高三数学摸底考试试题
广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷
广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<<，{}13B x x =∈-<≤N ，则A B =I （ ）． A ．{}0,1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,3 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12i z =-，则12z z =（ ）． A ．5- B ．5 C ．8- D ．83．在等差数列{}n a 中，若25172048a a a a +++=，则11a =（ ）．A ．7B ．12C ．16D ．244．双曲线221416x y -=的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．A B ．4 C D ．5．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，且(a =r ，1=r b ，则2a b -=r r （ ）．A B C ．4 D ．26．81x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数为（ ） A ．70 B ．56 C ．28 D ．87．有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．A ．40种B ．60种C ．80种D ．120种8．已知三棱锥O ABC -A ，B ，C 是球O 的球面上的三个点，且60ACB ∠=︒，AB =2AC BC +=，则球O 的表面积为（ ）． A ．36π B ．24π C ．12π D ．8π二、多选题9．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.2P A =，()0.6P B =，下列说法正确的是（ ）．A ．若()0.12P AB =，则A ，B 相互独立 B ．若A ，B 互斥，则A ，B 不相互独立C ．若()0.5P B A =，则()0.1P AB =D ．若A B ⊆，则()0.2P A B =10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，令()()cos 2g x f x x =-，则下列说法正确的有（ ）．A ．()g x 的一个对称中心π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()g x 的对称轴方程为()ππ23k x k =+∈Z C ．()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．()g x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11．已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，若()()()22f x y f x f y xy ++=，则（ ）． A ．112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B ．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数D ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数三、填空题12．已知()ln f x x x =，则()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率是．13．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c C +=-，()9cos 11A B -=，则πsin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．记实数12,,,n x x x L 的最小数为{}12min ,,,n x x x L ，若(){}2m i n 1,21,8f x x x x x =+-+-+，则函数()f x 的最大值为．四、解答题15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：//CF 平面1AC E ；(2)求平面1AC E 与平面11B C E 夹角的余弦值．16．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…．(1)写出一个递推公式，表示1n c +与n c 之间的关系；(2)求1012310S c c c c =++++L 的值．（其中91.08 2.00≈，101.08 2.16≈，111.08 2.33≈） 17．如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X ．(1)求()60P X =；(2)求()n E X ；(3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．18．一动圆与圆2220x y x ++=外切，同时与圆222240x y x +--=内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程，并说明E 是什么曲线；(2)若点P 是曲线E 上异于左右顶点的一个动点，点O 为曲线E 的中心，过E 的左焦点F 且平行于OP 的直线与曲线E 交于点M ，N ，求证：2FM FN OP⋅u u u u r u u u r u u u r 为一个定值． 19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()00f R =，()()00f R ''=，()()00f R ''''=，…，()()()()00m n m n f R ++=．注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()()f x f x ''''''=⎡⎤⎣⎦，()()()4f x f x '=⎡''⎤⎣⎦'，()()()()54f x f x '⎡⎤=⎣⎦，…；()()n f x 为()()1n f x -的导数）．已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1ax R x bx=+． (1)求实数a ，b 的值；(2)比较()f x 与()R x 的大小；(3)若()()()()11102h x mf x R x m =---≠有3个不同的零点，求实数m 的取值范围．。
四川省2025届高三上学期入学摸底考试数学试题及答案
四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 96i2i i −+的虚部为（）A.7− B.6− C.7i− D.6i−2.已知等差数列{}n a 满足399,3a a ==，则12a =（ ） A 2−B.1C.0D.1−3.()ππsin 02αα−++= ，则tan α=（ ）A.B.C.D. 4.函数()240e 10x x x x f x x −≥= −+<，，，的极值点个数为（ ）A.0B.1C.2D.35.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（ ）A.532B.516C.1132D.3166.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*12N k A A A k ∈ ，，，，且12k A A A U = ，那么称子集族{}12k A A A ，，，构成集合U 的 一个.的k 划分.已知集合2{N |650}I x x x =∈−+<，则集合I 的所有划分的个数为（ ）A.3B.4C.14D.167.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278 B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B. 12−C.14D.14−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()()313f x x x f x =−′，为()f x 的导函数，则（ ）A.()00f ′=B.()f x 在()1,∞+上单调递增C.()f x 的极小值为23D.方程()12f x =有3个不等的实根 11.已知正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（ ）A.三棱锥H DEF −的体积为定值B.动点GC.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量(7,12),(6,)a b x =−= ，若a b ⊥，则x =________.13.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，2sin cos sin B A b A =. （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为√3，周长为6，求a 的值.16.