江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试 数学(理)附答案
江西省南昌市2020届高三上学期摸底数学理试卷Word版含解析
2018届南昌市高三摸底调研考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟. 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 已知复数z 满足(1 i)^2，则复数z 的虚部为 A . 1 B . -1 C . 设集合 A -\x|—2m x m 1, B = lx| y = log 2(x 2 A . [-2,1) 已知 sin v -1, v 3 A . -2 C .一 2 4 1. 2. 3. 4. B . (-1,1] JI (，二)，则 tanv 二 2 B . - 2 D .一辽8 n 为 5. 6. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 工X y -1 _0I 设变量x, y 满足约束条件 x -2y • 2 一 0 , 2x - y - 2 _0A . -2B . 2 已知m , n 为两个非零向量，则“A .充分不必要条件C .充要条件 如图，网格纸上小正方形的边长为 是某多面体的三视图，2A.— 3 i D . - i -2x -3)?，则 Ap|B 二 C . 3 D . m 与n 共线”是“ m n =| m n |"的 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件1，粗实线及粗虚线画出的 则该多面体的体积为 4 B. 3 C.2 8 D.- 3 x y = cos- 函数y 二sin( )的图像可以由函数 2 6 A .向右平移一个单位长度得到 3 C .向左平移一个单位长度得到3某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必 的图像经过 2 向右平移空个单位长度得到3 向左平移—个单位长度得到 3 9. 须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188 种 D. 240种 10 .已知占棱锥P - ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 A B = 2 • 2 , A C B 9,0 PA 为球O 的直径且PA 二f ，则点P 到底面ABC 的距离为 A . 2 B . 2 2 C . I 3 D . 2、3 11.已知动直线I 与圆O:x 2 • y 2 =4相交于A, B 两点，且满足| AB |=2，点C 为直线l 上一占八、、：5 uirCA ，若M 是线段AB 的中点，则 2第二象K限内一点，若直线 y = —x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心率为 a A . 2 B . .3 C . 、、5 D . 6 二.填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13•高三(2)班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63,依编号顺序平均分成 8组，组号依次为1, 2, 3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 ____________ .14.二项式(X-?)5的展开式中X 3的系数为 ______________ .X15•已知 ABC 的面积为2.. 3，角代B,C 所对的边长分别为 a,b,c , A ，则a 的最 3小值为 _________ . 「In(x +1) x > 016.已知函数f (x)= 2' '，若不等式I f(x)| -mx • 2 —0恒成立，则实数 m 的 I —x 2+3x,x 兰0取值范围为 __________ .三•解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17LI 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17. (12 分)已知数列｛a n ｝的前n 项和S H =2n 1 -2，记b^a n S n (N*).(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的前n 项和T n .uir 且满足CBOC OM 的值为12.已知双曲线2xC : paB . 2、, 32y2 =1(a ■ 0,b ■ 0)的左右焦点分别为 F 「F 2 , P为双曲线C 上 bC. 2微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号•手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞•现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”，否则评定为懈怠型根据题意完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别有关？(2)如果从小明这3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).2附: K2n ad心(a+b j(c+d [a+c)(b+d )19. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，.ABC =/ACD =90°, BAC =/CAD =60°,PA _平面ABCD , PA =2,AB =1.设M ,N分别为PD, AD的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB ;(2)求二面角N - PC -A的平面角的余弦值.C2 2已知椭圆C :笃•爲=：1(a b 0)的离心率为a b(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线I : y = kx • m 与椭圆C 交于M , N 两点，O 为坐标原点，若k OM k ON 求原点O 到直线I 的距离的取值范围21. (12 分)设函数 f(x)=lnx-2mx 2-n(m, n R ). (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有最大值-ln 2，求m • n 的最小值•(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分. 22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)l x —3 ' 2cos ■-在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为＜ V(口为参数)，i y = 2 2sin 二直线C 2的方程为y3x ,以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .3(1) 求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 2与曲线C 1交于P,Q 两点，求|OP| |OQ |的值•23 .［选修4—5:不等式选讲］(10分) 设函数 f (x) =|2x-3|. (1 )求不等式f(x)・5-|x ・2|的解集；二3，短轴长为22.(2)若g(x)二f (x m) f (x -m)的最小值为4，求实数m的值•20仃-2018学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1 •已知复数z满足(1+i) z=2,贝U复数z的虚部为( )A. 1B.