2020年秋人教部编版高二升高三数学入学摸底考试测试卷及答案
2024年高二入学摸底考试和数学试卷(解析版)(2)
数新高二开学摸底考试卷学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案】B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.2．设随机变量()21,,(02)0.6X N P X σ~<<=，则(2)P X >=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（）A ．102种B ．105种C ．210种D ．288种【答案】C【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有38A 种，其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有1237C A 种，故符合条件的选法共有312837A C A 210-=种.故选：C4．下列求导运算中错误的是（）A ．()33ln 3xx '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．1(sin ln )cos x a x a'+=+D ．()e e x x--'=-献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（）A ．25B ．12C ．15D ．3106．若的二项式展开式中2x 的系数为10，则=a （）A ．1B ．-1C ．±1D ．±2【答案】A【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.【详解】由5()x a +的通项公式可知二项式展开式中2x 的系数为335C a ，则得335C 10a =，解得1a =.故选：A.7．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值【答案】C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C8．下列说法正确的序号是（）①在回归直线方程 0.812y x =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理；③已知X ，Y 是两个分类变量，若它们的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小；④已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①②④【答案】D【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④【详解】对于①，在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位，故①正确；对于②，用随机误差的平方和，即()()2211ˆnni i i i i i Q y yy a bx ===-=--∑∑，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘，所以这种使“随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得()21ni i i y bx a =--∑最小的原理，故②正确；对于③，对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③错误；对于④，随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()()()022440.50.3P P P ξξξ<<=<<=<-=，故④正确.故选：D.9．已知偶函数()2e 1ln ex ax f x +=，则下列结论中正确的个数为（）①1a =；②()f x 在()0,∞+上是单调函数；③()f x 的最小值为ln2；④方程()12f x =有两个不相等的实数根A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．若函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是．【答案】(,1]-∞【分析】求出导数()f x '，由题意得()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，由分离参数思想可得结果.【详解】由()2()e xf x x ax a =-+得()()()2e 2e 2x x f x x a x x x a ⎡⎤=+-'=+-⎣⎦，由于函数()2()e xf x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，即()0f x '≤在(1,0)-上恒成立，即20x a +-≥，即得2a x ≤+在(1,0)-恒成立，所以1a ≤.故答案为：(,1]-∞11．已知1021001210(32)x a a x a x a x +=++++L ，则0a =，012310a a a a a -+-++=L .【答案】10241【分析】利用赋值法分别令0x =和=1x -代入计算即可求得结果.【详解】令0x =，可得()0100121024302a =⨯+==，令=1x -，可得()()()()102100121032111a a a a -⨯+=+⨯+-+⨯-+-L ，即()1001231011a a a a a -=-+-++=L .故答案为：1024,112．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有个.【答案】30【分析】根据题意，分0在个位与0不在个位2种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①0在个位，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、个位，有24A 12=种选法，②0不在个位，需要在2、4中选1个，个位有2种选法，0不能在首位，则首位有3种选法，则十位有3种选法，此时有23318⨯⨯=种选法，则一共可以组成121830+=个无重复数字的三位偶数.故答案为：3013．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是.x0134ya4.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ0.95 2.6yx =+，则=a ．，若0，0，则实数k 的最大值是．三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)完成22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是34，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量X 表示戏迷乙正确完成题的个数，求X 的分布列及数学期望．【详解】（1）补全的22⨯列联表如下：(1)求函数()f x 在2x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值.【详解】（1）函数()32692f x x x x =-+-的定义域为R .导函数()23129f x x x =-+'.所以()2122493f =-+=-'，()3222629220f =-⨯+⨯-=，所以函数()f x 在点2x =处的切线方程为()32y x =--，即36y x =-+.（2）令()0f x '=，解得：1x =或3x =.列表得：比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题目的概率为3 4，答对“应急救援”题库中题目的概率为23．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为23，答对“应急救援”题库中题目的概率为12，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列、均值()E X 、方差()D X 20．已知函数()22ln f x a x x=--，()()21ln g x ax a x x =-+-，其中a ∈R ．(1)若()20f '=，求实数a 的值(2)当0a >时，求函数()g x 的单调区间；(3)若存在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．。
2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷(一)详解
2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020·﹣y +3＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．150°【答案】C30y -+=的斜截式方程为3y =+，∴直线的斜率k 60α=︒，故选：C ．2、（2020·河北省石家庄二中高一期末）若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c =，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<Q ，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >， 另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3、（2020·南京外国语学校高一月考）某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（ ）A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户【答案】A【解析】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A. 4、（2020·湖南省湖南师大附中高一期中）已知点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，且向量MN 与ST 相等，则p ，q 的值分别为( ) A ．-7，-5 B ．7，-5C ．-7，5D ．7，5【答案】C【解析】由点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，可知：(4,2),(3,3)MN ST p q ==---，因为向量MN 与ST 相等，所以347325p p q q --==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.