【真卷】2015-2016年北京市怀柔区八年级下学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年北京市怀柔区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）点A的坐标是（﹣2，5），则点A在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）下列四个艺术字中，不是中心对称图形的是（）A．木B．田C．王D．噩3．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，则∠D的度数等于（）A．120°B．60°C．40°D．30°4．（3分）一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm5．（3分）若一次函数y=x+4的图象上有两点A（﹣，y1）、B（1，y2），则下列说法正确的是（）A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y26．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学在几次数学测验中，各自的平均成绩都是98分，方差分别为：S甲2=0.51，S乙2=0.52，S丙2=0.56，S丁2=0.49，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，则该菱形的面积为（）A．50 B．25 C．D．12.58．（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的怀柔城区附近部分乡镇分布图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向．表示南华园村的点坐标为（0，﹣1），表示下园村的点的坐标为（1.6，0.9），则表示下列各地的点的坐标正确的是（）A．石厂村（﹣1.2，﹣2.7） B．怀柔镇（0.4，1）C．普法公园（0，0）D．大屯村（2.2，2.6）9．（3分）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（）A．B．C．3 D．2.810．（3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC 从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（，）．12．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．13．（3分）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）设长方形门的宽x尺，可列方程为．15．（3分）已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是．16．3分）我们解答过一些求代数式的值的题目，请把下面的问题补充完整：当x的值分别取﹣5、0、1…时，3x2﹣2x+4的值分别为89、4、5…根据函数的定义，可以把x看做自变量，把看做因变量，那么因变量（填“是”或“不是”）自变量x的函数，理由是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．5分）解方程：（y﹣1）2+3（y﹣1）=0．18．5分）王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解：方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第步开始出现错误．请你选择适当方法，正确解此方程．19．5分）先化简，再求值：2（m﹣1）2+3（2m+1），其中m2+m﹣2=0．20．5分）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．求证：BE=DG．21．（5分）已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值，求m的值．22．（5分）列方程或方程组解应用题某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造.2015年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2017年投资7.2亿元人民币，求每年投资的增长率．23．（5分）2015年是怀柔区创建文明城区的全面启动之年，各学校组织开展了丰富多彩的未成年人思想道德教育实践活动．某校在雁栖湖畔举行徒步大会，大会徒步线路全长13千米．从雁栖湖国际会展中心北侧出发，沿着雁栖湖路向东，经过日出东方酒店、雁栖湖景区、古槐溪语公园、雁栖湖北岸环湖健身步道等，再返回雁栖湖国际会展中心．下图是小明和小军徒步时间t（小时）和行走的路程s（千米）之间的函数图象，请根据图象回答下列问题：（1）试用文字说明，交点C所表示的实际意义；（2）行走2小时时，谁处于领先地位？（3）在哪段时间小军的速度大于小明的速度？说明理由．24．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角，AM是∠DAC的平分线，AC的垂直平分线与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．（1）补全图形；（2）判断四边形AECF的形状并加以证明．25．（5分）《北京中小学语文学科教学21条改进意见》中的第三条指出：“在教学中重视对国学经典文化的学习，重视历史文化的熏陶，加强与革命传统教育的结合，使学生了解中华文化的悠久历史，增强民族文化自信和价值观自信，使语（2）补全频数分布直方图；（3）若该校有1600名学生，根据调查数据请你估计，该校学生周人均阅读时间不少于6小时的学生大约有人；（4）通过观察统计图表，你对这所学校初二年级同学的读书情况有什么意见或建议？26．（5分）有这样一个问题，探究函数y=的图象和性质．小强根据学习一次函数的经验，对函数y=的图象和性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数y=图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；（3）进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x 的增大而；（4）结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质．27．（7分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（n﹣2m）x+m2﹣mn=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m﹣1=0，求证：x2﹣（n﹣2m）x+m2﹣mn=0有一个实数根为﹣1；（3）在（2）的条件下，若y是n的函数，且y是上面方程两根之和，结合函数图象回答：当自变量n的取值范围满足什么条件时，y≤2n．