- 1 C . i Di【考点】A2:复数的基本概念.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；5N :数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【解答】解：(1+i) z=2,.z= 2〜加-i)十_ i则复数z的虚部为-1.故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设集合A={x| _ 2<x< 1}，丘|尸lo呂2(兴一能-3)}，则A n B=( )A. [ _ 2, 1)B. (_ 1，1]C. [ _ 2，_ 1)D. [ _ 1, 1)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题；37 :集合思想；40:定义法；5J :集合.【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】解：由B可得：x2_ 2x _ 3>0,即(x_ 3) (x+1)> 0，解得x v_ 1 或x > 3,即卩B= (_x,—1)U( 3, +x),•••集合A={x| —2<x< 1}=[ —2, 1]••• A n B=[ —2,_ 1)故选：c.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.1 TT3 .已知sin 0 二弓，® C 它-、兀），则tan 0 （）A. - 2B. -C. 'D.—4 8【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】35 :转化思想；49 :综合法；56 :三角函数的求值.【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan 的值.【解答】解：•••已知siM二寺，与-*兀），二cos 0 = 6 =-笃左，则tan 0 八=-二cos d 4故选：C.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，输出的门为（）【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题；28 :操作型；5K :算法和程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，f (x) =1，满足f (x)=f (- x),不满足f (x) =0有解，故n=2;当n=2 时，f (x) =2x，不满足 f (x) =f (- x)，故n=3;2当n=3 时，f (x) =3x，满足 f (x) =f (- x)，满足 f (x) =0 有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.x+y-1^05.设变量x，y满足约束条件x-2y+2>0，则z=3x- 2y的最大值为(C. 3D. 4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解 决本题的关键.6.已知m ，"为两个非零向量，贝U m 与"共线”是m? =1 m?"l”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】 7C : 简单线性规划.【专题】 11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5T :不等式.【分析】 作出约束条件 \+y-1^0^2y+2>0对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可 得到结论.\+y-l^O【解答】解：作出约束条件x-2y+2>0,对应的平面区域如图： 3 由 z=3x - 2y 得 y=^x - 3 平移直线尸K+y _l =0 i2x-y-2=0此时 Z max =3 X 1 - 0=3,x ，经过点A 时，直线yf的截距最小，此时z 最大.，解得 A (1, 0)，【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】40:定义法；5H :空间向量及应用；5L :简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的性质进行判断即可.【解答】解：当-与•-夹角为180°时，满足向量共线，，呻T 耐一耐T 耐T 耐T 呻T但m?n= - | ml ?| n|，| m?n| =| ml ? n，| 此时m?i=| m? \不成立，即充分性不成立，右m?n=| m?n|，贝U m?n=| m| ? n| cos v m，n > =| m || n|| cos v m，n >|，则| cos v m，>| =cos v m，- >，则cos v m，□>》0，即0°wv m，口>w 90°,此时m与n不一定共线，即必要性不成立，则m与•「共线”是吊？「=|爲？「|”的既不充分也不必要条件.故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键.7 •如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(【专题】11 :计算题；5F :空间位置关系与距离；5Q :立体几何.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 画出直观图，代入锥体 体积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 其直观图如下图所【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 根据已知中的三视图分 析出几何体的形状，是解答的关键.8. 函数y=sin(y-P^)的图象可以由函数 尸c □冷的图象经过( A .向右平移 B. 向右平移,兀C.向左平移 个单位长度得到D - I【考点】L!:由三视图求面积、体积.个单位长度得到 个单位长度得到故选：AD •向左平移亍HJ :函数y=Asin （3X®的图象变换.【点评】本题主要考查函数y=Asin 的图象变换规律，属于基础题.9. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出 顺序的编排方案共有（ ） A . 120 种 B . 156 种 C . 188 种 D . 240 种 【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；32 :分类讨论；35 :转化思想；50 :排列组合.【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论， 依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法， 由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3种情况讨论： ① 、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 4个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有4X 2X 6=48种编排方法； ② 、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有3X 2X 6=36种编排方法；个单位长度得到【考点】 【专题】 【分析】 【解答】 35 :转化思想；49 :综合法；57 :三角函数的图像与性质. 