故选：C 5、（2020·济南市历城第二中学高一期末）关于x 的不等式230x ax +-<，解集为3,1-（），则不等式230ax x +-<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2-（）C ．1(,1)2-D ．()3,12-【答案】D【解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选：D 6、（2020·广东省佛山一中高二期中）曲线22(1)1(0)x y x +-=≤上的点到直线10x y --=的距离最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是（ ）AB ．2C 1+D 1【答案】C【解析】因为圆心(0,1) 到直线10x y --= 1=> ，所以半圆()()22110x y x +-=≤到直线10x y --= 1+ ，到直线10x y --= 距离最小值为点(0,0)到直线10x y --=，所以112a b -==+ ，选C.7、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos()6x π-值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A【解析】cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则,122x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 1210x π⎛⎫∴+==⎪⎝⎭， cos()cos cos cos sin sin 6412412412x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3=2102105⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A . 8、在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．43C ．32D ．3【答案】B【解析】圆C ：(x −4)2+y 2=1,若直线y =kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：x 2+y 2−8x +15=0有公共点，可转化为C 到l 的距离d ≤2.即√k 2+1≤2，解得k 的范围是0≤k ≤43.所以k 的最大值为43二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD.10、（2020·枣庄市第三中学高一月考）如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A ．EP ⊥A CB ．EP BD ∥C ．EP ∥面SBD D ．EP ⊥面SAC【答案】AC【解析】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN .由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，所以SO AC ⊥. 因为SO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 因为E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， 所以//EM D ，//MN SD ，而EM MN N ⋂=，所以平面//EMN 平面SBD ，所以AC ⊥平面EMN ，所以AC EP ⊥，故A 正确； 由异面直线的定义可知:EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此B 不正确； 平面//EMN 平面SBD ，所以//EP 平面SBD ，因此C 正确；EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EP EM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即D 不正确.故选:AC .11、（2020·福建省福州第一中学高一期末）下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ）A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈，则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC. 12、（2020·辽宁省高二期末）若P 是圆C ：()()22331x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的值可以为（ ）A ．4B ．6C ．1D ．8【答案】ABC 【解析】如图，圆C ：()()22331x y ++-=的圆心坐标为()3,3-，半径为1，直线1y kx =-过定点()0,1-，由图可知，圆心C 到直线1y kx =-5=， 则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516+=. ABC 中的值均不大于6，只有D 不符合.故选：ABC.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分） 13、（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1s i n c o s αα=________.【答案】52【解析】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52.14、（2020·巴蜀中学高一期末）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a ×0.1=1，解之得a =3．于是消费金额在区间[0.5, 0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为：0.6×10000=6000，故应填3；6000．15、（2020·湖南省雅礼中学高一期末）将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使∠BDC ＝60°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】73π【解析】如图,在BCD ∆中,1BD =,1CD =,60BDC ∠=︒,设底面BCD ∆外接圆的圆心为M ,半径为r ,则12sin 60r =,所以r =因为AD 是球的弦,1AD =,因为A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上,所以1122OM AD ==, 所以球O的半径R OD ===所以球O 的表面积2743S R ππ==.16、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）已知函数()22xf x x =-+，则不等式()()222f x x f x +<+的解集为______.【答案】()1,1-；【解析】因为()1,222,24x x f x x x x x≥⎧⎪==⎨-+<⎪-⎩ 当2x <时，()4144x f x x x ==----，在(),2-∞上单调递增， 因为()()222f x x f x +<+所以22222x x x x x ⎧+<⎨+<+⎩，解得11x -<<，即()1,1x ∈-故答案为：()1,1-四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2020·河北省石家庄二中高一期末）已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =U ，CB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A CBx x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =U 得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤，由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 18、（2020·新疆生产建设兵团二中高一期末）已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数．(1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<-【解析】（1）∵函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠，∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22x x F x -=-，∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-．19、（2020·海南省海南中学高一期末）已知设函数11()cos 2cos 22f x x x x =+ (1)求函数()f x 最小正周期和值域.(2)求函数(),[2,2]f x x ππ∈-的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[]4,4-；（2）52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()2cos 4sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2T π=，值域为[]4,4-（2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+，k Z ∈，解得：22233k x k πππ-≤≤π+，k Z ∈ ()f x ∴单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 令1k =-，则28233k πππ-=-，5233k πππ+=- 52,3ππ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令0k =，则22233k πππ-=-，233k πππ+= 2,33ππ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令1k =，则24233k πππ-=，7233k πππ+=4,23ππ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 综上所述：函数()[],2,2f x x ππ∈-的单调递增区间为52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥，又AB Ì面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD .21、（2020·陕西省西安中学高一期中）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数．