2021年高三数学上学期入学摸底考试试卷 文
2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题 文 新人教A版
2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题 文 新人教A 版选择题（每题只有一个正确答案，共10道小题，每题5分，共计50分）1、若，则= （ ）A.{3}B.{1}C.D. {－1}2、是复数为纯虚数的（ ）条件A.充分B.必要C.充要D. 非充分非必要3、为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛4、不等式（ ）A. B.C. D.5、已知等差数列的前13项之和为，则等于 （ ）A. B. C. D. [6、 运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C. 2D. －17、某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为（ ）A.12B.C.D.8、已知函数y ＝ax2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝（ ）A.18B.14C.12D. 1 9、已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y≤x x ＋y≥2x≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为（ ）A.12B.43C.32D. 2 10、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于（ ）A.4B.3C.2D. 1填空题（本题共5小题，每题5分，共计25分）11、若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于12、函数f(x)＝ax3－2ax2＋(a＋1)x不存在极值点，则实数a的取值范围是________．13、从1=1，1－4=－(1+2),1－4+9=1+2+3,1－4+9－16=－(1+2+3+4),…,推广到第个等式为_____________________________________.14、已知向量和的夹角为，则 .15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A）(几何证明选做题)如图，是圆的切线,切点为, 点在圆上，，则圆的面积为；（B）(极坐标系与参数方程选做题)极坐标方程表示的曲线截所得的弦长为；（C）（不等式选做题）不等式|2x-1|<|x|+1解集是．三、解答题（要求要有一定的解答或推理过程，本题共6小题，共计75分，）16、已知函数（I）求函数的最小正周期。
2021年高三上学期第一次摸底考试数学试题 Word版含答案
10．已知过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的程为▲.
11．已知为锐角，且当取得最小值时，的值为▲.
12．已知等比数列中，，，函数，则曲线在点的切线的斜率为▲.
13．已知函数为奇函数，当时，函数的值域是，则实数的值为▲.
14．已知数列的前项和，若对任意正整数，恒成立，则实数的取值范围是▲.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别是，的中点．求证：
（1）用分别表示和，并求出的取值范围；
（2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线的距离为，求BD的最大值．
19.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线．
四点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆于两点，使得，再过P作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
20.（本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，且函数当且仅当在处取得极值，其中为的导函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互
垂直，求的取值范围．
宿迁市xx学年度高三年级摸底考试
数学试题参考答案与评分标准
（1）∥平面；
（2）平面⊥平面．
16.（本小题满分14分）
已知函数 的图象如图所示．
2021年高三数学上学期摸底考试试卷 文
2021年高三数学上学期摸底考试试卷文注意事项：一、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．二、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．三、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．四、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x≥0}，则∩N＝（A）(－∞，－2] （B）(－∞，0]（C）[0，1) （D）[－2，0](2)己知命题p：为(A) ≤xx (B) ≤xx(C) ≤xx (D) ≤xx（3）已知（i为虚数单位），则实数b＝（A）（B）－6 （C）－2 （D）2（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）2 （B）（C）4 （D）(5)向量a=（-1，1），b=(l，0)，若(a-b）⊥(2a+λb)，则λ=(A)2 (B) -2(C)3 (D) -3(6)若函数在(2，f(2))处的切线过点(1，2)，则a=(A)4 (B)7(C)8 (D)（7）函数f(x)＝sinx－cosx（x∈[0，π]）的单调递减区间是（A）[0，] （B）[ ，]（C）[，π] （D）[ ，]x－y≤0，（8）x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是（A）[－3，3] （B）[－3，2]（C）[2，＋∞) （D）[3，＋∞)(9)三棱锥P-A BC的四个顶点都在球D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA =3，AB =BC=2，则球O的表面积为(A) 13π (B) 17π(C) 52π (D) 68π（10）执行如右图所示的程序框图，若输入a＝390，b＝156，则输出a= （A）26 （B）39（C）78 （D）156（11）已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为 2，则（A）θ∈(0， ) （B）θ＝（C）θ∈(，π) （D）θ＝（12）若函数＝e x－ax2有三个不同零点，则a的取值范围是（A）(，＋∞) （B）(，＋∞)（C）(1，) （D）(1，)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（(13)某公司有A、B两个部门，共有职工300人，其中A部门有职工132人，按部门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25的样本，则从 B部门抽取的员工人数是 .（14）若函数为奇函数，则m＝____．(15)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ A =60°，b=2，c=3，则的值为。
2021年高三上学期摸底数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期摸底数学试卷（文科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3}，则A∩B=．2．若（x+i）2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为．3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[xx，3500）范围内的人数为．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．5．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为．6．若变量x，y满足约束条件则w=log3（2x+y）的最大值为．7．已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合，则p的值为．8．在等比数列{an }中，若a1+a2=，a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10= ．9．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．10．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为．11．函数f（x）=acos（ax+θ）（a＞0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是．12．已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．13．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．14．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），α∈（0，），⊥，求：（1）|+|；（2）cos（α+）的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C 的中点（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．