如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC，中点的（1）证明：//MN 平面SAD ;（2）若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角正弦值17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F，点(在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 值.18.已知函数()ln f x x x a =−+.（1）若0a =，求曲线yy =ff (xx )在xx =1处的切线方程；（2）若xx >0时()0f x <，求a 的取值范围；（3）若01a <≤，证明：当1x ≥时，()()1e1x af x x x −+≤−+.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++. （1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤−，则存在{}(1,2,,12k m m ∈−≥ 且)*m ∈N，使得4k m a a −=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值. 的的四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 96i2i i −+的虚部为（）A.7− B.6− C.7i− D.6i−【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得7i −，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i−−+=+=−−+=−−，则所求虚部为7−.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 满足399,3a a ==，则12a =（ ）A.2− B.1C.0D.1−【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由399,3a a ==可得：93391936a a d −−===−−， 所以1293330a a d =+=−=， 故选：C3.()ππsin 02αα−++=，则tan α=（ ）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】()ππsin 02αα−++=进行化简，再利用sin tan cos ααα=进行求解即可.()ππsin 02αα−++=，cos 0αα+=，因此可得sin tan cos ααα==，故选：D.4.函数()240e 10x x x x f x x −≥= −+< ，，，的极值点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得. 【详解】当0x ≥时，22()4(2)4f x x x x =−=−−，此时函数在[0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；当0x <时，()e 1x f x =−+，因()e <0xf x ′=−恒成立，故函数()f x 在(,0)−∞上单调递减，结合函数在[0,2]上单调递减，可知0不是函数的极值点. 综上，函数()f x 的极值点只有1个.故选：B.5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（ ）A.532B.516C.1132D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案. 【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==， 故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<−<=−=；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500−=人， 由对称性，数学成绩在95分至110分也有2500人， 故()2500595110800016P X ≤≤==. 故选：B.6.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*12N k A A A k ∈ ，，，，且12k A A A U = ，那么称子集族{}12k A A A ，，，构成集合U 的 一个k 划分.已知集合2{N |650}I x x x =∈−+<，则集合I 的所有划分的个数为（ ）A.3B.4C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分，即可得到所有划分的个数. 【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x xx x x =∈−+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4. 故选：B.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278 B.274C.378D.374【答案】C的【解析】【分析】由圆台侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==， 设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h =，记外接球球心到上底面的距离为x ， 则()2222245x x +=−+，解得378=x . 故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B. 12−C.14D.14−【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F = ′，设221212,,,22x x M x N x，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx = =+得2210x kx −−=，则121x x =−. 而直线()21211:2x l y x x x −=−，即2112x y x x =−，令0y =，则12x x =，即1,02x P ，令0x =，则212x y =−，故210,2x Q − ，则211,22x x PQ =−−，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=−−= . 故选：C的【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T==，故A 正确； 对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3−，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±， 可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x+=+==，故D 正确. 故选：ABD. 10.已知函数()()313f x x x f x =−′，为()f x 的导函数，则（ ）A.()00f ′=B.()f x 在()1,∞+上单调递增C.()f x 的极小值为23D.方程()12f x =有3个不等的实根 【答案】BD 【解析】【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为()313f x x x =−，所以()21f x x ′=−，()01f ′=−，A 说法错误；令()0f x ′>解得1x <−或1x >，令()0f x ′<解得11x −<<，所以()f x 在(),1∞−−单调递增，在()1,1−单调递减，在()1,+∞单调递增，B 说法正确；()f x 的极大值点为1x =−，极大值()21132f −=>，极小值点为1x =，极小值()2103f =−<，C 说法错误；因为当x →−∞时，()0f x <，当x →+∞时，()0f x >，所以方程()12f x =有3个不等的实根，分别在(),1∞−−，()1,1−和()1,+∞中，D 说法正确；故选：BD11.已知正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（ ）A.三棱锥H DEF −的体积为定值B.动点GC.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ， 所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF −的体积为定值，故A 正确； 对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故1C G ，故动点G 的轨迹为以1C1111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为12π4×，故B 错误； 以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =−−=，设nn �⃗=(xx ,yy ,zz )为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⋅=⋅=故0,20,y z x z += −−= 令2z =，故()1,2,2n =−−为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =− ，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG ，则001122x y −==−−，解得001,12x y ==，但22003x y +≠， 所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确； 对于D ，因为DEF为等腰三角形，故113222DEFS EF =⋅== ，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y dn⋅++++==，令0x θ=，则0π,0,2y θθ=∈，则d≤，其中1tan 2ϕ=， 则四面体DEFG体积的最大值为1332×D 正确. 