（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）3:2．【解析】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=． （Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．22、（苏州高一下学期期末）如图，在直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点．（1）若k AM ＝2，k AN =−12，求△AMN 的面积；（2）过点P （3√3，﹣5）作圆O 的两条切线，切点分别记为E ，F ，求PE →•PF →；（3）若k AM •k AN ＝﹣2，求证：直线MN 过定点．【解析】（1）解：由题知，得直线AM 的方程为y ＝2x +4，直线AN 的方程为y =−12x ﹣1，…（2分）所以，圆心到直线AM 的距离d =|4|√5，所以AM ＝2√4−165=4√55，由中位线定理知，AN =8√55，…由题知k AM •k AN ＝﹣1，所以AN ⊥AM ，S =12×4√55×8√55=165．…（6分） （2）解：|PE →|=√(3√3)2+(−5)2−4=4√3，PO =√(3√3)2+(−5)2=2√13，所以cos ∠OPE =4√32√13=2√3√13．… 所以cos ∠FPE ＝2cos 2∠OPE ﹣1＝2（√3√13）2﹣1=1113， 所以PE →⋅PF →=|PE →|⋅|PF →|cos∠EPF =(4√3)2×1113=52813．… （3）证明：由题知直线AM 和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线AM 的方程y ＝k （x +2），则直线AN 的方程为y =−2k （x +2），所以，联立方程{y =k(x +2)x 2+y 2=4，得（x +2）[（1+k 2）x +2k 2﹣2]＝0， 得x ＝﹣2或x =2−2k 21+k 2， 所以M （2−2k 21+k 2，4k1+k 2），同理N （2k 2−84+k 2，−8k 4+k 2），…（13分） 因为x 轴上存在一点D （−23，0），所以k DM =−4k 1+k 22−2k 21+k 2+6=−4k 4k 2+8=−k k 2+2，同理k DN =−k k 2+2，…（15分）所以k DN ＝k DM ，所以直线MN 过定点（−23，0）。
新高二开学摸底考试卷数学①答案及评分标准
【详解】（1）设事件 A 为甲恰好答对一道题，事件 B 为乙恰好答对两道题
PA
3 4
1
2 3
1
3 4
2 3
5 12
，
P(B) 2 1 1 ，
32 3
P(AB) 5 1 5 ， 12 3 36
所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为 5 ．（7 分） 36
（2）设事件 C 为“冲锋队”最终得 6 分，事件 D 为“冲锋队”最终得 5 分，
e
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13 分）
【详解】（1）补全的 2 2 列联表如下：
不喜爱 喜爱 合计
男性 30
90 120
女性 25
55 80
合计 55 145 200
根据表中数据，计算得到 2
200 (30 55 90 25) 2 55145120 80
14 7 14 17．（15 分）
【详解】（1）函数 f x x3 6x2 9x 2 的定义域为 R. 导函数 f x 3x2 12x 9 .（3 分） 所以 f 2 12 24 9 3， f 2 23 6 22 9 2 2 0 ， 所以函数 f (x) 在点 x 2 处的切线方程为 y 3 x 2 ，即 y 3x 6 .（7 分） （2）令 f x 0 ，解得： x 1或 x 3.列表得：
,
2
（7
分）
③当
1 a
2
，即
0
a
1 2
时
g
x
0
，得
0
x
2
或
1 a
；
g x
0
，得
2020年高三上学期摸底测试数学
第一学期摸底测试 高三年级数学（理科）测试卷一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分。
1．已知复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则=z ______________；2．已知集合{}1|≤=x x A ，{}a x x B >=|且φ=B A ，则实数a 的取值范围是______________； 3．不等式0231>+x xx 的解集为________________；4．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_____________。
5．函数x x x f 2sin sin 2)(2+=的最大值为________________；6．要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有__________种； 7．A 、B 是半径为R 的球面上的两点，A 、B 是球面距离是3Rπ，则过A 、B 两点的平面到球心的距离的最大值为____________。
8．已知点M 的坐标是（1,1），F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，则PM PF +1的取值范围是____________。
9．设)(,321)(*∈++++=N n n n f ，则=∞→22)]([)(limn f n f n ________________。
10．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为_______________．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）。
2020年秋季高二数学开学摸底考试卷（新教材人教A版）03（解析版）
2020年秋季高二开学摸底考试（三）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若集合{}2|30M x x x =-=，2{|lo }2g N x x =<，则M N ⋃=（ ）A ．{}3B ．()0,3C ．(),4-∞D ．[)0,4【答案】D 【解析】{}2|30M x x x =-=，{}0,3M ∴=，2{|log }2N x x =<，{}04N x x ∴=<<，[)0,4M N ∴⋃=.故选：D.2、（2020·海南省海南中学高一期末）在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是 A ．事件“至少有一件是正品”是必然事件 B ．事件“都是次品”是不可能事件C ．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件D ．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件 【答案】D【解析】因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A 、B 错； 因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C 错；因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D 正确，综上所述，故选D ．3、（2020·辽宁省实验高一期末）某射击运动员射击一次命中目标的概率为p ，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率3764，则p 为（ ）A ．14B ．34C D 【答案】A【解析】因为射击一次命中目标的概率为p ，所以射击一次未命中目标的概率为1p -，因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为3(1)p -，因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，所以连续射击三次，至少有一次命中的概率31(1)3764p --=，解得14p =.故选：A4、（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．BCD ． 【答案】A【解析】由三角函数的定义得cos α=，sin 5α=-，因此，sin cos 5αα-=-.故选：A. 5、（2020·安徽省马鞍山二中高二期末）已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ） A ．8- B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】∵直线210x y +-=的斜率等于2-， ∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是2-，422mm -∴=-+，解得8m =-，故选：A. 6、（2020·河北省正定中学高一期中）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-.又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.故选：D7、（2020·合肥一六八中学高一期末）已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A【解析】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确． 