04综合练习四

01E ).(),(,,44X D X E X 求表示空盒子的个数设个盒子中个球随机地投入把01C 设某一机器加工一种产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,机地抽取5件产品检验,如果发现多于1件产品,就要调整机器.器次数的概率分布及数学期望.每次随求一天中调整机).()(.6])2[(,10])1[(01F 22X D X E X E X E X 与求满足设随机变量=-=-综合练习四01A .,)1(,,,2,1,号码之和的数学期望张从中任取记号码为张卡片设袋中有n m m n n ≤≤ 01B .1,:,,,,,212121n k X X X X X X E X X X n k n ≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++ 试求具有相同的分布为正的相互独立随机变量设求01D .,,75.0)(,0,,,010,)(ααααA X E A x Ax x P X 求又知且为常数其中其他的概率密度为设随机变量=><<=⎩⎨⎧01G ).(),3,2,13(.4,.4,3,2,1,4,3X E X X 试求只盒子至少有一只球第号盒子是空的第号表示例如表示其中至少有一只球的盒子的最小号码以只盒子中去入将球逐个独立地盒子的编号为只盒子只球有=随机地放第01H ).(,,(1)X E X X 的分布律并求写出个数表示取到的单词所包含的字母以在下列句子中随机地取一单词“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”).(,,30(2)Y E Y Y 的分布律并求写出的单词所包含的字母数表示取到的字母所在以个字母中随机地取一字母在上述句子中的01I .,,,的期望和方差数试求一只昆虫所生的幼虫且各个虫卵是否发育成幼虫相互独立幼虫的概率为而每个虫卵发育的泊松分布服从参数为设一只昆虫所生的虫卵数Y p X λ02A ,52,28,10今从中随机无放回地抽元的张为元张为其中矣奖券现有.9(D);8.7(C);12(B);6(A)( ).,3则得奖金的数学期望是张取02C .,2,,,,5,,10,,,,,2.0内的利润期望万元要亏损若至少发生三次故障获利为零若发生两次故障万元仍可获利若发生一次故障万元可获利若无故障一周五个工作日全天停止机器发生故障时设一部机器在一天内发生故障的概率为工作求一周02D ).(,020,cos )(2Y D X Y x x x f X 的方差试求随机变量其它的概率密度为设随机变量=⎩⎨⎧≤≤=π02B .________________,,]3,0[,,==DY EY Y X 方差的数学期望则横截面积上的均匀分布服从设其直径对截面的直径进行测量一零件的横截面积是圆02E .)(.21)(2/2的数学期望与方差为正整数求随机变量服从正态分布设随机变量n XY e x f X n x ==-π02F .,),,(2DY EY e Y N X X 与求服从正态分布设=σμ02G ).(),(.0,0.0,0,0,)(1)(.1X D X E x x e xx f X x求是常数其中其概率密度为分布服从设随机变量>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--βααΓβΓβαα02H .43)(,)()(,,,020,83)(~2独立与同分布与且其他设B A P a Y B a X A X Y x x x f X =+>=>=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.1(2);(1):2的期望值求Xa 02I .,),0(和方差求由坐标原点到所作直线的距离任意作直线通过点Y b 的平均值02J .,]60,0[,,,5525,5,的数学期望求游客等候时间上服从均匀分布在且分钟到达底层候梯处一游客在早八点的第从底层起行分钟分钟和分钟电梯于每个整点的第游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光Y X X.:.03C Z l 的数学期望与方差两点间距离求的线段上任意选取两点在长为..300,100.:.0,0,041)(02K 4/求厂方出售一台设备盈利值的数学期望元换一台设备厂方损失调元若工厂出售一台设备盈利已售设备在一年内损坏予以调换工厂规定的概率密度为某厂生产的一种设备的使用寿命⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-x x e x f X x 2,,3,]4000,2000[)(,02L 则亏损若积压一吨万元每出口一吨可获利上服从均匀分布在以吨计国际市场每年对我国某种出口产品的需求量经预测X ?,,.