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量(7,12),(6,)a b x =−= ，若a b ⊥，则x =________.【答案】72【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】由a b ⊥ 可得42120a b x ⋅−，解得，72x =. 故答案为：72.13.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.【答案】5.5 【解析】【分析】由平均数的定义算出6x =，再由百分位数的定义即可求解.详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9， 又50.42×=，则40%分位数为565.52+=. 故答案为：5.5.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为__________.【【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=，即可求出N 点坐标，代入by x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ，1230MF F ∠=， 设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅−=，将()2N c 代入b y x a =中，故b a =c e a =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，2sin cos sin B A b A =. （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为√3，周长为6，求a 的值.【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出A 的值； （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出a 的值.【小问1详解】2sin cos sin sin A B A B A =，因为sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =，则tan A =， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】由题意1sin 2ABCS bc A == ，故4bc =.由余弦定理得222222cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+−=+−=−−， 解得2a =.16.如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC ，的中点（1）证明：//MN 平面SAD ;（2）若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）12.【解析】【分析】（1）由题意易知//MN BC ，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，,,AB AD AS 两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线SD 的方向向量与平面ADNM 的法向量,再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】M N 、分别为,SB SC 的中点 //MN BC ABCD ∴ 为正方形//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄平面,SAD AD ⊂平面SAD//MN ∴平面SAD .【小问2详解】由题知SA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，2SA AD ==设，则()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=− ,()0,2,0AD = ,()1,0,1AM =设平面ADNM 的一个法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz ) 则200n AD y n AM x z ⋅== ⋅=+=,令1,x =则0,1y z ==−, ()1,0,1n ∴=− 设直线SD 与平面ADNM θ,1sin cos ,2n SDn SD n SDθ⋅∴===⋅，所以直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值为12.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F，点(在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA=,【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设FF (cc ,0)，依题意，22222131,24c a a b a b c =+==+解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意FF (1,0)，联立22,1,2y kx m x y =+ +=消去y ，可得()222214220k x kmx m +++−=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =−+−=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k −，则其方程为()11y x k=−−，联立1(1),y x k y kx m =−− =+ 解得221,1,1km x k k m y k −= + + = +即221,11km k m A k k −+ ++ 故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m m OA k k kk ++−++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =. 18.已知函数()ln f x x x a =−+.（1）若0a =，求曲线yy =ff (xx )在xx =1处的切线方程；（2）若xx >0时()0f x <，求a 的取值范围；（3）若01a <≤，证明：当1x ≥时，()()1e1x af x x x −+≤−+.【答案】（1）10y +=（2）(),1−∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解； （3）转化为证明()1eln 10x ax x a −−−+−≥，构造关于a 的函数，利用导数求最小值，再由导数求关于x的函数的最小值，由不等式的传递性可得证. 【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =−，则1()1f x x′=−，所以(1)0k f ′==，又(1)1f =−，所以切线方程为10y +=. 【小问2详解】()111xf x x x−=−=′，当01x <<时，()0f x ′>，()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 所以()(1)1f x f a ≤=−+，又()0f x <， 所以10a −+<，即1a <， 所以a 的取值范围为(),1∞−.【小问3详解】的由()()1e1x af x x x −+≤−+可得()1e ln 10x a x x a −−−+−≥，即证当01a <≤，1x ≥时，()1e ln 10x ax x a −−−+−≥，令()()1e ln 1x a g a x x a −=−−+−，则()()()()1e 111e 1x a x a g a x x −−−⋅−−−−′，由1x ≥可知，()0g a ′<，故()g a 在(]0,1上单调递减，所以()()1(1)1e ln x g a g x x −≥=−−，令()1()1eln x h x x x −=−−，则()11111()e 1e e x x x h x x x x x−−−=+−−=−′，当1x ≥时，1e 1x x −≥，11x≤，所以()0h x ′≥，故ℎ(xx )在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)0h x h ≥=，所以()(1)()0g a g h x ≥=≥，即()1e ln 10x ax x a −−−+−≥，所以()()1e1x af x x x −+≤−+成立.【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明()1e ln 10x ax x a −−−+−≥成立，首先关键在于构造视为关于a 的函数()()1e ln 1x a g a x x a −=−−+−，由此利用导数求出()()1(1)1e ln x g a g x x −≥=−−，其次关键在于构造关于x 的函数()1()1e ln x h x x x −=−−，利用导数求其最小值.