8、（2020·河北省衡水中学高二月考）已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】D【解析】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r，易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥，∴点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：∴2PA PB PD +=.连接CD ，由||AB =易知2431CD.∴max max11PDPC CD =+==，∴max max||22PA PB PD+==.故选：D.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分） 9、（2020·山东省济南一中高一月考）（多选题）下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若00a b c >><且，则22c ca b >D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C: 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D: 2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.10、（2020·海南省海南中学高一期末）下列化简正确的是( ) A ．1cos82sin52sin82cos522︒︒-︒︒=B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．tan 48tan 721tan 48tan 72︒+︒=-︒︒D ．22cos 15sin 152︒-︒=【答案】CD 【解析】A 中，()()1cos82sin 52sin82cos52sin 5282sin 30sin 302-=-=-=-=-，则A 错误；B 中，111sin15sin 30sin 75sin15cos15sin 30248===，则B 错误；C 中，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72+=+==--，则C 正确；D 中，223cos 15sin 15cos302-==，则D 正确.故选：CD 11、（2020·莆田第二十五中学高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF 的面积相等【答案】AD【解析】A ．由题意及图形知，当点F 与点1B 重合时，160o CAB ∠=故选项A 错误； B ．//EF 平面ABCD ，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF ⊂平面1111D C B A ，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确，不是正确选项；C ．三棱锥A -BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，故可得三棱锥A -BEF 的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的．故选：AD12、（2020·临高县临高中学高一期末）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ）A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x xxf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞， 若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有 当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <.故选：AC.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若222,1()log ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，则()()0.222log 1.2f f +=_______.【答案】12【解析】222,1()log ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，且0.2221,log 1.21><，可得()()2log 1.220.20.2222log 1.2log 22f f -+=+ 1.210.242=+=.故答案为：12. 14、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中，AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥A 1 - BB 1C 1 的体积为______.【答案】3【解析】因为正三棱柱111ABC A B C -,则1BB ⊥底面111A B C ,111A B C △是等边三角形又因为12AA AB ==,则三棱柱各棱长均为2,则1111112112sin 60232A BB C B A B C V V --⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯=⎪⎝⎭故答案为：315、（2020·广东省深圳中学高一期末）某校为了解高一学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n 个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90,100]的学生人数为8，则n =__________；估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为__________．【答案】50 76.4 【解析】因为从体育测试成绩中随机抽取n 个学生的成绩， 且成绩在[]90,100的学生人数为8，∴根据直方图的性质得，0.016108n ⨯=，则50n =，由()0.0120.0160.0180.024101x ++++⨯=，得0.03x =，∴估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为550.01210650.01810750.0310850.02410950.0161076.4⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故答案为50,76.4.16、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：()2248x y -+=的一条切线，切点为T .若PT PO =，则PC 的长是______.【解析】如图，设(),2P p p ，圆心坐标为(4,0)，可得()2222445816PC p p p p =-+=-+，2222588PT PC TC p p =-=-+，225PO p =，PT PO =，225885p p p ∴-+=，解得1p =，22581613PC p p ∴=-+=，即PC四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）如图，在三棱锥P - ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥ AB ，D ，E 分别为BC ，AC 的中点.求证:(1) AB / /平面PDE ; (2)平面P AB ⊥平面P AC . 【解析】（1）,D E 分别为,BC AC 的中点,//AB DE ∴,DE ⊂平面PDE ,AB ⊄平面PDE ,//AB ∴平面PDE（2）PA ⊥平面ABC ,AB 平面ABC ,PA AB ∴⊥,PC AB ⊥,PA PC P =,,PA PC ⊂平面PAC ,AB ∴⊥平面PAC , ∴平面PAB ⊥平面PAC18、（2020·合肥一六八中学高一期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0πx <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（2）21m -<<或12m <<；当(2,1)∈-m 时，两根之和43π；当(1,2)m ∈）时，两根之和3π. 【解析】（1）观察图象可得：2A =， 因为f(0)=1,所以12sin 1,sin ,||,226ππϕϕϕϕ=∴=<∴=. 因为1111()0,2sin()012126f ππωπ=∴⋅+=， 由图象结合五点法可知，11(0)12π，对应于函数y=sinx 的点(2,0)π， 所以112,2126πωππω⋅+=∴=()2sin(2)6πf x x ∴=+．（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=．作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+． 与函数y m =图象交点的个数．可知：当21m -<<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线23x π=对称，两根和为43π． 当12m <<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线6x π=对称，两根和为3π．19、（2020·山东省济南一中高一期中）已知三角形OAB 中，点D 在线段OB 上，且2OD DB =，延长BA 到C ，使BA AC =.设OA a =，OB b =.（1）用,a b 表示向量OC ，DC ；（2）设向量34n OA DC =+，求证：//n OC ，并求n OC的值 【答案】（1）OC =2a b -，DC =523a b -（2）证明见解析；54n OC = 【解析】（1）A 为BC 的中点，1()2OA OB OC ∴=+， 可得2OC OA OB =-2a b =-， 而DC OC OD =-=25233OC OB a b -=- （2）由（1）得()()313424n OA DC OB OC OC OD =+=++-=54OC 故//n OC ，故54nOC = 20、（2020·宝鸡中学高一月考）某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),[80,90]⋯ ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅰ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】(1)0.4.