基于数学原型的发生学习资料
苏科版-数学-八年级上册-知识拓展 08 基于生活真实情境的数学学习
基于生活真实情境的数学学习更新教育观念是实施素质教育的先导．更新教育观念，要学习，要思考，更要实践，课堂教学无疑会成为其落脚点和最终归属．如果仅仅停留在会说几句时髦的口号和书写多少千字的教育理论学习笔记，显然太肤浅．下面的事例，足以说明将新的教育观念转化为具体教学实践的艰巨性和重要性．初中代数“平面直角坐标系”一节，作为初中学生学习“函数及其图像”一章的入门和基础，知识点并不多，内容也不复杂．主要有平面直角坐标系的有关概念、坐标平面内的点和有序实数对之间的一一对应关系等．现将某教师的教学过程简述如下：复习旧知：1．什么叫数轴，数轴的三要素是什么？2．_______与数轴上的点是一一对应，意思是_______________．引入新课：学生看书：引言中温度随时间的变化曲线和如何确定教室中某生的座位，引出课题——平面直角坐标系．探索新知：主要通过学生看书、讲练结合的方式解决平面直角坐标系的概念及有关名词，如何求平面坐标系内的一个点的坐标、已知坐标平面内点的坐标如何找出对应的点、利用学生座位建立平面直角坐标系的方法（具体过程从略）．巩固新知：讲解例1、例2．反馈练习：课本练习与部分习题．归纳小结：学生依据板书提纲对本节内容做出总结．整个教学设计程式呆板，方法陈旧．教学内容完全限定在教科书所列内容之中，就连联系生活和学生实际的两个事例——温度变化曲线和找座位，也都是书中所示内容．这样的课堂教学，充其量只能说是完成了所谓的教学目标，实际上就是知识的记忆和复制．在知识爆炸的今天，掌握知识的多少已经不是最重要的，如何掌握知识才是至关重要的．所以，课堂教学的任务不仅仅是传授知识，更重要的事实让学生掌握学习的方法．建构主义学习理论则认为，学习不是简单的知识转移和传递，而是学习者主动建构自己知识经验的过程，学习者要将正式的知识与自己日常的直觉经验（生活实际）联系起来．教学的目标在于帮助学习者习得事物及其特征，使外部客观事物（知识及结构）内化为其内部的认知结构．课堂教学中教师只是组织者，学生则是信息加工的主体．①由此可知，上述教学过程与这一教学观念的要求，尚有很大距离．课后，从建构主义学习理论等现代教育理论出发，经与任课教师交流、探讨，重新设计了教学过程．简述如下：引入新课：1．如果向东走3米记做＋3，则向东走5米记作_____．2．如果向东走3米后接着左转向北走2米，如何标记终点与起点的关系？3．谁能找出更多的只用数轴不能表示出位置关系的生活问题？教师引伸：数学上引入数轴的概念，为人们在一条直线上确定某个点的位置带来了方便，也促进数学的发展．通过刚才同学们的发言，我们知道，现在出现了一个新问题，如第2题和同学们提出的生活中的问题，都是点不在原先规定的数轴上的问题．怎样对不在事先规定的数轴上的点做出标记，才能确定它的位置？请同学们讨论一下解决办法．学生分析：师出示问题：如何利用数轴知识建立平面直角坐标系．学生分组讨论后汇报．生1：数轴有三个重要特点，即原点、方向、单位．这三条特点对确定直线上的点缺一不可，对确定平面上的点也应该有用．从这个方面讲，平面直角坐标系也应该有类似的特点．生2：在平面上确定一个点，用一个数轴不行．那需要用几个呢？2个？3个？多个？我通过看书上的图知道，用2个就可以．可这两个怎么摆放，是个问题．书上为什么让其相互垂直？平行可以吗？相交的夹角不是90°可以吗？生3：让两个数轴垂直相交，正好将一个平面等分成4份，既简单，又准确方便．我认为很好．生4：由于平面直角坐标系是由2个数轴垂直相交组成，那它就应该有1个原点，2个方向，坐标轴都应该有单位，且单位必须统一．生5：书上规定的x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、坐标平面、横坐标、纵坐标、坐标、象限等概念，是不是人为规定的？生6：象限是怎么回事？教师总结概括．特别说明坐标标记为（x，y）．训练提高：师：我们共同做个游戏．以同学们的座次，规定向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，找一个同学为原点，相邻同学之间的距离为1个单位．在确定好原点后，各自说出自己所在象限和坐标．看谁又快又准．找3－5人轮流当原点．学生汇报．巩固作业：自创作业：以教室窗格或家中地板砖缝（或其他物品）为平面坐标的轴，自己规定原点．随意确定不同位置的点，写出其坐标，或规定坐标、找出对应点（也可以找其他参照物品）．课外思考：1．一个人向东走3米，转而向北走2米，又向上跳了1米，所跳到的空中那个点与起点的关系能否用平面坐标系解决？为什么？怎么办？2．全球定位系统是怎么回事？有何用途？课堂小结：数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂．因此，数学教学要尽可能地接近学生的现实生活与社会生活，让学生认识到生活中处处有数学，数学中也处处有生活的道理．只是死记枯燥无味的概念和进行大量机械重复练习，不符合学生认知规律和数学教学规律．当然，必要的练习是不可少的，但关键是要做好题目的拟定和练习方式的选择．新的课程方案中，教育理念有了重大变革．不再过分注重知识的传授，强调学生获得知识与技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程；不再过分强调学科本位，不再偏重书本知识，加强课程内容与学生生活以及现代社会发展的联系，关注学生学习兴趣和经验；注重学生终身学习必备的基础知识和技能；改革过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流、合作的能力，等等．当然，所有这些，都需要教师在教学过程中逐步落实，尤其是非课改实验区的教师，要抓紧当前有利时机，提前介入，让新的理念早一天在课堂教学中生根、发芽、开花、结果，而不能等课改到来之时临阵磨枪！。
原型启发 原型启发在数学教学中的应用与思考
浙江武义职业技术学校 321200 摘要本文以教育心理学理论为依据，阐述了原型启发在数学课堂教学中的作用；结合生动的教学实例，着重从创设“原型”的问题情境启发学生领悟数学规律、依托原型进行联想探究发现数学新知识、把握题目的结构特征寻找“原型”开拓解题思路三个方面阐述了在数学教学中怎样利用“原型”进行启发的教学要领.关键词原型；启发；联想当我们进行创造性思考、解决问题时，往往会从其他事物中得到解决问题的启示，从而找到解决问题的方法和途径. 心理学上把这种具有启发作用的事物称作原型. 原型之所以具有启发作用，主要是因为原型与所要解决的问题之间有某些共同点或相似点，通过联想，找到解决问题的新方法. 可见，所谓原型启发就是指人们在解决问题的过程中，从某种事物与待解决问题之间的某些共同点或相似处看出解决问题的途径的思维方法. 由此可知，原型启发在引导学生探索数学知识、创造性地解决问题中起着重要的作用. 在数学教学中我们往往通过原型进行联想或类比来发现数学规律和找到解决问题的方法.[?]创设原型情境，领悟数学规律新课程理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式，指出数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识. 因此，数学概念、结论的得出不应由教师直接给出，而是在教师精心创设的问题情境中，通过学生自己的探究得出. 这就经常需要教师用恰当的原型材料创设情境，使学生从原型中获得启发，探求出解决问题的方法.例1推导等差数列的求和公式.在推导等差数列前n项和的公式之前，我说“伟大的数学家高斯在小时候就表现出非凡的数学才能，在他十岁的时候，一天老师让学生们做一道从1加到100的加法题，高斯很快就得出了答案，其中用了一种巧妙的方法. 同学们，你们能像高斯一样想出巧妙的方法，很快得出结果吗？能运用这种方法求出等差数列前n项和的公式吗？试试看. ”学生积极思考从1加到100的方法，再用这种方法推导出了等差数列求和公式. 这里，高斯所使用的方法与等差数列求和公式的推导方法在本质上是一样的，正是这种相似性启发了学生的思维，导出了公式.