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++. （1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤−，则存在{}(1,2,,12k m m ∈−≥ 且)*m ∈N，使得4k m a a −=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =−（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=−写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，根据所给条件 可推出存在{}1,2,,1k i ∈− ，使得41k i a a =+≤−，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025−−−−−− 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =−，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++−+=++，即()()22122n n a a +−=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=− 因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a −−−−，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========， 故X 的分布列为故1210121636EX =×+×+×=. 【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a −=−或124,5n n a a a −=+=； 假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，则121,,,i a a a − 单调递增，即均为正数，且125i a a −≥=，所以15i i a a −=−≤−； 则存在{}1,2,,1k i ∈− ，使得41k i a a =+≤−，此时与121,,,i a a a − 均为正数矛盾，第17页/共17页 所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，故14n n a a −=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n −=+⋅=−.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =−，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025−−−−−− 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =−+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=−=−或1447j j a a n +=+=−+，均不为141;n b n +=−−此时243j a n +=−+或41n +或47n −或411n −+，均不为141s b n +=−−. 上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=−=+时，32141j j n a a n b +++=−=−−=，结合11a =，则有31n n a b −=.由5072025b =−可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520×−=.求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
2024-2025学年广东省珠海市高三(上)第一次摸底数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁U A=( )A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. (0,1]∪[2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为( )A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 584.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1025.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为( )A. 1：3：2B. 1：3：4C. 3：2：23D. 3：2：66.已知函数f(x)={2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是( )A. (1,+∞)∪{0}B. (0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )A. ω=1B. 函数f(x)图象关于点(π3,3)对称C. 函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12D. 若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+18.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,1]D. (−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底演练考试数学试题
河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底演练考试数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B =I （ ）A ．(]1,2B ．(]0,1C ．[]1,2D ．[]0,22．已知i 为虚数单位，若2i1iz =+，则z z ⋅=（ ） A ．−2B ．2C ．2i -D ．2i3．已知非零向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r方向上的投影向量为（ ）A ．a -rB ．b -rC ．a rD ．b r4．若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=（ ） A ．35-B ．45C ．45-D ．355．已知数列{}n a 满足1,,22,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若已知164a =，那么20S 的值为（ ） A ．322B ．295C ．293D ．2706．如图，圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且12212r r +=，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．72πD ．100π7．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，点A ，B 在C 的准线上的射影分别为点1A ，1B ，线段AB 的垂直平分线l 的倾斜角为120o ，若114A B =，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．48．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f xy f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．数据1,1,2,4,5,6,8,9-的第25百分位数是1B ．若事件M N ､的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈且()()1P NM P N +=∣，则M N ､相互独立C ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，若()215D X +=，则5n =D ．若随机变量()23,,(2)0.62X N P X σ~>=，则(34)0.12P X <<=10．已知函数32()f x x mx =-，2x =是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．3m =B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点 11．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是AB 的中点，点,PF 为空间内两点，且[][]()1,,0,1,0,1BP BC BB BF tBC t λμλμ=+∈=∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．若1D F ⊥平面11AC D ，则点F 与点B 重合B ．设1D P P 的轨迹长度为π2C ．平面11CDE 与平面11A D ED ．若12t =，则平面1D EF三、填空题12．