获利润的数学期望最大问该公司应储备多少吨该产品现由某公司独立经营此出口业务万元才能使所.])[()(,)(02M 2的最小值求函数存在的期望设随机变量t X E t g X E X -=03A 的联合分布如下表如示设二维随机变量),(Y X X Y1 1/301/2401/241/121/52 1/301/241/241/241/241/531/3001/241/241/121/54 1/301/241/2401/121/51 23 45j P ⋅5 1/301/241/241/241/51/241/61/61/61/311/6i P ⋅.),(),(),(),(XY Y D Y E X D X E ρ求.2)(sin)(,:),(03B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+Y X E Z E Y X X Y X π的分布列和求的联合分布列为已知随机变量0.150.200.1510.150.250.10021Y X03D ).(),(),()((2);(1),)1(),(),(222Y D X D Y E X E A y x Ay x Y X 和数学期望系数求的分布密度为设随机变量++=ϕ03E .,}0,10|),{(),(XY x y x y x D Y X ρ试求相关系数上的均匀分布服从区域随机变量<<<<=03F ).(,),,cov(,,,020,20),(81),(),(Y X D Y X EY EX y x y x y x f Y X XY +⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=ρ试求其他具有概率密度设随机变量,}1,0|),{(),(03G 22≤+≥=y x y y x G Y X 定上的均匀分布服从设随机变量).0(),(),(.3,1,3,0,,2,0,1,0,0:,=⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=UV P UV E V U Y X Y X V Y X Y X X U V U 的联合概率分布及求如下义随机变量.,),cos(,cos ,]2,0[03H 之间的关系与并由此讨论随机变量试求为其中上的均匀分布服从区间设Y X Y X XY ρααθθπθ+==常数03I |).(|,)1/2,0(,Y X E N Y X -求分布相互独立且同服从已知|).(|Y X D -03J ).(),(,,21,21,0,1)()()(,1)(,1)()(W D W E Z Y X W Z D Y D X D Z E Y E X E Z Y X YZ XZ XY 求设中、、已知三个随机变量++=-=-=====-===ρρρ03K ??||(3)?|||),|,cov((2);(1).,21)(||为什么是否相互独立与问是否相关与问求和求的概率分布密度设连续型随机变量X X X X X X DX EX x e x f X x +∞<<-∞=-03L ;:(2);:(1).3,3,一定不相关与求证一定不独立与求证的次数表示出现点数不小于的次数表示出现点数小于随机变量次将一颗骰子行重复投掷Y X Y X Y X Y X n -+.33(3)的相关系数与求Y X Y X -+03P .),,max(.}10,20:),{(),(DZ EZ Y X Z y x y x D Y X 与求令上服从均匀分布在矩形区域设二维连续型随机变量=≤≤≤≤=03M .,,,)(,,,212121YZ n m m m n m n X X X Z X X X Y m n X X X ρ求又令是独立同分布且方差存在的随机变量设+++++++=+++=> 03N ].1),max(2[],1),min(2[],1),max(2[(2);),((1):0.10.70.2101,0.60.41,+++-Y X D Y X E Y X E Y X P X P XY X 的联合分布律求其分布律分别为相互独立与已知随机变量03O ).((2));(),();(),((1):),,min(),,max(,]1,0[,,W Z E W D W E Z D Z E Y X W Y X Z Y X +==试求记上服从均匀分布且都在相互独立设03Q .,1.,,,”“,,,,,121221的方差最小使权试求是独立随机变量设∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛==i ni i n i i n X a a a a DX X X X σ1∑=ni i a 次04A .),1(1.02.0,;5EX X i p i i 的数学期望求发生故障的元件个数件发生故障的概率为且第元件发生故障与否相互独立个元件组成一台试验仪器由-+=04B ).