17．现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y（cm），体积为V（cm3）（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）=（ax2+x）e x，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．=pS n+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使＜成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．xx学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三（上）摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3}，则A∩B={2，3} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接运用交集的定义求解即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={0，2，3}，又∵A∩B={x|x∈A且x∈B}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}．2．若（x+i）2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为0．【考点】复数的基本概念．【分析】由（x+i）2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R可得虚部为0可求x【解答】解：∵（x+i）2=x2+2xi+i2=x2﹣1+2xi∈R∴2x=0即x=0故答案为：03．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[xx，3500）范围内的人数为700．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】先有频率分布直方图求出在[xx，3500）收入段的频率，用此频率乘以样本容量计算出应抽人数．【解答】解：由图[xx，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500=0.7；则在[xx，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000=700．故答案为：700．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为21．【考点】伪代码．【分析】第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．【解答】解：由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环故答案为：215．已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1⊥l2，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果．【解答】解：设事件A为“直线l1⊥l2”，∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2）…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（5，6），…，（6，6）共36种，而l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，l1⊥l2⇔1•a﹣2b=0，∴a=2时，b=1；a=4时，b=2；a=6时，b=3；共3种情形．∴P（A）==．∴直线l1⊥l2的概率为：．故答案为：6．若变量x，y满足约束条件则w=log3（2x+y）的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（3，3），（1，1），（1，6）将三个代入得z的值分别为3，1，log38，直线z=2x+y过点A（3，3）时，z取得最大值为9；w=log3（2x+y）的最大值为2故答案为：2．7．已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合，则p的值为2．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线为：x=，双曲线x2﹣y2=2的左准线为：x==﹣，由题意可知，p=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，若a1+a2=，a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10=12．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于等比数列{a n}中，从第一项开始，每相邻两项的和也构成等比数列，根据，可得a7+a8 =2，a9+a10 =4，从而求得结果．【解答】解：等比数列{a n}中，由于从第一项开始，每相邻两项的和也构成等比数列，又已知，∴a5+a6=2，a7+a8 =4，a9+a10 =8，∴a7+a8+a9+a10=4+8=12，故答案为12．9．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．【考点】正弦定理．【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．===，【解答】解：因为S△ABC∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．10．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为2．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出p中x的范围，利用p是q的充分不必要条件，列出不等式组，求出m的范围，得到最大值．【解答】解：由p：x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），解得x＞m+1或x＜1﹣m，p是q的充分不必要条件，所以，解得m≤2，所以m的最大值为：2．故答案为：2．11．函数f（x）=acos（ax+θ）（a＞0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】求出函数的最大值，函数的周期，通过直角三角形，利用基本不等式即可求出同一周期内的最高点与最低点之间距离的最小值．【解答】解：因为函数y=acos（ax+θ）的最大值为：|a|，周期为T=，所以同一周期内的最高点与最低点之间距离为：=≥=（当且仅当a=时等号成立）．故答案为：12．已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得tan30°=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．【解答】解：由已知得FQ=，MF=，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，所以tan30°=====e所以e=，故答案为：．13．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac 的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=得：=，∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），∴ac≤=8（2+）=16+8，∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，则△ABC面积的最大值为4+4．故答案为：4+414．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．【考点】双曲线的简单性质；几何概型．【分析】根据双曲线的离心率e满足1＜e＜，可得．利用平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为，即可求得结论．【解答】解：∵双曲线的离心率e满足1＜e＜∴∵平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为∴双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），α∈（0，），⊥，求：（1）|+|；（2）cos（α+）的值．【考点】三角函数的化简求值；向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】由两向量的坐标，以及两向量垂直时数量积为0，列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系化简后，求出sinα的值，由α的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，（1）由两向量的坐标求出+的坐标表示，把cosα和tanα的值代入即可求出|+|的值；（2）把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴12﹣20cosαtanα=12﹣20sinα=0，∴sinα=，又α∈（0，），∴cosα==，tanα=，（1）∵，∴+=（7，1），则===5；（2）∵sinα=，cosα=，则cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=（﹣）=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C 的中点（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求三棱锥E ﹣BCD 的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）取BC 中点G ，连接AG ，EG ，通过证明四边形EGAD 是平行四边形，推出ED ∥AG ，然后证明DE ∥平面ABC ．