已知曲线()ln 1f x x x =-在1x =处的切线l 与圆22:(1)9C x y -+=相交于A 、B 两点，则||AB =．13．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则第4次传球后球在甲手中的概率为.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过1F 与双曲线C 的左支和右支分别交于,A B 两点，12BF BF ⊥．若x 轴上存在点Q 满足23BQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线C的离心率为．四、解答题15．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B Cb a B +=． (1)求角A 的大小；(2)M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =△ABC 的面积．16．如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB ⊥平面11B BCC ，3AB =，11112BB B C CC ===，4BC =．(1)求证：11AA B C ⊥；(2)求平面11B BCC 与平面11A ACC 夹角的余弦值． 17．已知函数(),()x f x ax e a R =+∈． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若[0,)x ∈+∞，()ln1ef x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．已知有穷数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如，数列1a ､2a ､3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.(1)若数列32x -､56x +､2x 的“序数列”为2､3､1，求实数x 的取值范围； (2)若项数均为2021的数列{}n x ､{}n y 互为“保序数列”，其通项公式分别为1223nn x n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2n y n tn =-+（t 为常数），求实数t 的取值范围； (3)设1n n a q p -=+，其中p ､q 是实常数，且1q >-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若当正整数3k ≥时，数列{}n a 的前k 项与数列{}n S 的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p ､q 满足的条件.。
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案
陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}42<=xx A ，{}31<<-∈=x N x B ，则=B A （）A.{}21<<-x x B.{}1,0 C.{}1 D.{}31<<-x x 2.下列说法正确的是（）A.若0>>b a ，则22bcac > B.若b a >，则22ba >C.若0<<b a ，则22b ab a >> D.若b a <，则ba 11>3.已知R b a ∈,，则“b a >”是“20242024b a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量ξ的分布列如下表：若()0=ξE ,则()=ξD （）A.21 B.31 C.41 D.615.若命题“[]3,1-∈∃x ，022≤--a x x ”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1- B.0C.1D.36.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而已疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：3010.02lg ,9956.199lg ,0086.2102lg ≈≈≈）.A.85B.100C.150D.2257.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一名老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124B.246C.114D.1088.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+-+-≥+=1,321,2x a ax ax x a a x f x（0>a 且1≠a ），若函数()x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎦⎤ ⎝⎛231， C.[)∞+，2 D.[)∞+，3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列运算结果为1的有（）A.814121-e e e B.5lg 2lg +C.213298- D.2log 4log 3log 432⨯⨯10.设0,0>>b a ，12=+b a ，则（）A.ab 的最大值为81B.224b a +的最小值为21C.ba 21+的最小值为8 D.ba42+的最小值为2211.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列说法中正确的有（）A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为32B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为356C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4D.从甲袋中任取2个球并放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为145三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 二项式展开式中，常数项为.13.已知样本321,,x x x 的平均数为2，方差为1，则232221,,x x x 的平均数为.14.定义：()(){}x g x f N ⊗表示不等式()()x g x f <的解集中整数解之和.若()x x f 2log =，()()212+-=x a x g ，()(){}6=⊗x g x f N ，则实数a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数()x f y =的图象过点()3,1-，且不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，.（1）求()x f 的解析式；（2）设()()mx x f x g -=，若()x g 在()4,2上是单调函数，求实数m 的取值范围.16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p ，乙答对每题的概率均为q （10<<<q p ），且某道题两人都答对的概率为103，都答错的概率为51.（1）求q p ,的值；（2）乙回答3题，记乙的积分为X ，求X 的分布列和期望()X E .17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：（1）根据表中数据，依据01.0=α的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式及数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.18.已知函数()()2212m mx f x-++=.（1）当2=m 时，求()x f 的值域；（2）若()x f 的最小值为3-，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若不等式()82-≤ax f x有实数解，求实数a 的取值范围.19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与研发创新的直接收益y（亿元）的数据统计如下：当170≤<x 时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：8.111.4ˆ+=x y；模型②：4.143.21ˆ-=x y ；当17>x 时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：a x y+-=7.0ˆ.（1）根据下列表格中的数据，比较当170≤<x 时模型①、②的决定系数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为1亿元时的直接收益.（附：刻画回归效果的决定系数()()∑∑==---=n i ini i iy y yyR 12122ˆ1，1.417≈，决定系数数值越大，说明拟合效果越好）.（2）为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，你叫研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.