例2数学归纳法的教学.数学归纳法的思想方法比较特殊，学生往往难以理解. 怎样在教师的引导下，由学生自己领悟出数学归纳法的精髓？我在教学实践中采用了生活中的“多米诺”骨牌效应作为原型，启发学生思考，收到了较好的效果.先给出问题怎样证明1+3+5+7+…+（2n?1）=n2对任意自然数n都成立？由于自然数列的无穷性，我们当然不可能对所有的自然数一一验证，怎么办呢？这时通过电脑演示“多米诺”骨牌效应，同时在桌子上用若干块木牌代替“多米诺”骨牌进行实验，让学生分析“多米诺”骨牌游戏能够进行下去的条件. 通过讨论得出（1）第一张骨牌必须被推倒；（2）两张骨牌之间的间距要恰当，即如果第k张骨牌倒下必定有第k+1张骨牌倒下，这样所有的骨牌终将全部倒下. 再启发“把多米诺骨牌效应得以进行下去的原理应用到前面问题的证明上，可以得到什么方法？”经过讨论，学生明白了第一个条件相当于验证所证等式当n=1时成立，第二个条件相当于如果当n=k时等式成立，则必有n=k+1时等式也成立. 上述问题情境使学生领悟到了数学归纳法的本质，认识到（1）是递推的基础，（2）是递推的依据，两者缺一不可. 在这里，正是由于“多米诺”骨牌效应的原理这一原型与数学归纳法证题方法的相似性，使学生较好地领悟并理解了数学归纳法的证题方法.[?]依托原型联想，体验发现乐趣数学知识的高度系统性的特点决定已有的知识常常成为某一新知识的原型和依据. 依托这些已有知识的“原型”，进行充分的联想，常可把已知的数学知识拓展，得到新的数学概念和定理. 例如，以一元二次不等式（x－a）（x－b）>0的区间分析法解法为原型，可以得到（x－a1）（x－a2）…（x－an）＞0的解法，两个正数的均值定理可以推广为n个正数的均值定理，平面向量的许多性质可以推广到空间向量中去，由平面几何的一些性质为原型，可以得到相应的立体几何的定理等等. 教学中教师要抓住有利时机，恰当设置原型，诱发学生联想和类比，发现和解决数学问题.例3教学球的截面性质.先重温平面几何中圆与弦的性质（1）圆心和弦中点的连线垂直于弦；（2）圆心到弦的距离d与圆的半径R及弦长的一半r之间有关系式d=. 然后启发我们知道，一些平面几何的性质可以推广到立体几何中去，那么圆的这一性质能否推广到球里呢？通过思考，学生知道球的截面是圆面，画出并仔细观察球的截面图形后，发现球的截面与圆有相类似的性质（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间有关系d=，并得到了证明.我趁热打铁我们知道，圆内接三角形以正三角形的面积最大，圆内接四边形以正方形的面积最大，想象一下，这个性质推广到球能得到什么结论？学生经过热烈讨论得出在球的内接四面体中，以正四面体的体积最大；在球的内接长方体中，以正方体的体积最大；在球的内接圆柱中，以等边圆柱的体积最大；在球的内接圆柱中，以等边圆柱的侧面积最大；在球的内接圆锥中，以等边圆锥的体积最大；等等.当然，这样类比得出的结论不一定都是对的，我让学生课后自己去验证一下，得知上面的结论3不对，应当是当球的内接圆柱的高是底面圆半径的倍时，体积最大. 我告诉学生，可以用另外的方法判断结论5也不对.在上面的教学过程中，重要的不是学生能够得出一些知识结论，而是在教师的启发下，由学生根据原型的特征去联想、去创造，科学地提出问题和解决问题，同时，也让学生体验到数学发现的乐趣.[?]寻找原型启示，开拓解题思路前面讲的学生发现数学新知识的过程可以归纳为原型→联想→发现，这里，原型经常是由教师给出的. 但在学生独立解题时，却是要自己寻找原型，获得解题的方法. 原型出现的诱因，经常是数学问题结构上的特征与原型之间的一些相似之处，以此诱发新的解题方法的产生. 因此，学生的解题过程经常是分析→原型→解决，即分析题目的结构特征，寻找原型，最后获得问题的解决. 因此，学生在解题时，头脑中是否存在与待解决问题有相似之处的原型，以及头脑中是否想到这样的原型，就显得非常重要. 这就需要教师在解题教学中，对学生进行分析题目的结构特征，寻找解题原型的训练.例4求函数u=的值域.分析1把原式化为sinθ－ucosθ=2u，由这一形式结构联想到（原型一）asinα+bcosα=sin（α＋φ），化成一个角的三角函数形式，然后利用正弦函数的有界性求解.解法1 原式化为sinθ－ucosθ=2u，则有sin（θ＋φ）=2u，所以sin（θ＋φ）=. 由sin（θ＋φ）≤1，得出所求函数的值域是－，.分析2原式变为ucosθ－sinθ+2u=0，可以把它看成是（原型二）直线ux－y+2u=0，问题就转化成由直线与圆x2+y2=1的关系求u的取值范围.解法2原式变为ucosθ－sinθ+2u=0，令x=cosθ，y=sinθ，有ux－y+2u=0. 因为x2+y2=1，故直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=≤1，从而得解.分析3根据u=的结构特征，改写为u=，就得到了（原型三）u是点P（cosθ，sinθ）与点A（-2，0）连线的斜率. 问题就转化为根据直线与圆的关系，求斜率u的取值范围.解法3原式化为u=，令x=cosθ，y=sinθ，则x2+y2=故u是点A（－2，0）与圆x2+y2=1上任意一点连线的斜率. 设过点A的直线方程为y=u （x＋2），由圆心到直线的距离d==1，得到斜率u的最大值和最小值分别是和－，故所求函数的值域是－，.教学实践中我意识到，把原型启发运用在解题教学上要注意两点，一是学生头脑中是否有解题所需要的“原型”存在，一般来讲，原型储备越多，原型启发就越容易实现；二是看学生当时思维活动的状态如何，如果学生的思维活动处在一种积极的状态，那么常常更有利于原型启发发生作用. 在数学教学中，我们教师不但要善于利用原型启发引导学生思考，而且要经常有意识地对学生进行原型启发的训练，促使学生在遇到问题时能找到恰当的原型，启迪思维，找出解决问题的方法.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。
中学数学教学参考资料
中学数学教学参考资料MA 教育理论MA1 教育研究MA11 教育改革（教材改革及分析）MA111 教学计划MA112 课程标准·对《“高中数学课程标准”的框架设想》的思考/李世杰、候万胜、吴卫国//《中学教研（数学）》2003.3第1页·《台湾国民中学数学课程标准》简介/佳声//《初中数学教与学》2003.4第38页·高中数学新课标有哪些重要变化/江西省高中数学课程标准研究组//《数学通报》2004.1第4页·普通高中数学课程标准教材的研究与编写/普通高中数学课程标准实验教科书编委会//《数学通报》2004.6第3页·数学课程标准和新教学大纲中的选修课程比较/江雪萍//《数学通报》2004.7第9页·新课程标准与《中学数学教学论》教学应注意的几个变化/杨建辉//《数学通报》2004.9第4页·高中数学课程标准与教学大纲的比较分析/罗新兵、乔梓//《中学数学教学参考》2004.4第1页·辨析：新课标理解途径的一种归结/郭其俊//《中学数学教学参考》2004.8第22页MA113 中数发展·新大纲新理念新认识/徐永忠、王红兵//《中学数学研究》2003.1第15页·数学课程改革的实践与认识/匡继昌//《数学通报》2004.7第3页MA114 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Instructino）方法/魏志平//《数学通讯》2003.19第1页·例说“主体探究与达标”/庄科、张月极//《数学通讯》2003.23第1页·数学认知策略教学的探索/徐光考、朱学燕//《数学通报》2003.5第13页·数学教学环节间的衔接及其设计/李平龙//《数学通报》2003.6第10页·数学文化传统与教育现代化案例剖析/潘巧明//《数学通报》2003.8第3页·浅谈隐含条件的思维价值/王志//《数学通报》2003.8第16页·数学开放题及其教学/黄根初//《数学通报》2003.10第7页·数学教学模式的选择与活运用/曹一鸣//《中学教研（数学）》2003.1第1页·“研究性学习”的教学研究/郝澎//《中学数学教学参考》2003.1～2第13页·高中数学“研究性学习课题”教学问答/蔡上鹤//《中学数学教学参考》2003.3第4页·谈数学教学中的元认知提问/徐伯华//《中学数学教学参考》2003.3第6页·数学课程标准与数学能力培养/熊丙章、黄翔//《中学数学教学参考》2003.4第1页·基于网络环境的数学住处素养培养模式的研究与实践/汪国华//《中学数学教学参考》2003.6第4页·中考前需做的准备/曾进、张伟//《中学数学教学参考》2003.6第57页·几个问题尚待完善——试题：清新的视觉，鲜活的素材/巩平文、把光红、张永超、王玉梅、张俊、张惠荣//《中学数学教学参考》2003.8第37页·问题从何而来？