(2)20人.(3) 3:2.【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6 ,样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=，分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯= 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2= 21、（2020·安徽师范大学附属中学高二期中）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x －2y ＋4＝0.,【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令2010x y +=⎧⎨-=⎩ 解得21x y =-⎧⎨=⎩, ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－12k k+ ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有122121k k k +⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩ 解得k ＞0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A 12,0k k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，B (0,1＋2k ). 依题意得120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝1122k k +·|1＋2k | ＝12·()212k k+＝11442k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4， 此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.22、（2020·合肥一六八中学高一开学考试）已知函数()2f x x x a x =-+.（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； 【解析】（1）∵函数()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩. 由于()f x 在R 上是连续的增函数，所以只要当x a ≥时为增函数且当x a <时也为增函数； 即2222a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解得22a -≤≤，则a 的范围为[]22-,. （2）由题意得对任意的实数[]1,2x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[]1,2x ∈恒成立， 即1x a x -<， ∴11x a x x-<-<， ∴11x a x x x-<<+， 故1a x x>-且1a x x <+在[]1,2x ∈上恒成立， 即在[]1,2x ∈时，只要1a x x>-的最大值且1a x x <+的最小值即可， 而当[]1,2x ∈时，1y x x =-为增函数，max 13222y =-=； 当[]1,2x ∈时，1y x x=+为增函数，min 2y =， ∴322a <<. 所以满足条件的所有3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭.。
2020年下学期高二年级摸底检测试卷数学科试卷解析版
2020年下学期高二年级摸底检测试卷数学科试题总分：150分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.其中第1～10小题,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,第11、12小题为多选题,少选得3分,多选或错选得0分) 1．已知命题“若p ，则q ”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（ ） A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝1．C.解析：依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若p ，则q ”的逆否命题“若q ⌝，则p ⌝ ”是真命题，故应选答案C ．2．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，编号为2~32的学生样本中被抽到的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．17 D ．182．B.解：由于所抽的样本容量为6，所以每段有10个数据，故有3个被抽取到。
3.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点G,用AG 为半径作圆,则圆的面积介于25π cm2到64π cm2之间的概率是( )A. B. C. D.3.C. 因为以AG 为半径作圆,面积介于25π cm2到64π cm2之间,则AG 的长度应介于5 cm 到8 cm 之间.∴所求概率P(A)=.4.54x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，x 的系数为 （ ） A ．20B ．-20C ．5D ．-54.A. 因为 54x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的第1r +项为()()5355255414rr rrr rrC x C xx ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由3512r -=可得4r =，所以展开式中x 的系数为()4451420C -⋅=. 5.已知随机变量X 所有可能取值的集合为{-2,0,3,5},且P (X=-2)=,P (X=3)=,P (X=5)=,则P (X=0)的值为( ) A.0B .C .D .5.C 因为由分布列的性质可知,P (X=0)=1-P (X=-2)-P (X=3)-P (X=5)=.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (单位:吨)与相应的生产能耗y (单位:吨标准煤)x 3 4 5 6 y2.5344.5线性回归方程为y=0.7x+a ，则A.0.32B.0.33C.0.34D.0.356.D.因为由题中数据可知=4.5,=3.5.=3.5-0.7×4.5=0.35.7．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量超过9.8kg 的概率为（ ）（精确到0.0001） 注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974． A.0.0228 B.0.9544 C.0.9772 D.0.0456 7．C 【解析】∵袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ， ∴1(9.8)(1(9.810.2))2p p ξξ<=-<<1(1(1020.11020.1))2p ξ=--⨯<<+⨯1(10.9544)0.02282=-=.1-0.0228=0.9772，故选择C. 8.中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种8.D (1)若甲选《春秋》，则有133318C A =种情况； (2)若甲不选《春秋》，则有233336A A =种情况；所以5名同学所有可能的选择有183654+=种情况.故选D9．已知函数()x f x x e -=⋅，21()ln 2g x x x a =-+，若12,[1,2]x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2211ln 22,2e e ⎛⎫+--⎪⎝⎭ B ．2211ln 22,2e e ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦C ．2112,ln 222e e ⎛⎫--+⎪⎝⎭D ．2112,ln 222e e ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦9．B 解：因为函数()x f x x e -=⋅，21()ln 2g x x x a =-+， ()(1)0x f x e x -'∴=-<，()f x 在区间[1,2]上是单调减函数，所以221(),e e f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 211()0x g x x x x-'=-=>，()g x 在区间[1,2]上是单调增函数，所以1(),2ln 22g x a a ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦， 由于12,[1,2]x x ∃∈使得()()12f x g x =， 所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⋂==∅，当{|()}{|()}y y f x y y g x =⋂==∅时，得222ln 2e a -+<或112a e <+， 所以22ln 22e a <+-或11e 2a >-， 所以()()f x g x ⋂≠∅，得2211ln 22,e e 2a ⎡⎤∈+--⎢⎥⎣⎦．故选：B ．10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞B ．[]1,3-C ．(),22⎡-∞⋃+∞⎣D ．22⎡-+⎣10．D 由题得直线AB 的方程为01y x -=-即y=x-1,设A 1122(,),(,)x y B x y ， 联立2121221610614y x x x x x x x y x=-⎧∴-+=∴+=⋅=⎨=⎩所以1212121132222x x y y x x ++-+-===，|AB|=23641181-+⋅= 所以AB 为直径的圆E 的圆心为（3,2），半径为4. 所以该圆E 的方程为22(3)(2)16x y -+-=.