（附：()()()∑∑∑∑====---=-⋅-=n i ini i ini i ni i i x n x y y x xx n x yx n yx b1211221ˆ，x by a ˆ-=）（3）研发改造后，该公司F 产品的效率X 大幅提高，X 服从正态分布()201.052.0，N ，公司对研发团队的奖励方案如下：若F 产品的效率不超过50%，不与奖励；若F 产品的效率超过50%但不超过53%，每件F 产品奖励2万元；若F 产品的效率超过53%，每件F 产品奖励5万元.求每件F 产品获得奖励的数学期望.（附：随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ，则()6826.0=+≤<-σμσμx P ，()9544.022=+≤<-σμσμx P ）参考答案一、选择题二、选择题三、填空题12.6013.514.⎥⎦⎤⎝⎛-0,423log 2四、解答题15.解：（1）∵不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，，∴41和1为关于x 的方程()07=-x x f 的两根，且二次函数()x f y =的开口向上，则可设()()1417-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x a x x f ，()0>a ，即()()x x x a x f 7141+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，由()x f 的图象过点()31，-，可得()()31711411=-⨯+--⎪⎭⎫⎝⎛--a ，解得4=a ，∴()()x x x x f 71414+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1242++=x x x f .（2）∵()()()12412422+-+=-++=-=x m x mx x x mx x f x g 对称轴82mx --=，∵()x g 在()4,2上是单调函数，∴282≤--m 或482≥--m，解得18≤m 或34≥m ，即实数m 的取值范围为(][)∞+∞-，，3418 .题号12345678答案BCDAABCB16.解：（1）由题意得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<=-=10511103q p q p pq ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5321q p .（2）由题意知，X 的所有取值为0,40,80,120，则()12585310303=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C X P ；()125365315340213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ；()125545315380223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P ；()1252753120333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，故X 的分布列为：17.解：（1）零假设0H ：周平均锻炼时长与年龄无关联，由22⨯列联表中的数据，可得()01.022635.6256.101302702002005012080150400χχ=>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=，根据小概率值01.0=α的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联.（2）抽取的8人中，轴平均锻炼时长少于5小时的有2200508=⨯人，不少于5小时的有62001508=⨯人，则X 所有可能的取值为1,2,3，∴()2831381622===C C C X P ；()28152382612===C C C X P ；()14533836===C C X P ，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望()491453281522831=⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）设t x=2，∵2=m ，∴()0,322>-+=t t y ，其对称轴方程为：2-=t ，故函数在()∞+，0上单调递增，当0=t 时，1=y ，故所求值域为()∞+，1.（2）∵函数()()2212m mx f x-++=的最小值为3-，02>x ，当0≥m 时，()x f 在R 上单调递增，没有最小值；当0<m 时，可知m x-=2时，y 取得最小值21m -；即213m -=-，解得2-=m 或2=m （舍去），综上，2-=m .（3）由题意，不等式()82-≤a x f x 有实数解，即()823222-≤--ax x，可得42921-+≥x x a ，要使不等式有解，只需min42921⎪⎭⎫⎝⎛-+≥x x a 即可，∵692292=≥+x x，当且仅当3log 2=x 时等号成立，∴2464292min=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+xx，∴21≥a ，解得210≤<a ，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛210，.19.解：（1）由表格中的数据，有2.794.182>，即()()∑∑==->-7127122.794.182i i i i y y y y ，∴模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，∴当17=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为：93.724.141.43.214.14173.21=-⨯≈-⨯=y （亿元），（2）由已知可得：355432120=++++=-x ，∴23=x ，2.75665.785.860=++++=-y ，∴2.67=y ，∴3.83237.02.677.0=⨯+=+=x y a ，∴当17>x 亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为3.837.0ˆ+-=x y，当20=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为3.693.83207.0ˆ=+⨯-=y，当20=x 亿元时，实际收益的预测值为3.79103.69=+亿元＞72.93亿元，∴研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大.（3）∵()9544.002.052.002.052.0=+<<-X P ，∴()9772.029544.0150.0=+=>X P ，()0228.029544.0150.0=-=≤X P ，∵()6826.001.052.001.052.0=+<<-X P ，∴()1587.026826.0153.0=-=>X P ，∴()8185.01587.09772.053.050.0=-=<<X P ，设每件F 产品获得奖励为Y （万元），则Y 的分布列为：∴每件F 产品获得奖励的期望值为：()4305.21587.058185.020228.00=⨯+⨯+⨯=Y E （万元）.。
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题
陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知平面向量()()3,4,,3a b m ==r r ．若向量2a b -r r 与a b +r r 共线，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．94C ．32D ．344．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ） A ．ππ0x y +-= B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=5πsin()4αα=-，则22sin 2cos αα-=（ ）A ．34B ．12C ．14-D ．12-6．已知直线l 经过点()2,0-且斜率大于0，若圆22:20C x y x +-=的圆心与直线l 上一动点l 的斜率为（ ）A B C D 7．风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形ABCD 中，对角线BD 所在直线为对称轴，ABC V 是边长为2的等边三角形，ACD V 是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线AC 折叠，使得2BD =，形成四面体ABCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．17π3C ．16π3D ．4π8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx αβ∠=∠=，若tan tan 3αβ=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC D 1二、多选题9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件 B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A I 与事件13A A ⋂是互斥事件10．