（2）证明AD ∥平面BCE ，利用V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ，然后求解几何体的体积．【解答】解：（1）证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且．由直棱柱知，AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG ∥AD ，EG=AD所以四边形EGAD 是平行四边形，所以ED ∥AG ，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC所以DE ∥平面ABC ．（2）解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，所以V E ﹣BCD =V D ﹣BCE =V A ﹣BCE =V E ﹣ABC ，由（1）知，DE ∥平面ABC ，所以．17．现有一张长为80cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm ），高为y （cm ），体积为V （cm 3）（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，可得x2+4xy=4800，进而可确定x与y的关系式；（2）铁皮盒体积，求导函数，确定函数的极值，极大值，也是最大值．【解答】解：（1）由题意得x2+4xy=4800，即，0＜x＜60．（2）铁皮盒体积，，令V′（x）=0，得x=40，因为x∈（0，40），V′（x）＞0，V（x）是增函数；x∈（40，60），V'（x）＜0，V（x）是减函数，所以，在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为3xxcm3．答：该铁皮盒体积V的最大值是3xxcm3．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l 的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．19．已知函数f（x）=（ax2+x）e x，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）根据e x＞0，a＜0，不等式可化为，由此可求不等式f（x）＞0的解集；（2）求导函数，再分类讨论：①当a=0时，f′（x）=（x+1）e x，f′（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）2﹣4a=4a2+1＞0，f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，可得f（x）在[﹣1，1]上不单调；若a＜0，要使f（x）在[﹣1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，必须满足，从而可确定a的取值范围；（3）当a=0时，原方程等价于，构建函数，求导函数，可确定h（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，从而可确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[﹣3，﹣2]上，故可得k的值．【解答】解：（1）因为e x＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax2+x＞0，又因为a＜0，所以不等式可化为，所以不等式f（x）＞0的解集为．（2）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x）e x=[ax2+（2a+1）x+1]e x，①当a=0时，f′（x）=（x+1）e x，f′（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，当且仅当x=﹣1时取等号，故a=0符合要求；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）2﹣4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，因为g（﹣1）•g（0）=﹣a＜0，所以f（x）在（﹣1，1）内有极值点，故f（x）在[﹣1，1]上不单调．若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[﹣1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，必须满足，即，所以．综上可知，a的取值范围是．（3）当a=0时，方程即为xe x=x+2，由于e x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，又h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣2＞0，，h（﹣2）=e﹣2＞0，所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[﹣3，﹣2]上，所以整数k的所有值为{﹣3，1}．=pS n+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，20．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使＜成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．=pS n+q，n取1，2，可得方程组，即可求p，q的值；【分析】（1）利用S n+1（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{a n}的通项公式；（3）先求和，再化简不等式，确定m的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m，n）．【解答】解：（1）由题意，知，解之得…=S n+2，①（2）由（1）知，S n+1当n≥2时，S n=S n+2，②﹣1①﹣②得，a n=a n（n≥2），…+1又a2=a1，所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列，所以a n=．…（3）由（2）得，=，由，得，即，…即，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①因为m∈N*，所以m=1或2或3．…当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…xx年12月7日25710 646E 摮21691 54BB 咻F23839 5D1F 崟30006 7536 甶u-1>~24817 60F1 惱;27496 6B68 歨22415 578F 垏36788 8FB4 辴。
四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷(文科) Word版含解析
四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠54．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．35．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．06．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的坐标运算即可得出．解答：解：=（5，﹣3）+（﹣6，4）=（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解．解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（∁U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故选：A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5考点：全称命题；命题的否定．专题：简易规律．分析：依据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解答：解：∵命题是全称命题，∴依据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求娴熟把握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．4．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．3考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数性质求解．解答：解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．点评：本题考查对数的性质的求法，是基础题，解题时要留意对数性质的合理运用．5．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．0考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行推断，即可求出4x+y的最大值．解答：解：已知实数x、y 满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8．