所以点D 恒在圆E 外，圆E 上存在点P,Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E 上存在点P,Q ，使得DP ⊥DQ ，显然当DP,DQ 与圆E 相切时，∠PDQ 最大，此时应满足 ∠PDQ 2π≥，所以2222(32)(2)EP DEt =≥++-，整理得2430t t --≤.解之得 2727t -≤≤+，故选D.11．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论正确的是A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%11．ABC 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选ABC ．12．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法错误的是( ) A. 至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B. 若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C. 对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D. 若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关 12．ABC 【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选ABC ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中16题第一空1分，第二空4分.把答案填在题中横线上)13.．已知实数x 、y 满足1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.13.．252.作出不等式组1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立36010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得9272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域内的点97,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距最大，此时，目标函数2z x y =+取得最大值，且max 97252222z =⨯+=. 故答案为：252. 14.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 .14..多面体为一个三棱锥，高为2，底面为底为3高为2的三角形，所以体积为11223=232⨯⨯⨯⨯15.某医院为防控新冠疫情，安排5名医生到某县的3个乡镇进行帮扶，要求每个乡镇至少安排1名医生，且1名医生只去一个乡镇，则不同的安排方法有________. 15.解：根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，若分为1、1、3的三组，有C 53＝10种方法， 若分为1、2、2的三组，有＝15种方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3所学校，有A 33＝6种情况， 则25×6＝150种安排方法；16．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，构成新数列，新数列第12项为__________.则此数列的前55项和为_________.16.15;4072. 因为构成新数列为2、3、3、4、6、4、5、10、10、5、6、15、20...... 原每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 行和为S n 1212n -==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12行的和为S 12＝212﹣1=4095，因此新数列前55项的和为S 12﹣23＝4072.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10分)在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有75人更爱看综艺类节目，另外25人更爱看体育类节目；男同学中有45人更爱看综艺类节目，另外55人更爱看体育类节目. （1）根据以上数据完成22⨯列联表：（2）试判断是否有99.9﹪的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”. 临界值表：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++17.解：（1）根据题目中的数据填写22⨯列联表；（2）2200(75552545)18.7510.82812080100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99.9﹪的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”.18. (本小题满分12分)某市一所医院在某时间段为发烧超过38C 的病人特设发热门诊，该门诊记录了连续5天昼夜温差x (C )与就诊人数y 的资料： （人）(1)求(),i i x y ()1,2,,5i =的相关系数r ，并说明昼夜温差(C )与就诊人数y 具有很强的线性相关关系.(2)求就诊人数y (人)关于出昼夜温差x (C )的线性回归方程，预测昼夜温差为9C 时的就诊人数.附：样本(),i i x y ()1,2,,i n =的相关系数为()()niix xy y r --=∑||0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系.回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆnniii ii inniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-. 5.10≈10.30≈ 18.．(1)()181013127105x =++++=，()11825282717235y =++++=， 250352436510.985.1010.30r --++⨯+⨯+--==≈⨯，0.75r >，昼夜温差x （c ）与就诊人数y 具有很强的线性相关关系．(2)因为()()51(2)(5)023524(3)(6)51iii x x y y =--=-⨯-+⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，()52222221=(810)(1010)(1310)(1210)(710)26i i x x =--+-+-+-+-=∑，所以51ˆ 1.9626b=≈，ˆ2319.6 3.40a =-=，所以ˆ 1.96 3.40yx =+， 当9x =时，ˆ 1.969 3.4021.04y=⨯+≈， 由此可以预测昼夜温差为9C 时的就诊人数大约为21人左右.19. (本小题满分12分)近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.19．（1）仅使用A 支付方法的30名学生中， 金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35， 且X 的所有可能值为0、1、2. 则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=， 所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=； （2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.”假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==. 我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.20.(本小题满分12分)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.20解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元；（2）由题意知()17.40,6.92X N ~（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101k kk C p P k p ξ-=-=， 从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯- 得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.21.(本小题满分12分)已知函数()ln (0)f x a x x a =->．（1）当e a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的零点个数．21．（1）当e a =时，()eln f x x x =-， 则e ()1f x x'=-，(1)1f =-，(1)e 1f '=-，（2分） 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．（4分）（2）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x-'=-=， 当0x a <<时()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在x a =处取得最大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，（6分）当0e a <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；（7分）当e a =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；（8分）当e a >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，（10分） 易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0x h'x x -=<， 所以函数()h x 在(e,)+∞上单调递减，则()2lne e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <， 所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．（11分）综上，当0e a <<时，函数()f x 无零点；当e a =时，函数()f x 有唯一零点；当e a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）22.(本小题满分12分)已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
