5.3机械能守恒定律专题

图甲：把物体斜向上抛出到落至海平面，不计空气阻力物体机械能
________(填“守恒”或“不守恒”，下同)。 图乙：物体从静止开始以8 m/s2的加速度竖直下落的过程中机械能
________。
图丙：斜面体放在光滑的水平面上，冲上光滑斜面顶端的滑块，在 上升过程中机械能________。
图丁：用轻质杆连接质量不等的两个小球，当杆绕光滑轴O从水平
3. 机械能是否守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断(直接判断)：机械能包括 动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看 物体或系统机械能的总和是否变化。 （2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹 力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。 （3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势 能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体
由于只有重力做功，由以上两式可得
B v2
h1 h2
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的情况下，物体的 与
势能 动能
相互转化，但机械能的总量保持
不变
。
2．机械能守恒定律表达式
观点 守恒观点 转化观点 转移观点
表达式 Ek1＋Ep1＝ Ek2＋Ep2 ΔEk＝ －ΔEp ΔEA＝ －ΔEB
【答案】 BD
4.与动能定理的区别与联系
区别： ①动能定理使用无条件，机械能守恒使用有条件。 ②动能定理分析单体，机械能守恒定律可分析系 统。
联系：由动能定理可推导出机械能守恒定律。
5.机械能守恒问题的规范解答
一般步骤：
(2)分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件。
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。
【例1 】如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ＝
53°，BD为半径R＝4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一
水平面上，在B点，斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整 个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处有一质量m＝1 kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去， 最后落在地面上的S点时的速度大小vS＝8 m/s，已知A点距 地面的高度H＝10 m，B点距地面的高度h＝5 m，设以
A v1
m gh 1 m gh 2 =______________________________
1 1 2 mv 2 mv1 mgh1 mgh 2 2 __________________________________ 2 2 1 2 移项得 1 mv 2 mv1 mgh1 2 mgh 2 2 2 ___________________________ 可见(结论)： ________________________________________ 在只有重力做功的情形下，物体的动能和势能可以相 互转化，但其机械能的总量保持不变。－－机械能守 ________________________________________ 恒定律 _____
【解析】
(1)设滑块下滑至P点时的速度为v1，由机械能守恒定律得
1 2 mgxsin 53° ＝2mv1 解得 v1＝4 m/s
(2)设滑块再次滑到 P 点时速度为 v2， M 的速度为 vM， 如图， 将 v2 进行分解得：vM＝v2cos θ，绳与直杆的夹角为 θ，由几何关 系得 θ＝90° ， vM＝0， 再由系统机械能守恒定律得： MgL(1－sin 53° ) 1 2 ＋mgxsin 53° ＝2mv2＋0，解得 v2＝5 m/s。
(3)设小球受到的阻力为 Ff，到达 S 点的速度为 vS， 在此过程中阻 力所做的功为 W，易知 vD＝vB，由动能定理可得 1 2 1 2 mgh＋W＝ m vS－ m vD 2 2 解得 W＝－68 J。
如图甲所示，一半径R＝1 m、圆心角等于143°的竖直
圆弧形光滑轨道，与斜面相切于B处，圆弧轨道的最高点
§5.3机械能守恒定律专题
2015/8/21
一、重力势能的表达式 1. Ep = mgh
m — 物体的质量，单位：千克（kg）
g — 重力加速度，单位：米／秒2（m／s2） h —物体的高度，单位：米（m） Ep — 物体的重力势能，单位：焦（J）
即：物体的重力势能等于物体的重力 和它的高度的乘积．
【解析】 (1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB，由机械能守恒得： 1 mg(H－h)＝ m v2 B 2 解得 vB＝10 m/s。
(2)设小球经过 C 点时的速度为 vC，对轨道的压力为 FN，则轨道 对小球的支持力 FN′＝FN，根据牛顿第二定律可得 vc2 FN′－mg＝m R 1 1 由机械能守恒得：mgR(1－cos 53° )＋ m v2 ＝ m v2 B C 2 2 由以上两式及 FN′＝FN 解得 FN＝43 N。
C．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化