故选：B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：依据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可．解答：解：若a∥b、b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α、b⊂α，则a∥b或a，b异面，故B错误；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确若b⊥α，a⊥b，则a∥α或a⊂α，故D错误；故选：C点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，留意空间想象力量的培育．7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图中的数据分布，分别求出甲乙的极差，中位数，众数，平均数比较即可．解答：解：依据茎叶图中的数据可知，这l0日内甲、极差为55，中位数为74，平均数为73.4，这l0日内乙、极差为57，中位数为68，众数为68，平均数为68.1，通过以上的数据分析，可知C正确．故选；C．点评：本题考查茎叶图的识别和推断，依据茎叶图中数据分布状况，即可确定极差，中位数，众数，平均数大小，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，依据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最终利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．解答：解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先依据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，依据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简洁性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7考点：分段函数的应用；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先依据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5x的图象，结合图象当x＞6时，y=log6x ＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数．解答：解：依据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象当x=6时log66=1，∴当x＞6时y=log5x此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有5个交点，则函数g（x）=f（x）﹣log6x的零点个数为5，故选B．点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是争辩出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较简洁．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案．解答：解：∵cosα=，α∈（0，），∴sin（π﹣α）=sinα==．故答案为：．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系的应用，属于基础题．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为3．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式就看得出．解答：解：∵x＞1，∴==3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．点评：本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是28+12．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱，利用数据推断出底面为正三角形，再利用表面积公式计算．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱．底面三角形为等腰三角形，底边长为2，腰长为2；棱柱长为6．S底面==4S侧面=cl=6×（4+2）=24+12所以表面积是28+12．故答案为：28+12．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算力量，空间想象力量，三视图复原几何体是解题的关键14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，S=0+=；i≥4？，否，i=2，S=+=；i≥4？，否，i=3，S=+=；i≥4？，否，i=4，S=+=；i≥4？，是，输出S=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：依据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后依据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P 是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B是解决本题的关键．综合性较强，难度格外大．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，∵a2=3，S7=49，∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）b n ===2n，则数列{b n}为等比数列，则数列{b n}的前n项和T n =．点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求娴熟把握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查同学的运算力量．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面对量的数量积运算法则计算得到关系式，由余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由B的度数，利用内角和定理求出A的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且•=0，∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．点评：此题考查了余弦定理，平面对量的数量积运算，以及正弦函数的值域，娴熟把握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）依据样本数据统计表，可得200名同学中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以2022-2021学年高二同学的总数即可；（Ⅱ）求出至少有一名同学认为作业多的大事的个数，和从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数，两者相除，即可求出至少有一名同学认为作业多的概率是多少．解答：解：（Ⅰ）42500×答：欢电脑玩耍并认为作业不多的人有7650名．（Ⅱ）从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数是至少有一名同学认为作业多的大事的个数是：15﹣=15﹣6=9（个）全部至少有一名同学认为作业多的概率是．答：至少有一名同学认为作业多的概率是．点评：本题主要考查了概率的运算，考查了同学的分析推理力量，解答此题的关键是要弄清楚两点：①符合条件的状况数目；②全部状况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面V AC．（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣VA﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VC⊥BC，∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，∴AC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面V AC，VC∩AC=C，∴BC⊥平面V AC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，﹣2），，设平面V AC 的法向量==（0，2，0），设平面V AM 的法向量=（x，y，z），由，取y=，得∴，∴cos ＜＞==，∴二面角M﹣V A﹣C 的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，留意向量法的合理运用．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得，由此能示出椭圆方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明4m2=1+4k2．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|==，由此能求出△AOB的面积．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点，∴，解得，∴椭圆方程为（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，即，（1）∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=+2m=，又由中点坐标公式，得，将Q （）代入椭圆方程，得，化简，得4m2=1+4k2，（2）．