，连结DG ，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角．在中，由，，则，，连结BD ，知中，根据余弦定理，得，所以．（3）因为直线平面AEF ，平面PBC ，平面平面，所以直线直线EF ．又E 为线段PB 的中点，所以F 为线段BC 上的中点．由（2）知，所以．设BG 与EF 交点为H ，连结AH ，由（1）知，平面平面PBC ，平面平面，PA BC ⊥BC AB ⊥PA A AB = BC ⊥BC AE ⊥PAB △PA AB =AE PB ⊥PB ⊂BC ⊂PB BC B = AE ⊥AE ⊂AEF ⊥1AB =PB PD ==PC ==PB PD =BC DC =PC PC =PBC PDC △≌△PCB PCD =∠∠BG PC ⊥BC DC =CG CG =GBC GDC △≌△90DGC BGC ∠=∠=︒BGD ∠B PC D --Rt PBC △C P P BG C B B =⋅⋅1=BG =DG =BD =GBD △2221cos 22BG D D BGD DG G B BG +-=∠⋅==-120BGD ∠=︒PC ∥PC ⊂PBC AEF EF =PC ∥BG PC ⊥BG EF ⊥AEF ⊥AEF PBC EF =所以平面AEF ．所以直线AB 与平面AEF 所成角为．又由EF ，F 为BC 上的中点，可得H 为BG 的中点，可知，，又，所以．直线AB 与平面AEFBH ⊥BAH ∠PC ∥12BH BG ===1AB =sin A BA BH H B =∠=。
高一数学下学期期末教学水平监测试题含解析 试题
应选C.
点睛：该题考察的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.
2. ，那么以下不等式正确的选项是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用不等式的根本性质即可判断出正误．
详解：∵a＜b＜0，
∴a2＞b2， ， ．
因此A，B，D不正确，C正确．
应选：C．
点睛：此题考察了不等式的根本性质，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
3. 等比数列 中， ， ，那么
A. 4 B. －4 C. D. 16
【答案】A
【解析】分析：由求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得到答案.
详解：在等比数列 中，由 ，
得 ，所以 ， ，应选A.
C.等腰直角三角形D.正三角形
【答案】A
【解析】分析：首先根据题的条件，根据三角形内角和以及诱导公式，得到 ，借助于正弦差角公式，得到 ，结合三角形内角的取值范围，得到 ，从而确定出三角形的形状.
详解：因为 ，所以 ,
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 是等腰三角形，应选A.
点睛：该题考察的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有三角形的内角和，正弦的诱导公式，正弦的差角公式，根据三角形内角的取值范围，从而确定出角的关系，求得三角形的形状.
详解：因为 ，由正弦定理可得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，应选C.
点睛：该题考察的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，利用正弦定理求得 ，在根据正弦值得角的大小时，一定要认真分析题的条件，根据边的大小关系，得到角的大小，不要误选，出现钝角的情况.
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题
2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为()A. B.1 C. D.i2.若D为的边BC的中点，则()A. B. C. D.3.已知a，为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是()A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差5.正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是()A.6cmB.8cmC.D.6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为()A. B. C. D.7.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为A. B. C.3 D.8.如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的模等于13B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的共轭复数为D.若是纯虚数，则10.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是()A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为11.如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z −=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22−−，进而得解. 【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i1i 1i 2z−−−−−==++−,故对应的点为15,22−−，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D. 单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误； 对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确； 故选：D.3. 已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92C. 30，90D. 30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232×+=，方差是231090×=. 故选：A4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（ ）A. ()1,2B. ()2,0C. ()1,0D. ()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos a b a b a b ⋅⋅==⋅所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,02b a a b b⋅== ， 故选：C.5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（ ） A. 100B. 120C. 200D. 240.【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可. 【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++， 则1520412n n +=，解得120n =. 故选：B.6. 设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ B. 若//m α，n ⊂α，则//m nC. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于正方体1111ABCD A B C D −，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥， 但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误； 对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行， 但平面ABCD ∩平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确； 故选：D.7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）A. A 与B 是对立事件B. A 与C D ∩是互斥事件C. B 与D 是相互独立事件D. B 与C D ∪是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ∩即两个点数都是偶数，即A 与C D ∩可以同时发生，所以选项B 错误， 对于选项C ，因为331()664PB ×==×，333()1664P D ×=−=×，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确， 故选：D.8. 已知直三棱柱111ABC A B C 的体积为8，二面角1C AB C −−的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离. 【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C −−的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C −−的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ，又 直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -∴=⋅==， 则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB ∴=⋅=⨯=⇒=， 又 平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ∩平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ， 设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V −−=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒×××=×××× ，解得h =， 故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为24πRB.2RC. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ××=，所以AC 选项正确． 圆锥的侧面积为2πR R ×，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +<， 圆柱表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确． 故选：ABC10. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）A. 若(1i)i z +=−，则1z = B. 对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C. 对任意复数1z ，2z ，有122z z z ⋅D. 在复平面内，若{|22}Mz z =−≤，则集合M 所构成区域的面积为6π 【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=−，故()()()i 1i i1i1i1i 1i 2z −×−−−−===++−，故z =，故A 错误； 对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ， 则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++===的12z z ⋅=故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=−++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=−−+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=−−=−−+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y −+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆， 故2π4πS r ==，故D 错误. 故选：BC .11. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A.若60A =°，2a =，则ABCB. 若60A =°，1a =，则ABCC. 若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A∈D. 若()cos cos ab c A B +=+，且1c = 【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果. 【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即224b c bc =+−， 可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为142×A 正确； 对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即221b c bc =+−，可得2212bc b c bc ++≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立， 所以ABC面积的最大值为112×，故B 错误； 对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即212168cos c c A =+−， 整理可得28cos 40c c A −+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A > > =−>，解得1cos 2A >， 且()0,πA ∈，可得π0,3A∈，故C 错误； 对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+， 则22222222b c a a c b a b b a+−+−+=+，整理可得()()2220a b a b c ++−=， 注意到0a b +≠，则2220a b c +−=，即222+=a b c ，可知π2C =， 且1c =，则该三角形内切圆半径22ABC S ab ab a b c ra b c a b c +−==++++ .又因为1a b c c c c +−=−=≤−=−，当且仅当a b ==时，等号成立，可得0r <≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是2π=，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式； （3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________. 