量保持不变 D．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化 量不断变化
【解析】 以 A、B 球组成的系统为研究对象，两球在运动 过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械 能守恒，以过 O 点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的 1 2 总机械能为 E＝2× mv ＝mv2。 假设 A 球下降 h， 则 B 球上升 h， 2 1 2 此时两球的速度大小是 v′ ，由机械能守恒定律知 mv ＝ 2 mv′2×2＋mgh－mgh，得到 v′＝v，故运动过程中 B 球速度大 小不变。当单独分析 B 球时，B 球在运动到最高点之前，动能保 持不变，重力势能在不断增加。由几何知识可得单位时间内 B 球 上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的。B、D 正 确。
补充：势能是系统所共有的
（1）若没有地球，物体是否具有重力势能？ （2）若弹簧一端不固定，弹簧是否具有弹性2．弹性势能是弹性装置与受弹力作用物体所 组成的系统所共有的．
课堂反馈
1、物体在运动过程中，克服重力做功为 50J，则：（ BD ） A、重力做功为50J； B、物体的重力势能一定增加了50J C、物体的动能一定减少50J； D、重力做了50J的负功。
统机械能守恒。
2.如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的 轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由
转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好
在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法 正确的是( )
A．运动过程中B球机械能守恒
B．运动过程中B球速度大小不变
MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域， g取10 m/s2，cos 53°＝0.6。
(1)求小球经过B点时的速度为多大？ (2)求小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大？ (3)小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时速度方向
始终相反，求小球从D点至S点的过程中阻力Ff所做的功。
2．一个盛水袋，某人从侧面缓慢推装液体的袋壁使它变 形至如图所示位置，则此过程中袋和液体的重心将( A．逐渐升高 B．逐渐降低 )
C．先降低再升高
D．始终不变
【解析】 人对液体做正功，液体的机械能增加， 液体缓慢移动可以认为动能不变，重力势能增加， 重心升高，A正确。 【答案】 A
情境：树上掉下来的椰子质量为m(忽略空气阻力),
【例2 】有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为53°，
杆上套着一个质量为m＝2 kg的滑块(可视为质点)。
(1)如图甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移x＝1 m后到 达P点，求滑块此时的速率。
(2)如果用不可伸长的细绳将滑块 m 与另一个质量为 M＝2.7 kg 的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂 M 而绷紧，此 5 时滑轮左侧绳恰好水平，其长度 L＝3 m(如图乙所示)。 再次将滑块从 O 点由静止释放，求滑块滑至 P 点的速度大 小。(整个运动过程中 M 不会触地，sin 53° ＝0.8，cos 53° ＝0.6， g 取 10 m/s2)
位置转到竖直位置的过程中，两球组成的系统机械能________。
【提示】 图甲中物体只有重力做功，机械能守恒。 图乙中物体下落的加速度a＝8 m/s2，一定有向上的 阻力做负功，机械能不守恒。 图丙中斜面放在光滑水平面上，滑块冲上斜面后， 斜面体在水平面上加速运动，滑块机械能不守恒。
图丁中，将两球看成一个系统，只有重力做功，系
为M，斜面倾角θ＝37°，在t＝0时刻有一物块沿斜面上滑， 其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示。若物块恰能 达到M点(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)物块经过B点时的速度vB；
(2)物块与斜面间的动摩擦因数μ； (3)AB间的距离xAB。
【解析】 v2 M (1)由题意物块恰能到达 M 点，则在 M 点有 mg＝m R 1 1 由机械能守恒定律有 mgR(1＋cos 37° )＝ m v2 － m v2 B M 2 2 代入数据可求得：vB＝ 46 m/s。
理论 探究
动能 与势 能转 化是 否存 在某 种关 系？
下落到A点时，速度为v1，离地面的高度为h1，下落到B 点时，速度为v2，离地面的高度为h2，则椰子从A点下落 到B点的过程中，有： 1）由动能定理可知,重力所做的功为： 2） 由重力做功与重力势能改变的关系可知，重 力所做的功为： WG
1 1 2 2 mv 2 mv1 WG＝______________________________ 2 2
• 把所选高度的起点处的 平面叫参考平面. • 参考平面的选取是任意 的. • 选取不同的参考平面， 物体的重力势能的数值 是不同的 . • 通常选择地面作为参考 平面.
二、弹性势能
1、发生形变的物体，在恢复原状时能 撑杆跳 够对外界做功，因而具有能量，这种能 蹦床 量叫做弹性势能．