②解：由（1），（2）得m≠0，且|x1﹣x2|==，（3）在△AOB 中，，（4）结合（2）、（3）、（4），得S△AOB ==，∴△AOB 的面积是．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，留意弦长公式的合理运用．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，=，利用导数性质能求出当x=时，函数f（x ）取得微小值即最小值=．（Ⅱ）由，得f′（e）=，由曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，能求出，b=．（Ⅲ）由题意知函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．2b ≤，由此利用分类争辩思想能求出当时，．当，．解答：解：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，f（x）=x2+x﹣lnx，（x＞0）．==，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得．∴函数f（x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得微小值即最小值，最小值为==．（Ⅱ），∴f′（e）=，∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，∴，解得．∴，b=．（Ⅲ）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，∴函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．∴h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．∴=ax+在[4，+∞）上恒成立，∴2b ≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．（a＞0）．则=．令u′（x）=0，解得．∴u（x ）在上单调递减，在上单调递增．（i ）当时，即时，u（x ）在上单调递减，在上单调递增．∴u（x）min ==，∴，即．（ii）当时，即，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，∴，即．综上可得：当时，．当，．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值，考查了分类争辩的思想方法，考查了推理力量和计算力量，属于难题．。
2021年高三上学期开学摸底考试数学(文理通用)试题 含答案
2021年高三上学期开学摸底考试数学（文理通用）试题含答案第I卷选择题60分一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.已知集合H={}，集合K={1,1.5,2,0,-1,-2}，则H∩K为（）A. {1,2}B.{1,2,0,-1}C.(-1,2]D.{1.5,0}2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第505个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=.上述结论中正确的个数为（）A．2 B.3 C.4D.54. 设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )A. B. C. D.5. 已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6. 若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A. B. C.D.7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A． B． C．D．8. 函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是( )9. 已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O 三点，且.关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是（）A.①②B.②④C.③④D.①③11. 已知F1、F2分别是双曲线（，）的左、右焦点，且F2是抛物线（p＞0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P．若线段的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（）A． B． C． D．12. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）A.1-iB.1+iC. -1-iD. i-1第II卷非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为___________.14.已知等差数列{a n}中，a1=1，S11=33，则公差d等于______________.15. 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的_____________条件.16. 已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值18．（12分）如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．21.（12分）已知函数。
高三数学上学期摸底考试试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期摸底考试试题文〔含解析〕本卷须知:2.答题时，必须将答案写在答题卡,上，写在套本套试卷及草稿纸上无效，3.在在考试完毕之后以后，将答题卡交回.第I 卷(选择题，一共60分)一、选择题〔此题一共12小题，每小燃5分，一共60分.在以下各题的四个选项里面，只有个选项是符合题意的〕{}{}2280,3,1,1,3,5A x x x B =--=--，那么A B ⋂=〔〕A.{}1,1,3-B.{}3,1,1--C.{}3,5-D.{}3,5【答案】C 【解析】试题分析：因为{}{}{}228042,3,1,1,3,5A x x x x x x B =--=<-=--或，所以A B ⋂={}3,5-，应选C ．考点：1.集合的表示；2.集合的交集．z ＝〔3+bi 〕〔1+i 〕是纯虚数〔其中b ∈R ，i 为虚数单位〕，那么b ＝〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【详解】∵z ＝〔3+bi 〕〔1+i 〕＝〔3﹣b 〕+〔b +3〕i 是纯虚数，∴3030b b -=⎧⎨+≠⎩，即b ＝3．应选：C ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．a=〔k，1〕，b=〔3，﹣1〕，假设a⊥b，那么实数k＝〔〕A.13B.13- C.3 D.﹣3【答案】A【解析】【分析】根据平面向量a⊥b时a•b=0，列方程求出k的值．【详解】向量a=〔k，1〕，b=〔3，﹣1〕，当a⊥b时，a•b=0，即3k+1×〔﹣1〕＝0，解得实数k1 3 =．应选：A．【点睛】此题考察了平面向量的数量积应用问题，是根底题．4.以下函数中，是偶函数且在区间〔0，+∞〕上单调递增的是〔〕A.y＝cos xB.y=C.y＝|x|D.y＝﹣x2+2021【答案】C【解析】【分析】分别结合余弦函数，二次函数及幂函数的性质可分别进展判断．【详解】结合余弦函数的性质可知，y＝cosx在〔0，+∞〕上不单调，故A错误；y=B错误；y＝|x|为偶函数且在〔0，+∞〕上单调递增，故C正确由二次函数的性质可知，y＝2021﹣x2在〔0，+∞〕上单调递减；故D错误应选：C．【点睛】此题主要考察了根本初等函数的单调性及奇偶性的简单判断．5.设在α∈R，那么“cosα12=〞是“α3π=“的〔〕条件A.充分不必要B.必要不充分C .充要D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】α3π=⇒cosα12=，反之不成立，例如：α3π=+2π．即可判断出关系．【详解】α3π=⇒cosα12=，反之不成立，例如：α3π=+2π．∴“cosα12=〞是“α3π=“的必要不充分条件．应选：B ．【点睛】此题考察了简易逻辑的断定方法、三角函数求值，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．sin 2y x =的图象，只需将函数sin 2+4y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象A.向左平移4π单位 B.向右平移4π单位 C.向左平移8π单位 D.向右平移8π单位【答案】D 【解析】因为：y =sin(2x +4π)=sin2(x +8π). 根据函数图象的平移规律可得：须把函数y =sin2(x +8π)相右平移8π个单位得到函数y =sin2x 的图象． 应选D. 点睛：图象变换(1)振幅变换(2)周期变换(3)相位变换(4)复合变换7.正方体的体积为8，那么其外接球的面积为〔〕 A.8π B.12πC.16πD.24π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意即可求出正方体的外接球的大圆半径，从而根据圆的外表积公式即可求出外接球的面积． 【详解】正方体的体积为8，可得正方体的边长为2，正方体的外接球的大圆半径为：22222232R ++==∴外接球的面积为：S ＝4πR 2＝4π•3＝12π． 应选：B ．【点睛】此题考察了球的外表积公式，知道正方体的体对角线是正方体的外接球的大圆直径是关键，考察了计算才能，属于根底题．