——引导学生设计问题的开放式教学研究/崔萍、符永平//《中学数学教学参考》2003.10第13页·变式教学研究/鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾冷沅//《数学教学》2003.1第11页·传统数学题的情景性改造/薛党鹏//《数学教学》2003.6第8页·寻求数学教学中的情景“支撑”/周学祁、钱春林//《数学教学》2003.7第2页·数学教育研究的社会转向/郑毓信//《数学教学》2003.12第5页·浅析数学选择题的教学功能/王军//《初中数学教与学》2003.7第3页·听课教师的角色转换/廖泽春//《数学通报》2004.1第23页·新课程理念下的“双基”教学/钱珮玲//《数学通报》2004.4第3页·基于奥苏贝尔有意义学习理论的对数函数概念的引入教学/陈柏良//《数学通报》2004.4第22页·用新课标理念设计一堂课的教学/陶维林//《数学通报》2004.8第13页·中学数学教学方式改革的理发思考与课堂实践/丁益祥//《数学通报》2004.8第20页·试论数学“探究性学习”教学的基本过程/郭要红//《中学数学教学》2004.1第1页·谈数学课堂教学中设设疑的时机/孙伟奇//《中学数学教学》2004.1第6页·如何设计“数学探究式学案”蔡晓文、吕成荣///《中学数学教学》2004.1第8页·从一节课的设计谈新课标理念的实施/薛正华//《中学数学教学》2004.1第42页·以创新意识探究新教材的教学/刘定勇//《中学数学教学》2004.1第45页·习题课教学中师生互动带来的“意外”收获/王军//《中学数学教学》2004.2第44页·谈数学教学中开放探索问题的设计/沈志刚//《中学数学教学》2004.4第3页·基于建构主义理论的信息化数学教学模式/陈华庆//《数学通讯》2004.3第1页·一种可资借鉴的教学方法——案例教学/陈柏良//《数学通讯》2004.3第4页·数学学科探究学习的特征及其指导策略/宁连华//《数学通讯》2004.7第3页·营造课堂氛围激发创新潜能/郑日锋//《中学教研（数学）》2004.7第9页·头脑风暴法——一种值得借鉴的数学教研活动方式/丁华元//《中学数学教学参考》2004.1～2第25页·案例方法在数学教育研究中的运用/王林全//《中学数学教学参考》2004.4第19页·浅谈新课程理念下的数学教学/单国炎//《初中数学教与学》2004.4第1页·中学数学研究性学习的课题选择原则初探/颜建华//《高中数学教与学》2004.9第1页·谈创新教育下数学习题课的艺术构成/曹凤东、刘洋//《高中数理化》2004.5第14页·变式教学——研究性学习的一种模式/谢全苗、刘淑珍//《中学数学教学参考》2004.10第4页·简论数学教学的“过程化”/冯斌//《数学通报》2004.10第14页MA122 数学思想（教学目标、教学心理）·数列中的数学思想/丁赛军//《高中数学教与学》2003.11第10页·数列问题中重要的数学思想/李相普//《中数生数理化》2003.11第27页·解题教学应渗透数学思想/曹夏清//《中学数学研究》2003.8第13页·例谈解题中的对立思想/刘巨新//《中学教研（数学）》2003.3第30页·以动求活以活促思/韩子荣//《中学教研（数学）》2003.3第33页·波利亚数学教育思想研究综述/陈汉君、时丽霞、王信林//《数学通讯》2004.9第1页·不等式问题中的数学思想/田宝运//《中学数学研究》2004.1第16页·中考试题中蕴涵的数学思想/邱金龙//《中学数学研究》2004.2封二·代数式求值问题中的数学思想/谢丽珠//《初中数学教与学》2004.3第15页·重视数学思想在解题中的运用/施伟琛、盛陆飞//《初中数学教与学》2004.5第5页·数学解题中要重视的几种数学思想/林福茂//《中学生数理化》2004.1第14页·统计初步中的数学思想/毕保洪、毕燕//《初中数学教与学》2004.10第9页MA123 解题教学等MA123.1 代数·利用函数性质解抽象函数问题/王秀奎、王永强//《高中数学教与学》2003.1第14页·巧解数列题/沈卫忠//《高中数学教与学》2003.1第16页·不等式应用问题分类解析/张贤梁//《高中数学教与学》2003.2第9页·奇函数的一个性质与“希望杯”赛题/许锐军//《高中数学教与学》2003.2第16页·解二次函数综合问题的思想方法/杨浦斌//《高中数学教与学》2003.2第27页·排列组合学习中的常用方法与技巧/陈星春//《高中数学教与学》2003.3第23页·最值问题中的几何方法/李德才//《高中数学教与学》2003.3第26页·顺水推舟适当渗透拓展/杨利刚//《高中数学教与学》2003.2第18页·解应用题三字诀/李武学//《高中数学教与学》2003.4第6页·分析法在数学归纳法中的妙用/李国梅//《高中数学教与学》2003.4第13页·从一道高考题谈起/卜照泽//《高中数学教与学》2003.5第18页·近几年高考题有关周期函数内容的三个特点/李缨梅//《高中数学教与学》2003.6第9页·数列应用题分类例析/许少华//《高中数学教与学》2003.6第12页·待定系数法求四类函数最值/聂文喜//《高中数学教与学》2003.6第19页·例说向量的广泛应用/樊文联//《高中数学教与学》2003.6第24页·用判别式法解题的注意点/尹述喜//《高中数学教与学》2003.6第30页·“不动点”问题的解题思路/王勇//《高中数学教与学》2003.9第12页·恒成立问题的解题策略/陆权一//《高中数学教与学》2003.9第15页·代换法证明的不等式/严东//《高中数学教与学》2003.9第17页·数列综合题的常见题型及解法/沈志刚//《高中数学教与学》2003.9第22页·数列探索性问题的求解策略/王荣峰//《高中数学教与学》2003.10第11页·小议代数综合题的解题策略/杨浦斌//《高中数学教与学》2003.10第13页·你会“一分为二”吗？/程玉平//《高中数学教与学》2003.10第16页·例谈数列极限应用题/郑传枝//《高中数学教与学》2003.10第19页·例析抽象函数问题的求解策略/贺明荣//《高中数学教与学》2003.11第12页·逆用等比数列各项和证一类分式不等式/张黎庆//《数学通报》2003.1第36页·例说通过联想类比开发数学问题/刘小满//《数学通报》2003.2第27页·一道不等式的证明及推广/黄言勤//《数学通报》2003.3第34页·一类函数值域题的几种解法/张征海//《中数生数理化》2003.3第13页·极值原理与恒成立问题/王连笑//《中数生数理化》2003.3第16页·多题一解启迪思维/赵强等//《中数生数理化》2003.4第24页·离散型随机变量解题要点例析/杨新兰//《中数生数理化》2003.7-8第21页·变量代数法在抽象函数题中的应用/陈永箴//《中数生数理化》2003.7-8第24页·分段函数常见类型及解法/赵春祥//《中数生数理化》2003.9第15页·判断抽象函数单调性的两种技巧/姚祥尹//《中数生数理化》2003.9第24页·抽象函数题的解题思路/段全庆等//《中数生数理化》2003.10第20页·用函数思想求解数列问题/夏锦府//《中数生数理化》2003.12第20页·构造方差求最值/周以宏//《中学数学教学》2003.1第30页·一类线性约束条件下目标函数最值的求法/尚蕾//《中学数学教学》2003.3第28页·