()(,,,30.020,0,0.10,X D X E X X 和方差的数学期望试求表示同时需要调整的部件数以假设各部件的状态相互独立和在设备运转中部件需要调整的概率分别一台设备由三大部件构成个元04C .,,,,试求选中自己帽子的人数的数学期望和方差每个人再随机地从中选取一顶把帽子充分混合后每个人将自己的帽子扔进屋子中央个人设有N .).10(,,..,04D 设陷阱捕获狐狸的数学期望求第它落入陷阱的概率都是对每只尚未捕获的狐狸而言若在每次狩设若干个陷阱猎狐次一共只狐狸设某狩猎区内有r p p r n <<猎中?,:.,.8.0,10004E 少发子弹至少应该准备多该次练习问但若已射中则不再射击每名战士至多射击四次规定设每名战士一次射击的命中率为名战士参加实弹练习有04F .;(2);(1).2,1,求所得号码之和的数学期望与方差张卡片来从中不放回地抽出张卡片来从中有放回地抽出号码分别为张卡号袋中有k k n n 04G .;,.求该工人从已照看机床到待照看的下一台的机床间的行走距离的数学期望相邻两台机床的间距为台机床排成一行设台机床一个工人照看a n n 05A 21:,,,,,,,,21X X XY c a d c b a d cX Y b aX X ρρ=+=+=证明同号且均为常数其中设05B .0),cov(,,]1,1[),,(2==-Y X X Y X Y X 证明上的均匀分布服从设对二维随机变量05C .)(,)(2也存在则存在有设随机变量X E X E X 05D .:,,,,,2222βαβαρβαβαβα+-=-=+=UVY X V Y X U Y X 证明为常数其令相互独立同分布与设随机变量05E .11)],[max(:).,cov(,1)()(,0)()(,222ρρ-+≤=====Y X E Y X Y D X D Y E X E Y X XY 证明为两个随机变量和设05F .1||,(2);(1).)()()()()()()(,1)(0,1)(0,≤-=<<<<ρρ证明利用随机变量相关系数的基本性质独立的充分必要条件是其相关系数等于零和证明事件的相关系数和称做事件和对于任意二事件B A B A B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A 05G ).()(2)(])[()(.)()()(])([:,)(),(,,222222222W E t VW tE V E tW V E t q t Schwarz Cauchy W E V E VW E W E V E W V ++=+=-≤的函数提示考虑变量不等式这一不等式称为柯西一许瓦兹证明存在若对于两个随机变量中05H .)(,)(.5.0,16)(,4)(,0)()(,)3((1)2的最小值并求为最小使求常数设W E W E a Y D X D Y E X E Y aX W XY -=====+=ρ06A ( ).,92}3|{|,≤≥-EX X P X 定有并且满足不等式的方差存在设随机变量则一06B .1____,}44{).,,2,1(8,,,,11∑==≥+<<-===ni i i i n X n X X P n i DX EX X X 其中则概率相互独立同分布设随机变量μμμ 06C .300~200,1000,925.0,41,之间发生的次数在事件次试验中确信在概率问是否可用发生的概率为每次事件设在重复独立试验中A A ;97}3|{|(D);2(C);97}3|{|(B);2(A)≥<-≠<<-=EX X P DX EX X P DX 的06D ??4110000.9997,41,次数在哪个范围之内此时相差多少发生的频率与次试验中的概率保证在问能以发生的概率为每次试验事件设在某种重复独立试验中A A A 06E 一保险公司有10000人投保,每人每年付12元保险费.已知一年内投保人死亡率为0.006,如死亡,公司付给死者家属1000元,求: (1)保险公司年利润为0的概率; (2)保险公司年利润不少于60000元的概率.06F .1.5%4500,500(2);1.5100(1):.5,50,千克的概率的重量超过袋中最多有袋每箱螺丝钉装有千克的概率个螺丝钉一袋的重量超过求克标准差为克期望值为假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量发生的06G ,100每次轰炸命中目标的炸弹数目是一次轰炸对敌人的防御阵地进行.220180100,69.1,2,炸弹命中目标的概率颗到次轰炸中有求在方差是其数学期望是个随机变量颗07A .%95.15,.0.7,200的概率保证不致因供电不足而影响生产能才可以问至少供应多少单位电个单位开动时每部机床需消耗电能开与否互不影响每部机床开动的概率为部某车间有同型号机床07B ?,)01.0,01.0(%95.问需要掷多少次的范围内的把握使点向上的频率与概率之差在为了至少有投掷一枚骰子-假定各机床07C 一个复杂系统由100个相互独立的元件组成,在系统运行期间每个元件损坏的概率均为0.10.