ABC 中，()()()2sin sin sin A B A B C +-=，那么此三角形的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 因为C A B 、、是三角形的内角，所以有180A B C ︒+=-，即()sin sin A B C +=，再通过三角变换解得cos 0B =，最终得出结果． 【详解】()()()2sinsin sin A B A B C +-=，()()()2sin sin sin A B A B A B ⎡⎤+-=+⎣⎦，()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦， ()()()sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤⎡⎤++--=⎣⎦⎣⎦， ()sin sin cos 0A B A B ⎡⎤+=⎣⎦，因为()sinA B +与sin A 不为0，所以cos 0B =，即90B ︒=，应选B ．【点睛】此题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦中的()sin A B +不可以直接消去，要考虑到()sin 0A B +=的情况．C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直l 交抛物线C 于A ，B 两点，|FA |＝3，那么|FB |＝〔〕A.3B.32C.5D.72【答案】B 【解析】 【分析】求出直线AB 的斜率，得到AB 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，然后求解|FB |即可． 【详解】抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 〔1，0〕，过点F 的直l 交抛物线C 于A ，B 两点，|FA |＝3，不妨A 在第一象限，可得A 〔2，〕，所以AB ：y ＝〔x ﹣1〕，代入抛物线方程可得：2x 2﹣5x +2＝0，解得x B 12=，x A ＝2． 所以|FB |＝x B 322p +=．应选：B ．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是根本知识的考察．10.假设θ∈〔0，π〕，且2cosθ2，那么tan2θ=〔〕A. B.6C.2D.9【答案】C 【解析】 【分析】由利用二倍角公式及同角三角函数根本关系式化弦为切即可求解． 【详解】∵θ∈〔0，π〕，∴2θ∈〔0，2π〕，由2cosθ＝2，得22222222222222222cos sin coscos sin sin cos θθθθθθθθ-+=++，即222222221122tan tan tan θθθθ-+=++，整理得22022tan θθ=，∴tan2θ=0〔舍〕或者tan 22θ=．应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的恒等变换与化简求值，考察同角三角函数根本关系式的应用，是中档题．11.偶函数y ＝f(x)，x∈R 满足：f(x)＝x 2－3x(x≥0)，假设函数2log ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩那么y ＝f(x)－g(x)的零点个数为() A.1 B.3C.2D.4【答案】B 【解析】y ＝f(x)－g(x)的零点个数即为f(x)=g(x)的根的个数，即y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如下列图，一共有三个交点. 应选B.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， 〔1〕利用零点存在的断定定理构建不等式求解；〔2〕别离参数后转化为函数的值域〔最值〕问题求解，假设涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；〔3〕转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.R 上的可导函数f 〔x 〕满足：f ′〔x 〕＜f 〔x 〕+e x ，其f ′〔x 〕为f 〔x 〕的导函数，e 为自然对数的底且f〔0〕＝2，那么关于x 的不等式f 〔lnx 〕＞xlnx +2x 的解集为〔〕 A.〔0，+∞〕 B.〔1，+∞〕C.〔0，1〕D.〔0，e 〕【答案】C 【解析】 【分析】构造函数g〔x〕()xf xe=-x，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出不等式的解集．【详解】∵f′〔x〕＜f〔x〕+e x，∴()()'xf x f xe--1＜0，设g〔x〕()xf xe=-x，∴g′〔x〕()()'xf x f xe-=-1＜0，∴g〔x〕在R上单调递减，∵f〔0〕＝2，∴g〔0〕()fe=-0＝2，∵f〔lnx〕＞xlnx+2x，∴()f lnxx＞lnx+2．即()lnxf lnxe-lnx＞2，∴g〔lnx〕＞2＝g〔0〕，∴lnx＜0，∴0＜x＜1，应选：C．【点睛】此题考察函数单调性，结合条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．第二卷(非选择题，一共90分)二、填空题〔此题一共4小愿，每一小题5分，一共20分〕13.a=〔1〕，b=〔0，2〕，那么a与b的夹角为_____．【答案】6π【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求出a 与b 的夹角．【详解】∵a=〔1b =〔0，2〕，设a 与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，那么cosθ2322a b a b⋅===⨯⋅θ6π=，故答案为：6π． 【点睛】此题主要考察两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，属于根底题． 14.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设c ＝2a ，b ＝3，cos C 14=-，那么a ＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由利用余弦定理即可求解a 的值． 【详解】∵c ＝2a ，b ＝3，cosC 14=-， ∴由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，可得〔2a 〕2＝a 2+9﹣2×a ×3×〔14-〕，即2a 2﹣a ﹣6＝0， ∴解得a ＝2，或者32-〔舍去〕． 故答案为：2．【点睛】此题主要考察了余弦定理在解三角形中的应用，考察了方程思想，属于根底题． 15.某简单几何体的三枧图如下列图，其最大侧面的面积为_____．【答案】【解析】 【分析】由中的三视图，画出几何体的直观图，然后求解三角形的面积，得到结果．【详解】由三视图得到几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体的一局部，四棱锥P ﹣ABCD ，S △BCP ＝，S △ABP ＝S △APD ＝8．S △PCD ＝故答案为：．【点睛】此题考察的知识点是由三视图复原几何体并求侧面面积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．C ：22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕的左焦点为F ，过F 的一条倾斜角为30°的直线与C 在第一象限交于点A ，且|OF |＝|OA |，O 为坐标原点，那么该双曲线的离心率为_____．1【解析】 【分析】利用条件求出|AF |c ，|A E |＝c ，利用双曲线定义求解即可．【详解】过F 的一条倾斜角为30°的直线与C 在第一象限交于点A ，且|OF |＝|OA |＝c ， 令右焦点为E ，可知焦点三角形AFE 为直角三角形，∴∠AOx ＝60°，且|AF |c ，|A E |＝c由双曲线的定义可得|AF |﹣|A E |=2 a c =-，∴1c a ==，即e 1=．1．【点睛】此题考察双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考察运算才能，属于中档题．三、解答题一共70分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22、23题为选考题，考生根据要求答题()()002f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的局部图象如下列图．〔1〕求函数f 〔x 〕的解析式 〔2〕假设02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数f 〔x 〕的值域． 【答案】(1)()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)[﹣1，2]．【解析】 【分析】〔1〕由图象求出函数的振幅A ，周期，确定ω，利用图象经过26π⎛⎫⎪⎝⎭，确定φ，得到函数的解析式； 〔2〕根据02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得到7122166626x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫+∈-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，可得函数的值域． 