构造向量巧证不等式/张朝军//《中学数学教学》2003.3第32页·几类不容忽视的常见不等式解题错误/杨德新//《中学数学教学》2003.5第34页·一个等式的解题功能初探/田发胜//《中学数学教学》2003.5第37页·谈三角代换解题/戚德江、张新全//《中学数学教学》2003.5第39页·排列组合题解法举例/朱卫华//《中学理科》2003.7第5页·构造向量巧解不等式问题/曾安雄、陈卫华//《中学理科》2003.8第11页·不等约束条件下二元函数最值问题的解法/刘南山//《数学通讯》2003.11第13页·等差数列的两个性质及其应用/阎硕//《数学通讯》2003.11第18页·差差数列的一个性质及其应用/方世跃//《数学通讯》2003.11第19页·例说运用函数思想解题/吕佐良//《中学数学研究》2003.5第24页·等差数列的一个性质及其应用/杨应亮//《中学数学研究》2003.6第22页·解抽象函数问题的几种模型/王秀奎、李坤//《中学数学研究》2003.6第23页·有关反函数的解题技巧/肖泰来//《中学数学研究》2003.6第28页·浅谈以等式为条件的抽象函数问题/杨桂荣//《中学数学研究》2003.7第18页·构造函数求参数（或变量）的范围/周以宏//《中学数学研究》2003.7第20页·含绝对值的函数的多向处理思想/陈金跃//《中学数学研究》2003.9第32页·用构造法证明不等式/钟焕清//《数学通报》2003.12第30页·二次根式中常见的几种问题/张爱华//《初中数学教与学》2003.8第7页·巧用构造法证不等式/齐如意//《数学通报》2004.1第26页·几何图形在代数解题中的应用/蔡惠萍//《数学通报》2004.3第20页·关于一道数学问题的研究性学习/孙建斌、黄宝玲//《数学通报》2004.6第33页·一个排列组合问题的模型构建/彭海燕//《数学通报》2004.7第36页·利用不定方程解一类排列组合问题/蒋彩荣//《数学通报》2004.8第36页·构造一元二次方程求解一类最值赛题/曹军//《中学数学教学》2004.1第24页·函数思想——解决规律型探索题的一把金钥匙/俞凯、郑飞海//《中学数学教学》2004.1第26页·解决三角函数的有效方法——三看分析法/李志刚、李彦玲//《数学通讯》2004.9第25页·一道典型条件最值题的探究性学习/孙建斌//《中学数学教学参考》2004.9第28页·根式条件下代数式求值十二招/马祥吉、石少玉//《初中数学教与学》2004.4第5页·例谈困扰思路的项数问题/王辉//《高中数学教与学》2004.4第17页·三角函数最值的求法/范玉明、张光菊//《高中数学教与学》2004.4第19页·抽象函数常见题型例析/秦振//《高中数学教与学》2004.5第18页·函数与方程思想应用面面观/严碧友//《中学生数理化》2004.3第19页·数列中项的变换/王重阳等//《中学生数理化》2004.5第9页·函数值域的若干求法/刘允忠//《中学生数理化》2004.7-8第31页·浅谈求函数解析式的类型/陈晓风//《中学生数理化》2004.7-8第49页·利用构造法求三角函数/王景超//《中学生数理化》2004.9第14页·条件不等式证明的五种分析策略/陈千勇//《中学生数理化》2004.10第14页·利用定比分点证明不等式/牛保林//《中学生数理化》2004.10第15页·换元法在解题中的简单应用/韦云燕//《中学生数理化》2004.10第24页 MA123.2 平面三角·例谈三角解题的切入点/曾经//《高中数学教与学》2003.5第6页·选用合适的三角函数/罗建宇//《高中数学教与学》2003.5第8页·解三角问题的一个重要策略/陈永明//《高中数学教与学》2003.5第0页·求三角函数最值的几种方法/孙秀河//《高中数学教与学》2003.6第28页·求解三角函数问题时注意数学思想的运用/包水耿//《高中数学教与学》2003.7第4页·构造单位圆，巧解三角题/朱明辉//《高中数学教与学》2003.10第18页·一道全国对外联招题的几种解法/张卓//《中学数学研究》2003.1第24页·三角运算中的常值代换/王向群//《中数生数理化》2003.3第9页·等价变形是关键/徐照武//《中数生数理化》2003.3第18页·三角形中的等比等差数列问题/严承利//《中数生数理化》2003.4第12页·运用整体思想处理三角问题/刘万蒲等//《中数生数理化》2003.4第15页·三角函数的三“性”/曹海涛//《中数生数理化》2003.4第24页·三角变形的策略/蒋智东等//《中数生数理化》2003.7-8第14页·构造图形解三角题/魏圣玮//《中数生数理化》2003.9第23页·例谈利用方程思想解三角函数题/袁拥军//《中学数学教学》2003.3第29页·利用向量解代数三角问题/付伦传、金铨//《中学数学教学》2003.5第36页·一类三角不等式的通用证法/房元霞、周金峰//《数学通报》2003.12第28页MA123.3 平面几何·共线向量在平面几何中的某些应用/徐明满//《中学数学教学》2003.4第37页·三角形面积比一个定理的浅显证明/郭兴甫//《中学数学教学》2003.4第40页·实验猜想，向量证明/黄臻峰//《中学数学研究》2003.5第17页·一个内涵丰富的几何定理的应用程序/李道生//《中学数学研究》2003.5第23页·关于圆外切闭折线的几个不等式/曾建国、廖华生//《数学通报》2003.5第39页 MA123.4 立体几何·活用“共线”、“共面”的充要条件/袁桐、杨如刚//《高中数学教与学》2003.1第22页·立几中的“折”与“展”/王云寿//《高中数学教与学》2003.2第14页·在空间直角坐标系中解立体几何题/张传法、李霞//《高中数学教与学》2003.5第20页·注意中点的作用/林明成//《高中数学教与学》2003.5第12页·向量——求空间距离的有力工具/俞汉林//《高中数学教与学》2003.6第15页·运用类比法巧解立体几何题/林爱群//《中数生数理化》2003.3第12页·一题多法各显其妙/尹承利//《中数生数理化》2003.4第18页·立体几何中取值范围问题导析/王勇//《中数生数理化》2003.7-8第17页·一道考试题的几种解法/李清喜//《中数生数理化》2003.12第22页·注意立体几何中的多解情况/杨浩亮//《中数生数理化》2003.12第23页·应用均值不等式求圆锥体积的最大值/杨志明//《数学通讯》2003.11第17页·解决体积问题的“三招”/冯寅//《中学数学研究》2003.7第13页·空间向量在角和距离求解中的运用/周子君//《数学通报》2003.11第21页·巧练“四元素”、定式“三步曲”——记一种二面角的平面角的作法/王增良//《数学教学》2003.5第27页·巧用“模型”妙解立几题/卢巧梅//《数学通报》2004.1第30页·异面直线距离的一种简便解法/张传伟、丁振年//《数学通报》2004.5第35页·用向量方法求空间角和距离/邹明//《数学通报》2004.5第36页·解答立体几何判断题的8个特效技巧/王志进、牟宝义//《高中数理化》2004.2第5页·类比思想应用一例——欧拉直线在空间的推广/陈先力、徐元根//《中学教研（数学）》2004.8第26页·空间“角”与“距离”的向量解法/储岩//《中学生数理化》2004.1第27页·例谈向量在立体几何中巧用/江伯南//《中学生数理化》2004.5第17页 MA123.5 平面解析几何·抓住不变量，求圆锥曲线的方程/杜炜//《高中数学教与学》2003.1第20页·解析几何的两类对称问题/史建娣//《高中数学教与学》2003.3第18页·例说解析几何中求参数范围的几种方法/曹国弘//《高中数学教与学》2003.4第16页·向量数量积的一个性质的应用/庄瑞国//《高中数学教与学》2003.2第17页·你会“设而不求”吗？