利用函数y=Asin （^x©）的图象变换规律，得出结论. ）的图象向右平移7 解：把函数. = .u-： ； =sin （得函数y=sin （专-今n+ 2兀个单位长度，可2故选：B .）的图象,③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3X 2X 6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素.10. 已知三棱锥P- ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC满足AB二2伍，Z ACB-90^ ，PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为（_）_ ——A. -B. 一C. 一D. 一【考点】MK :点、线、面间的距离计算.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5F :空间位置关系与距离. 【分析】推导出球心O是PA的中点，球半径R=OC=#PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，贝U D是AB中点，且AD=BD=CD=「，从而求出OD，点P到底面ABC的距离为d=2OD.【解答】解：•••三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，•••球心O是PA的中点，球半径R=OC=*PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，•••△ ABC 满足扭二2徒，，••• D 是AB 中点，且AD=BD=CD= 「，•••OD=二：-二•••点P到底面ABC的距离为d=2OD=2「.故选：B.【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查球、三棱锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.11 •已知动直线I与圆o：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2,点C为直线I 上一点，且满足=--.■'，若M是线段AB的中点，则三、75的值为( ) A. 3 B. 一C. 2 D3【考点】9V:向量在几何中的应用.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5A :平面向量及应用. 【分析】由题意设动直线I为y=J5 (x+2)，表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线I与圆O: x2+y2=4相交于A，B两点，且满足| AB| =2，则厶OAB为等边三角形，于是可设动直线I为y W5 (x+2)，根据题意可得B (- 2, 0)，A (- 1, 一)，••• M是线段AB的中点，设 c (x，y)，* 5 事•••(- 2-x，- y) = _ (- 1-x，-y)，【点评】本题考查了向量在几何中的应用， 关键构造直线，考查了向量的坐标运 算和向量的数量积，属于中档题12•已知双曲线C ：七齐 1G>O, b>0）的左右焦点分别为Fi , F2, P 为双曲 a b 线C 上第二象限内一点，若直线v 「，恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线 C a 的离心率为（_ ） _ _ A . - B . 一 C .匚 D .—【考点】KC :双曲线的简单性质.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设F 2 (C , 0),渐近线方程为y 二“X ,对称点为P (m , n ),运用中点坐a标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线 的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.（—丄巫)?(—=3,【解答】解：设F2 (c, 0),渐近线方程为y=£x ,对称点为P (m, n),即有丄=—寻，m-c b且' ?n= ?丄2 2 a 5解得m= | T' , n= b ,c c将P C ,仝)，即( ，「汁)，c C C C代入双曲线的方程可得---- °; 匕=1 ,c a c b2化简可得七■- 4=1,即有e2=5 ,a解得e=.故选：C.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力, 属于中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 高三(2)班现有64名学生，随机编号为0 , 1 , 2,…，63 ,依编号顺序平均分成8组，组号依次为1 , 2 , 3,…,8 .现用系统抽样方法抽取一个容量为8 的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为45 . 【考点】B4：系统抽样方法.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5I :概率与统计.64【分析】先求出分组间隔为… ,再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码.【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63, 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1, 2, 3， (8)分组间隔为,•••在第一组中随机抽取的号码为5,•••在第6组中抽取的号码为：5+5X 8=45.故答案为：45.【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用.14. ，：…•的展开式中含X3的系数为 -10 .（用数字填写答案）x ------------【考点】DB:二项式系数的性质.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数.【解答】解：V二；：展开式的通项公式为x―二瑞尸（子）匚霭（/严，令 5 -2r=3,解得r=1,所以展开式中含x3的系数为Q （-2）1 二-10.故答案为：-10.【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题.15.已知△ ABC的面积为_,角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, , 则a的最小值为2 —.【考点】HP:正弦定理.【专题】11 :计算题；56 :三角函数的求值；58 :解三角形.【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出 a 的最小值即可.【解答】解：由三角形面积公式得：S^bcsinA= ' bc=2 [，即bc=8,根据余弦定理得：a=b2+c2- 2bccosA=b2+c2- bc> 2bc- bc=bc=8,则a>2「，即a的最小值为2「,故答案为：2 ~ .【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.已知函数f(x)=^，若不等式|f (x) | - mx+2> 0恒成立，则实数m的取值范围为_ —. • ° .【考点】R4:绝对值三角不等式.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；4G :演绎法；5T :不等式.