2020届高三数学九月开学摸底考试试题理(含解析)
2020届高三数学九月开学摸底考试试题理（含解析）一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用指数函数、复合型幂函数的性质，分别求出函数；的值域，得到集合和集合，再求交集即可求解出结果.【详解】由题意得，，即集合.又，即集合故答案选D.【点睛】本题主要考查了求函数定义域的值域，以及集合交集的运算.2.若，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数四则运算法则可将复数化简为，从而得到对应点的坐标，进而得到结果.【详解】对应的点的坐标为：，位于第三象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数与复平面上的点的对应关系，关键是能够熟练应用复数的四则运算法则将复数化简为的形式，属于基础题.3.已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【详解】双曲线的a=1，b=，c=，右焦点F为（，0），一条渐近线方程为，则F到渐近线的距离为d==．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．4.设函数，则（）A. 1B. 2C. 3+eD. 3e【答案】D【解析】【分析】对函数求导，然后把代入即可.【详解】故选C.【点睛】本题考查函数在某一点出的导数，属基础题.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A. B.C. −D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．7.二项式的展开式中的系数是，则( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得二项展开式中的通项公式，令，解得，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得故选：B．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练求解二项展开式的通项，准确得出的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由“{an}为等比数列”能推出“an2=an﹣1•an+1”，当数列为an=an﹣1=an+1=0时，尽管满足“an2=an﹣1•an+1”，但“{an}不为等比数列，故“对任意且都成立”是“是等比数列”的必要不充分条件，故选：A．9.定义域为R的奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. 2018B. 2020C. 4034D. 2【答案】A【解析】【分析】由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，可得的周期，结合，可求的值.【详解】由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，则则即函数的周期为8，则故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性的应用，注意分析函数的奇偶性．10.已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：因为三棱锥的体积有最大值且为确定的三角形，故球心在三棱锥的内部且球心到平面的距离是定值.要使得体积最大，只要到平面的距离最大即可，此时与球心的连线垂直平面且经过外心，根据这个性质可以得到外接球的半径.详解：为等腰直角三角形，三棱锥体积最大时，球心在过的中点且垂直于平面的直线上，为该直线与球面的交点，此时高，故体积，解得，故.选D.点睛：为了求得外接球的内接三棱锥的体积的最大值，我们需选择合适的变量构建体积的函数关系式，因本题中三棱锥的底面三角形确定，顶点在球面上变化，故高最大时体积最大.11.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 到直线的距离不大于2C. 直线过抛物线的焦点D. 为直径的圆的面积大于【答案】B【解析】【分析】根据题意，，可看作直线与抛物线的交点,对直线进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，设出，的坐标，可以求得，的坐标及直线的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线过定点，结合选项得出答案.【详解】当直线MN的斜率不存在时，设，由斜率之积为，可得，即，∴的直线方程为；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得．设，则，∴，即．∴直线方程为．则直线过定点．则到直线的距离不大于2．故选B．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论.二、填空题13.命题：“，”的否定是________．【答案】【解析】【分析】根据含量词命题的否定直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以原命题的否定为：，本题正确结果：，【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题.14.已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可.【详解】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数变形为，此直线经过图中A时在轴截距最大，由得到，所以的最大值为；故答案为：4．【点睛】本题考查简单的线性规划，其中数形结合的应用是解决本题的关键，属于基础题.15.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得An﹣23＝A32An﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有An﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32An﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴An﹣23＝A32An﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.16.已知函数，若，使得，则的取值范围是______【答案】【解析】【分析】由题意，设，得有零点，化简得，转化为直线与有交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，设，∵，∴，∴有零点，即，整理得，即直线与有交点，又由，（），令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，又，当时，，分别画出与的图象，如图所示；由图象可得当，即时，与有交点，故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线与有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．三、解答题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.试题解析：（1）由题意知，，化简得：即，因为，所以，从而，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.18.如图1，在△中，分别为的中点，为的中点，．将△ADE沿DE折起到的位置，使得平面如图2．（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.图1 图2【答案】(I)见解析；（II）.【解析】【分析】（I）取线段A1B中点H，连接HD，，通过证明四边形DEFH时平行四边形得出EF∥DH，于是EF∥平面A1BD；（II）分别以为轴建立空间直角坐标系，则面的法向量, ,, ,则,设面的法向量，求出，即可求得二面角的平面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）取线段的中点，连接，．因为，分别为，的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面(II)分别以为轴建立空间直角坐标系，则面的法向量, ,, ,则,设面的法向量，则，解得，所以，，所以所以二面角的平面角的余弦值【点睛】本题考查了线面平行的判定，利用空间向量求二面角的计算，属于中档题．19.生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.质量()(1)若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.【答案】（I）（只）；（II）.【解析】【详解】（Ⅰ）由表中的数据可以估算这批生蚝的质量为，所以购进，生蚝的数量均为（只）；(II)由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，的可能取值为，则,,所以的分布列为所以【点睛】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；(II) .【解析】【分析】（I）根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点横坐标，列出方程解出p．（II）根据|FA|=|FD|列出方程得出A，D横坐标的关系，从而得出l的斜率，设l1方程，与抛物线方程联立，由判别式△=0得出l的截距与A点坐标的关系，求出E点坐标，得出AE方程，根据方程特点判断定点坐标．【详解】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），由，解得，所以抛物线的方程为(II)由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意知，得.