/李光裕//《高中数学教与学》2003.3第20页·一道高考数学题的推广/何鹏//《高中数学教与学》2003.5第24页·使用一高考试题的体会/王承宣//《数学通报》2003.1第26页·圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明/王申怀//《数学通报》2003.4第9页·利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧/李桂春//《数学通报》2003.4第13页·抛物线焦点弦几个值得注意的性质/王国忠//《中数生数理化》2003.7-8第20页·怎样确定出曲线的范围/杨行保//《中数生数理化》2003.7-8第27页·对称点存在问题的几种解题思路/林德宽等//《中数生数理化》2003.7-8第42页·解析几何中参数取值范围求解策略/田宝运等//《中数生数理化》2003.7-8第45页·要重视参数的运用/刘祖希//《中数生数理化》2003.12第18页·巧用焦点三角形面积公式解题/张同语//《中学数学教学》2003.2第21页·不求交点的技巧/田慧兰//《中学数学教学》2003.3第35页·巧用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程/耿玉明//《数学通讯》2003.11第15页·焦点三角形的中线长定理与应用/玉邴图//《中学数学研究》2003.5第20页·双曲线定义的妙用/童加森、丁平//《中学数学研究》2003.5第21页·例谈解析几何中的减元策略/聂文喜//《中学数学研究》2003.7第26页·解析几何中参数取值范围问题求解策略/田宝运、牛本富//《中学数学研究》2003.9第26页·椭圆两个定义等价性的纯几何证明/左加//《数学通报》2003.5第35页·利用直线生成圆锥曲线解题/嵇国平//《数学通报》2003.5第36页·试论解析几何解题策略/闻杰//《数学通报》2003.7第23页·三点共线——打开思维通道的钥匙/尹述喜//《中学数学教学参考》2003.5第38页·圆锥曲线中最值问题分类例析/许少华//《数学教学》2003.3第41页·在解析几何中“解三角形”/金保华//《数学通报》2004.3第18页·运动变化观点及极限思想在解题中的应用/桂淑英//《数学通报》2004.3第24页·斜率在解题中的应用/朱胜强//《数学通报》2004.7第34页·圆锥曲线准线的几何作图/王芝平//《中学数学教学参考》2004.4第30页·例说圆锥曲线定义的应用/李继等//《中学生数理化》2004.1第10页·解析几何中信息迁移题分类导析/王勇//《中学生数理化》2004.1第18页 MA123.6 微积分初步·浅谈导数的意义/陈冬良//《中学生数理化》2004.1第6页·例谈导数的应用/张莲真//《中学生数理化》2004.9第11页MA123.7 综合、复习、辅导·一道高考题的逆向思考方法/程国柱//《高中数学教与学》2003.1第18页·浅议数学知识之间的相互联系/张宪华//《高中数学教与学》2003.5第14页·例谈化归法在解题中的应用/李玉琪//《高中数学教与学》2003.6第17页·略谈应用问题的审题策略/毛仕理//《高中数学教与学》2003.6第21页·数学解题中的类比法/王建新//《高中数学教与学》2003.6第26页·一类“四色问题”的解法/肖剑//《高中数学教与学》2003.9第21页·例谈差异分析法在解题中的应用/王启东//《数学通报》2003.1第34页·用构造法巧解数学题/郭可根//《中数生数理化》2003.7-8第34页·考试前，最好记着它们……/宋吉//《中数生数理化》2003.7-8第38页·设“角”求解应用题/何勇、鲁芝珍//《中学数学教学》2003.3第30页·一道课本习题的有趣变形/李泽衣、郭祖权//《中学数学教学》2003.4第33页·一堂作业讲评课引发的探究性学习/郑日峰//《中学数学教学》2003.4第21页·数形结合巧解题/颜秀芬//《中学理科》2003.7第6页·解题教学中的目标意识/徐新民、汤希龙//《数学通讯》2003.11第11页·解题思维辩证谈/王芝平//《中学数学研究》2003.6第24页·“是否存在型”探索问题的解题策略/叶炼//《中学数学研究》2003.7第15页·审题思考与解题设计/何豪明//《中学数学研究》2003.8第32页·解几种避免分类讨论的常用策略/聂文喜//《中学数学研究》2003.10第28页·数学直觉与解题思路/周以宏//《数学通报》2003.5第30页·例析捕捉试题信息解题/张庆芬、孙令华//《数学通报》2003.5第32页·一堂解题教学课的实录与启发/曹文培、母向阳//《数学通报》2003.7第30页·用定比分点解题的常见类型/王辉、刘康宁//《数学通报》2003.7第31页·平面向量解题初探/龚运勤//《数学通报》2003.8第27页·思维发散多样解题/汪洋//《数学通报》2003.9第43页·解题分析与方法提炼——演算两次/罗增儒//《中学数学教学参考》2003.5第31页·一类设计型问题的分析及探索/潘纯平//《中学数学教学参考》2003.9第33页·善用向量工具提高解题能力/严国良//《数学教学》2003.3第30页·数学特殊情形的解题功能/梁彩红//《数学教学》2003.3第38页·关于复合命题的若干误区/刘德明//《数学教学》2003.3第45页·例谈解题教学中的反思调控/程国红//《数学教学》2003.11第16页·活用方法巧妙解题/游发全//《初中数学教与学》2003.8第4页·只有想得好才能解得巧/李再湘//《数学通报》2004.8第31页·如何寻找解数学题的突破口/张丰远//《高中数理化》2004.2第3页·极限思想在解题中的应用/赵春祥//《数学通讯》2004.15第16页·利用线性规划思想解题/商俊宇//《数学通讯》2004.15第19页·波利亚的怎样解题表/罗增儒、罗新兵//《中学数学教学参考》2004.4第23页·数学设计型应用题解析/张继海//《中学数学教学参考》2004.4第28页·波利亚的怎样解题表（续）/罗增儒、罗新兵//《中学数学教学参考》2004.5第页·参数范围问题的解题策略/陆逢波//《高中数学教与学》2004.4第14页·如何解综合梯度题/王晓军等//《中学生数理化》2004.3第7页·如何引导学生解题后多思善想/秦卫东、母建军//《数学通报》2004.10第20页MA13 教学评估MA131 教学效果·一题“多解”的产生过程——记一次习题课的真切感受/欧阳尚昭//《中学数学教学参考》2003.7第31页MA132 经验总结·一道课本习题的再探讨——一次研究性学习的教学实践与思考/胡振福//《中学教研（数学）》2003.8第19页·上海数学高考二十年/奚定华、陈嘉驹//《数学教学》2004.8第4页MA133 教学试验、实践·渗透式数学学习指导的研究与实验/任勇//《数学通报》2003.7第3页·中学数学“自主合作探究”课堂教学模式的实验/王振中//《数学通讯》2003.11第5页·为数学打开一扇天窗，让学生插上智慧的翅膀——关于培养学生数学写作能力的实验研究/陈会彦//《中学数学教学参考》2003.9第19页·注重数学与现实的沟通——上海高中新教材的尝试/袁震东、赵小平//《数学教学》2003.1第23页·关于复数的一次探究性教学活动/金兔//《数学教学》2003.1第31页·对考试方式“主体参与式”的尝试与探讨/张志淼//《数学通报》2004.3第15页·应用问题教学方法的一次尝试/陈大勇//《数学教学》2004.7第5页·生成式的数学概念教学——一次“众数、中位数”教学尝试/沈岱、曹治安、黄荣金//《中学教研（数学）》2004.3第4页。
数学概念的特点和学习含义-最新教育资料
数学概念的特点和学习含义一、数学概念的特点和学习意义数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。
概念反映的这一类对象本质属性，即这类对象的内在的，固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象时现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式结构，在某种程度上表现为对原始对象具有内容的相对独立性。