【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果.【解答】解：不等式即：mx w|f (x)|+2恒成立，绘制函数|f (x) |+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f (x) |+2的图象下方，考查函数：y=x2-3x+2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为> - -，据此可得：实数m的取值范围为】•..・°故答案为：.-[-1 ' -【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.三•解答题：共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤■第仃〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知数列｛an｝的前n项和I」」…丄，记b n=a n S n （n€ N*）. （1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）求数列｛b n｝的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和；8H :数列递推式.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；54 :等差数列与等比数列.【分析】（1）利用数列递推关系即可得出.（2）禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：（1）：当n=1时，引二Ei二戈⑷-2二2 ；当n>2 时，1又•••「；£ :?,：..」.…（6 分）（2）由（1）知，〔.•；*——"二「…: i 一.…(12 分)1-4 1-2 3 3【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. (12分)微信已成为人们常用的社交软件，微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：A 7 ：■■■：I ■：■ ■■■ I ■：■. -. ■ ■ ■■ I I ■■■ - .：：■ ：■：：：'(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”否则评定为懈怠型”根据题意完成下面的2X2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别”有关？(2)如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3 人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E (X).【考点】BO :独立性检验的应用；CH :离散型随机变量的期望与方差. 【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；51 :概率与统计.【分析】（1）根据题意填写2X 2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值 即可得出结论；（2）根据题意，抽取的女性人数 X 服从超几何分布， 计算X 的概率值，写出X 的分布列，计算数学期望值.【解答】解：（1）根据题意完成2X 2列联表如下：由表中数据计算•••没有90%的把握认为 评定类型”与 性别”有关；…（6分）（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性 6人，女性2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0, 1, 2；E 56厂］厂2 W — AP （X=2）=^—^18••• X 的分布列如下:20 30 6 数学期望为■ .■- :::::.【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问20_56且.丄.P （X=1）=5S 30，…（9 分）题，是中档题.19. (12 分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，/ ABC= /ACD=90，/ BAC= /CAD=60 , PA丄平面ABCD , PA=2, AB=1 .设M , N 分别为PD, AD 的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB;【考点】L@ :组合几何体的面积、体积问题；LU :平面与平面平行的判定；MT :二面角的平面角及求法.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；49 :综合法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】（1）证明MN // PA.推出MN //平面PAB.证明CN // AB .即可证明CN //平面PAB.然后证明平面CMN //平面PAB.（2）以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N-PC —A的平面角的余弦值.【解答】解：（1）证明：：M , N分别为PD, AD的中点，…（12分）贝U MN // PA.又T MN?平面PAB, PA?平面PAB,••• MN //平面PAB.在Rt A ACD 中，/ CAD=60 , CN=AN ,•••/ ACN=60 .又•••/ BAC=60，二CN // AB .T CN?平面PAB, AB?平面PAB,A CN //平面PAB.…（4 分）又••• CN A MN=N，二平面CMN //平面PAB.…（6 分）（2）T PA丄平面ABCD，二平面PAC丄平面ACD ,又••• DC 丄AC ,平面PAC n 平面ACD=AC ，二DC 丄平面PAC ,设n = (x , y , z )是平面PCN 的法向量，贝U j 又平面PAC 的法向量为CD=C0, 2血，0),由图可知，二面角N - PC - A 的平面角为锐角，•••二面角N - PC - A 的平面角的余弦值为£「••••( 12分)【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用， 平面与平面平行的判定定 理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力，以及空间想象能力.2 z 厂分1 (a>b>0)的离心率为弓, b < (1)求椭圆C 的标准方程;（2）设直线I ：y=kx+m 与椭圆C 交于M,N 两点，0为坐标原点，若k 0H -k 0N =|,求A 为原点，AC 为x 轴, AP 为z 轴建立空间直角坐标系, 0）T C （2, CL 0）, P （0, 0. 2）, D （2,陌 0）, N （l, V5，0）,V3i 0),屁二(1,岳_2）,n-H=0—* ---- * ?ln-PN=0 _我3尸° x+^/3y _2z =O,可取二心匕:-- —i M ________ =_ 2忑=街 j 打=_「_ = L， 20. (12分)已知椭圆- 短轴长为2.如图，以点原点0到直线I的距离的取值范围.【考点】K4:椭圆的简单性质.【专题】15 :综合题；34 :方程思想；4P:设而不求法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）由已知求得b,再由椭圆离心率及隐含条件求得a,则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0 求得m2v4k2+1，再由比诚叱帥今，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点0到直线I的距离，贝U取值范围可求.【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知「——，2b=2，A b=1，a 2又a2=1+c2，解得a=2，2 “•••椭圆C的标准方程为—I-- | ；(2)设M (x i，y i)，N (X2，y2)，y=kx4-jn联立*/ 9得(4k2+1) x2+8kmx+4m2—4=0，依题意，△ = (8km) 2—4 (4k2+1) (4m2—4)> 0，化简得m2v4k2+1，①8km，」4k'+l 4k^+l2 ■->…I ，一I 二一■ ./■ 1/ _ - .1 - j.-:二二'、 1.1 ，5 71^2 5若k oM*k oN=7，则，即令必二女风，2 2I ，: :. : I 1..・，•••（4k「5）•如工计业时（一）+加2二。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题答案