28．（7分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，在边AB上取点E，在边AC上取点F，使BE=AF（E，F不是AB，AC边的中点），连结EF．求证：EF＞BC．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造全等三角形，再证明线段的关系．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点C作CH∥BE，并截取CH=BE，连接EH，构造出平行四边形EBCH，再连接FH，进而证明△AEF≌△CFH，得到FE=FH，使问题得以解决（如图2）．（1）请回答：在证明△AEF≌△CFH时，CH=，∠HCF=．（2）参考小伟思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，延长CA到点D，延长AB到点E，使AD=BE，∠DEA=15°．判断DE与BC的数量关系，并证明你的结论．29．（8分）直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切．如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交．（1）如图4，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y 轴上，OA=3，OB=2，直线y=x+2与矩形AOBC的关系为．（2）在（1）的条件下，直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b，当直线y=x+b，与矩形AOBC相离时，b的取值范围是；当直线y=x+b，与矩形AOBC相交时，b的取值范围是．（3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时，利用图5求直线QN的函数表达式．2015-2016学年北京市怀柔区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）点A的坐标是（﹣2，5），则点A在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点A的坐标是（﹣2，5）在第二象限．故选：B．2．（3分）下列四个艺术字中，不是中心对称图形的是（）A．木B．田C．王D．噩【解答】解：木不是中心对称图形，故本选项正确；B、田是中心对称图形，故本选项错误；C、王是中心对称图形，故本选项错误；D、噩是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．3．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，则∠D的度数等于（）A．120°B．60°C．40°D．30°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°．故选：B．4．（3分）一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【解答】解：如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，∵原三角形的周长为36cm，则新三角形的周长为=18（cm）．故选：C．5．（3分）若一次函数y=x+4的图象上有两点A（﹣，y1）、B（1，y2），则下列说法正确的是（）A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2【解答】解：把A（﹣，y1）、B（1，y2）分别代入y=x+4得y1=﹣+4=，y2=1+4=5，所以y1＜y2．故选：C．6．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学在几次数学测验中，各自的平均成绩都是98分，方差分别为：S甲2=0.51，S乙2=0.52，S丙2=0.56，S丁2=0.49，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：因为S甲2=0.51，S乙2=0.52，S丙2=0.56，S丁2=0.49，所以方差最小的为丁，所以数学测试成绩最稳定是丁．故选：D．7．（3分）菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，则该菱形的面积为（）A．50 B．25 C．D．12.5【解答】解：菱形的面积=AC•BD=×5×10=25．故选：B．8．（3分）如图是利用平面直角坐标系画出的怀柔城区附近部分乡镇分布图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向．表示南华园村的点坐标为（0，﹣1），表示下园村的点的坐标为（1.6，0.9），则表示下列各地的点的坐标正确的是（）A．石厂村（﹣1.2，﹣2.7） B．怀柔镇（0.4，1）C．普法公园（0，0）D．大屯村（2.2，2.6）【解答】解：根据南华园村的点坐标为（0，﹣1），表示下园村的点的坐标为（1.6，0.9），可得：原点普法公园（0，0），所以可得石厂村（﹣2.2，﹣2.7），怀柔镇（﹣0.6，1），大屯村（3.2，2.6），故选：C．9．（3分）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（）A．B．C．3 D．2.8【解答】解：设BE=x，∵AE为折痕，∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，Rt△ABC中，AC==5，∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X，∴（4﹣x）2=x2+22，解得x=．所以CE=4﹣，故选：B．10．（3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC 从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C，BD=CD，当点F从点B运动到D时，如图1，在Rt△BEF中，∵tanB=，∴y=tanB•t（0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，在Rt△CEF中，∵tanC=，∴y=tanC•CF=tanC•（2m﹣t）=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．故选：B．二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（1，﹣2）．【解答】解：∵点（1，2）关于x轴对称，∴对称的点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．12．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．13．