在平面直角坐标系xOy 中，一动点从点0M 开始，以πrad/s 2的角速度逆时针绕坐标原点O 做匀速圆周运动，s x 后到达点M 的位置．设1(2A ，记2()||x A M ϕ=，则（ ） A ．ππ()43cos()23x x ϕ=--B ．当203x =时，()ϕx 取得最小值 C ．点5(,4)3是曲线()y x ϕ=的一个对称中心 D ．当[0,4)x ∈时，()ϕx 的单调递增区间为410[,]3311．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且22()()()f x y f x f y xy x y +=+++，当0x >时，33()f x x >，且(3)12,(3)10f f =='，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．4(1)3f -=-C ．()f x 在R 上单调递增D ．20241π(sin )30362i f i ='=∑三、填空题12．2824(3)x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中9x 的系数为．（用数字作答）13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,1,a b A B C ==△，则c =．14．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆2221:C x y b +=，圆2222:C x y a +=，点()1,1P ，射线OP 交圆1C ，椭圆C ，圆2C 分别于点,,R S T ，若圆1C 与圆2C 围成的图形的面积大于圆1C 的面积，则2||OR OTOS ⋅的取值范围是．四、解答题15．某农场收获的苹果按,,A B C 三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且,,A B C 三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A 级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A ，B ，C 三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A 级苹果有X 箱，求X 的分布列与数学期望．16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且31211,42a a a ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)令22log n n b a =-，记112211n n n n n S a b a b a b a b --=++++L ，求n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M 在棱CD 上且2,3CM MD AB ==，2,BC PM PD ==⊥平面ABCD ，在棱PB 上存在一点Q 满足//CQ 平面PAM ．(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值．18．已知动圆的圆心在x 轴上，且该动圆经过点()()()4,0,,0,0,x y -． (1)求点(),x y 的轨迹C 的方程；(2)设过点()1,0E -的直线l 交轨迹C 于,A B 两点，若()0,4,A x G 为轨迹C 上位于点,A B 之间的一点，点G 关于x 轴的对称点为点Q ，过点B 作BM AQ ⊥，交AQ 于点M ，求A M A Q ⋅的最大值．19．定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，在开区间(,)a b 内每一点存在导数，且()()f a f b =，那么在区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0f c '=这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．(1)设()(1)(2)(4)f x x x x x =---，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理，说明方程()0f x '=根的个数，并指出它们所在的区间；(2)如果()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间(,)a b 内每一点存在导数，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理证明：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-；(3)利用（2）中的结论，证明：当0a b <<时，2()e e e a ba b a b a b ++<+．（e 为自然对数的底数）。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x x x =∈-≤N ，则A B =I （ ）A ． 0,2B ． 0,2C ．{}0,1,2D ．{}1,22．已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（ ） A ．23B ．17-C ．12D ．12-3．已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．B C ．D 4．若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(B ．((),-∞-⋃+∞C ．(,-∞-D ．()+∞5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 有两个零点B ．当0x >时，()e 3e 1x x f x -=-C ．()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D ．m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m =6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞U7．已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．a b =-8．若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（ ）A ．11e+B ．e 1-C ．1D ．e二、多选题9．若0b a >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +<< B ．11a b< C ．222log log log 22a b a b ++< D ．()22b a b a ->-10．已知π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．若()0,πα∈，cos α=11．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．()10f =B ．2027122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D ．()0.11e 1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题12．已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为2cm .13．已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为. 14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972x x f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16．已知函数()2e e x xf x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x （单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.(1)求()f x 的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18．已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .(1)当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；(2)若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19．对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.(1)证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立； (2)已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k==<+<+∑∑恒成立.。