2020 届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．813．24014．3 15．316．3三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．【解析】（Ⅰ）因为sin(2 ) , (0, ) CC π3 C π ,即2 π ( π , 2π)32 23 3 3即 π2C C………2 分π π 3 3 3 2 2 2 32所以sin A，………4 分sinsin2A3又因为ac ，所以0π ，因此 πA CA ；………6 分3 4（Ⅱ）在ABC 中，由c 2 a 2 b 2 2ab cos C ,得12 a 2 b 2 abab …8 分 1sin 3 3 ， Sab CABC2当且仅当时a b ，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立，………10 分，所以面积的最大值是．………12 分ABC 3 31 118.【解析】（Ⅰ）连接AE，AF ，在ABC中，AB AC BCAEsin 1202 2故AE 1.由于三棱柱 1 ，ABC A B C是直三棱柱，故AA 平面ABC AA AE1 1 1 11直角三角形A1 AE中，因为AA 1 3 ，AE 1，所以A1E 2 EF ，2AEA E1 为直角，即A E AF又因AFE 1 . ………3 分EF AE再由E为BC 中点并且ABC为等腰三角形可知AE BC,1 ，AA AE A1结合AA BC 1 得BC 平面A AE ，BC AF，综合A1E AF，BC AF，BC A E E，得到AF 平面A BC，………6 分1 1（Ⅱ）由于AE BC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，AEBE 3 ，故B3, 0, 0，A ，E 0,0,0，1 0, 1, 3 B 1 3, 0, 3 ，tan 60—理科数学（摸底）答案第1 页—3, 0,0，，EBEA 10,1, 3EB, 0,33，设面BA En 1 x , y , z ，111B 11 法向量为1222面B A E n 2 x , y , z ，nn EB 0 3xz,得11，取 1110,3,1，n EA 0y 3z 01111nB，取z 21，得2(1, 3,1)n EBx z 0 332122n EAy3z 02122，yA 1 A zFEC 1Cxnn42 512则二面角B A 1E B 1 的余弦值cos. ………12 分4 5 5 nn1219.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.016 0.04)50.15(0.045000.32 160， 0.056 0.016) 5 0.4 (0.016 0.008) 5 0.4 0.32 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. ………3 分（Ⅱ）每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有5000.008 0.016 0.04 0.04 0.056 0.016 5 440 人，………4 分其中获得一、二等奖学金学生有5000.0080.016 0.0450.055000.040.056 0.01650.250.0592 (5)分每周课外学习时间超过35 小时称为“努力型”学生有5000.12 60人，………6 分其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536 人,………7 分列2 2 联表如图所示：“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生92 36 128未获得一二等奖学金学生348 24 372总计440 60 50022 500 348 36 92 24K42.36 10.8344060128372故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；…8 分（Ⅲ）X的可能取值为0,600,1500,3000P(X600) 0.32, P(X1500) 0.198, P(X3000) 0.058,P X………11 分( 0) 1 0.32 0.198 0.058 0.424其期望为EX00.424 6000.32 15000.19830000.058=192+297+174=663元.………12 分—理科数学（摸底）答案第2 页—。
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试 数学(文)
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学（文）一、选择题（共12小题，每小题5分）x，x＞2}，B={x|y=}，则（）1．设全集I=R，集合A={y|y=log2B）≠A．A⊆B B．A∪B=A C．A∩B=D．A∩（I2.若集合,集合,则等于( )A. B. C. D.3.集合，则（）A.{1,5,6}B.{ 1,4,5,6}C.{2,3,4}D. {1,6}4.若不等式的解集是，则的值是（）A．10 B．-14 C．14 D．-105.下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，的最小值为2D．当时，无最大值6.已知定义在（-1，1）上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)=1+cosx，如果f(1-a)+f(1-a2)＜0，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，）C.（-2，）D.（1，）∪（，-1）7.若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A.（-2，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）C.（-∞，-2]∪[2，+∞）D.[-2，2]8.函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为（）A．B．C．D．9.已知函数,若关于x的不等式恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )A. 2B. 3C. 5D. 810.已知函数，设关于的不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知点M在平面ABC内，且对空间任意一点O，，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3二、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知函数y=f（x+1）定义域是{x|﹣2≤x≤3}，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是．14．设函数在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值的范围是15．已知的最小值是．16.已知函数，若对任意，存在，使，实数a的取值范围2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学（文）答题卡一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、15、 16、三、解答题（共70分）17.已知集合。