设，则，，当时，，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．21.设函数（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（Ⅰ），；(II)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求导，所以，又因为，可求；(II)因，所以，令，则，讨论的单调性，画出函数的图象，根据图像可求实数的取值范围，由上知，，不妨设，则，要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需，即证，即证对恒成立，令，利用导数讨论的单调性即可得证.【详解】（Ⅰ）因为，所以，又因为，所以，即(II)因为，所以，令，则，令，解得，令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，，画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.由上知，，不妨设，则，要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需，即证，即证对恒成立，令，则因为，所以，所以恒成立，则函数在的单调递减，所以，综上所述【点睛】本题考查了函数在某一点处切线问题以及函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）,圆；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将参数方程化为普通方程，可知曲线是以为圆心，为半径的圆；根据直角坐标与极坐标互化原则可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设，，联立与圆方程可得韦达定理的形式；则，整理可得，代入替换可求得；根据垂直关系可知所求面积为，根据三角函数知识可求得结果.【详解】（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：将曲线的方程化成极坐标方程得：曲线是以为圆心，为半径的圆（Ⅱ）设，由与圆联立方程得：，三点共线则用代替可得：【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、求解四边形面积的取值范围类的问题；求解面积取值范围的关键是灵活应用极坐标中的几何意义，结合韦达定理表示出四边形的两条对角线，利用三角函数的知识求得结果.选修4—5：不等式选讲23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析：（1）等价于或或，解得：或.故不等式的解集为或.（2）因为：所以，由题意得：，解得或.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．2020届高三数学九月开学摸底考试试题理（含解析）一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用指数函数、复合型幂函数的性质，分别求出函数；的值域，得到集合和集合，再求交集即可求解出结果.【详解】由题意得，，即集合.又，即集合故答案选D.【点睛】本题主要考查了求函数定义域的值域，以及集合交集的运算.2.若，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数四则运算法则可将复数化简为，从而得到对应点的坐标，进而得到结果.【详解】对应的点的坐标为：，位于第三象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数与复平面上的点的对应关系，关键是能够熟练应用复数的四则运算法则将复数化简为的形式，属于基础题.3.已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【详解】双曲线的a=1，b=，c=，右焦点F为（，0），一条渐近线方程为，则F到渐近线的距离为d==．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．4.设函数，则（）A. 1B. 2C. 3+eD. 3e【答案】D【解析】【分析】对函数求导，然后把代入即可.【详解】故选C.【点睛】本题考查函数在某一点出的导数，属基础题.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A. B.C. −D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．7.二项式的展开式中的系数是，则( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得二项展开式中的通项公式，令，解得，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得故选：B．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练求解二项展开式的通项，准确得出的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由“{an}为等比数列”能推出“an2=an﹣1•an+1”，当数列为an=an﹣1=an+1=0时，尽管满足“an2=an﹣1•an+1”，但“{an}不为等比数列，故“对任意且都成立”是“是等比数列”的必要不充分条件，故选：A．9.定义域为R的奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. 2018B. 2020C. 4034D. 2【答案】A【解析】【分析】由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，可得的周期，结合，可求的值.【详解】由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，则则即函数的周期为8，则故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性的应用，注意分析函数的奇偶性．10.已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：因为三棱锥的体积有最大值且为确定的三角形，故球心在三棱锥的内部且球心到平面的距离是定值.要使得体积最大，只要到平面的距离最大即可，此时与球心的连线垂直平面且经过外心，根据这个性质可以得到外接球的半径.详解：为等腰直角三角形，三棱锥体积最大时，球心在过的中点且垂直于平面的直线上，为该直线与球面的交点，此时高，故体积，解得，故.选D.点睛：为了求得外接球的内接三棱锥的体积的最大值，我们需选择合适的变量构建体积的函数关系式，因本题中三棱锥的底面三角形确定，顶点在球面上变化，故高最大时体积最大.11.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 到直线的距离不大于2C. 直线过抛物线的焦点D. 为直径的圆的面积大于【答案】B【解析】【分析】根据题意，，可看作直线与抛物线的交点,对直线进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，设出，的坐标，可以求得，的坐标及直线的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线过定点，结合选项得出答案.【详解】当直线MN的斜率不存在时，设，由斜率之积为，可得，即，∴的直线方程为；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得．设，则，∴，即．∴直线方程为．则直线过定点．则到直线的距离不大于2．故选B．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论.二、填空题13.命题：“，”的否定是________．【答案】【解析】【分析】根据含量词命题的否定直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以原命题的否定为：，本题正确结果：，【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题.14.已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可.【详解】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数变形为，此直线经过图中A时在轴截距最大，由得到，所以的最大值为；故答案为：4．。
高三数学摸底考试试题(含解析)-人教版高三全册数学试题
【解析】
，在复平面上对应的点 位于第三象限．故选 .
3.已知点 在幂函数 图像上，设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可．
【详解】因为点 在幂函数 图像上
所以 ，所以
即 ，
， ，
即
为R上的单调递增函数
或 ，即 ，②
将①代入②得 ，
又直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则 ，
即 ，
则 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查了应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，重点考查了运算能力，属中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知 .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间;
16.若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _____．
【答案】 或
【解析】
【分析】
设出两个切点坐标，利用导数的几何意义，以及过两点的直线斜率公式可列方程组，从而求出切点坐标，进而可得切线斜率.
【详解】详解：设 与 和 ，分别切于点 ， ，
由导数的几何意义可得： ，即 ，①
则切线方程为 ，即 ，
14.当 时，不等式 恒成立，则 的取值X围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【详解】当 时，不等式 恒成立
等价于 在 时恒成立
即等价于 ；
而因为 ，
故 ,当且仅当 时取得最大值.
故：
故答案为： .