（3分）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）设长方形门的宽x尺，可列方程为x2+（x+6.8）2=102．【解答】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据题意得x2+（x+6.8）2=102，解得：x=2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8=9.6（尺）．答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．故答案为：x2+（x+6.8）2=102．15．（3分）已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是．【解答】解：直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），即x=﹣5，y=﹣8满足两个解析式，则是即方程组的解．因此方程组的解是．16．（3分）我们解答过一些求代数式的值的题目，请把下面的问题补充完整：当x的值分别取﹣5、0、1…时，3x2﹣2x+4的值分别为89、4、5…根据函数的定义，可以把x看做自变量，把代数式的值看做因变量，那么因变量是（填“是”或“不是”）自变量x的函数，理由是对于自变量每取一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应．【解答】解：当x的值分别取﹣5、0、1…时，3x2﹣2x+4的值分别为89、4、5…根据函数的定义，可以把x看做自变量，把代数式的值看做因变量，那么因变量是（填“是”或“不是”）自变量x的函数，理由是对于自变量每取一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应，故答案为：代数式的值，是，对于自变量每取一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：（y﹣1）2+3（y﹣1）=0．【解答】解：因式分解得，（y﹣1）（y﹣1+3）=0，∴y﹣1=0或y+2=0，∴y1=1，y2=﹣2．18．（5分）王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解：方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第二步开始出现错误．请你选择适当方法，正确解此方程．【解答】解：王洪的解法从第二步开始出现错误，正确解此方程：x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2，x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣；故答案为二．19．（5分）先化简，再求值：2（m﹣1）2+3（2m+1），其中m2+m﹣2=0．【解答】解：2（m﹣1）2+3（2m+1）=2（m2﹣2m+1）+6m+3=2m2﹣4m+2+6m+3=2m2+2m+5=2（m2+m）+5，∵m2+m﹣2=0，∴m2+m=2，∴原式=2（m2+m）+5=2×2+5=9．20．（5分）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．求证：BE=DG．m的【解答】解：设一次函数的表达式为y=kx+b．代入（1，1），（2，3）两点，得：∴．解得：．∴一次函数表达式为y=2x﹣1．把（0，m）代入y=2x﹣1，解得m=﹣1．22．（5分）列方程或方程组解应用题某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造.2015年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2017年投资7.2亿元人民币，求每年投资的增长率．【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），答：每年投资的增长率为20%．23．（5分）2015年是怀柔区创建文明城区的全面启动之年，各学校组织开展了丰富多彩的未成年人思想道德教育实践活动．某校在雁栖湖畔举行徒步大会，大会徒步线路全长13千米．从雁栖湖国际会展中心北侧出发，沿着雁栖湖路向东，经过日出东方酒店、雁栖湖景区、古槐溪语公园、雁栖湖北岸环湖健身步道等，再返回雁栖湖国际会展中心．下图是小明和小军徒步时间t（小时）和行走的路程s（千米）之间的函数图象，请根据图象回答下列问题：（1）试用文字说明，交点C所表示的实际意义；（2）行走2小时时，谁处于领先地位？（3）在哪段时间小军的速度大于小明的速度？说明理由．【解答】解：（1）交点C所表示的实际意义为：小军休息时，小明追上了小军．（2）由图象知：2.5小时前，小军的速度为：9÷2.5=3.6（千米/小时），小明的速度为：13÷3.5=（千米/小时），2小时时，小军处于领先地位；（3）由图象知：在行走2.5小时之内时，小军的速度大于小明的速度．因为在2.5小时之间时，二人都是匀速行驶的，小军2.5小时走了9千米，小明2.5小时走的不到9千米．24．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角，AM是∠DAC的平分线，AC的垂直平分线与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．（1）补全图形；（2）判断四边形AECF的形状并加以证明．【解答】解：（1）如图所示：（2）猜想：四边形AECF是菱形，证明：∵AB=AC，AM平分∠CAD，∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM，∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD=∠B+∠ACB，∴∠CAD=2∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∴AF∥CE，∴∠FAO=∠ACE∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COF=90°，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．25．（5分）《北京中小学语文学科教学21条改进意见》中的第三条指出：“在教使语某校初二年级学生周人均阅读时间频数分布表请根据以上信息，解答下列问题：（1）在频数分布表中a=80，b=0.275；（2）补全频数分布直方图；（3）若该校有1600名学生，根据调查数据请你估计，该校学生周人均阅读时间不少于6小时的学生大约有1000人；（4）通过观察统计图表，你对这所学校初二年级同学的读书情况有什么意见或建议？【解答】解：（1）在频数分布表中a=400×0.200=80，b==0.275，故答案是：80，0.275；（2）补全频数分布直方图，如图所示（3）该校学生周人均阅读时间不少于6小时的学生大约有1600×（0.275+0.250+0.100）=1000，故答案是：1000；（4）答案不唯一：如对于学生周人均阅读时间在0≤x＜2小时的人群，建议每人每天再读40分钟以上，对于学生周人均阅读时间在2≤x＜4小时的人群，建议每人每天再读30分钟以上，对于学生周人均阅读时间在4≤x＜6小时的人群，建议每人每天再读20分钟以上．