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试 数学理
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项最符合题意。
）1．已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A. x＜0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）.A. A B. B C. C D. D8．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.9．函数,则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定10．函数的定义域和值域都是，则（）A. 1B. 2C. 3D. 411．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）A. ；B. ；C. ；D. ．12．已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a 的值等于（）A. B. e-2 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题纸的对应位置上。
）13．已知集合，,若A∩B=B，则实数a 的取值范围为；14．已知,则15.已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知命题，命题。
江西省南昌市安义中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江西省南昌市安义中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1203．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件4．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A 3B ．3 C ．12D ．12-5．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17316．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<8．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,39．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－1310．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．12011．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．212．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）AB ．12C ．34D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)(含答案)
2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.95.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于A.10B.12C.13D.146.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r，则动点P的轨迹方程是A.y 2＝4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4xD.x 2＝－4y7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅=u u u u r u u u rA.5B.6C.7D.89.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是A. B.55(,)32 C.55(,)42D.1)+ 10.已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log , ()log , log 23aba b c c ===，则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题 Word版含解析
2020届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()R M N ⋂=ð（ ） A. (1,2] B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合{|1M x x =<或3}x ≥，{|2}N x x =≤，再利用集合的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合3{|0}{|11x M x x x x -=≥=<-或3}x ≥，{|2}{|2}N x y x x x ==-=≤，则{|13}R C M x x =≤<，所以(){|12}[1,2]R C M N x x =≤≤=I ， 故选B 。
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（ ） A. 2i B. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得复数z i =，即可得到复数的模，得到答案。
【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D 。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。
江西省2020届高三数学新课程教学质量检测卷试题理含解析
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.
17.已知点O是 的外接圆的圆心， ， ， .
（1）求外接圆O的面积.
（2）求
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理求出 .设外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，即求外接圆O的面积；
则 ， ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
.
又平面 的法向量为 .
设二面角 的大小为 ，则 为锐角.