【详解】〔1〕由图可知A ＝2，54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，由22T πωω==，得∴f 〔x 〕＝2sin 〔2x +ϕ〕，又点26π⎛⎫⎪⎝⎭，在图象上， ∴13sin πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴262k k z ππϕπϕ=+∈，，又＜，∴6π=ϕ∴()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔2〕∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴7122166626x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫+∈∴-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， ∴函数f 〔x 〕的值域为[﹣1，2]．【点睛】此题是根底题，考察三角函数的化简求值，函数的解析式的求法，考察计算才能，常考题型． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m =〔cos B ，sin B }〕，n=〔cos C ，﹣sin C 〕，m •13n =-． 〔1〕求sin A 的值〔2〕假设a =ABC 面积的最大值．【答案】(1)3(2) 4．【解析】 【分析】 〔1〕根据13m n ⋅=-，进展数量积的坐标运算即可得出cos 〔B +C 〕13cosA =-=-，从而求出133cosA sinA ==，；〔2〕可画出图形，根据余弦定理即可得出2224333bc bc bc =+-≥，从而得出94bc ≤，这样根据三角形的面积公式即可得出ABC S ≤，从而得出△ABC 面积的最大值．【详解】〔1〕∵13m n ⋅=-， ∴cos B cos C ﹣sin B sin C ＝cos 〔B +C 〕()13cosA cosA π=-=-=-， ∴13cosA =，∴sinA ==；〔2〕如图，∵cos A 13=，a = ∴根据余弦定理得，2222432333bc bc bc bc bc =+-≥-=，当b ＝c 时取等号， ∴94bc ≤，∴1234ABC S bcsinA ==≤，∴△ABC 面积的最大值为4． 【点睛】此题考察了向量数量积的坐标运算，余弦定理，不等式a 2+b 2≥2ab 的应用，两角和的余弦公式，三角形的面积公式，考察了计算才能，属于中档题． P ﹣ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC 12=AB ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ．〔1〕证明：BD ⊥平面PAD〔2〕求点C 到平面PBD 的间隔．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】【分析】〔1〕在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，推导出点D 在以AB 为直径的圆上，由此能证明BD ⊥平面PAD ． 〔2〕取AD 中点O ，连结PO ，那么PO ⊥AD ，设C 到平面PBD 的间隔为h ，由V P ﹣BCD ＝V C ﹣PBD ，能求出点C 到平面PBD 的间隔．【详解】〔1〕在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，那么DE ∥BC ，且DE ＝BC ，故DE 12AB =，即点D 在以AB 为直径的圆上， ∴BD ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD ．〔2〕取AD 中点O ，连结PO ，那么PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，由〔1〕知△ABD 和△PBD 都是直角三角形，∴BD ==∴12PBD S PD BD =⋅=11202BCD S BC CD sin =⋅⋅⋅︒=解得PO =设C 到平面PBD 的间隔为h ，由V P ﹣BCD ＝V C ﹣PBD ，得1133PBD BCD S h S PO ⋅=⋅，解得h =∴点C 到平面PBD 的间隔为2．【点睛】此题考察线面垂直的证明，考察点到平面的间隔的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．f 〔x 〕＝2xlnx ﹣x 1x-+2． 〔1〕求曲线y ＝f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程 〔2〕假设方程f ′〔x 〕＝a 在[1e ，+∞〕有且仅有两个实根〔其中f ′〔x 〕为f 〔x 〕的导函数，e 为自然对数的底〕，务实数a 的取值范围．【答案】(1)2x ﹣y ﹣2＝0；(2)〔2，e 2﹣1]．【解析】〔1〕先求切点的纵坐标，再求导，进而求出在切点处的导数值，即切点处的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；〔2〕函数f 〔x 〕求导得f '〔x 〕，然后再求导得f '〔x 〕在[1e，+∞〕的单调性，求出最小值，进而得与a 有两个根时的取值范围． 【详解】〔1〕由函数f 〔x 〕＝2xlnx ﹣x 1x -+2可知：f 〔1〕＝0，f '〔x 〕＝2〔lnx +1〕﹣121x +， ∴f '〔1〕＝2，所以曲线y ＝f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程：y ＝2〔x ﹣1〕，曲线y ＝f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程：2x ﹣y ﹣2＝0；〔2〕由〔1〕得，f '〔x 〕＝2lnx +121x +，f ''〔x 〕()2332122x x x x -=-=， 当1e≤x ＜1，f ''〔x 〕＜0，f '〔x 〕单调递减， 当x ＞1，f ''〔x 〕＞0，f '〔x 〕单调递增，而f '〔1e 〕＝﹣2+1+e 2＞0，最小值f '〔1〕＝2＞0时，f 〔x 〕→+∞， 所以f '〔x 〕＝a 有两个根的取值范围：〔2，e 2﹣1]．故实数a 的取值范围：〔2，e 2﹣1]．【点睛】考察利用导数研究函数的极值问题，表达了转化的思想方法，属于中档题． 21.M 是椭圆T ：2222x y a b+=1〔a ＞b ＞0〕上任意一点，F 是椭圆T 的右焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，O为坐标原点，如以下列图所示，|MF |的最大值为3MAF 面积最大值为3〔1〕求椭圆T 的HY 方程〔2〕求△ABM 的面积的最大值S 0．假设点N 〔x ，y 〕满足x ∈Z，y ∈Z，称点N 为格点．问椭圆T 内部是否存在格点G ，使得△ABG 的面积S ∈〔6，S 0〕？假设存在，求出G 的坐标，假设不存在，请说明理由． 【答案】(1)22194x y +=(2)存在，坐标为〔2，﹣1〕 【解析】〔1〕由椭圆性质可知2M Mc a cMF x a xa c a⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由条件得3a c+=M y的最大值为2，即b=2，结合a，b，c的关系可求出椭圆T的方程．〔2〕由题知直线AB的方程为223y x=+，设直线23l y x m=+：与椭圆T相切于x轴下方的点M0，那么△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0．直线与椭圆联立求出直线AB与直线l间隔为32+=，由此能求出〔2，﹣1〕为所求格点G．【详解】〔1〕由椭圆性质可知2M Mc a cMF x a xa c a⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，其中c＞0，c2＝a2﹣b2，因为x M∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即3a c+=+又△MAF面积最大值为31c2MAF MS a y=+，∴My的最大值为2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且3a c+=解之得3ac=⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆T的方程为22194x y+=〔2〕由题知直线AB的方程为223y x=+，设直线23l y x m=+：与椭圆T相切于x轴下方的点M0，那么△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0.222222222310410934994194y x mm m m mx x m x y⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒++-=⇒∆=-⋅-=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩此时，直线AB与直线l32+=，而(321312AB+===而2Sh=，令(6312h+＜31h设直线123l y x n=+：到直线AB，=，解得n＝﹣2或者6，注意到l1与直线AB平行且l1需与椭圆T应有公一共点，故只需考虑n＝﹣2的情形．直线223y x=-经过椭圆T的下顶点B0〔0，﹣2〕与右顶点A0，那么线段A0B0上任意一点G0与A、B组成的三角形的面积为6根据题意假设存在满足题意的格点G，那么G必在直线A0B0与l之间．而在椭圆内部位于四象限的格点为〔1，﹣1〕，〔2，﹣1〕因为21123-⋅-＞，故〔1，﹣1〕在直线A0B0上方，不符题意而21223-⋅-＜，那么点〔2，﹣1〕在直线A0B0下方，且()22122519436-+=＜，点在椭圆内部，所以〔2，﹣1〕为所求格点G．【点睛】此题考察椭圆方程的求法，考察满足条件的格点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．