江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(九)

南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（09）高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}R y y x M =∈=，{}2R y y x N =∈=，则M N = （ ） A ．R B ．∅ C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i3、设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足1n n P P + ＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )．A ．3()4n n -B ．4()3n n -C ．2()3n n -D ．1()2n n -4、在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝—12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )A ．－1B ．0 C.—12D ．15、已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为（ ）A ．4B ．2 C． D6、执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥7、已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．[]3,3-B ．11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(][),33,-∞-+∞D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、(421x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．12 9、已知函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，则b a -的值不可能是（ ）A ．53π B ．76π C ．π D ．56π10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）3cmA ．2B ．4C ．6D ． 12 11、如图所示，圆O 为正三角形C AB 的内切圆，P 为圆O 上一点，向量C x y AP =AB+A，则x y +的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1），如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧D A M 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．给出下列命题：①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若命题“R x ∃∈，使得22390x ax -+<成立”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．14、中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是 ．15、如图，空间四边形CD AB 中，C D 45∠A =，cos C ∠A B =，C AD A =C 6B =．若点E 在线段C A 上运动，则DEB +E的最小值为 ．16、设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，133n n S S +=+ *()n N ∈， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n nn b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈.18．(12分)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在4月份的30天都记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，从中随机挑选了5天进行分析研究，得到如下表格：(1)请根据4月7日、15日和21日的三天数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若某天种子发芽率不低于14，则称该天种子发芽情况为“长势喜人”。

根据表中5天的数据，以频率为概率，估计4月份的整体种子发芽情况。

若在4月份中随机挑选3天，记“长势喜人”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望。

⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i－n x － y －∑n i ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y －－b ^ x －19.(本题满分为12分)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠= ，2AB PC ==，AP BP ==.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.20、在直角坐标系xOy 中，设点A (－1,0)，B (1,0)，Q 为△ABC 的外心．已知CG →＋2OG →＝0，QG ∥AB ． (1)求点C 的轨迹Γ的方程；(2)设经过F (0，2)的直线交轨迹Γ于点E ，H ，直线EH 与直线l ：y ＝322交于点M ，点P 是直线y＝2上异于点F 的任意一点．若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得1k 1＋1k 2＝tk 3？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．21、已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（1）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围.ADCBP请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点G .(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH ＝95，求CD ·CA的值．23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－1＋32ty ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值．24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.数学（理）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. ⎡-⎣14．3或215．716．15三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (12分)解：（1）133n nS S+=+，当2n≥时，133n nS S-=+，两式相减，得：13n na a+=（2n≥）又13a=，代入133n nS S+=+得29a=3nna∴=()n N+∈………………………………6分（2）1nn nnba a+=-133n nn+=-123nn= ………………………………7分231123()23333n nnT=+++2341111231()3233333n n nn nT+-=++++23412111111()32333333n n nnT+∴=++++-…………………………10分解得：36243n nnT+=-……………………………………12分18. (12分)解：(1)由数据得，另3天的平均数x－＝12，y－＝27，3 x－y－＝972，3 x－2＝432，∑3i＝1x i y i＝977，∑3i＝1x2i＝434，所以b^＝977－972434－432＝52，………………………3分a^＝27－52×12＝－3，所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3. ………………………6分(2)依题意得，选出的5天中，“长势喜人”的天数为3天.所以某一天为“长势喜人”的概率为3=5P（长势喜人） ………………………8分 X 的所有可能取值为0，1，2，3.0303238=C ()()55125P =（X=0）12132336=C ()()55125P =（X=1） 21232354=C ()()55125P =（X=2）30332327=C ()()P =（X=3）(3)5X B ，,355EX ∴=⨯= ………………………………………12分19. (12分)解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，． ∵AP BP =，∴PO AB ⊥又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒， ∴ACB V 是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =I ，∴AB PCO ⊥平面，又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥ ……………………………………6分（Ⅱ）由2AB PC ==，AP BP ==，易求得1PO =，OC =∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -，则(0,1,0)B ，C ，(0,0,1)P ，2,0)D -，∴1,0)BC =- ，1)PC =- ，(0,2,0)DC =设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z = ，则1n PC ⊥ ，1n DC ⊥，∴11020n PC z n DC y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，∴z =0y =，∴1(1n = …………………………8分 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c = ，则2n PC ⊥ ，2n BC ⊥，∴220n PC c n BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，∴c =b =，∴2(1n = …………………10分∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为7-………………12分 20. (12分)解： (1)设C (x ，y )，∵CG →＋2OG →＝0，∴G (x 3，y 3)，设Q (x 1，y 1)，∵Q 为△ABC 的外心， ∴Q 在线段AB 的中垂线上， ∴x 1＝0，又QG ∥AB ，∴y 1＝y ′3，∴Q (0，y3)，根据|QA |＝|QC |，得x 2＋y 23＝1(y ≠0)． ……………………………5分(2)当直线EF 的斜率不存在时，t ＝2.设直线EF 的斜率为k ，则直线EH 的方程为y ＝kx ＋2， 点M 坐标为(22k ，322)． 把直线方程代入椭圆方程3x 2＋y 2＝3并整理，得(k 2＋3)x 2＋22kx －1＝0， ……………………………7分 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，P (a ，2)(a ≠0)，则有x 1＋x 2＝－22k k 2＋3，x 1x 2＝－1k 2＋3，…………………………………8分所以1k 1＝x 1－a y 1－2＝x 1－a kx 1，1k 2＝x 2－a kx 2，1k 3＝1k－2a .又因为1k 1＋1k 2＝x 1－a kx 1＋x 2－a kx 2＝2k －22a ，…………………………………12分故存在常数t ＝2符合题意．21. (12分)解答：（1）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx ﹣x 2+2，定义域（0，+∞）， ∴f′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．……………………………………2分 ∴f′（1）=﹣3， 又f （1）=1，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；…………………………4分 （2）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0， 则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即a=，…………………………6分令h （x ）=，则h′（x ）=，令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t′（x ）=，∵x ＞0，∴t′（x ）＜0，∴t （x ）在（0，+∞）上是减函数，…………………………8分 又∵t （1）=h′（1）=0，∴当0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，当x ＞1时，h′（x ）＜0， ∴h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴h （x ）max =h （1）=1，∴当函数g （x ）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，只需证明g （x ）max ≤m ， ∴g′（x ）=（x ﹣1）（3+2lnx ）， 令g′（x ）=0，得x=1或32x e -=又∵e ﹣2＜x ＜e ， ∴函数g （x ）在（e ﹣2，32e -）上单调递增，在（32e-，1）上单调递减，在（1，e ）上单调递增，又g （32e -）=﹣e ﹣3+232e-，g （e ）=2e 2﹣3e ，∵g （32e -）=﹣e ﹣3+232e -＜232e -＜2e ＜2e （32e-）=g （e ），∴g （32e-）＜g （e ），∴m≥2e 2﹣3e ．…………………………………………………………12分请考生从22、23、24题中任选一题作答（相应方框填涂）；如果多做，则按所做的第一题计分； 如果不填涂，则按22题计分。