，
二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和判定定理，考查用向量的方法求面面角，属于中档题.
19.2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
由余弦定理可得 ，
.
双曲线以A、B为焦点，且经过点C，
.
由双曲线的定义得 .
离心率 .
故选： .
【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义和简单的几何性质，属于基础题.
9.已知函数 ， ，则方程 所有根的和等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
证明函数 的图象关于点 对称，易知函数 在定义域 上单调递增.由函数 的图象关于原点 对称，得函数 的图象关于点 对称，且函数 在定义域 上单调递增. 又 是方程 的一个根. 当 时，令 ，根据零点存在定理和 的单调性，知 在 上有且只有一个零点 ，即方程 在 上有且只有一个根 .
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2020届高三摸底测试卷
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合3
{|
0},{|2}1
x M x N x y x x -=≥==--，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足
1i
1i z
+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.1
3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.9
5.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为
$24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于
A.10
B.12
C.13
D.14
6.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r
，则动点P 的轨迹
方程是
A.y 2＝4x
B.x 2＝4y
C.y 2＝－4x
D.x 2＝－4y
7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点
(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是
A.p q ∧
B.()p q ∧⌝
C.()p q ⌝∧
D.()()p q ⌝∧⌝
8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅=u u u u r u u u r
A.5
B.6
C.7
D.8
9.圆C ：x 2
＋y 2
－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的距离为1，
则该双曲线离心率的取值范围是
A.(2,5)
B.55
(,)32 C.55(,)42
D.5,21) 10.已知正实数a ，b ，c 满足：2212
11()log , ()log , log 2
3
a
b
a b c c ===，则
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<c<a
D.c<a<b
11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。
二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(10000001001)2。
我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61，7×6＝52，7×5＝43，˙˙˙，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为 A.(446)8 B.(1134)8 C.(1234)8 D.(4321)8
12.函数2
2
()()e x
f x x ax ax a =--+(e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数)有三个不同零点，则a 的取值范围是
A.1(,0)e -
B.(,0)-∞
C.1(,)e
-+∞ D.(0,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.6
1(2)x x
-展开式中的常数项为 。
14.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足(2)()0f x f x -+=，(0)3f =，则(10)f 等于
15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2＝1，2122(3)n n n S S S n --+=+≥，则a 3的值为 16.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，垂直于棱AA 1的截面分别与面对角线A 1D ，A 1B ，C 1B ，C 1D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥A 1－EFGH 体积的最大值为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分.
17.(12分)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且23c =，π
2sin(2)33
C -=。
(Ⅰ)若边22a =，求角A ； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值。
18.(12分)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝120°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3， E 是BC 的中点，F 是A 1E 上一点，且A 1F ＝3FE 。
(Ⅰ)证明：AF ⊥平面A 1BC ；
(Ⅱ)求二面角B －A 1E －B 1余弦值的大小。
19.(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。
图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。
(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
(Ⅲ)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望。
22
()()()()()
n ad bc K a b c b d c a d -=
++++
P(0k k >)
0.01 0.05 0.010 0.005 0.001 k 0
2.71
3.84
6.64
7.88
10.83
20.(12分)已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>四个顶点中的三个是边长为23
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设直线y ＝kx ＋m 与圆O ：2
2
2
23
b x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值。
21.(12分)已知函数e ()2ln(1)ax
f x x x a
=+-+(e 为自然对数的底数，a 为常数，且0a ≠) (Ⅰ)若函数在x ＝1处的切线与直线ex －y ＝0平行，求a 的值； (Ⅱ)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求a 的取值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩，
([0,2)απ∈，α为参数)，在同一平面直角坐标
系中，经过伸缩变换'2'x x
y y =⎧⎨=⎩
，得到曲线C 1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)。
(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；
(Ⅱ)若射线OA ：()0θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线OB ：()02
π
θβρ=+
>与曲线C 1交于点B ，求
2
2
11OA
OB
+
的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数21
()|||1|(0)a f x x x a a
+=-+->，g()4|1|x x =-+。
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式()3f x ≥的解集；
(Ⅱ)若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[1，2]，求a 的取值集合。