选考题：一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按第一题计分xOy中，曲线C的参数方程为1424x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕，直线l的参数方程为1212xy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t为参数〕．〔1〕求曲线C的普通方程〔2〕假设直线l与曲线C交于AB两点，求|AB|．【答案】(1)〔x ﹣1〕2+〔y ﹣2〕2＝16(2)． 【解析】【分析】〔1〕利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进展转换．〔2〕利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】〔1〕曲线C 的参数方程为1424x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕，整理得〔x ﹣1〕2+〔y ﹣2〕2＝16， 〔2〕把直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t为参数〕代入圆的方程得2150t -=．所以12t t +=t 1•t 2＝﹣15〔t 1和t 2为A 、B 对应的参数〕，那么：|AB|12t t =-==．【点睛】此题考察的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．f 〔x 〕＝|2x ﹣a |+|x ﹣1|〔1〕假设f 〔1〕≥2，务实数a 的取值范围〔2〕假设不等式f 〔x 〕≤x 对任意x ∈[2，52]恒成立，务实数a 的取值范围． 【答案】(1)〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕；(2)[4，5]．【解析】【分析】〔1〕考察绝对值不等式的根本解法〔零点分段法〕，对于一个绝对值的问题可以直接去掉绝对值；〔2〕此问考察不等式恒成立求参问题，常用方法时别离参数求函数最值或者值域．【详解】〔1〕由于f 〔1〕＝|2﹣a |≥2，那么a ﹣2≥2或者者a ﹣2≤﹣2，所以a ≥4或者者a ≤0， 故实数a 的取值范围为〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕；〔2〕不等式f 〔x 〕≤x 对任意522x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，此时f 〔x 〕≤x 可化为：|2x﹣a|+x﹣1≤x，即|2x﹣a|≤1，也即a﹣1≤2x≤a+1对任意522x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以a﹣1≤〔2x〕min＝4且a+1≥〔2x〕max＝5，即4≤a≤5，故实数a的取值范围为[4，5]．【点睛】绝对值不等式问题的关键在于去绝对值，对于第一问一个绝对值的问题可直接去掉；第二问恒成立求参问题转化为求函数最值即可．。
2021年高三上学期入学摸底考试数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期入学摸底考试数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则=A. B. C. D.2．复数的虚部是A．i B．-i C．1 D．-13．在等比数列中，若，，则该数列前五项的积为A ．±3B ．3C ．±1D ．14．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A ．4B ．8C ．12D ．245．若直线与平行，则与间的距离为 A ． B ． C ． D ．6．在中，，则= A ．-1B ．1C ．D ．-27．若对任意非零实数，若的运算规则 如右图的程序框图所示，则的值是 A ． B ． C ． D ．98得函数图像的一个对称中心是A ．B ．C ． 9．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为 A ． B ．2C ．D ．10．在区间[0,2]上任取两个实数a ,b ，则函数没有零点的概率是A ．B ．C ．D ． 11．已知定义在R 上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为 A ． B ． C ． D ．12．已知函数定义在R 上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时， ②函数有2个零点 ③的解集为 ④，都有 其中正确命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．文科数学试卷 第1页(共6页)CDA 1CDF13．已知a >0，b >0，且a +b =1，求的最小值____________.14．已知||＝2，||＝2，与的夹角为45°，且λ－与垂直，则实数λ＝________. 15．在中，角的对边分别为，若，则_______________16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）等差数列中，，前6项的和。
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2021年高三数学上学期入学摸底考试试卷 文
一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）
1.已知，则的值为 （ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
2.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有 （
）．
A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．③④
3.已知,则的值为( ).
A. B ． C ．-1 D ．1
4.若，不等式的解集是，，则……（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．不能确定的符号
5.函数的定义域为（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
6.设集合，，则( )
A.AB
B.AB
C.AB
D.AB
7.设集合A=,B=,则AB=( )
A. B. C. D.
8.下列命题中，真命题为（ ）
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若，则
9.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( )
A ．；
B ．；
C ．；
D ．.
10.已知{}{},3,21,≤=≤≤-==x x N x x M R U 则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
11.函数的定义域为_______________．
12.定义在上的函数满足.若当时，,则当时,=_____________________ ；
13.已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 ________________ ．
14.已知函数(图象如图所示，则的值是。
15.已知集合, ,则集合所表示图形的面积是 ________ 。
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题14分,第6题15分,共75分）
16.（本小题满分12分已知幂函数y=(x)的图象过点（2，），试求出此函数的解析式，并写出其定义域，判断奇偶性，单调性。
17.（10分）已知函数，
(1)求定义域；
(2)判断奇偶性；
(3)已知该函数在第一象限的图象如图1所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．
18.已知集合集合且求的值.
19.（1）已知函数的定义域为R，对任意，均有，试证明：
（1）函数是奇函数.
（2）已知函数是定义在R上的奇函数，满足条件，试求的值.
20.已知函数
（1）求函数的定义域和值域；（2）若有最小值－2，求的值.
21.设：实数满足，其中，
命题：实数满足
（I）若，且为真，求实数的取值范围；
（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
文科数学试卷答案
1.A
略
2.D
在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．
3.D
4.A
略
5.D
6.B
7.D
8.B
9.C
10.D
略
11.
12.
略
13.
略
14.-2
略
15.
16.f(x)= ,其定义域为（0，）;无奇偶性，f(x)在(0, )上单调递减。
17.（1） (3分)（2）偶函数 (3分)
（3）为减函数，为增函数（4分）
18.
略
19.（1）证明已知对任意均有，令，
则，所以.
再令，可得，
因为，所以，
故是奇函数. (6)
分
（2）解因为函数是定义在R上的奇函数，
所以.
令，则有，即.
又，则有0)0()20()2()22()4(==+-=-=+=f f f f f …………12分
略
20.解:（1）依题意得
则
2()log [(1)(3)]log [(1)4]a a f x x x x =-+=-++， ，
当时，；当时，
的定义域是.当时，值域为
当时，值域为.
（2）因为有最小值－2，由（1）可知且，
略
21.解：（1）当=1时，： ……………………… 2分
： 4分∵为真
∴满足，即 ……………………… 6分
（2）由是的充分不必要条件知，
是的充分不必要条件……………………… 8分
由知，即A=
由知，B= ………………………10分
∴BA
所以，且
即实数的取值范围是 ……………………… 12分
考点：充分条件，命题真假
略33626 835A 荚
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