高数下期末考试试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
09级高数(下)期末考试题及参考答案
09级高数（下）期末考试题及参考答案一、选择题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 是( B )（A ）可分离变量方程 （B ）齐次方程 （C ）一阶线性方程 （D ）伯努利方程2. 函数 的定义域是（ A ）（A ）}1),{(22<+=y x y x D （B ）}1),{(22≥+=y x y x D （C ）}1),{(22=+=y x y x D （D ）}1),{(22≤+=y x y x D 3. 对于函数 , 在点 处下列陈述正确的是( C )（A ）偏导数存在⇒连续 （B ）可微⇔偏导数存在 （C ）可微⇒连续 （D ）可微⇔偏导数连续4. 设 : 则三重积分 等于（ B ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππρϕϕρϕθd d d （B ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ202013cos sin d d d（C ）⎰⎰⎰2012sin ππρϕρϕθd d d （D ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ2013cos sin d d d5. 设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取负方向, 函数 在D 上具有一阶连续偏导数, 则 A （A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(（B ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x P y Q )( （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )( 二、填空题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 的通解为___ ____.2. 设函数 , 则 。
3. 交换积分次序后, ____ ____4. 设平面区域D ： , 则5．设曲线L 是连接 和 的直线段, 则曲线积分 ____ 6. 函数 在 处的泰勒级数为____ _____. 三、求解下列问题（每题7分, 共63分） 1. 求微分方程 的通解 解：令 , 则 , , 分离变量: 两边积分, 得 即 , , 2.设 , 求222y xy x y x x z +++=∂∂，222y xy x y x y z +++=∂∂所以 =∂∂+∂∂y z y x z x 2222y xy x xy x +++2222yxy x y xy ++++2= 3. 设 , 且 具有二阶连续偏导数.求 解： , ,)(2221212112xf f y f xf f yx z++++=∂∂∂2221211)(xyf f f y x f ++++= 4. 求椭球面 在点（1, 1, 1）处的切平面方程和法线方程。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
高数下册 期末试题及答案
高数下册期末试题及答案第一题：已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的导函数。
解析：要求 f(x) 的导函数，即求 f'(x)。
根据求导法则，对于多项式函数 f(x) = ax^n：1. 当 n 不等于 0 时，f'(x) = anx^(n-1)。
2. 当 n 等于 0 时，f'(x) = 0（常数项的导数为 0）。
所以，对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1：f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。
答案：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。
第二题：已知函数 f(x) = e^x * ln(x)，求其不定积分。
解析：要求函数 f(x) 的不定积分，即求∫ f(x) dx。
根据积分法则，对于函数 f(x) = e^x * ln(x)：1. 对于∫ e^x dx，由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1（其中 C1 为常数）。
2. 对于∫ ln(x) dx，由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2（其中 C2 为常数）。
所以，对于 f(x) = e^x * ln(x)：∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)（其中 C(x) 为常数）。
答案：∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。
第三题：已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，证明 f'(x) = 0。
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中．号12345678答案1．已知 a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b 0(B)a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中，df f 的是().（ A）f (x, y)xy（ B）f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C）f (x, y)x2y2（ D）f (x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x1)2( y 1)22，若I1x y d， I 2x yd ，D4D4I 33x y，则有（） .dD4（A）I1I 2I 3（B）I1I 2I 3（C）I2I1I 3（D）I3I1I 26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x2 4 y2 )ds（） .43L(A)l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交错级数，a n0 (n) ，则（）.n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数a n2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题2分，共 14分)．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设f x是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x2y2 } ， f ( x2y2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x01x2,0 x以 2为周期延拓后，其傅里叶级数在点于.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数nn的和．n 1n 12解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．0y解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的部分的下侧.解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y22017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ；(D)a b0 ．2. 极限lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 . 3．下列函数中，df f 的是( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B）f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D）f (x, y)e x y .4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D：( x 1)2( y 1)22，若I1x yd ，I2x y dD4D4WORD 格式整理3xyd，则有（ A）I 34D（A）I1I 2I3；（B） I1I 2I 3；（C）I2I1I3；（D）I36．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x24y2 )ds（ D）43L(A) l；(B)3l；(C)4l ；(D)127．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散；n1n 1（ B）若级数n1a n2发散，则级数n 1a n也发散；（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共14 分)．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
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2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)． 解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………xO2y x =2x y =y D2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=_______1_____3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰=π ．5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 223920d d ()d f z πρθρρρ-⎰⎰⎰6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 (,)-∞+∞ . 7.函数21,0()1,0x f x xx ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于22π .三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解：12u x f xf f x y ∂''=++∂ ………………4分222u x f y y∂'=-∂ . ………………7分 2．求曲面3z e z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：令(),,e 3z F x y z z xy =++-，………………2分(,,)(,,e 1)zx y z F F F y x n ==+，(2,1,0)(1,2,2)n= ，………………4分所以在点(2,1,0)处的切平面方程为 (2)2(1)20x y z -+-+=， 即 2240x y z ++-=；………………6分法线方程为21122x y z--==. ………………7分3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰； 解：0sin d d xyx y y ππ⎰⎰=00sin d d y y y x yπ⎰⎰ ………………4分=0sin d 2y y π=⎰………………7分4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰解：注意到曲面z xy =经过x 轴、y 轴，………………2分Ω={(,,):0,0,01}x y z z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ ………………4分故12323000d d d d d d x xy I xy z x y z x y xy z z Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=3641． ………………7分5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12n n n ∞=∑的和．解：11()n n S x nx∞-==∑， (0)1S =，由已知的马克劳林展式：11,||11n n x x x ∞==<-∑，………………2分有11()()(1)1n n S x x x ∞===-''-∑=21(1)x -，||1x <，………………5分 12nn n ∞=∑=11122n n n ∞-=∑=11()22S =2 ………………7分 四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解 设两个直角边的边长分别为x ，y ，则221x y +=，周长1C x y =++， 需求1C x y =++在约束条件221x y +=下的极值问题． ………………2分设拉格朗日函数22(,,)1(1)L x y x y x y λλ=++++-，………………4分令22120,120,1,x y F x F y x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+=⎩解方程组得2x y ==为唯一驻点， ………………6分又最大周长一定存在，故当x y ==. ………………7分2．计算积分22()d Lx y s +⎰Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：L 的极坐标方程为 cos a ρθ=，22ππθ-≤≤；………………2分则d d s a θθ==，………………4分所以3222322222()d d cos d 2La x y s a a πππππρθθθ--+===⎰⎰⎰Ñ．………………7分或解：L 的形心(,)(,0)2ax y =，L 的周长a π，22()d Lxy s +⎰Ñ=d Lax s ⎰Ñ=ax a π=32a π3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI x y x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线． 解：22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰ÑDdxdy =⎰⎰ ………………3分21d xx y =⎰………………5分13= ………………7分4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：∑在xoy 面上的投影区域为)0,0(1:≥≥≤+y x y x D xy ，………………2分又,1,1,1:-=∂∂-=∂∂--=∑yzx z y x z 故dxdy dS 3=，………………4分 xO 2y x =2x y =yD所以1100xyxDxdS xdxdy dx xdy-∑===⎰⎰⎰. ………………7分或解：由对称性，11()33xdS x y z dS dS∑∑∑=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d dx y y z z xS++蝌，其中∑为锥面222z x y=+介于平面0z=及1z=之间的部分的下侧。