河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|15A x x =∈≤<R ，{}2|340B x x x =∈--<R ，则A B = （）A ．(]1,1-B ．()1,4-C ．[)1,4D ．[)1,52．已知复数z 满足(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部为（）A ．12B ．52C ．12-D ．52-3．已知平面向量a ，b 满足()2⋅-=a a b ，且1=a ，2=b ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．6πB ．23πC ．3πD ．56π4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A ．3B ．3C ．3D ．5．已知sin()2cos()αβαβ+=-，4tan tan 3αβ+=，则tan tan αβ⋅=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，490a a +>，110S <，则n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S 7．已知双曲线22:148x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若112F A F B =，则AB =（）A ．B ．C ．D ．48．已知函数()F x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，则下列说法正确的是（）A ．当3ω=时，()f x 在47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若12()()2f x f x -=，且12min2x x π-=，则函数()f x 的最小正周期为πC ．若()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为3D ．若()f x 在[]0,2π上恰有4个零点，则ω的取值范围为2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点(,)P x y 满足到两个定点1(,0)F a -，2(,0)(0)F a a >的距离之积为9，则下列结论正确的是（）A ．3a =B ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为[)1,+∞C ．12PF F △周长的最小值为12D ．12PF F △面积的最大值为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在等比数列{}n a 中，11a =，23464a a a ⋅⋅=，则5a =____________．13．已知函数231,0()44,0x x x f x x x⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，若y x =与()y f x =的图象相切于A 、B 两点，则直线AB的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为52．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接OB 、OD ，若12OBF ODF S S =△△，求BD 的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，13A G A D '''=，AB BC ⊥，1AB =，BC =，2BD =．（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线A B ''于点M ，求线段GM 的长；（2）若AC BD ⊥，当二面角B AC D ''--为直二面角时，求直四棱柱ABCD A B C D ''''-的体积．17．（本小题满分15分）在ABC △中，AB =，AC =，点D 在边BC 上，且BD CD =．（1）若2BAD π∠=，求BC 的长；（2）若3BAC π∠=，点E 在边AC 上，且12AE EC =，BE 与AD 交于点M ，求cos AMB ∠．18．（本小题满分17分）已知函数e ()xf x x=．（1）当0x >时，求函数()f x 的最小值；（2）设方程21()x f x x +=的所有根之和为T ，且(,1)T n n ∈+，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式()ln e 1f x ax a x ≥-+-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列012,,,,n a a a a ，即用如下方法与一个函数联系起来：2012()n n G x a a x a x a x =++++ ，则称()G x 是数列{}n a 的生成函数．例如：求方程1210100t t t =+++ 的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为210()(1)G x x x =+++ ，其中x 的指数代表(1,2,3,,10)i t i = 的值．210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ ，则非负整数解的个数为100a ．若2()1f x x x =+++ ，则23()xf x x x x =+++ ，可得(1)()1x f x -=，于是可得函数()f x 的收缩表达式为：1()1f x x=-．故101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== 根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12ki i ka =≤∑，不同的“规范01数列”个数记为m b ．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定01b =，计算1b ，2b ，3b ，4b 的值，归纳数列{}m b 的递推公式；（3）设数列{}m b 对应的生成函数为2012()m m F x b b x b x b x =+++++ ①结合()F x 与2()F x 之间的关系，推导()F x 的收缩表达式；②求数列{}m b 的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．340x y +-=14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。
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高三数学摸底考试试题
高三数学摸底考试试题
高三数学摸底考试是学生们备战高考的重要一环。
这次考试的试题设计旨在检验学生对于高中数学知识的掌握程度，帮助他们发现自己的薄弱点，并及时进行针对性的复习和提高。
以下是一些典型的数学试题，希望能够帮助大家更好地了解这次考试的难度和内容。
一、选择题
1. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求 f(-1) 的值。
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2. 设 a、b 是正整数，且满足 a + b = 10，若 a^2 + b^2 的最小值为 k，求 k 的值。
A. 25
B. 36
C. 49
D. 64
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，则A ∩ B = ?
A. {1, 2}
B. {3, 4}
C. {5, 6}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
二、填空题
1. 若 a + b = 5，且 a^2 + b^2 = 13，则a × b = _______。
2. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，已知 f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 15，则 a + b + c = _______。
三、解答题
1. 解方程组：
2x + 3y = 7
4x + 5y = 13
2. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，且 f(1) = 4，f(2) = 9，f(3) = 16，求 a、b、c
的值。
四、应用题
某班级有男生和女生共 50 人，男生人数是女生人数的 2 倍。
如果男生的平均
身高是 170cm，女生的平均身高是 160cm，求该班级的平均身高。
五、综合题
已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，且 f(1) = 1，f(2) = 8，f'(1) = 6，求 a、b、c 的值。
以上是一些典型的高三数学摸底考试试题，通过这些题目的练习，可以帮助学
生们巩固和提高数学知识，同时也能够帮助他们了解自己在数学上的不足，有
针对性地进行复习和强化训练。
高三数学摸底考试是一个重要的评估学生数学水平的机会，它不仅能够帮助学
生及时发现和解决问题，还能够让学生在高考前对自己的数学水平有一个全面
的了解，从而更好地应对高考数学科目的挑战。
总之，高三数学摸底考试试题的设计旨在帮助学生发现自己的薄弱点，并及时进行针对性的复习和提高。
希望大家能够认真对待这次考试，通过努力提升自己的数学水平，为高考取得好成绩奠定坚实的基础。