数学概念具有抽象与具体的双重性，数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的，以“矩形”概念为例，现实世界没有见过抽象的矩形，而只能见到形形色色的具体的矩形，丛这个意义上来说，数学概念“脱离”了现实。
由于数学中使用了形式化，符号化得语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高，但同时，正因为抽象程度愈来愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。
但不管怎样的抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为具体内容。
且数学概念的数学命题，数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。
所以它即抽象又具体。
数学概念还具有逻辑关联性。
数学中打多数概念都是在原始概念（原名）基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。
其他学科均没有教学中诸如概念那样具有如此精准的内涵和如此丰富，严谨的逻辑关系。
数学概念教学是中学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学的重要一环。
一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解，应用和转化等方面的差异。
因此抓好概念教学时提高中学生数学教学质量的带有根本意义的一环。
教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素养的培养提供了有利条件以及必要的保障。
数学史PPT课件
流形、张量、微分形式 等基本概念介绍
外微分、变分法等基本 方法探讨
微分几何在物理学中应用
1
微分几何在广义相对论中的应用
2
爱因斯坦场方程与黎曼几何的联系
时空弯曲与引力效应的解释
3
微分几何在物理学中应用
微分几何在其他物理学领域的应用举 例
量子力学、量子场论等领域的应用实 例
04
分析学领域里程碑式进展
高斯、波尔约、罗巴切夫斯基等人的贡献
非欧几何诞生及其意义
双曲几何
罗巴切夫斯基的创立，基于不同的平行公理
椭圆几何
黎曼的创立，考虑弯曲空间中的几何性质
非欧几何诞生及其意义
非欧几何的意义与影响 打破了欧几里得几何一统天下的局面
为现代数学和物理学的发展奠定了基础
拓扑空间概念引入和性质探讨
拓扑空间的定义与基本性质 开集、闭集、邻域等基本概念介绍 连续映射、同胚等拓扑性质探讨
数学应用领域的挑战
随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越广泛，但也面临着 一些挑战，如数学模型与实际应用之间的鸿沟、计算复杂性等。
数学研究的前沿问题
数学研究中仍有许多前沿问题有待解决，如P=NP问题、黎曼猜想等 ，这些问题对数学发展具有重要意义。
未来发展趋势预测
数学教育的创新与普及
随着教育技术的不断发展，数学教育将更加注重创新教学方法和 普及数学知识，提高全民数学素养。
数学与科技的深度融合
数学将在人工智能、大数据、量子计算等领域发挥更加重要的作用 ，推动科技进步。
跨学科合作与研究
未来数学研究将更加注重跨学科合作，与其他学科领域共同解决复 杂问题，推动数学研究的发展。
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浙江省宁波市镇海区外语实验学校高中数学史资料集 概率中的故事与故事中的概率素材
概率中的故事与故事中的概率苗学军（宁波市镇海区外语实验学校 315200）研读数学史我们可以发现，在概率的起源和发展过程中有许多生动有趣的故事，相信大家会在故事中得到启发。
一、赌金风波。
公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家巴斯卡（B.Pascal，1623～1662），在旅途中偶然遇到了赌徒梅累，梅累是一个贵族公子哥儿，他对巴斯卡大谈“赌经”，以消磨旅途时光。
梅累还向巴斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。
问题是这样的：一次梅累和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，梅累若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。
赌博进行了一段时间，梅累已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。
这时，梅累奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。
那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？赌友说，梅累要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。
这样，自己所得应该是梅累的一半，即得64个金币的三分之一，而梅累得三分之二。
梅累争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自已还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一。
公说公有理，婆说婆有理。
梅累的问题居然把巴斯卡给难住了。
他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点道理。
于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马（Fermat，1601～1665），两人对此展开热烈的讨论。
后来荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，1629～1695）也加入了他们的探讨行列。
最后，他们一致认为，梅累的分法是对的！惠更斯还把他们讨论的结果，载入1657年出版的一本叫《论赌博中的计算》的书中。
这本书至今被公认为概率论的第一部著述。
梅累的分法为什么是对的？巴斯卡和费尔马他们又是怎么想的？这一连串的疑团要等今后大家学到更多概率论知识的时候，才能一一解开。
用“活”教材,让数学走进生活
用“活”教材，让数学走进生活丁河三中刘玉国多少年来，我们的课堂教学，由于教材方面的影响，教学内容远离学生的生活世界，学生不感兴趣，致使课堂气氛，死气沉沉。
知识的学习过程，缺少生活的气息，很难调动学生的学习积极性和主动性。
因此，用“活”教材，让数学走进生活，已成为广大教育工作者之共识。
那么，如何用“活”教材，让数学走进生活呢？本人听了涞源县坛山小学董涛老师执教的“比例尺”（电教课）一课，深受启发，愿就其中一个片断，谈一些想法。
片断：师：同学们看，这是老师画的我们班的教室平面图，谁能够从图上找到自己的座位？生：我的座位在这里。
生：这是我的座位。
师：你能告诉大家图上的讲桌和最后一排桌在哪里吗？生：这是我们的讲桌，这是最后一排桌。
师：老师准备了米尺、卷尺等测量工具，想请几位同学选择合适的测量工具量出讲桌到最后一排桌的图上距离和实际距离。
（组织学生测量，然后汇报测量结果）生：我用米尺量出了讲桌到最后一排桌的图上距离是30厘米。
生：我们选用的测量工具是卷尺，量出讲桌到最后一排桌的实际距离是3米。
师：根据同学们测量的结果，你能自己算出讲桌到最后一桌的图上距离和实际距离的比是几比几吗？试试看。
（组织学生计算，教师巡回指导）师：谁来告诉大家，你是怎样算的？最后结果是多少？生：我是这样算的，先把3米化成300厘米，再用图上距离比实际距离，最后结果是1：10。
师：1：10这个比，我们叫它是这幅图的比例尺。
（生小声说）师：哪位同学告诉老师，什么叫比例尺？生：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