【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B == 所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=. 故答案为：715. 13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b > 【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. “拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >. 故答案为：a b >.14. 如图，已知在直三棱柱111ABC A B C 中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC −体积为________；当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC −体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到11cos E FEB B E F =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +−+−∠===⋅××，所以sin ABC ∠1242ABC S =××=所以113E ABC V −==； 作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ， 则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上， 因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =， 设AF的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111)QE R QQ Q E =+②21113116Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小， 此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点. 因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角. 因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得1B F =，因为11EB =，所以11B E EF FEB EF =∠=.. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=°，求AP CQ ⋅. 【答案】（1）2133CQa b =+ （2）73−【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】 如图所示，23AQ AB = ，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+−=+=+， 所以2133CQa b =+ . 【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=−+−+=−+=−，由（1）知2133CQa b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅−−⋅−= ， 90ACB ∠=°,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ×−×=⋅−= . 16. 已知有下面三个条件：①()S AC AB ⋅；②a c =；③2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________. （1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长. 【答案】（1）π3A =（2）AD =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A −=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sinBC A B C +=+,即222b c a bc +−=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解； （2）根据题意结合ABCABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解. 【小问1详解】选择①：由()S AC AB ⋅，可得1sin cos 2bc A bc A =，即sin A A =，即tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A −=−=，可得π1sin()62A −=， 因为(0,π)A ∈，可得ππ66A −=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+, 又由正弦定理得222b c a bc +−=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==， 因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=， 且ABCBAD CBD S S S =+△△△，即11111233222222AD AD ××=×××+×××，解得AD =17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学.生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】（1）表格见详解 （2）0.015m =；120 （3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50×=人，不优秀的人10050%50×=人，经常整理错题的有()10040%20%60×+=人， 不经常整理错题的是1006040−=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35×=人， 所以表格为【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =； 因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>， 设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +−=，解得120x =， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. 【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100×=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题” 的人数为4052100×=，设为,A B ， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M PM n ==. 18. 如图，在四棱锥Q ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，12QN NC = 【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QNk NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可. 【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点， 因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ， 因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ， 所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ∩平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥， 因为QD CD D ∩=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ， 所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠， 设正方形ABCD 的边长为2，则AMAC =因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以sin AMACM AC ∠=， 的即直线AC 与平面QCD【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ∩=，,AM CM ⊂平面AMC ， 所以DN⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ， 设QN k NC =，则QN kNC =，所以1kQN QC k =+， 由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅=，因为12CM DM DC DQ DC =−=− ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+−=+++++，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k⋅=−⋅+= ++，所以22102(1)1k DQ DC k k −=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =， 所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC .19. 将连续正整数1，2， ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p（2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ （3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+×+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑()*19,Nn b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案. 【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+×+=， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为()11100192p =； 【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n −个两位数组成，则()29F n n =−；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n −个三位数组成，()3108F n n =−；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n −个四位数组成，()41107F n n =−；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ ， 【小问3详解】 当()*19,Nn b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤==+≤≤≤≤∈∈ = ，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤=+−≤≤≤≤∈∈ =−≤≤=， 由()()()1h n f n g n =−=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =， 所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =， 当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==， 当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k kp n F n n k ===−+，由1912092020209k y k k ==−×++关于k 单调递增，故当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =， 又8116919<， 所以当n S ∈时，()p n 最大值为119． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.的。
高一数学下学期期末教学质量检查试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高一数学下学期期末教学质量检查试题〔含解析〕一、选择题1.的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，应选答案A。
2.某高级一共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，那么在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为〔〕高一高二高三人数600 500 400A.12，18，15B.18，12，15C.18，15，12D.15，15，15【答案】C【解析】由分层抽样的思想方法可得在三个年级分别抽得的人数是，应选答案C。
3.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数〞，就是如今人们熟悉的“进位制〞，以下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是〔〕A.36B.56C.91D.336【答案】B【解析】试题分析：由题意满六进一，可得该图示为六进制数,化为十进制数为,应选B.考点：1、阅读才能及建模才能；2、进位制的应用.4.一个人投篮时连续投两次，那么事件“至多投中一次〞的互斥事件是〔〕A.只有一次投中B.两次都不中C.两次都投中D.至少投中一次【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知“至多投中一次〞的反面是“两次都投中〞，应选答案C。
5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间是为40秒，绿灯持续时间是为45秒，假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由几何概型的计算公式可得所求概率是，应选答案B。
中，，，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以故答案选考点：平面向量的加减运算法那么．7.某程序框图如图，该程序运行后输出的值是〔〕A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B。