26．（5分）有这样一个问题，探究函数y=的图象和性质．小强根据学习一次函数的经验，对函数y=的图象和性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≠2；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数y=图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；（3）进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第一象限的部分，y随x 的增大而减小；（4）结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质．【解答】解：（1）由已知得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．（2）补出函数图象的另一部分，如图．（3）∵在y=中k=3＞0，∴该函数在第一象限的部分，y随x的增大而减小．故答案为：减小．（4）在第三、四象限的部分，y随x的增大而减小．27．（7分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（n﹣2m）x+m2﹣mn=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m﹣1=0，求证：x2﹣（n﹣2m）x+m2﹣mn=0有一个实数根为﹣1；（3）在（2）的条件下，若y是n的函数，且y是上面方程两根之和，结合函数图象回答：当自变量n的取值范围满足什么条件时，y≤2n．【解答】（1）证明：∵x2﹣（n﹣2m）x+m2﹣mn=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（n﹣2m）]2﹣4（m2﹣mn）=n2，∵不论n取任何实数时，都有n2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）证明：∵m﹣1=0，∴m=1，∴有一元二次方程x2﹣（n﹣2）x+1﹣n=0，由求根公式，得x=，∴x=n﹣1或x=﹣1，∴方程有一个实数根为x=﹣1；（3）解：如图所示，在同一平面直角坐标系中，分别画出y=n﹣2与y=2n的图象．由图象可得，当n≥﹣2时，y≤2n．28．（7分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，在边AB上取点E，在边AC上取点F，使BE=AF（E，F不是AB，AC边的中点），连结EF．求证：EF＞BC．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造全等三角形，再证明线段的关系．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点C作CH∥BE，并截取CH=BE，连接EH，构造出平行四边形EBCH，再连接FH，进而证明△AEF≌△CFH，得到FE=FH，使问题得以解决（如图2）．（1）请回答：在证明△AEF≌△CFH时，CH=AF，∠HCF=∠A．（2）参考小伟思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，延长CA到点D，延长AB到点E，使AD=BE，∠DEA=15°．判断DE与BC的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）CH=AF，∠HCF=∠A，故答案为：AF；∠A；（2）判断DE=BC．证明：过点E作EF∥BC，并截取EF=BC，连接CF，连接DF，∴四边形BEFC是平行四边形，∴CF=BE，CF∥AE，∵AD=BE，∴CF=AD．∵AB=AC，AD=BE．∴CD=AE，∵CF∥AE∴∠FCD=∠EAD．在FCD和△EAD中，，∴△FCD≌△EAD，∴DF=DE．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=ACB=45°，∵BC∥EF．∴∠AEF=∠DFE=45°∵∠DEA=15°．∴∠DEF=60°．∴△DEF是等边三角形，∴DE=EF．∵BC=EF．∴DE=BC．29．（8分）直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切．如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交．（1）如图4，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y 轴上，OA=3，OB=2，直线y=x+2与矩形AOBC的关系为相切．（2）在（1）的条件下，直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b，当直线y=x+b，与矩形AOBC相离时，b的取值范围是b＜﹣3或b＞2；当直线y=x+b，与矩形AOBC相交时，b的取值范围是﹣3＜b＜2．（3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时，利用图5求直线QN的函数表达式．【解答】解：（1）∵OB=2，∴点B（0，2），令y=x+2中x=0，则y=2，∴直线y=x+2过点B，又∵BC平行x轴，∴直线y=x+2与矩形AOBC只有一个交点，∴直线y=x+2与矩形AOBC相切．故答案为：相切．（2）依照题意画出图形，如图6所示．①当y=x+b过点B时，b=2；当y=x+b过点A时，有0=3+b，解得：b=﹣3．∴当直线y=x+b与矩形AOBC相离时，b＜﹣3或b＞2．故答案为：b＜﹣3或b＞2．②由①可知：当直线y=x+b与矩形AOBC相交时，﹣3＜b＜2．故答案为：﹣3＜b＜2．（3）∵P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），∴PQ∥MN，PN∥QM，PN⊥x轴，∴四边形PQMN是矩形，∴PM=QN．令y=x+2中x=3，则y=5，∵5＞1，∴点M在直线y=x+2的下方，∵直线y=x+2与矩形PQMN相切，∴y=x+2必过P点．∵线段QN最短，QN=PM，∴只需线段PM最短即可．根据点到直线的距离，垂线段最短，得MP垂直直线时最短，如图7所示．∵y=x+2，∴E（﹣2，0），H（0，2），∴OE=OH，∴∠OEH=45°．∵FN∥x轴，∴∠MFP=45°，当∠NMP=45°时，∠MPF=90°，MP⊥EH，此时MP最短，∵∠NMP=45°，∠PNM=90°，∴∠NPM=45°，∴PN=MN，∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短．∵PN=m+1，MN=3﹣m，∴m+1=3﹣m，∴m=1，∴Q（3，3），N（1，1）．设直线QN的函数表达式为y=kx+c，则有，解得：，∴直线QN的函数表达式为y=x．。