[评析：在学生的生活世界中，充满着许多学生熟悉的自然事物、事物、人的生活行为事件，我们只要细心观察，就可以从中找到问题的原型，然后将教材中的问题融入这个原型，对教材问题进行生活化“包装”，课堂教学就会充满生活气息，学生易学乐做。
董老师用他的慧眼，从学生的生活中找到了这一原型，巧妙地把数学知识和学生的生活实际紧密地起来，用生活在数学知识和学生之间架起了一座相互沟通的桥梁，让学生顺着这座桥去学习数学知识，掌握数学办法，学生在学习的过程中感受到数学学习的意义，体会到数学学习的价值、从而使本来枯燥的教学内容焕发出生命的活力上]。
初中数学教学素材收集(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学教学素材收集第一篇范文：初中数学教学素材的收集在初中数学教学中，素材的收集是十分重要的一环。
教学素材是指用于支持教学活动的一切物质和非物质资源，包括教材、教具、案例、图片、视频等。
合理地收集和运用教学素材，不仅能激发学生的学习兴趣，提高教学效果，还能帮助教师拓宽教学思路，丰富教学手段。
一、初中数学教学素材的种类1.教材：教材是教学活动的基础，是教师进行教学的主要依据。
教材包括教科书、讲义、教学指导书等。
2.教具：教具是指用于直观展示数学概念、性质、规律等的实物或模型。
如几何模型、计算器、数学软件等。
3.案例：案例是指具有代表性的数学问题和实际应用问题，可用于引导学生思考和探究。
4.图片：图片是指与数学教学相关的图像资源，包括卡通、图表、照片等。
5.视频：视频是指与数学教学相关的视频资源，包括教学实录、动画、纪录片等。
二、初中数学教学素材的收集途径1.出版社：教师可以通过购买或借阅出版社出版的教材、教辅、专著等，获取丰富的教学素材。
2.网络资源：教师可以利用互联网，搜集各类教学素材网站、论坛、博客等资源，下载所需的素材。
3.教育部门：教师可以关注教育部门发布的各类教学资源，如课件、试题、案例等。
4.教师交流：教师可以通过参加教研活动、教师交流群等方式，与同行分享和交流教学素材。
5.学生作品：教师可以鼓励学生创作或搜集与数学教学相关的作品，如数学日记、难题解法等。
6.校内外资源：教师可以挖掘校内外资源，如博物馆、科技馆、企业等，获取与数学教学相关的素材。
三、初中数学教学素材的运用策略1.整合资源：教师应根据教学需求，对收集到的素材进行整合，形成符合自己教学风格的素材库。
2.创设情境：教师可以运用图片、视频等素材，创设生动、有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣。
3.突出重点：教师应运用教具、案例等素材，突出教学重点，帮助学生深入理解数学概念。
4.突破难点：教师可以运用多媒体技术，如动画、视频等，形象地展示数学规律，降低教学难度。
基于建构主义的数学学习理论
基于建构主义的数学学习理论作者：李志秋来源：《教育研究与实践》2008年第07期随着皮亚杰理论和信息加工理论影响的逐渐衰退,认知发展理论出现了多元化和具体化的发展趋向, APOS学习理论正是在这种背景下形成并不断发展的. APOS分别是由英文action(操作)、process(过程)、object(对象)和schema(图式)的第一个字母组成,它是由美国学者Ed Dubinsky等人提出的关于理解数学本质和促进数学学习的认知发展理论,揭示了数学概念学习的本质,是具有学科特色的学习理论,被国际数学教育委员会副主席、巴黎第七大学教授michele Artique誉为近年来数学教育界最大的理论成果。
一、 APOS学习理论基础建构主义的APOS学习理论模型逻辑基点为两个假设:(1)不能对学生作共同起点、共同背景、通过共同过程达到共同目标的假设;(2)不能对学生掌握知识作典型的、结构化的、非情境化的假设。
它是一种意义的建构,每个人按各自的理解方式建构对客体的认识,所以是个体化、情境化的产物。
Ed Dubinsky指出个体心理建构通常要经历四个阶段:操作阶段:一个具体事物转换为个人的感知. 活动是感知的源泉,也是思维发展的基础,通过"活动"让学生亲身体验,感受概念的直观背景和概念间的关系。
过程阶段:学生通过不断操作,对活动进行思考,在反思的基础上形成了内心结构,经历思维的内化和压缩过程,在头脑中进行自动化的建构,抽象出概念特有的性质,形成一个过程模式。
对象阶段:将过程上升为一种意识,作为独立对象,提高上述抽象,认识到了概念的本质,对其赋予形式化定义和符号,使其达到精致化,成为一个具体对象。
从数学角度来看,由过程到对象的转移就是为从更高层次进行研究开拓了现实的可能性。
图式阶段:以操作、过程和对象为综合的心理图式,通过相应整合产生新的问题图式,嵌入个人的心智结构,个体的地位和认知水平在持续建构中已经上升到更高层次,完成了更高层次的加工和心理表征。
展现教材原型拓展教育功能
数学教育研究展现教材原型拓展教育功能李庆社 （安徽省岳西县城关中学 ２４６６００）图１１ 课本原型题再现如图１，犃犅犆是一块锐角三角形材料，边犅犆＝１２０ｍｍ，高犃犇＝８０ｍｍ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在犅犆上，其余两个顶点分别在犃犅、犃犆上，这个正方形零件的边长是多少？这是人教九年级数学的一道复习题（其他版本的教材都有这道题），也曾是２０１１年青海中考题，它是一道应用“相似三角形对应高的比等于相似比”进行求解的问题．由此题衍生成的中考题和竞赛题在近几年来频频出现，形成一道亮丽的风景线．下面就这道习题的一般变式作些探究和拓展．现就原题作如下解答：如图１，因为犈犉犌犎为正方形，则犈犉∥犅犆，犃犓⊥犈犉．设正方形边长为狓，△犃犈犉的高可写成犃犓＝犃犇－犓犇＝犃犇－犈犉＝８０－狓．由△犃犈犉∽△犃犅犆，犃犓犃犇＝犈犉犅犆即８０－狓８０＝狓１２０，解得狓＝４８即正方形零件的边长是４８ｍｍ．解后反思：在应用相似三角形的性质解题时，同学们比较熟悉的性质是对应角相等、对应边成比例，而相似三角形中“对应高的比等于相似比”则不太熟悉．但在解决相似三角形的面积问题或内接四边形问题时，我们一定要注意用好相似三角形中的对应高．２ 拓展探究拓展一 探究三角形内接矩形长宽间的数量关系图２问题１ （２０１２年鄂州市中考题）如图２所示，某校计划将一块形状为锐角△犃犅犆的空地进行生态环境改造，已知△犃犅犆的边犅犆长为１２０ｍ，高犃犇长８０ｍ，学校计划将它分割成△犃犎犌、△犅犎犈、△犌犉犆和矩形犈犉犌犎四部分，现计划在△犃犎犌上种草，在△犅犎犈、△犌犉犆上种花．问：当犉犌长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？解析：如图２，四边形犈犉犌犎为矩形，则犌犎∥犅犆，犃犓⊥犌犎，设犉犌＝狓，犃犓＝犃犇－犉犌＝８０－狓由△犃犎犌∽△犃犅犆，犃犓犃犇＝犎犌犅犆即８０－狓８０＝犎犌１２０，犎犌＝１２０－３２狓，又犅犈＋犉犆＝犅犆－犈犉＝犅犆－犎犌＝３２狓，由犛△犃犎犌＝犛△犅犎犈＋犛△犌犉犆，１２１２０－３２（）狓（８０－狓）＝１２·３２狓·狓解得狓＝４０即犉犌长４０米时，种草的面积与种花的面积相等．解后反思 利用相似三角形对应高的比等于相似比，将犎犌用犌犉的式子表示出来，是解题的关键．图３拓展二 探究三角形内接矩形的各部分间面积关系问题２ （２００９年武汉市初中数学竞赛初赛试题）如图３，点犇、犈在犅犆上，点犉、犌分别在犃犆、犃犅上，且四边形犇犈犉犌为正方形．如果犛△犆犉犈＝犛△犃犌犉＝１，犛△犅犇犌＝３．那么犛△犃犅犆等于（ ）Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９解析：设正方形犇犈犉犌的边长为狓．作犃犎⊥犅犆于犎，交犌犉于犓．则犃犓⊥犌犉．由犛△犆犉犈＝犛△犃犌犉＝１，犛△犅犇犌＝３．则犈犆＝２狓，犅犇＝６狓，犃犓＝２狓，犅犆＝犈犆＋犅犇＋犇犈＝狓＋８狓．由△犃犌犉∽△犃犅犆，犃犓犃犎＝犌犉犅犆即２狓狓＋２狓＝狓狓＋８狓，狓４＝１６，狓＝２．∴犛△犃犅犆＝１＋１＋３＋２２＝９．图４解后反思：要求犛△犃犅犆关键是要求出正方形的面积．正方形的边长与三个三角形均相关，通过相似三角形的对应高与正方形边长有关线段联系起来，从而求出正方形的边长，问题就得到解决．