又知为使系统正常运行,至少必需有85个元件工作.求:(1)系统的可靠度(即正常运行的概率); (2)上述系统假如由n 个相互独立元件组成,而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行,问n 为多大时,才能保证系统的可靠度为0.95?至少07D ).2000(%95,,,,,20,):(个工作小时假定一年有握一年够用才可以有试求在年计划中应为此器件作多少元预算元器件进价为如此继续具体使用时是当一器件损坏后立即更换另一个新器件小时其平均使用寿命为服从指数分布小时单位设某种器件使用寿命a ?,997.0,,2200,:,.,2250,200,200007E 至少应检验多少只灯泡欲使检验通过的概率超过式承认技改有效就正小时如这些灯泡的平均寿命超过任意挑选若干只灯泡时办法如下检验为了确认这一成果标准差不变小时过技术改造使平均寿命提高到经小时标准差为小时某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为07H ?,95.0(3);61,36(2);,(1).)1,1(,应进行多少次测量要使上述概率小于时的概率的近似值计算当的概率小的正数求它与真值的差小于一个次测量的算术平均值作为测量结果如果取匀分布每次测量产生的随机误差都服从独立地测量一个物理量===-αεεn n 已知每个的把上的均?)10(,),10(07F 的把握保证合格品数够用才能有要采购多少个产品问个设某种工艺需要某种合格的产品<<<<ββp p N 该产品的次品率为,.(2);,(1):%,5,20,30007G 同时向总机要外线的最可能台数的概率能及时得到满足的概率每台分机向总机要外线时试求外线的概率为假设每台分机向总机要条外线总机拥有台分机一台总机共有07I .lim ,),,2,1(,,,121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∑=∞→x n n X P i X X X ni i n i λλλ求的泊松分布服从参数且为相互独立的随机变量序列设 为),1,0(~:,,,,,,07J 21N nnX Y X X X i n n λλ-=即随机变量求证的指数分且都服从参数为为独立随机变量序列设 布1∑=n i08A .1)}1(20{:)0(!)(+≥+<<≥=-m mm X P x e m x x f X xm 证明的概率密度为设随机变量.0)(lim :(2)).(),((1)..1,~1~108B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εn X E X P X D X E X n n n n n 证明求为球号与匣子号相一致的个数设个球且每匣只能个匣子内号的个球随机放入编有的将编号08C .}{:.,2,1,21/1}0{,21/}2{,}{212服从大数定律证明且为相互独立的随机变量序列设n n n n n n n X n X P X P X =-===±=+放,2,1,)(11lim .,2||,,,,,08D 121===⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥-∑=∞→i X E X n P X X i j X X X i n i i n i j n μεμ其中证明相互独与时且当服从同一分布设立08E .).,,2,1(,发生的频率稳定于概率的平均值试证明次试验中发生的概率为在第设事件次独立试验中在A n i p i A n i =08F ,)(,,2,1},{且序列为互不相关的随机变量设==n n n X E n X μ ).(21)(lim 22x d t ex Y P xt n n Φπ==≤⎰∞--∞→.0)(,,,,,2,1.0)(2122依概率收敛于试证明当时若当∑=-=∞→∞→∞→=≠=i i i n ni i n n X Y n n n X D σμσσ 1∑=ni 1∑=ni 08G .)(),,,max(,],0[,,,121的极限分布试求令上的均匀分布独立同服从设n n n n Y n X X Y X X X -=θθ 08H .,1,).4,3,2,1(,,,21并指出其分布参数近似服从正态分布随机变量分大时证明当相互独立同分布假设===i n k k i n X nZ n i a EX X X 充1∑=ni 08I .,.,)(:),1,0(,,,,,1/121的值并求出为常数其中证明服从为独立同分布的随机变量序列设C C n C X U X X X Pnnk kn ∞→→∏= 08J ),(1:),2,1;4,3,2,1()(,,,,,2242221N X nZ n i k X E X X X i n k k i n γγγγ-====近似服从正态分布充分大时当证明且设独立同分布设 .1∑=ni。