拓展三 探究三角形内接矩形面积的最值问题问题３ （２０１４浙江绍兴，第２０题）课本中有一道作业题：如图４，有一块三角形余料犃犅犆，它的边犅犆＝１２０ｍｍ，高犃犇＝８０ｍｍ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在犅犆上，其余两个顶点分别在犃犅，犃犆上．问加工成的正方形零件的边长是多少ｍｍ？小颖解得此题的答案·２４·２０１５年第１期 数学教育研究为４８ｍｍ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（１）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图５，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少ｍｍ？请你计算．（２）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图６，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．图５图６解析：（１）设犘犖＝２狔ｍｍ，则犘犙＝狔ｍｍ，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（２）设犘犖＝狓，用犘犙表示出犃犈的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用狓表示出犘犖，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．（１）设矩形的边长犘犖＝２狔ｍｍ，则犘犙＝狔ｍｍ，由条件可得△犃犘犖∽△犃犅犆，∴犘犖犅犆＝犃犈犃犇，即２狔１２０＝８０－狔８０，解得狔＝２４０７，∴犘犖＝２４０７×２＝４８０７（ｍｍ），答：这个矩形零件的两条边长分别为２４０７ｍｍ，４８０７ｍｍ；（２）设犘犖＝狓ｍｍ，由条件可得△犃犘犖∽△犃犅犆，∴犘犖犅犆＝犃犈犃犇，即狓１２０＝８０－犘犙８０，解得犘犙＝８０－狓．∴犛＝犘犖·犘犙＝狓（８０－狓）＝－狓２＋８０狓＝－（狓－６０）２＋２４００，∴犛的最大值为２４００ｍｍ２，此时犘犖＝６０ｍｍ，犘犙＝８０－６０＝２０（ｍｍ）．解后反思：三角形内接矩形的面积与矩形的长宽有关．借助相似三角形中边与高的关系，将矩形的长与宽联系起来，找出长与宽之间的数量关系，将面积表示成长或宽的二次函数式，进而可得到面积最大的限制条件．拓展四 探究三角形内接矩形面积为定值时边长关系问题４ （２００６年全国初中数学竞赛）如图７，面积为槡犪犫－犮的正方形犇犈犉犌内接于面积为１的正三角形犃犅犆，其中犪、犫、犮为整数，且犫不能被任何质数的平方整除，则犪－犮犫的值等于．解析：设正方形犇犈犉犌的边长为狓，正三角形犃犅犆的边长为犿．作犃犎⊥犅犆交犇犌于犓．图７正三角形犃犅犆中，犃犎＝槡３２犿，则犃犓＝犃犎－犌犉＝槡３２犿－狓由犛△犃犅犆＝１得，１２·槡３２犿·犿＝１，犿２＝４３槡３，由△犃犇犌∽△犃犅犆，犃犓犃犎＝犇犌犅犆即狓犿＝槡３２犿－狓槡３２犿，狓＝（槡２３－３）ｍ则狓２＝（槡２３－３）２．犿２槡＝２８３－４８即槡犪犫－犮＝２８槡３－４８，犪＝２８，犫＝３，犮＝４８，犪－犮犫＝－２０３．解后反思：已知三角形的面积，寻求正三角形与内接正方形的边长关系，进而得到面积关系，是解决本题的关键．但解决本题的突破口仍然是借助相似三角形对应高的比将三角形的边长与正方形的边长联系起来．拓展五 探究三角形内接矩形面积操作与开放性问题图８问题５ （２００８滨州）如图８，△犃犅犆是一块锐角三角形余料，边犅犆＝１２０ｍｍ，高犃犇＝８０ｍｍ，要把它加工成长方形零件犘犙犕犖，使长方形犘犙犕犖的边犙犕在犅犆上，其余两个顶点犘，犖分别在犃犅，犃犆上．（Ⅰ）求这个长方形零件犘犙犕犖面积犛的最大值；（Ⅱ）在这个长方形零件犘犙犕犖面积最大时，能否将余下的材料△犃犘犖，△犅犘犙，△犖犕犆剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形犘犙犕犖大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．解析：（１）设长方形零件犘犙犕犖的边犘犖＝犪，犘犙＝狓，则犃犈＝８０－狓，利用△犃犘犖∽△犃犅犆得相似比，用相似比可得出用含狓的式子表示犪，故犛＝犪狓，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求犛的最大值；（２）犛的最大值是２４００ｍｍ２，而△犃犅犆的面积是４８００ｍｍ２，故剩下部分面积是２４００ｍｍ２，而此时犘犙＝１２犃犇＝４０，故犘，犙分别为犃犅，犃犆的中点，易证△犘犅犙≌△犘犃犌，△犖犕犆≌△犖犎犃，可达到拼接的目的．（１）设长方形零件犘犙犕犖的边犘犖＝犪，犘犙＝狓，则犃犈＝８０－狓．∵犘犖∥犅犆，·３４· ２０１５年第１期数学教育研究∴△犃犘犖∽△犃犅犆．∴犘犖犅犆＝犃犈犃犇．因此，犪１２０＝８０－狓８０．解得犪＝１２０－３２狓．所以长方形犘犙犕犖的面积犛＝狓犪＝狓１２０－３２（）狓＝－３２狓２＋１２０狓．当狓＝－１２０２×－（）３２＝４０时，犪＝６０．犛最大值＝４０×６０＝２４００（ｍｍ２）．所以这个长方形零件犘犙犕犖面积犛的最大值是２４００ｍｍ２．图９（２）∵犛△犃犅犆－２犛最大值＝１２×１２０×８０－２×２４００＝０，∴从理论上说，恰能拼成一个与长方形犘犙犕犖大小一样的长方形．拼法：如图９，作△犃犅犆的中位线犘犖，分别过犘，犖作犅犆的垂线，垂足分别为犙，犕，过犃作犅犆的平行线，交犙犘，犕犖的延长线于犌，犎，易知△犘犅犙≌△犘犃犌，△犖犕犆≌△犖犎犃，所以将△犘犅犙，△犖犕犆剪下拼接到△犘犃犌，△犖犎犃的位置，即得四边形犘犖犎犌，此四边形即为长方形零件犘犙犕犖面积最大时大小一样的长方形．解后反思：本题用二次函数的方法解决面积问题，是函数性质的实际运用，需要从计算矩形面积着手，求矩形的长、宽，同时考查了拼接问题，需要从图形的特殊性着手．结束语：教材的例题和练习比较简单，与中考题的难度有一定的差距．而事实上，中考试题是命题专家潜心研究、匠心独运的结果，考题往往具有较强的原创性，有利于考查学生的研究意识与创新意识．而原创性较强的中考试题也不是无本之木、无源之水，有不少中考题其原型往往源于课本的例题或练习．本文面例子对教材例题与练习的深入挖掘和拓展，说明教材具有很强的教育功能，对其深入挖掘和拓展，能提高课堂教学的有效性．参考文献：［１］杨春兰．挖掘与拓展教材的必要性中学教学参考［Ｊ］，２０１０（１７）．［２］曹经富．立足教材习题注重知识延伸中国数学教育：初中版［Ｊ］，２０１２，（７）．［３］杨新华．怎样发掘数学．习题的潜在功能教学月刊：中学版：教学参考［Ｊ］，２０１２，（１７）．［责任编校 王 蓓檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪］（上接第３１页）论，发现各分母分解因式后与分子有公因式可约分，获得通分前要注意先将各分式化为最简分式．６．４ 课堂小结、发展潜能１０．智慧锦囊：（１）分数和分式在通分的做法上有什么共同点？根据是什么？（２）通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等层面有哪些收获？与同学分享！（３）在学生交流收获的基础上，教师引导学生对本节课的学习过程从整体上进行归纳．设计意图 引导学生梳理本节课收获时，可借上述结构，从知识与知识联系，数学思想方法等角度进行概况，特别突出数式通性、知识的融合等层面的概况．点评 小结不仅仅是对知识、方法进行一个简单的重复，要从知识的学习过程进行梳理，在知识内在联系、数学思想方法的功能上进行总体的归纳，既重了过程，又收获了结果，这样的数学学习活动才能让学生铭记于心．６．５ 布置作业、专题突破１１．第１３３页第７题．６．６ 附：板书设计：课题：１５．１．２分式的基本性质（通分）１．通分：……２．最简公分母：……３．应用：通分：例１…… 例２………… ……［责任编校 钱骁勇］·４４·２０１５年第１期 。